Урок по математике на тему Решение уравнений, содержащих абсолютную величину (8 класс)

Тема урока : « Решение уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цели: В ходе выполнения упражнений закрепить знания определения модуля, свойств модуля, тождества √х²=|х|, правила построения графиков функций, содержащих абсолютную величину. Показать различные способы решения уравнений с модулями.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний.

На экран проецируем ЛСМ «Модуль действительного числа»

1. Вычислить (устно)

|6|, |-2|, |-2,56|, |-1|, , |-5|, |-|,

2. Упростить выражение (решаем на доске и в тетрадях)

а) √у⁶, где у ≥0, б) √х⁶, где х<0, в) √м⁴, г) ⅓√с⁸, д) 15√0,16с⁶

Решение: а) √у⁶=√(у³)²=|у³|=у³;

б) √х⁶=√(х³)²=|х³|=-х³;

в) √м⁴=√(м²)²=|м²|=м²;

г) ⅓√с⁸=⅓√(с⁴)²=⅓|с⁴|=⅓с⁴;

д) 15√0,16с⁶=6√(с³)²=6|с³|; 6|с³|=6с³, где с≥0; 6|с³|=-6с³, где с<0;

3) Построить графики функций на доске и в тетради. (см. К-4)

Построить графики в разных системах координат для дальнейшего использования

при графическом способе решения уравнений. За единичный отрезок взять 2 клетки.

а) у=|х|, б) у=|х+2| в) у=|х|+2

(В тетрадях оставить место для записи решения уравнений.)

2. Работа по теме.

1. Заполняем координату К-6: «Способы решения уравнений»

1 способ: С использованием геометрической интерпретации (Г.П.)

2 способ: По определению абсолютной величины (А.В.)

3 способ: Графический метод (Граф.)

Есть и другие способы, которые рассмотрим позже.

2. Рассмотрим первый способ.

а) Решим уравнение |х+4|=2. (объясняет учитель)

Решение: Найдем точки, удаленные от -4 ровно на два единичных отрезка.

-2 +2

-6 -4 -2 0 1 Х

х=-4-2 или х=-4+2

х=-6 или х=-2.

Ответ: -6; -2.

б) Решить № 1122 (а,б) с комментированием на месте.

|х-1|=2 -2 +2

-1 0 1 3 Х

Ответ: -1;3.

|х+5|=4 -4 +4

-9 -5 -1 0 1 х

Ответ: -9;-1.

в) Решить уравнение на доске и в тетрадях. Учитель помогает при необходимости.

|2х-6|=8

Решение: |2х-6|=8 |:2

|х-3

-4 +4

-1 0 1 3 7 х

Ответ:-1;7.

|4х+8|=16 Ответ: -6;2.

г) Решить уравнение: |х+3|²-5|х+3|+6=0 (Объясняет учитель, привлекая учащихся)

Решение: Воспользуемся свойством: |а|²=|а²|=а² (см. К-3)

Пусть |х+3|=t, тогда получим уравнение:

t²-5t+6=0,

Найдем t: t=3 или t=2, Выполним обратную замену:

|х+3|=3 или|х+3|=2

Далее решаем каждое из полученных уравнений, используя способ геометрической

интерпретации.

-3 +3 -2 +2

-6 -3 0 1 Х -5 -3 -1 0 1 Х

Ответ: -6;-5;-1;0.

3)Рассмотрим второй способ по определению абсолютной величины. ( см. К-2)

а) Решить уравнение: |2х+3|=6-5х. (Объясняет учитель)

Решение: 2х+3≥0, х≥-1,5, х≥-1,5,

|2х+3|=6-5х ↔ 2х+3=6-5х; ↔ 7х=3; ↔ х=3/7;

2х+3<0, х<-1,5, х<-1,5

-2х-3=6-5х. 3х=9 х=3.

Решением первой системы является число 3/7, вторая система не имеет решений.

Ответ: 3/7.

б) Решить № 1135 (а) на доске и в тетрадях х²+5х-6|х|/х=0

Решение: х>0, х>0, х=1,

х²+5х-6|х|/х=0 ↔ х²+5х-6=0; ↔ х=-6, х=1 ↔ х=-2,

х<0, х<0, х=-3.

х²+5х+6=0. х=-2, х=-3

Ответ: -3;-2;1.

в) Решить № 1135 (в). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.

