Рабочая программа по алгебре (9 класс)

Пояснительная записка.

Рабочая программа по алгебре для 9 класса составлена в соответствии с:

• Федеральным компонентом образовательного стандарта первого поколения (приказ МО РФ от 05.03.04г. № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственного стандарта образования»)

• Программой для общеобразовательных учреждений «Алгебра. 7-9» / составитель Т.А.Бурмистрова, авт. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович.- Москва, Просвещение, 2009.

Учебный предмет «Математика» изучается по модулям «Алгебра» и «Геометрия». Содержание рабочих программ по модулям «Алгебра» и «Геометрия» полностью соответствует содержанию исходных программ. Обучение ведется по учебникам:

Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений./ Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, С.Б.Бунимович, и др.- М.Просвещение, 2010г.

Геометрия: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян - М.Просвещение, 2009г.

Рабочая программа по алгебре для 9 класса составлена на основе авторской программы под редакцией Г.В. Дорофеева, С.Б.Суворовой

Программа соответствует федеральному компоненту государственного стандарта основного общего образования, конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса.

Цель изучения:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;

• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса;

• приобретение конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, фор­мирование языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математи­ческой культуры, для эстетического воспитания обучающихся. Изу­чение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Согласно федеральному базисному учебному плану на изучение математики в 9 классе отводится не менее 170 часов из расчета 5 ч в неделю, при этом на изучение алгебры - 3 часа в неделю, всего102 часа

Требования к уровню подготовки учеников

В результате изучения математики ученик должен знать/понимать

• существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств; существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;

• как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

• как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;

• как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа; вероятностный характер многих закономерностей окружающе­го мира; примеры статистических закономерностей и выводов;

• каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утвержде­ний о них, важных для практики;

• смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры оши­бок, возникающих при идеализации.

АРИФМЕТИКА

уметь

• выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;

• переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты - в ви­де дроби и дробь - в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки;

• выполнять арифметические действия с рациональными числами сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений; округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять оценку числовых выражений; пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема; выражать более крупные едини­цы через более мелкие и наоборот;

• решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и про­центами;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• решения несложных практических расчетных задач, в том числе с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера;

• устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления, с использованием различных приемов;

• интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.

АЛГЕБРА

уметь

• составлять буквенные выражения и формулы по условиям за­дач; осуществлять в выражениях и формулах числовые под­становки и выполнять соответствующие вычисления, осуще­ствлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

• выполнять основные действия со степенями с целыми показа­телями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

• применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выраже­ний, содержащих квадратные корни;

• решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных урав­нений и несложные нелинейные системы;

• решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы;

• решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

• изображать числа точками на координатной прямой;

• определять координаты точки плоскости, строить точки с за­данными координатами;

изображать множество решений ли­нейного неравенства;

• распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и сум­мы нескольких первых членов;

• находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

• определять свойства функции по ее графику; применять гра­фические представления при решении уравнений, систем, неравенств;

• описывать свойства изученных функций, строить их графики;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневном жизни для:

• выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;

• моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

• описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;

• интерпретации графиков реальных зависимостей между воли чинами.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ,
СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

уметь

• проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использо­вать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровер­жения утверждений;

• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;

• вычислять средние значения результатов измерений; находить частоту события, используя собственные наблюде­ния и готовые статистические данные;

• находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;

• распознавания логически некорректных рассуждений;

• записи математических утверждений, доказательств;

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;

• решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;

• решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;

• сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;

• понимания статистических утверждений.

Содержание обучения

1.Неравенства

Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Точность приближения, относительная точность.

Основная цель - познакомить учащихся со свойствами числовых неравенств и их применением к решению задач (сравнение и оценка значений выражений, доказательство неравенств и др.); выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Изучение темы начинается с обобщения и систематизации знаний о действительных числах, повторения известных учащимся терминов: натуральные, целые, рациональные, действительные числа - и рассмотрения отношений между соответствующими числовыми множествами. При этом бесконечная десятичная дробь не является исходным понятием для определения действительного числа, а рассматривается как его «универсальное имя». Вопрос о периодических и непериодических дробях может быть отнесен к необязательному материалу.

Свойства числовых неравенств иллюстрируются геометрически и подтверждаются числовыми примерами. Рассмотрение вопроса о решении линейных неравенств с одной переменной сопровождается введением понятий равносильных уравнений и неравенств, формулируются свойства равносильности уравнений и неравенств. Приобретенные учащимися умения получают развитие при решении систем линейных неравенств с одной переменной. Рассматривается также вопрос о доказательстве неравенств. Учащиеся знакомятся с некоторыми приемами доказательства неравенств; система упражнений содержит значительное число заданий на применение аппарата неравенств.

2.Квадратичная функция

Функция у = ах² + bх + с и ее график. Свойства квадратичной функции: возрастание и убывание, сохранение знака на промежутке, наибольшее (наименьшее) значение. Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Основная цель - познакомить учащихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между реальными величинами; научить строить график квадратичной функции и читать по графику ее свойств сформировать умение использовать графические представлен для решения квадратных неравенств.

