Факультатив в 6 классе «Занимательная математика»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

« средняя общеобразовательная школа № 5»

(1 час в неделю, всего 17 часов)

Учитель: Редько Мария Александровна.

г. Михайловск 2014 год

Пояснительная записка.

Одним из направлений в обучении учащихся является расширение кругозора, повышение мотивации учения и самообучения. Кроме этого для успешного усвоения предмета необходимо создать для учащихся ситуацию успеха: дать почувствовать, что они могут найти решение трудных задач. На первом этапе необходимо привить интерес к предмету математика, чему способствует кружок-факультатив «Занимательная математика». Тематика факультатива направлена, в первую очередь, на развитие логического мышления, развитие творческих способностей. Таким образом, целью данного факультатива является:

• развитие логического мышления;

• привитие интереса к предмету математика;

• развитие творческих способностей;

• расширение кругозора.

Задачи данного курса:

• вовлечь как можно большее количество учащихся на факультатив;

• сформировать навыки решения трудных задач;

• организовать занятия-игры, способствующие творческому развитию учащихся.

Тематический план.

№

Тема урока

Кол-во

часов

1.

2-4.

5-6.

7.

8-9.

10.

11.

12-14.

15-16.

17.

Сказки-подсказки.

Логические задачи и головоломки.

Головоломки со спичками.

Магические фигуры.

Длина. Площадь. Объем.

Переливание- головоломки.

Взвешивание.

От задачек к задачкам..

Решение нестандартных задач.

Математическая игра «Домино».

1

3

2

1

2

1

1

3

2

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Аленков Ю. А. «650 головоломок и задач»

2. Баранова Т. А. «Олимпиада для 5-6 классов»

3. Мерзон Г. А. «Длина. Площадь. Объем.»

4. Быльцов С. «Логические головоломки и задачи»

5. Козлова Е. Г. «Сказки и подсказки»

Содержание курса.

Сказки - подсказки.

Задачи:

1. Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она подни-

мается на 5 м, а за ночь - опускается на 4 м. За какое время улитка

доберётся от подножья до вершины столба?

Подсказка: где будет находиться улитка к концу третьей ночи? А к началу

третьей ночи?

Решение.

Часто получают в ответе 10 суток, рассуждая так: за сутки улитка

поднимается на 1 м, следовательно, на высоту 10 м она поднимется

через 10 суток. Но при этом забывают, что к концу дня улитка бывает

значительно выше, чем к концу ночи.

К концу пятых суток улитка окажется на высоте 5 м, а к началу ше-

стой ночи - на высоте 10 м. Значит, вершины столба улитка достигнет

за пять с половиной суток.

2. Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколь-

ко щук поймал Кот в Сапогах?

Подсказка: Какую часть улова составляют 4 щуки?

Решение.

Часто получают в ответе 6 щук, рассуждая так: улов состоит

из четырех щук и ещё половины от четырех щук, следовательно, улов-

6 щук. Это неверно. Поскольку 4 щуки составляют половину улова,

то весь улов - 8 щук.

3. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит

кирпич?

Подсказка: Вспомните задачу 2.

Решение.

Задача аналогична предыдущей. Ответ: 3 кг.

4. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка

вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вше-

стеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе

с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки - не могут.

Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить

Репку?

Подсказка: Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?

Решение.

Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5×6 Мышек.

Внучка заменяет 4× 5× 6 Мышек. Бабка заменяет 3× 4× 5 ×6 Мы-

шек. Дедка заменяет 2× 3× 4× 5× 6 Мышек. Итого потребуется:

(2×3×4×5×6) + (3×4×5×6) + (4×5×6) + (5×6) +6+1=1237

Мышек.

5. Три слога в слове. Первый слог -

Большой снеговика кусок.

Осуществляют слог второй

Слоны, придя на водопой.

А третий слог зовётся так,

Как прежде звался твёрдый знак.

Соедини все три как надо -

Получишь ЭВМ в награду!

Подсказка: В старой русской азбуке буквы Ъ, Ь и Ы назывались, соответ-

ственно, «ер», «ерь» и «еры».

Решение.

КОМ+ПЬЮТ+ЕР = КОМПЬЮТЕР.

6. В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют десять источ-

ников мёртвой воды: от № 1 до № 10. Из первых девяти источников

мёртвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пе-

щере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.

На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной,

однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, он умрёт.

Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер

которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника,

то ему надо обязательно запить ядом № 8, № 9 или № 10. Если он

выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд № 10.

А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет.

Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были

такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её вы-

пить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10,

и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который

Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!»

В назначенный день оба противника встретились в условленном ме-

сте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было.

Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса,

когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив!

Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке по-

бедить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.

Подсказка: Яд может быть и ядом, и противоядием в зависимости от того,

когда он выпит.

Решение.

В зависимости от того, когда выпит яд, он может служить и ядом,

и противоядием. Иванушка дал Кощею простой воды, поэтому яд№10,

выпитый Кощеем как противоядие, подействовал как яд.

Перед тем как выпить яд № 10, который дал Кощей, Иванушка

выпил любой другой яд, поэтому Кощеев яд стал противоядием.

7. Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через ко-

торую пролез бы человек?

Подсказка: Попробуйте сложить лист вдвое и вырезать вдоль линии сги-

ба узкое отверстие. Вы получите узкую дыру с широкими кра-

ями. Попробуйте увеличить «длину» краёв за счёт уменьшения

их «ширины».

Решение.

Нужно сложить лист вдвое, вырезать вдоль линии сгиба узкое отверстие, а затем сделать много прямолинейных разрезов. Первый разрез делает «дырку», а остальные увеличивают

длину «краёв» этой дырки.

8. Три купчихи - Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна - сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра

Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада

Карповна - 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна - 14.

Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

Подсказка: Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала

в условии задачи дважды - один раз как выпитая с одной

подругой, второй раз - с другой.

Решение.

Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды - один раз как выпитая с одной подругой, второй - с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам. Ответ: 20 чашек.

9. В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания со-

чинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок,

живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого

тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз

червячок?

Подсказка: Попробуйте вспомнить, как стоят на книжной полке тома из со-

брания сочинений.

Решение.

Обратите внимание: когда тома стоят на полке по порядку, то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице 2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой странице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только 2-й и 3-й тома, т. е. 400 страниц.

10. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится попо-

лам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый

из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток

озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было

заполнено наполовину?

Подсказка: Обратите внимание, за сутки число лотосов удваивается.

Решение.

Если вы прочтёте условие задачи внимательно, то поймёте, что озеро было заполнено наполовину через 29 суток. За сутки до того, как озеро заполнится, оно будет заполнено ровно наполовину.

11. Имеются двое песочных часов-на 7 минут и на 11 минут. Яйцо

варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся

часов?

Подсказка: Заметьте, с помощью двух разных песочных часов можно отме-

рить не только время, равное их «сумме», но и время, равное их

«разности».

Решение.

«Включим» одновременно двое часов. Когда 7-минутные часы

пересыпятся, перевернём их и дадим сыпаться 4 минуты, до окончания

пересыпания 11-минутных часов. Если теперь перевернуть 7-минутные

часы, они будут сыпаться ровно 4 минуты, а всего часы «сыпались»

15 минут, что и требовалось.

12. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько полу-

чилось чурбачков?

Подсказка: На сколько частей бревно делится первым распилом? Как изме-

няется число кусков после каждого следующего распила?

Решение.

Чурбачков всегда на 1 больше, чем распилов, поскольку первый распил делит бревно на две части, а каждый следующий прибавляет ещё один чурбачок. Ответ: 11 чурбачков.

13. Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько брёвен они распилили?

Подсказка: Вспомните задачу 12.

Решение.

Из каждого бревна получается на 1 чурбачок больше, чем сделано распилов. Раз чурбачков на 6 больше, значит, было 6 брёвен.

14. Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько полу-

чилось кусков?

Подсказка: Обратите внимание: чтобы из бублика «сделать» бревно, по-

надобится один разрез.

Решение.

Когда на части режут бублик, число разрезов и число секторов совпадают, поскольку один разрез нужен для того, чтобы «сделать» из бублика бревно.

15. Чем объяснить, что в задачах 12 и 14 ответы разные?

Подсказка: Обратите внимание: чтобы из бублика «сделать» бревно, по-

надобится один разрез.

Решение.

См. решение задачи 14.

16. На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый

разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько

получилось кусков?

Подсказка: Заметьте: десять разрезов - это 20 радиусов.

Решение.

Десять разрезов - это 20 радиусов, которые делят круглый торт на 20 секторов.

17. У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал

на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом

у одного получилось три куска, а у другого - четыре. Как это могло

быть?

