Промежуточная аттестация по геометрии 8 класс. Билеты. Пояснительная записка

Билет № 1.

1. Дайте определение подобных треугольников.

2. Параллелограмм. Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма.

3. Решите задачи:

3.1. Сторона треугольника равна 14 см, а высота, проведенная к данной стороне равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

3.2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8 см, а угол между ними 30⁰ .

Билет № 2.

1. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников.

2. Прямоугольник. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника.

3. Решите задачи:

3.1. Центральный угол опирается на дугу в 80⁰ , найдите вписанный угол, опирающийся на эту же дугу.

3.2. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В и С - точки касания). Отрезки АО и ВС пересекаются в точке К. Найдите радиус окружности, если ВС = 8 см, АК = 4см.

Билет № 3.

1. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников.

2. Ромб. Определение ромба. Свойства ромба.

3. Решите задачи:

3.1. Разделите отрезок АВ на 7 равных отрезков.

3.2. Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, методом подобия постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Билет № 4.

1. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников.

2. Окружность. Определение окружности. Взаимное расположение прямой и окружности.

3. Решите задачи:

3.1. Угол В параллелограмма АВСD в 5 раз больше угла А. Найдите углы параллелограмма.

3.2. Площадь параллелограмма равна 48 см², а периметр 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

Билет № 5.

1. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

2. Касательная к окружности Определение касательной. Свойство касательной.

3. Решите задачи:

3.1. Найдите площадь трапеции основания, которой равны 10 см и 16 см, а высота - 5 см.

3.2. В треугольнике АВС угол А равен 45⁰, а высота ВD = 2 см. Найдите площадь треугольника, если прямая ВС составляет с прямой АD угол 60⁰.

Билет № 6.

1. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклогоn-угольника.

2. Сформулируйте основное тригонометрическое тождество, формулы приведения.

3. Решите задачи:

3.1. В треугольнике АВС: угол С равен 90⁰ , угол А равен 45⁰ , гипотенуза равна 6√2 см. Найдите катеты треугольника.

3.2. В прямоугольном треугольнике с углом 30⁰ и меньшим катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

Билет № 7.

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2. Дайте определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Запишите данные равенства.

3. Решите задачи:

3.1. Найдите среднюю линию трапеции, основания которой равны 6 и 8 см.

3.2. Из вершины А острого угла параллелограмма проведены перпендикуляры АН₁ и АН₂ к прямым ВС и СD. Найдите углы параллелограмма, если угол Н₁АН₂ равен 130⁰.

Билет № 8.

1. Сформулировать и доказать теорему о биссектрисе угла.

2. Вписанный угол. Определение вписанного угла. Свойство вписанного угла.

3. Решите задачи:

4. 3.1. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 10 см.

3.2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна √10 см , а высота 2√2 см.

Билет № 9.

1. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

2. Трапеция: определение, виды трапеции, средняя линия трапеции.

3. Решите задачи:

3.1. Начертите отрезок и, используя циркуль, линейку и чертежный угольник разделите его в отношении 3:2.

3.2. Постройте точки А₁ и В₁ , симметричные точкам А и В относительно точки О. Докажите, что для любой точки прямой АВ симметричная ей точка лежит на прямой А₁В₁.

Билет № 10.

1. Дайте определение центрального угла. Сформулируйте свойство центрального угла.

2. Выведите формулу для вычисления площади треугольника. Запишите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника.

3. Решите задачи:

3.1. Через точку М окружности с центром О проведена касательная МК. Найдите радиус окружности, если ОК = 10 см, угол МОК равен 60⁰.

3.2. В окружности радиуса 10,5 см проведены диаметр АВ и хорда СD, пересекающиеся в точке К, причем, АК=18см, СК= 9 см. Найдите длину хорды CD.

Билет № 11.

1. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.

2. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

3. Решите задачи:

3.1. Окружность разделена точками А, В и С на три дуги пропорциональные числам 2:3:4. Найдите вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу.

3.2.Две окружности с центрами в точках О и О₁ и радиусами 5 см и 3 см соответственно касаются сторон угла А (В и В₁ - точки касания). Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ₁=4 см.

Билет № 12.

1. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.

2. Запишите формулу для вычисления площади параллелограмма. Приведите пример.

3. Решите задачи:

3.1. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, катеты равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу.

3.2. В треугольнике АВС проведен отрезок МК, параллельный стороне АС ( М лежит на стороне АВ, К - на стороне ВС). Найдите АВ, если МК = 16 см, АС = 24 см, АМ = 6 см.

Билет № 13.

1. Сформулировать и доказать теорему о вписанном угле в окружность.