Особенность принятого подхода заключается в том, что изучение темы начинается с общего знакомства с функцией у = = ах² + bх + с; рассматриваются готовые графики квадратичных функций и анализируются их особенности (наличие оси симмет­рии, вершины, направление ветвей, расположение по отношению к оси х), при этом активизируются общие сведения о функциях, известные учащимся из курса 8 класса; учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на ее симметрию. Далее следует бо­лее детальное изучение свойств квадратичной функции, особенно­стей ее графика и приемов его построения. В связи с этим может рассматриваться перенос вдоль осей координат произвольных гра­фиков. Центральным моментом темы является доказательство то­го, что график любой квадратичной функции у = ах² + bх + с мо­жет быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах². Теперь учащиеся по коэффициентам квадратно­го трехчлена ах² + bх + с могут представить общий вид соответст­вующей параболы и вычислить координаты ее вершины.

В системе упражнений значительное место должно отводить­ся задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления. Завершается эта тема рассмотре­нием квадратных неравенств, прием решения которых основан на умении определять промежутки, где график функции располо­жен выше (ниже) оси абсцисс.

3.Уравнения и системы уравнений

Рациональные выражения. Допустимые значения перемен­ных, входящих в алгебраические выражения. Тождество, доказа­тельство тождеств. Решение целых и дробных уравнений с одной переменной. Примеры решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач. Графическая интерпретация решения уравнений и систем уравнений.

Основная цель - систематизировать сведения о рациональных выражениях и уравнениях; познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших степеней, обучить решению дробных уравнений, развить умение решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными, а также текстовые задачи; познакомить с применением графиков для исследования и решения систем уравнений с двумя переменными и уравнений с одной переменной.

В данной теме систематизируются, обобщаются и развивают­ся теоретические представления и практические умения учащих­ся, связанные с рациональными выражениями, уравнениями, системами уравнений. Уточняется известное из курса 7 класса понятие тождественного равенства двух рациональных выраже­ний; его содержание раскрывается с двух позиций - алгебраиче­ской и функциональной. Вводится понятие тождества, обсужда­ются приемы доказательства тождеств.

Значительное место в теме отводится решению уравнений с одной переменной. Систематизируются и углубляют знания учащихся о целых уравнениях, основное внимание уделяется решению уравнений третьей и четвертой степени уже знакомыми учащимся приемами - разложением на множители и введением новой переменной. Здесь же учащиеся впервые встречаются с решением уравнений, содержащих переменную в знамени теле дроби. Продолжается решение систем уравнений, в том числе рассматриваются системы, в которых одно уравнение первой, а другое - второй степени, и примеры более сложных систем.

В заключение проводится графическое исследование уравне­ний с одной переменной. Вообще графическая интерпретация алгебраических выражений, уравнений и систем должна широко использоваться при изложении материала всей темы.

4. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n - го

члена и суммы n членов арифметической и геометрической прогрессий. Простые и сложные проценты.

Основная цель - расширить представления учащихся о числовых последовательностях; изучить свойства арифметиче­ской и геометрической прогрессий; развить умение решать зада­чи на проценты.

В данной теме вводятся необходимые термины и символика, в результате чего создается содержательная основа для осознанного изучения числовых последовательностей, которые неоднократно встречались в предыдущих темах курса. Характерной ее особен­ностью должны являться широта и разнообразие практических иллюстраций, акцент на связь изучаемого материала с окружаю­щим миром. Введение понятий арифметической и геометриче­ской прогрессий следует осуществлять на основе рассмотрения примеров из реальной жизни. На конкретных: примерах вводятся понятия простых и сложных процентов, которые позволяют рас­смотреть большое число практико-ориентированных задач.

5. Статистические исследования

Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Основная цель - сформировать представление о статистических исследованиях, обработке данных и интерпретации ре­зультатов.

В данной теме представлен завершающий фрагмент вероятностно-статистической линии курса. В ней рассматриваются до­ступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. В ходе описания исследований вводятся некоторые новые статистические понятия, отражающие специфику данного исследования. Они позволяют понять как центральные тенденции ряда данных, так и меру вариации. Включение данного материала направлено прежде всего на формирование умений понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые в средствах массовой информации.

Календарно-тематический план

Основное содержание курса 9 класса

(тематическое планирование) 102 часа

п\п

Наименование темы

Основное содержание темы

Основная цель изучения темы

Часы

К\р

1.

Неравенства

Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств. Линейные неравенства с одной пере­менной и их системы. Точность приближения, относительная точность.

Познакомить учащихся со свойствами числовых неравенств и их применением к решению задач (срав­нение и оценка значений выражений, доказательство неравенств и др.); выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

19

1

2.