Подсказка: Обратите внимание: разрезы могут пересекаться.

Решение.

Это могло получиться, если в первом случае разрезы не пересекались между собой, а во втором - пересеклись. Например, если в первом случае разрезы были параллельны друг другу, а во втором - перпендикулярны.

18. Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна

закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и оста-

лись закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?

Подсказка: Сколько чурбачков получили зайцы?

Решение.

Зайцы получили 12 чурбачков - 10 упавших и 2 закреплённых. Значит, распилов было 11.

19. Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4,

5, 6, 7 частей?

Подсказка: Число частей зависит от того, пересекаются ли разрезы между

собой внутри блинчика.

Решение.

Проведём в блинчике три прямые и рассмотрим точки их пересечения. В зависимости от того, где будут расположены эти точки, получится то или иное количество частей. Чтобы получить 4 части,надо все три точки расположить вне блинчика. Перенос одной из этих точек из-за границы блинчика внутрь добавляет одну часть. Так, чтобы получить 5 частей, надо одну точку перенести внутрь блинчика, 6 - ещё одну точку перенести внутрь блинчика, 7 - все три точки пересечения расположить внутри блинчика.

20. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разре-

зать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась

ровно пополам?

Подсказка: Помните ли вы, что если фигура имеет центр симметрии, то любая

прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные

части?

Решение.

Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части. Поэтому для того чтобы одновременно разрезать и торт и шоколадку на две равные части, надо провести прямую через центр торта и центр шоколадки.

21. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён

одним прямолинейным разрезом на 4 части?

Подсказка: Заметьте, торт не обязательно должен быть выпуклой фигурой.

Решение.

Если бы торт был выпуклой фигурой, этого сделать было бы нельзя, но ведь нигде не сказано, что он должен быть таким. Можно, например, испечь торт в виде буквы «Ш» и разрезать.

22. На какое максимальное число кусков можно разделить круглый

блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

Подсказка: Вспомните задачу 19.

Решение.

Если из трех прямых каждые две пересекаются внутри блинчика, получится 7 кусков. Если же из этих прямых какие-нибудь две параллельны или пересекаются за пределами блинчика, то кусков будет меньше.

23. Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем

лестница на второй этаж этого же дома?

Подсказка: Подумайте, сколько этажей надо пройти, чтобы подняться

на второй?

Решение.

Для того чтобы подняться на 2-й этаж, надо пройти 1-й этаж, а для того чтобы подняться на четвёртый - надо пройти три этажа. Итак, ответ: в 3 раза (а вовсе не в 2, как кажется сначала).

24. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максималь-

ное 5-значное число, которое состоит из различных нечётных цифр.

Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся - он

не заметил в условии слово «различных», и очень радовался, что его

число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили

Поликарп и Колька?

Подсказка: Подумайте, какими должны быть первые цифры искомых чисел.

Решение.

В число Поликарпа будут входить цифры 1, 3, 5, 7, 9. Для того, чтобы оно было наибольшим, надо цифры в нём записать строго в обратном порядке: 97531. В Колькино же число войдут пять цифр 9, и его число будет 99 999.

25. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минималь-

ное 5-значное число, которое состоит из различных чётных цифр. По-

ликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся. Однако ока-

залось, что разность между Колькиным числом и правильным ответом меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колька?

Подсказка: Подумайте, какими должны быть две первые цифры числа Поли-

карпа и две последние цифры Колькиного числа.

Решение.

Если действовать так же, как в предыдущей задаче, Поликарп должен был бы составить число 02 468, но первая цифра не может быть нулём, так что Поликарп составил число 20 468. Попробуем найти Колькино число. Оно больше, чем число Поликарпа, но состоит из тех же цифр. Первые три цифры изменить нельзя, поскольку тогда разность между числами Кольки и Поликарпа будет больше 100. Заменить можно только 4-ю цифру, причём менять её можно только на пятую, иначе опять разность будет больше 100. Значит, Колькино число 20 486.

Логические задачи и головоломки.

1. Сколько братьев и сестер?

Максим и Светлана живут в одном доме. У Максима братьев и сестер поровну. У Светланы сестер втрое больше, чем у Максима, а всего столько,

сколько детей у родителей Максима. Определите, сколько братьев и сестер у

Максима и сколько сестер у Светланы.

Ответ.

У Максима 1 брат и 1 сестра. У Светланы - 3 сестры.