Решение: х>0, х>0,

х²+5х²/|х| -6=0 ↔ х²+5х-6=0; ↔ х=-6, ↔ х=1,

х<0, х=1 х=-1.

х²-5х-6=0. х<0,

х=6,

Ответ:-1;1. х=-1

4) Рассмотрим третий способ - графический.

а) Решить уравнение: |х|=(х+1)²-1. Объясняет учитель с привлечением учащихся.

Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х|. (см. рис. 1а)

В этой же системе координат построим график функции у=(х+1)²-1. Квадратичная функция, график - парабола. Введем новую систему координат с началом в точке (-1;-1); пунктирные прямые: х=-1, у=-1. В новой системе координат построим график функции у=х². Это и есть требуемый график у=(х+1)²-1.

Найдем абсциссы точек пересечения графиков: х=-3, х=0.

Это и есть корни уравнения: |х|=(х+1)²-1.

Ответ: -3;0.

б) Решить уравнение: |х+2|=|4/х| . ( на доске и в тетрадях)

Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х+2|. ( см. рис. 1б)

В этой же системе координат построим график функции у=|4/х|.

График - гипербола, ветви которой расположены в 1 и2 координатных углах.

- В скольких точках пересекаются графики?

-Значит, сколько решений имеет уравнение?

-Графики пересекаются в двух точках, но с «плохими» координатами. В подобных случаях говорят о приближенном решении уравнения и пишут так:

Ответ: х≈-3,2; х≈1,2.

в) Решить уравнение: |х|+2=-1. (на доске и в тетрадях)

Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х|+2 (см. рис. 1в)

В этой же системе координат построим график функции у=-1. Для построения графика этой функции возьмем вспомогательную систему координат с началом в точке (0;-1), пунктирная прямая у=-1. Построим в ней график функции у=. Это и будет требуемый график у=-1.

-Пересекаются ли графики функций у=|х|+2 и у=-1?

- Значит, уравнение |х|+2= -1 не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Г) Решим данное уравнение аналитическим способом. Вызвать к доске сильного ученика, обсуждение - коллективное.

|х|+2=√х-1.

- Как называется уравнение такого вида?

-Какова область допустимых значений? (х≥0)

Решение: х+2=-1;

х+2+1=;

х+3=, ( возведем обе части уравнения в квадрат)

(х+3)²=()²;

х²+6х+9=х;

х²+5х+9=0;

Д=25-36<0.

Значит, данное уравнение не имеет корней.

-В чем вы видите недостаток и в чем преимущество графического способа решения уравнений? ( Недостаток: координаты точек пересечения могут быть «плохие» числа , значит корни уравнения - приближенные числа. Преимущество: наглядность и рациональное решение.)

3. Закрепление изученного материала.

1) Выполнить самостоятельную работу.

Решить уравнения:

№

Вариант1

Ответы

№

Вариант 2

Ответы

1

|х-1,5|=0,5

1;2

1

|х-5|=4

1;9

2

|2х-4|=4

0;4

2

|2х-7|=5

1,6

3

|3-1,5х|=-2,5

Нет корн.

3

|0,2х-1|=0,2

6;4

4

|х²-6х+9|=0

3

4

|х²+4х+4|=0

-2

5

х³+4|х|=0

-2;0

5

25|х|+х³=0

-5;0

2) Проверим результаты. Решить на доске уравнения, вызвавшие затруднения.

Критерий оценок: 5+ - «5», 4+ - «4», 3+,2+ - «3».

3)Выполнить задание:

- Запишите число, составленное из корней первого и второго уравнения из варианта 1 и первого уравнения из варианта 2, записав каждую пару корней в порядке возрастания. Припишите корни второго уравнения из варианта 2, записав эту пару в порядке убывания.

12041961

- Расставьте точки так, чтобы получилась дата, имеющая мировое значение для всего человечества. 12.04.1961 - первый полет человека в космос.

Далее провести небольшую беседу о дне космонавтики и о первом космонавте Земли - Юрии Алексеевиче Гагарине.

4.Итог урока.

Перечислите способы решений уравнений с модулями. Приведите свои примеры уравнений, содержащих абсолютную величину.

5.Домашнее задание.

П. 29, № 1123, 1126, 1137(а,г), 1135(б,г) для сильных.

Учебник «Алгебра-8», автор А.Г. Мордкович.