Квадратичная функция

Функция у = ax²+ bх + с и ее график. Свойства квадратичной функции: возрастание и убывание, сохранение знака на промежутке, наибольшее (наименьшее) значение. Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Познакомить учащихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между реальными величинами; научить строить гра­фик квадратичной функции и читать по графику ее свойства; сформировать умение использовать графические представления для решения квадратных неравенств.

20

1

3.

Уравнения и системы уравнений

Рациональные выражения. Допустимые значения перемен­ных, входящих в алгебраические выражения. Тождество, доказа­тельство тождеств. Решение целых и дробных уравнений с одной переменной. Примеры решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач. Графическая ин­терпретация решения уравнений и систем уравнений.

Систематизировать сведения о рацио­нальных выражениях и уравнениях; познакомить учащихся с не­которыми приемами решения уравнений высших степеней, обу­чить решению дробных уравнений, развить умение решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными, а также текстовые задачи; познакомить с применением графиков для ис­следования и решения систем уравнений с двумя переменными и уравнений с одной переменной.

25

2

4.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го

члена и суммы п членов арифметической и геометрической про­грессий. Простые и сложные проценты.

Расширить представления учащихся о числовых последовательностях; изучить свойства арифметиче­ской и геометрической прогрессий; развить умение решать зада­чи на проценты

17

1

5.

Статистические исследования

Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Сформировать представление о стати­стических исследованиях, обработке данных и интерпретации ре­зультатов.

7

6.

Итоговое повторение

Обобщить и систематизировать знания учащихся

14

3

Учебно-методический комплекс учителя:

• Учебник «Алгебра 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, М., Просвещение, 2010 год.

• Поурочные планы по учебнику «Алгебра 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, (автор - составитель Т.Н.Видеман), Волгоград, «Учитель», 2011 год,

• Дидактические материалы для 9 класса общеобразовательных учреждений под ред. Г.В. Дорофеева, Л.П.Евстафьева, А.П.Карп, М., Просвещение , 2006 год.

• «Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2010/ ФИПИ», (авторы - составители Л.В.Кузнецова и др.), М.: «Интеллект - центр», 2010 год. (гиа)

Учебно-методический комплекс ученика:

• Учебник «Алгебра 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, М., Просвещение, 2010 год.

• Дидактические материалы для 9 класса общеобразовательных учреждений под ред. Г.В. Дорофеева, Л.П.Евстафьева, А.П.Карп, М., Просвещение , 2006 год.

Контрольно-измерительные материалы:

Контрольная работа № 1 по теме «Неравенства»

Вариант I

Обязательная часть.

1. Сравните числа и 0,143….

2. Оцените периметр прямоугольника со сторонами а см и b см, если 7 ≤ а ≤ 8, 14 ≤ b ≤ 15.

3. Решите неравенство 1 - (8 + х) ≥ 3х - 10 и изобразите множество его решений на координатной прямой.

Решите систему неравенств (4-5).

4.

5.

6. Запишите промежуток 20 ≤ х ≤ 24 в форме х = а ± h.

Дополнительная часть.

7. Решите двойное неравенство: х - 3 < 3х - 1 < 2х + 5.

8. Решите систему неравенств:

9. При каких значениях с уравнение 2х² - 6х + с = 0 имеет два корня?

Вариант II

Обязательная часть.

1. Расположите в порядке возрастания числа: ; 0,54; 0,551…

2. Оцените площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если 9 ≤ х ≤ 10, 15 ≤ у ≤ 16.

3. Решите неравенство 2 (х - 6) + 7 > 4х + 3 и изобразите множество решений на координатной прямой.

Решите систему неравенств (4-5).

4. 5.

6. В рулоне содержится 57 м ткани с точностью до 0,5 м. Запишите это с помощью знака «±» и с помощью двойного неравенства.

Дополнительная часть.

7. Найдите все отрицательные решения неравенства:

1 - - x.

8. Решите систему неравенств:

9. Не пользуясь калькулятором, сравните числа и .

Вариант III

Обязательная часть.

1. Принадлежит ли число 2 отрезку [2,1; 2,2]?

2. Допустимый вес ручной клади на пассажирских авиалиниях составляет 20 кг. Можно ли перевезти в качестве ручной клади 12 томов детской энциклопедии, если масса одного тома находится в границах от 1200 до 1650 г?

3. Решите неравенство 2 - 3 (х + 5) ≤ 1 + 4х и изобразите множество его решений на координатной прямой.

4. Решите систему неравенств:

5. Решите двойное неравенство: -1 < 5х + 4 < 9.

6. Запишите промежуток 18 ≤ х ≤ 19 с помощью знака «±».

Дополнительная часть.

7. Найдите все решения неравенства 1 -, принадлежащие промежутку [0; 2].

8. Сравните числа - 2 и - 1.

9. Докажите, что (а³ - b³) (a - b) ≥ 3ab (a - b)².

Вариант IV

Обязательная часть.

1. Сравните числа 0,416 и .

2. Длина кузова грузового автомобиля 3 м. Можно ли разместить вдоль кузова пять коробок с квадратным основанием, если сторона основания находится в границах от 60 до 65 см?