Решение. В семье Максима а сестер, у Светланы - За. Всего детей в первой семье - 2а + 1. По условию задачи За = 2а + 1. Отсюда определим, чему равна величина а.

За - 2а = 1

а=1

Значит, у Максима 1 брат и 1 сестра, у Светланы - 3 сестры.

2. Определите время.

Отец позвонил дочери и сказал, что он скоро приедет. Клава уточнила: «А в котором часу?». Отец ответил: «Сосчитай, когда я приеду, до конца

суток останется втрое меньше того времени, которое пройдет от их начала».

Определите, в котором часу отец Клавы будет дома.

Ответ.

В б часов вечера или в 18.00.

Одна часть суток составит 24 : 4 = 6 часов. Три

части соответственно - 3x6 = 18 часов.

3. Две стаи.

В колхозный двор прилетело 35 ворон. Неожиданно испугавшись чего-то, они взлетели и разделились на две стаи: первая стая села на ветви

старого тополя, а другая - на крышу водонапорной башни.

Через некоторое время с тополя на крышу перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с крыши, после чего на тополе осталось вдвое

больше ворон, чем на крыше. Сколько было ворон в обеих стаях первоначально?

Ответ.

25 и 10.

4. Скорость велосипедиста.

Расстояние от деревни до города велосипедист преодолел за 75 минут, а из города в деревню он добрался за 1 час 15 минут. С какой скоростью ехал велосипедист в город и с какой возвратился в деревню?

Ответ.

С одинаковой (постоянной) скоростью, так как он преодолел одно и то же расстояние за одно и то же время.

5. Сумма чисел.

Сумма пяти последовательных чисел равна числу 1989. Найдите эти числа.

Ответ.

Искомые числа: 395, 396, 397, 398 и 399.

6. Вписанные окружности .

В большую окружность вписано ряд меньших окружностей, центры которых находятся на общей линии-диаметре описанной окружности. Чему равна общая длина периметра вписанных окружностей? Ответ обосновать.

Ответ.

Сумма длины вписанных окружностей равна длине описанной окружности.

Доказательство: длина описанной окружности равна 2ftR. Сумма длины вписанных окружностей равна произведению 2я на сумму длин их

радиусов. Но сумма длин радиусов вписанных окружностей равна длине радиуса описанной окружности.

Отсюда 2rc(Ri + R2 + R3 + R4) = 2rtR.

7. Сколько вагонов?

Через железнодорожную станцию прошло пять воинских эшелонов. В каждом вагоне находилось одинаковое количество бойцов, но так как в

эшелонах было неодинаковое количество вагонов, то и бойцов в них было неодинаковое число.

В первом эшелоне находилось 352 бойца, во

втором - 480, в третьем - 416, в четвертом - 608, в последнем - 544.

Определите, сколько вагонов было в каждом эшелоне, если известно, что все вагоны были заполнены полностью.

Ответ.

11, 15, 13, 19 и 17 вагонов.

8. Шпалы на складе.

На железнодорожном складе оставалось всего 20 дубовых и несколько сосновых шпал, общий вес которых был равен 644,5 кг. Сколько среди этих

шпал сосновых и сколько дубовых, если известно, что вес одной сосновой шпалы 27 4Д кг, а дубовой - 45 V2?

Ответ.

Сосновых - 15, дубовых - 5.

9. Год 1989 .

Предлагаем выразить числа от 0 до 10 с помощью цифр 1989 года, не меняя порядка их расположения. Разрешается использовать скобки и

радикал корня.

Ответ.

0 = 19 + 8-9;

1 = -1-л/9 + 8-л/9;

2 = (1 + 9 + 8):9;

3 = -l + 9-8 + V9;

4 = -1+ V 9! + 8 - 9.

(использовано: п! = 1х2хЗх...хп)

5 = l + 9-8 + V9;

6 = - 1 + л/9! - 8 + 9;

7 = -1 + 9 + 8-9;

8 = (1x9) +8-9;

9 = 1 + 9 + 8-9;

10 = (1х9)-8+9.

10. Книга и дети.

В одной семье совпали дни рождения детей. Когда дети подросли, родители решили купить им в подарок книги. Вечером отец принес один сверток

и стопку книг, положил все это на стол и сказал жене:

- Я не удержался и купил дочери сарафан, поэтому прошу тебя разделить книги между детьми так, чтобы у сына, как у старшего, их было столь- ко, что когда у него взять одну и отдать сестренке, то у них будет одинаковое количество, а если взять одну книгу у дочери и отдать сыну, то у него будет

втрое больше, чем у его сестры. В это время к столу подошел именинник и сказал:

- Папа, это значит, что у нас с сестрой будет у каждого столько книг, сколько нам исполнилось лет. И малыш был прав. Определите и вы, сколько всего было книг и какой возраст детей-именинников.