2. Записать формулу для вычисления площади трапеции. Приведите пример.

3. Решите задачи:

3.1. В треугольнике АВС угол С=90⁰ , катет АС=6 дм, угол А =α. Найдите гипотенузу АВ.

3.2. Продолжения боковых сторон трапеции АВСD,с основаниями ВС и АD, пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и АОD, если АD = 5 см, ВС=2 см, АО = 25 см.

Билет № 14.

1. Перечислите признаки параллелограмма и докажите один из них на ваше усмотрение.

2. Объясните, какой отрезок называется средним пропорциональным (средним геометрическим). Какие отрезки являются пропорциональными в прямоугольном треугольнике. Выполните рисунок и запишите соответствующие равенства.

3. Решите задачи:

3.1. В окружности с центром О проведена хорда МК. Найдите угол МОК, если угол ОМК равен 51⁰.

3.2. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные МА и МВ ( А и В - точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120⁰.

Билет № 15.

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Осевая симметрия. Определение, примеры.

3. Решите задачи:

3.1. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла А прямоугольного треугольника АВС (∟С=90⁰), если АВ = 13 см, ВС = 12 см.

2. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен 120⁰.

Билет № 16.

1. Объясните, каким может быть взаимное расположение прямой и окружности. Выполните соответствующие рисунки.

2. Центральная симметрия. Определение, примеры.

3. Решите задачи:

3.1. Основания трапеции 18 см и 7 см, высота трапеции в 3 раза меньше большего основания. Найдите площадь трапеции.

3.2. В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135⁰, меньшее основание равно 4 см, а высота 2 см. Найдите площадь трапеции.

Билет № 17.

1. Сформулируйте и докажите теорему об отрезка пересекающихся хорд.

2. Серединный перпендикуляр. Определение, свойство.

3. Решите задачи:

3.1. Из точки В к окружности с центром О проведена касательная, А - точка касания. Найдите радиус окружности, если ВО = 18 см. АВ= 9√3 см.

3.2.Продолжения боковых сторон трапеции АВСD,с основаниями ВС и АD, пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и АОD, если АD = 10 см, ВС= 6 см, АО = 30 см.

Билет № 18.

1. Дайте определение подобных треугольников.

2. Параллелограмм. Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма.

3. Решите задачи:

3.1. Сторона треугольника равна 14 см, а высота, проведенная к данной стороне равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

3.2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8 см, а угол между ними 30⁰ .

Билет № 19.

1. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников.

2. Прямоугольник. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника.

3. Решите задачи:

3.1. Центральный угол опирается на дугу в 80⁰ , найдите вписанный угол, опирающийся на эту же дугу.

3.2. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (В и С - точки касания). Отрезки АО и ВС пересекаются в точке К. Найдите радиус окружности, если ВС = 16 см, АК = 8 см.

Билет № 20.

1. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников.

2. Ромб. Определение ромба. Свойства ромба.

3. Решите задачи:

3.1. Разделите отрезок АВ на 9 равных отрезков.

3.2. Используя циркуль, линейку и чертежный угольник, методом подобия постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Билет № 21.

1. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников.

2. Окружность. Определение окружности. Взаимное расположение прямой и окружности.

3. Решите задачи:

3.1. Угол В параллелограмма АВСD в 5 раз больше угла А. Найдите углы параллелограмма.

3.2. Площадь параллелограмма равна 25 см², а периметр 20 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к одной из них, в 4 раза меньше этой стороны.

Билет № 22.

1. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

2. Касательная к окружности Определение касательной. Свойство касательной.

3. Решите задачи:

3.1. Найдите площадь трапеции основания, которой равны 10 см и 16 см, а высота - 5 см.

3.2. В треугольнике АВС угол А равен 45⁰, а высота ВD = 2 см. Найдите площадь треугольника, если прямая ВС составляет с прямой АD угол 30⁰.

Билет № 23.

1. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклогоn-угольника.

2. Сформулируйте основное тригонометрическое тождество, формулы приведения.

3. Решите задачи:

3.1. В треугольнике АВС: угол С равен 90⁰ , угол А равен 45⁰ , гипотенуза равна 6√2 см. Найдите катеты треугольника.

3.2. В прямоугольном треугольнике с углом 30⁰ и меньшим катетом 8 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

Билет № 24.

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2. Дайте определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Запишите данные равенства.

3. Решите задачи:

3.1. Найдите среднюю линию трапеции, основания которой равны 6 и 8 см.

2. Диагонали параллелограмма MNKPпересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника ONK, если МК = 18 см, ОР = 5 см, МР= 11 см.