3. Решите неравенство 4 (1- х) - 7 < х + 6 и изобразите множество его решений на координатной прямой.

4. Решите систему неравенств:

5. Решите двойное неравенство: -7 < 1 + 4х < 0.

6. Масса космического аппарата равна 2000 кг с точностью до 30 кг. Запишите это с помощью знака «±» и с помощью двойного неравенства.

Дополнительная часть.

7. Решите систему неравенств:

8. Найдите все целые положительные значения с, при которых квадратный трехчлен 3х² - 6х + с можно разложить на множители.

9. Докажите, что а² + b² ≥ .

контрольная работа № 2 по теме «Квадратичная функция»

Вариант I

Обязательная часть.

1. С помощью графика (рис. 2.7 учебника) ответьте на вопросы:

а) Через сколько секунд после начала полета ракета достигла максимальной высоты?

б) Какое расстояние пролетела ракета за 3 с полета?

2. Функция задана формулой у = 3х² + 2х - 5.

а) Найдите значение функции при х = -.

б) Найдите нули функции.

3. а) Постройте график функции у = -х² + 4.

б) Укажите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

в) Укажите промежуток, на котором функция убывает.

4. Решите неравенство: х² - 3х + 2 < 0.

Дополнительная часть.

5. Запишите уравнение параболы, если известно, что она получена со сдвигом параболы у = 2х² вдоль оси х на четыре единицы вправо и вдоль оси у на две единицы вниз.

6. Найдите область определения функции у = .

7. При каких значениях р и q вершина параболы у = х² + рх + q находится в точке (-1; 5)?

Вариант II

Обязательная часть.

1. Парашютист прыгнул из самолета на некоторой высоте. Сначала он находился в свободном падении, а затем раскрыл парашют. На рисунке изображен график его полета. Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какое расстояние пролетел парашютист за 10 с полета?

б) Через сколько секунд после прыжка раскрылся парашют?

2. С помощью графика функции (график 2 на рисунке 2.31 учебника) выполните следующие задания:

а) Найдите значение функции при х = 1.

б) Определите значения х, при которых функция принимает значение, равное -6.

3. а) Постройте график функции у = х² + х - 6.

б) Укажите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

в) Укажите промежуток убывания функции.

4. Решите неравенство: х² - 6х + 5 < 0.

Дополнительная часть.

5. Определите значение коэффициентов b и с, при которых вершина параболы у = 2х² + bх + с находится в точке А (-1; 3).

6. Найдите область определения выражения .

7. Найдите все целые значения т, при которых график функции
у = 4х² + тх + 1 расположен выше оси х.

Вариант III

Обязательная часть.

1. С помощью графика (рис. 2.7 учебника) ответьте на вопросы:

а) Какое расстояние пролетела ракета за 1 с полета?

б) На какой высоте над землей ракета сгорела?

2. Функция задана формулой у = 2х² + 3х + 7.

а) При каких значениях х функция принимает значение, равное 9?

б) Проходит ли график функции через точку А (-4; 32)?

3. а) Постройте график функции у = х² + 6х + 5.

б) Укажите наименьшее значение функции.

в) Укажите промежуток, на котором функция возрастает.

4. Решите неравенство: 2х² - 18 ≥ 0.

Дополнительная часть.

5. Запишите уравнение параболы, если известно, что она получена сдвигом параболы у = -х² вдоль осей координат и ее вершина находится в точке (-3; 1).

6. При каких значениях т уравнение тх² - 6х + т = 0 имеет два корня?

7. Мяч подброшен вертикально вверх. Зависимость высоты мяча над землей h (м) от времени полета t (с) выражается формулой h = -5t² +
+ 10t + 1,5. На какую максимальную высоту поднимается мяч?

Вариант IV

Обязательная часть.

1. Парашютист покинул самолет на некоторой высоте. Сначала он находился в свободном падении, а затем раскрыл парашют. По графику его полета, изображенному на рисунке, ответьте на вопросы:

а) На какой высоте раскрылся парашют?

б) Сколько секунд парашютист был в свободном падении?

2. С помощью графика функции (график 1 на рисунке 2.31 учебника) выполните следующие задания:

а) Укажите наименьшее значение функции.

б) Найдите нули функции.

3. а) Постройте график функции у = -х² + х - 6.

б) Укажите наибольшее значение функции.

в) Укажите промежуток возрастания функции.

4. Решите неравенство: 12 - 3х² ≤ 0.

Дополнительная часть.

5. Решите неравенство: (1 - 2х)(2х - 5) ≥ 0.

6. Летчик катапультируется из самолета. Зависимость высоты летчика над поверхностью земли h (м) от времени полета t (с) выражается формулой h = -5t² + 40t + 500. На какую максимальную высоту поднимается летчик?

7. Докажите, что не существует таких значений х, при которых выполняется неравенство х² - 3х + 5 < 0.

контрольная работа № 3 по теме «Рациональные выражения.