Ответ.

8 книг. 3 и 5 лет.

11. Арифметическая головоломка Расставьте знаки сложения, вычитания,

умножения и деления так, чтобы ответы во всех строках были правильными.

Разрешается использовать круглые и квадратные скобки.

1 2 = 3

1 2 3 = 4

1 2 3 4 = 5

1 2 3 4 5 = 6

1 2 3 4 5 6 = 7

1 2 3 4 5 6 7 = 8

1 2 3 4 5 6 7 8 = 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 10

Ответ.

1 + 2 = 3;

-1 + 2 + 3 = 4;

(1 + 2): 3 + 4 = 5;

1 + (2 х 3) + 4 - 5 = 6;

[(1 + 2)хЗ-4]:5 + 6 = 7;

(1+2): 3 х 4 + 5 + 6 - 7 = 8;

(1 + 2 + 3 + 4):5 + 6-7 + 8 = 9;

(1 + 2-3 + 4 + 5 + 6 - 7): 8 + 9 = 10.

12. Уникальное число

Найдите наименьшее число, которое делится без остатка на следующие 9 чисел: 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Ответ.

2520

13. Определите множитель и множимое. Произведение двух чисел равно 123. Чему равны множитель и множимое, если известно, что оба они меньше числа 3?

Ответ.

-41 и-3

(-3) х (-41) = 123.

14. Найти число.

Найти наименьшее число, которое обладает следующими свойствами:

Если вычесть из него 1, оно делится (без остатка) на 9

если вычесть из него 2, оно делится (без остатка) на 8

-«- 3 -«- на 7

-«- 4 -«- на 6

-«- 5 -«- на 5

-«- б -«- на 4

если вычесть из него 7, оно делится (без остатка) на 3

_«_ 8 -«- на 2.

Ответ.

10.

15. Числовой коврик.

Перед вами числовой коврик. В клеточке со знаками вопросов впишите пропущенные цифры и решите 8 примеров.

Ответ.

16. Турнирная таблица

В турнире по шахматам на первенство школы в последнем туре приняло участие 5 человек. После окончания турнира была вывешена таблица с

результатами. Но прошло время, и часть цифр стерлась. Турнирная таблица приняла следующий вид:

Буква «О» обозначает количество очков, «М» - место, занятое в турнире. Попробуйте за данными, что остались, полностью восстановить таблицу.

Ответ.

17. Дамки на стоклеточной доске.

На стоклеточной шашечной доске расставьте десять дамок так, чтобы они не были размещены ни на одной линии, параллельной какому-нибудь

краю, ни на одной из диагоналей доски и не могли бы брать друг друга.

Ответ.

18. Когда придет вода?

Из поселка Краснопавловка в промышленный и густонаселенный город Харьков проложен водовод длиной 180 км. Перед пуском в эксплуатацию

трубы заполнены водой, но в поселке Краснопавловка вентиль закрыт, и потому вода в трубах водовода находится без движения. Как быстро появится в Харькове вода, если вентиль в Краснопавловке будет открыт? Напомним при этом, что скорость распространения напорной

воды в трубопроводе равна скорости распространения звуковой волны в воде.

Ответ.

В городе вода появится не сразу, а две минуты

спустя.

Решение: Т = Д/С, где:

Т - время движения воды в трубопроводе,

Д - длина трубопровода,

С - скорость распространения звуковой волны

в воде.

Т = 180 км/1,5 км/сек =120 сек., или 2 мин.

19. Таможенник и фальшивые монеты (Логическая задача)

У таможенника на столе лежат б пачек с золотыми монетами, изъятыми у контрабандиста. Ему известно, что в одной пачке монеты фальшивые и

имеют меньший вес. В распоряжении таможенника двухчашечные

весы без гирь. Какое наименьшее количество взвешиваний необходимо ему произвести, чтобы определить, в какой пачке находятся фальшивые монеты?

Ответ.