Вариант I

Обязательная часть.

1. Упростите выражение и найдите его значение при а = 0,2 и b = 0,3.

Найдите корни уравнения (2-3).

2. х (2х + 3) (2 - х) = 0.

3. х + = 8.

4. Укажите значения х, при которых выражение имеет смысл.

5. Прочитайте задачу: «На первом принтере распечатали 240 страниц рукописи и выключили его. После этого включили второй принтер и распечатали 160 оставшихся страниц рукописи. Всего на распечатку рукописи ушел 1 ч. Сколько минут работал каждый принтер, если за 2 мин первый принтер распечатывал на 2 страницы меньше, чем второй?».

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено время работы первого принтера.

А. = 2. В. = 2.

Б. = 2. Г. = 60.

Дополнительная часть.

6. Решите уравнение: .

7. Найдите область определения выражения: .

8. Швея собиралась сшить 120 воротников к определенному сроку. Она подсчитала, что если будет в час шить на 2 воротника больше, чем наметила первоначально, то уже за 3 ч до срока сошьет 136 воротников. Сколько воротников в час швея предполагала шить первоначально?

Вариант II

Обязательная часть.

1. Упростите выражение и найдите его значение при а = 0,25 и b = 0,5.

Найдите корни уравнения (2-3).

2. 2х³ - 8х = 0.

3. = 1.

4. Укажите значения х, при которых выражение имеет смысл.

5. Прочитайте задачу: «Оператор должен набрать на компьютере текст в 300 страниц. Если он будет набирать в час на одну страницу больше, чем обычно, то выполнит работу на 10 ч быстрее. С какой скоростью обычно набирает текст оператор?».

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено количество страниц, которое обычно набирает текст оператор за 1 ч.

А. = 10. В. 300(х + 1) - 300х = 10.

Б. = 10. Г. = 10.

Дополнительная часть.

6. Решите уравнение: 3х⁴ - 2х³ - 3х + 2 = 0.

7. Найдите область определения функции у = и постройте ее график.

8. Одна уборочная машина работает в 3 раза быстрее, чем другая. Если начать работу одновременно на двух машинах, то заданный объем работы можно выполнить за 3 ч. За сколько часов можно выполнить этот объем работы на каждой из машин в отдельности?

Вариант III

Обязательная часть.

1. Упростите выражение и найдите его значение при х = и у = -1.

Найдите корни уравнения (2-3).

2. х⁴ - 25х² = 0.

3. = 0.

4. Найдите область определения выражения: .

5. Прочитайте задачу: «Старшая сестра читает вдвое быстрее младшей. Рассказ из 320 слов она прочитала на 4 мин быстрее сестры. С какой скоростью читает каждая из сестер?».

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено количество слов, которое читает за 1 мин младшая сестра.

А. = 4. В. 320 · 2х - 320х = 4.

Б. = 4. Г. = 4.

Дополнительная часть.

6. Решите уравнение: (1 - 2х)⁴ - 5(1 - 2х)² = -4.

7. Найдите нули функции: у = х³ - х² - 4х + 4.

8. Мальчики девятого класса решили купить теннисный стол, стоивший 7500 р. Они подсчитали, что если в покупке примут участие и девочки, то каждый из них сможет внести на 500 р. меньше. Сколько учащихся в классе, если девочек в нем на 10 больше, чем мальчиков?

Вариант IV

Обязательная часть.

1. Упростите выражение и найдите его значение при х = -0,7 и у = 0,5.

Найдите корни уравнения (2-3).

2. х³ + 2х² + х = 0.

3. .

4. Найдите область определения выражения: .

5. Прочитайте задачу: «На путь в 24 км вниз по течению реки моторная лодка затрачивает на 2 ч меньше, чем на путь в обратном направлении. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/ч».

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначена скорость лодки.

А. = 2. В. 24(х + 1) - 24(х - 1) = 2.

Б. = 2. Г. = 2.

Дополнительная часть.

6. Решите уравнение: 4х - 5+ 1 = 0.

7. Сократите дробь: .

8. Мать взяла заказ на изготовление салфеток. Она подсчитала, что если будет выполнять его вместе с дочерью, которая работает вдвое медленнее, чем она, то они смогут завершить работу на 2 дня раньше. Сколько времени потребовалось бы матери на выполнение этого заказа, если бы она работала одна?

Домашнее задание.

Проверь себя.

1. Наименьшим корнем уравнения = 0 является число:

А. -3. Б. -2,5. В. -.

2. Все корни уравнения принадлежат промежутку:

А. . Б. 2; +∞). В. (-∞; 1).

3. На рисунке изображен график функции у = х³ - 2х² - 5х + 6. Какое из утверждений о корнях уравнения х³ - 2х² - 5х + 6 = 0 верно?

А. Уравнение имеет один положительный и два отрицательных корня.

Б. Один из корней уравнения равен
нулю.

В. Уравнение имеет три корня.

4. Сколько корней имеет уравнение ?

А. Один. Б. Два. В. Три.

5. Сумма всех корней уравнения (х - 2)(х - 6) = (х² - 6)(х - 2) равна:

А. 1. Б. 3. В. 6.

6. Первый лыжник проходит расстояние 20 км на 20 минут быстрее второго, так как его скорость на 2 км/ч больше. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

А. = 20. Б. . В. .

Ключ: БАВАБВ.

контрольная работа № 4 по теме «Системы уравнений»

Вариант I

Обязательная часть.

1. Решите систему уравнений:

2. Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений:

х² + у² = 5 и х - у = 1.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника.

4. С помощью графиков, показанных на рисунке 3.22, а учебника, выясните, сколько корней имеет уравнение х³ = . Запишите его корни.

Дополнительная часть.

5. Решите систему уравнений:

6. Решите графически систему уравнений:

7. Дорога между пунктами А и В состоит из двух участков: 24 км подъема и 16 км спуска. Велосипедист преодолевает этот путь от А до В за 4 ч 20 мин, а обратный путь за 4 ч. Определите скорость велосипедиста на подъеме и спуске.

Вариант II

Обязательная часть.

1. Решите систему уравнений:

2. Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений:

х² - у² = 13 и х + у = -5.

3. Газон прямоугольной формы обнесен бордюром, длина которого 40 см. Площадь газона 96 м². Найдите стороны газона.

4. С помощью графиков, показанных на рисунке 3.14, а учебника, выясните, сколько решений имеет система уравнений Запишите ее решения.

Дополнительная часть.

5. Решите систему уравнений:

6. Решите графически уравнение: х³ - 3х + 2 = 0.

7. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 24 км, и встретились через 1 ч 20 мин. Первый прибыл в пункт В на 36 мин раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Вариант III

Обязательная часть.

1. Решите систему уравнений;

2. Вычислите координаты точки пересечения параболы у = х² - 8 и прямой у = х + 12.

3. Хозяйка высадила 90 кустов земляники так, что число рядов оказалось на 1 меньше числа кустов в каждом ряду. Сколько рядов земляники высадила хозяйка?

4. С помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение х² =.

Дополнительная часть.

5. Решите систему уравнений:

6. Решите графически уравнение: х² - | х | - 2 = 0.

7. Найдите а, b, с, если точка М (-1; -3) является вершиной параболы у = ах² + bх + с, пересекающей ось координат в точке N (0; 1).

Вариант IV

Обязательная часть.

1. Решите систему уравнений:

2. Вычислите координаты точек пересечения гиперболы у = и прямой у = х - 2.

3. Найдите два числа, если известно, что их сумма равна 2, а сумма квадратов этих чисел равна 100.

4. С помощью схематических графиков выясните, сколько корней имеет уравнение х² + 1 = -х.

Дополнительная часть.

5. Решите систему уравнений:

6. Решите графически уравнение: = х - 2.

7. Найдите р и q, если парабола у = х² + рх + q пересекает прямую
у = -1 в точках с абсциссами 3 и -1.

контрольная работа № 5 по теме «Арифметическая
и геометрическая прогрессии»

Вариант I

Обязательная часть.

1. Последовательность задана формулой п-го члена:

а_п = п (п + 1).

а) Запишите первые три члена этой последовательности; найдите а₁₀₀.

б) Является ли членом этой последовательности число 132?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая - геометрической прогрессией:

(х_п): 12; 8; 4; ...,

(у_п): -32; -16; -8; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три ее члена.

б) Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии.

3. Чтобы накопить денег на покупку велосипеда, Андрей в первую неделю отложил 10 р., а в каждую следующую откладывал на 5 р. больше, чем в предыдущую. Какая сумма будет у него через 10 недель?

Дополнительная часть.

4. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3.

5. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна -40, знаменатель прогрессии равен -3. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

6. Семья Петровых взяла кредит 25000 р. на покупку телевизора. Процентная ставка кредита равна 2 % в месяц. Петровы выплатили весь кредит единовременно через полгода. Проценты ежемесячно начисляются на всю сумму долга, включая начисленный в предыдущий месяц процент. Запишите выражение для вычисления суммы, которую выплатили Петровы.

Вариант II

Обязательная часть.

1. Последовательность задана формулой п-го члена:

х_п = п (п - 1).

а) Запишите первые три члена этой последовательности; найдите х₂₀.

б) Какой номер имеет член этой последовательности, равный 110?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая - геометрической прогрессией:

(а_п): 1; 2; 4; ...,

(b_п): -15; -12; -9; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три ее члена.

б) Найдите двадцатый член арифметической прогрессии.

3. Турист в первый день прошел 20 км, а в каждый следующий - на 2 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние прошел турист за 7 дней?

Дополнительная часть.

4. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, надо сложить, чтобы сумма превзошла 210?

5. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 64, а знаменатель равен .