Два взвешивания. Сначала таможенник кладет по три пачки на обе чаши весов. Из той чаши, которая окажется легче, он берет любые две пачки и на

обе чаши весов кладет по одной пачке. Если чаши уравновешиваются, то значит фальшивые монеты остались в третьей пачке, если не уравновешиваются, то в той пачке, которая находится в поднятой чаше.

20. В семье математика .

Учитель математики и его сыновья взялись решить числовой ребус, помещенный на экслибрисе Аленкова. Когда криптарифм был решен, то у всех получились разные ответы. Сколько сыновей было у учителя?

Ответ.

В семье учителя три сына. Ребус «век + живи +

век = учись» имеет четыре разных ответа.

1.964 + 8595 + 964=10523;

2.964 + 8797 + 964=10725;

3.973 + 8696 + 973=10642;

4.976 + 8393 + 976 = 10345.

Также учащимся можно предложить самим подготовить несколько подобных задач.

Головоломки со спичками.

1. Ракета

Из 10 спичек составлен контур летящей ракеты. Чтобы изменить направление ее полета, надо переставить 6 спичек.

Попробуйте для этой же цели переложить на одну спичку меньше.

Ответ.

2. Квадраты в прямоугольнике.

На рисунке изображен прямоугольник, составленный из спичек. В нем можно сосчитать три квадрата. Переложите две спички так, чтобы в том же

прямоугольнике можно было сосчитать:

а) 5 квадратов;

б) 6 квадратов.

Ответ.

3. Число «один» .

С помощью одинаковых счетных палочек можно изобразить разные числа. Например: 3 (III), 4 (IV), б (VI), 9 (IX), 11 (XI) и т.д. Как изобразить с помощью того же количества палочек число 1? (Существует два ответа).

Ответ.

4. Число «Три»

С помощью перекладывания двух спичек дробь 5/9, изображенной в виде v/ix, превратите в натуральное число 3.

Ответ.

5. «Два» из «шести»

С помощью спичек и дроби можно получить число 2.

IV/II = 2 Переложите 3 спички так, чтобы избавиться от дроби, снова получить число 2. Использовать знак «минус» запрещается.

Ответ.

6. «Три» из «пяти»

С помощью пяти счетных палочек можно изобразить число 3, например: II +1; IV -1; V - П; III/I. Но существует еще один не менее эффективный

способ изображения числа 3 с помощью таких же самых пяти палочек. Найдите его.

Ответ.

7. С помощью одиннадцати палочек

С помощью дроби и шести, семи или восьми палочек можно изобразить число 3. Изобразите это же число с помощью черточки дроби и

одиннадцати палочек.

Ответ.

8. Четыре вместо двух

На рис. с помощью шести палочек сложено два равносторонних треугольника. Из этих же самых шести палочек сложите четыре равносторонних треугольника.

Ответ.

9. Равенство с дробями.

Переложите одну спичку так, чтобы равенство с дробями было правильным

V/III + I/II = IV/IIL

Ответ.

V/III - I/III = IV/III.

10. Переложите одну спичку

В приведенных ниже уравнениях, сложенных с помощью спичек, переложите одну спичку так, чтобы эти равенства были правильными:

а) X - XI = XX;

б) XX + IX = X.

Ответ.

а) X + X = XX;

б) XX - IX = XI.

11. Спички те же, число другое

С помощью 20 спичек записано число «пять» (см. рис.). Из этого же количества спичек сложите название числа больше «пяти».

Ответ.

12. Из 42 спичек (Задача-шутка)

Из 42 спичек на столе выложен ряд одинаковых букв. Внимательно посмотрите на них и скажите, что здесь изображено или написано.

Ответ.

На рисунке изображены число 7 и слово «семья» (семь «я»)

Магические фигуры.

1. Триноликс-1

Название игры - производное от слов три, ноль

и икс.

Реквизит игры:

1. Игровое поле с диаграммой, на котором изображена совокупность треугольников из 9 отрезков с тремя пустыми кружками на каждом.

2. Двенадцать двухсторонних и двухцветных шашек (или б черных и б белых шашек).* Другой вариант игры предусматривает лишь наличие диаграмм у каждого игрока в отдельности. Надобность в. фишках (шашках) отпадает.

*Примечание: Шашки можно заменить на жетоны для метро, монеты, пуговицы или кружки из картона. (Лет.)

Правила игры:

Играют двое. У одного игрока белые, а у другого - черные фишки (шашки). Первым ходит тот, кому в результате жребия достанется фишка белого цвета. Задача игроков - выставить на одной линии или вдоль стороны любого (вписанного или описанного) треугольника фишки одного цвета.