6. Автомобильный завод каждые два года снижает цену на определенную марку автомобиля на 20 % по сравнению с ее предыдущей ценой. В первый год выпуска новая модель стоила 400000 р. Запишите выражение для вычисления цены этой модели через 10 лет.

Вариант III

Обязательная часть.

1. Последовательность задана формулой п-го члена:

b_п = п (п + 2).

а) Запишите первые три члена этой последовательности; найдите b₅₀.

б) Какой номер имеет член этой последовательности, равный 440?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая - геометрической прогрессией:

(a_n): 1; 10; 100; ...,

(b_n): 100; 200; 300; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три ее члена.

б) Найдите десятый член геометрической прогрессии.

3. Егор готовился к экзамену по геометрии. За 5 дней ему надо было выучить 30 билетов. Успел ли он выучить все билеты, если в первый день он выучил один билет, а в каждый следующий учил в 2 раза больше билетов, чем в предыдущий?

Дополнительная часть.

4. Найдите сумму всех натуральных чисел первой сотни, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

5. Между числами -1 и -81 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

6. На прополку первой грядки у Маши ушло 40 мин, а на прополку каждой следующей грядки - на 20 % меньше времени, чем на прополку предыдущей. Запишите выражение для вычисления времени, которое затратила Маша на прополку шестой грядки.

Вариант IV

Обязательная часть.

1. Последовательность задана формулой п-го члена:

с_п = п (п - 2).

а) Запишите первые три члена этой последовательности; найдите с₁₀₀.

б) Является ли членом этой последовательности число 90?

2. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая - геометрической прогрессией:

(х_п): 100; 95; 90; ... .

(у_п): 1 000 000; 100 000; 10 000; ... .

а) Продолжите каждую из этих прогрессий, записав следующие три ее члена.

б) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии.

3. Делая зарядку в первый день весенних каникул, Кирилл прыгнул через скакалку 20 раз. Каждый следующий день он делал в 2 раза больше прыжков, чем в предыдущий. Сколько всего прыжков сделал Кирилл за 5 дней весенних каникул?

Дополнительная часть.

4. Между числами -9 и -2 вставьте пять чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 135, а шестой член равен 5.

6. На изготовление одной детали автомат затрачивает 100 мин. Планируется повышать производительность работы автомата ежемесячно на 5 %. Запишите выражение для вычисления времени, которое будет затрачивать автомат на изготовление одной детали через 4 месяца.

Итоговые контрольные работы

Контрольная работа за I полугодие

Вариант I

1^о. Расположите в порядке возрастания числа: ; ; 0,77.

2^о. Решите систему неравенств:

3^о. а) Постройте график функции: у = -х² + 4х - 5.

б) Укажите промежуток, на котором функция возрастает.

4. Решите неравенство: ≤ х.

5. Постройте график функции:

6. Найдите область определения выражения: .

Вариант II

1^о. Расположите в порядке возрастания числа: 1,57; ; .

2^о. Решите систему неравенств:

3^о. а) Постройте график функции: у = х² - 4х + 5.

б) Укажите промежуток, на котором функция убывает.

4. Решите неравенство: ≥ х.

5. Постройте график функции:

6. Найдите область определения выражения: .

Итоговая контрольная работа по алгебре
за курс основной школы

Вариант I

Часть 1

1. Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки:

а) (а²)³а²; б) (а²а³)²; в) .

1) а¹²; 2) а¹⁰; 3) а⁸; 4) а⁷.

Ответ:

а

б

в

2. Упростите выражение: 4у (у - 4) - (у - 8)².

Ответ: ... .

3. Сократите дробь: .

Ответ: ... .

4. При каком значении х значение выражения является числом рациональным?

А. При х = 6. В. При х = -3.

Б. При х = 0. Г. При х = -2.

5. В спортивном зале выделили помещение для раздевалки (на рисунке оно показано штриховкой). Какова площадь S оставшейся части зала?

А. S = а² + аb + b².

Б. S = а² + аb - b².

В. S = а² - аb - b².

Г. S = а² - аb + b².

6. Укажите наибольшее из чисел:-1,5; -0,5; (-0,5)³; (-1,5)³.

Ответ: ... .

7. Какое из указанных чисел не делится на 3?

А. 12852. Б. 1143. В. 20293. Г. 7239.

8. В начале года число абонентов интернет-компании «Север» составляло 200 тыс. человек, в течение года 50 тыс. абонентов перешли в другие компании, а 60 тыс. новых абонентов присоединились к компании «Север». На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

А. На 5 %. В. На 0,05 %.

Б. На 10 %. Г. На 105 %.

9. Решите уравнение: 5х² + 3х - 2 = 0.

Ответ: ... .

10. От одного города до другого автобус доехал за 3 ч, а автомобиль за 2 ч. Скорость автомобиля на 25 км/ч больше скорости автобуса. Чему равно расстояние между городами?

Пусть расстояние между городами равно х км. Составьте уравнение по условию задачи.

Ответ: ... .

11. На координатной плоскости отмечены точки С и D и через них проведена прямая. Какое уравнение задает прямую CD?

A. х + у = 24.

B. х + у = 34.

В. х - у = 4.

Г. х - у = 5.

12. Решите неравенство: 3 - х ≥ 3х + 5.

А. [-0,5; +∞). В. [-2; +∞).

Б. (-∞; -0,5]. Г. (-∞; -2].

13. На координатной прямой отмечены числа а, b и с. Какая из разностей отрицательна?

А. b - а. В. с - а.

В. b - с. Г. c - b.

14. Последовательность задана формулой а_п = . Сколько членов этой последовательности больше 1?

А. 12. Б. 11. В. 10. Г. 9.

15. Функции заданы формулами:

1) у = х² + 1; 3) у = -х² + 1;

2) у = х² - 1; 4 у = -х² - 1.

Графики каких из этих функций не пересекают ось х?

А. 1 и 4. Б. 2 и 4. В. 1 и 3. Г. 2 и 3.

16. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, через некоторое время вслед за ним выехал велосипедист. На рисунке изображены графики пути пешехода и велосипедиста. Определите, на сколько меньше времени затратил на путь из пункта А в пункт В велосипедист, чем пешеход.

А. На 10 мин.

Б. На 30 мин.

В. На 50 мин.

Г. На 20 мин.

Часть 2

1. Решите систему уравнений:

2. Лодка проплывает 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же самое время, за которое плот проплывает по этой реке 5 км. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

3. Парабола с вершиной в точке А (0; -3) проходит через точку В (6; 15). В каких точках эта парабола пересекает ось х?

4. При каких значениях параметра р система неравенств

имеет решения?

5. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.

Вариант II

Часть 1

1. Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки:

а) ; б) (b⁴b³)²; в) b⁴(b³)².

1) b¹⁴; 2) b¹²; 3) b¹⁰; 4) b⁹.

Ответ:

а

б

в

2. Упростите выражение: 6а (а + 1) - (3 + а)².

Ответ: ... .

3. Сократите дробь: .

Ответ: ... .

4. При каком значении х значение выражения является числом иррациональным?

А. При х = 3. В. При х = 1.

Б. При х = 0. Г. При х = -1.

5. В гараже выделили помещение для мойки машин (на рисунке оно показано штриховкой). Какова площадь S оставшейся части гаража?

A. S = с² + ас - а.

Б. S = c² - ac + a².

B. S = c² + ac + a².

Г. S = c² - ac - a².

6. Укажите наименьшее из чисел: -0,2; -1,2; (-0,2)³; (-1,2)³.

Ответ: ... .

7. Какое из указанных чисел не делится на 9?

А. 81 234. Б. 8883. В. 30 159. Г. 3219.

8. В начале года в городской библиотеке было 50 тыс. книг. В течение года библиотечный фонд обновлялся. В связи с этим 10 тыс. книг списали и купили 16 тыс. новых. На сколько процентов увеличился за год библиотечный фонд?

А. На 6 %. В. На 15 %.

Б. На 12 %. Г. На 40 %.

9. Решите уравнение: 3х² - 4х - 4 = 0.

Ответ: ... .

10. От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 3 ч. Пешком он смог бы пройти это расстояние за 7 ч. Известно, что идет он со скоростью на 8 км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?

Пусть расстояние от турбазы до станции равно х км. Составьте уравнение по условию задачи.

Ответ: ... .

11. На координатной плоскости отмечены точки М и N и через них проведена прямая. Какое уравнение задает прямую MN?

A. х + у = 20.

Б. х + у = 26.

B. х - у = 3.

Г. х - у = 2.

12. Решите неравенство: 2 + х ≤ 5х - 8.

А. (-∞; 1,5]. В. (-∞; 2,5].

Б. [1,5; +∞). Г. [2,5; +∞).

13. На координатной прямой отмечены числа х, у и z. Какая из разностей положительна?

A. х - у. В. z - у.

Б. y - z. Г. х - z.

14. Последовательность задана формулой а_п = . Сколько членов этой последовательности меньше 1?

А. 8. Б. 9. В. 10. Г. 11.

15. Функции заданы формулами:

1) у = х² + 2;

2) у = х² - 2;

3) у = -х² + 2;

4) у = -х² - 2.

Графики каких из этих функций пересекают ось х?

А. 1 и 4. Б. 2 и 3. В. 1 и 3. Г. 2 и 4.

16. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, через некоторое время навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Используя графики пути пешехода и велосипедиста, определите, на сколько больше времени затратил на весь путь пешеход, чем велосипедист.

А. На 10 мин.

Б. На 30 мин.

В. На 40 мин.

Г. На 60 мин.

Часть 2

1. Решите систему уравнений:

2. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же самое время, за которое плот проплывает по этой реке 9 км. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.

3. Парабола с вершиной в точке С (0; 5) проходит через точку В (4; -3). В каких точках эта парабола пересекает ось х ?

4. При каких значениях параметра а система неравенств

не имеет решений?

5. В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых восьми ее членов равно 23. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.