Выигрывает тот, у кого окажется больше прямых линий с тремя фишками одного цвета и треугольников с фишками одного цвета в кружках у вершин.

Триноликс-1

Рядов(линий) - 9

Треугольников - 6

Кружков- 12

Шашек - 6 пар

Если диаграмма триноликса начерчена краской на листе фанеры или металлической пластине, то в этом случае игроки могут обойтись и без фишек. В пустые кружки диаграммы триноликса они поочередно записывают мелким значки: крестики (иксы)- нолики или плюсы-минусы. Вместо значков можно проставлять нечетные и четные числа от 1 до 12.

Выигрывает тот, у кого окажется большее число прямых и треугольников с одинаковыми значками вдоль прямых и у вершин треугольников.

Внизу приведены диаграммы триноликса после розыгрыша партий. Первая партия (рис. 2). Ничейный результат. Счет 0:0 Вторая партия (рис. 3).

Запись хода игры триноликса лучше вести с помощью четных и нечетных чисел. Ничейный результат.

2.Магический триноликс .

(Вариант игры-головоломки)

Играют тоже два игрока, но у каждого свой бланк с диаграммой триноликса-головоломки. Играют без фишек. Перед игроками ставится задача - расставить числа от 1 до 12 в пустые кружки диаграммы так, чтобы вдоль периметров 3-х треугольников сосчитывалась одинаковая магическая

сумма, например, 28. Более опытные игроки-голо- воломщики могут сами определить числовое выражение магических сумм триноликса. Их может

быть несколько. В этом случае выигрывает тот, кто составит несколько диаграмм с магическими суммами. В первом случае выигрывал тот из игроков, кто составлял магический триноликс с заданной суммой за наиболее короткий промежуток времени. Наиболее сложно решить магический триноликс с усложненной задачей: расставить числа от 1 до 12 в пустые кружки триноликса так, чтобы одинаковая (магическая) сумма сосчитывалась вдоль каждого отрезка, из которых составлена диаграмм игры.

Варианты игры «Триноликс-2» и «Триноликс-3» отличаются от основной игры «Триноликс»рисунком диаграмм. Задания к игре и правила игры те же.

3.Варианты игры «Триноликс-4»

и «Триноликс-5»

В отличие от предыдущих вариантов игры варианты 4 и 5 содержат большее количество линий, треугольников, пустых кружков и, соответственно, фишек (или шашек). У триноликса-4 их 15, а у триноликса-5 - на 3 больше - 18. Последние варианты игры удобны тем, что в них можно играть не только вдвоем, но и втроем.

Триноликс-4

Рядов (линий) - 12

Треугольников - 9

Кружков - 15

Шашек - 7 пар

Триноликс-5

Рядов (линий) - 15

Треугольников - 9

Кружков-18

Шашек - 9 пар

Длина. Площадь. Объем.

1. После семи стирок длина, ширина и высота мыла уменьшилась вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска?(на 1 стирку)

2. Грузчик на складе может поднять упаковку размером 3х3х3 литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9х9х9 пакетов? ( не смогут).

3. Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1м. Сколько весит такой бассейн с водой? (300 кг).

4. Как изменится масса слона, если увеличить его (по всем размерам) в 2 раза? (Считать, что слон имеет форму параллелепипеда, конечно, нельзя). Как изменится площадь слона на фотографии? ( в 8 раз, в 4 раза).

5. На левую чашу весов положили 2 шара радиусов 3 и 5, а на правую -1 шар радиусом 8. Какая из чаш перевесит? (правая чаша перевесит).

6. Чему равна площадь поверхности куба, если его ребра :

А) 10 см

Б) 12 см (600, 864).

7. Ширина плоского медного кольца при нагревании увеличилась в 1,5 раза. Как изменилась площадь дырки? (в 2,25 раза).

Переливание - головоломки.

1. Отмерить 3 литра, имея сосуды Зи5 литра.

Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в

4-литровую кастрюлю с помощью крана и 5-литровой банки налить 3 литра

воды?

Ответ:

Наливаем кастрюлю. Переливаем воду из кастрюли в банку.

Наливаем кастрюлю. Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.

2. Отмерить 6 литра, имея сосуды 4и7 литра.

Какое наименьшее количество переливаний потребуется для того, чтобы

с помощью крана и сосудов емкостью 4 и 7 литров отмерить 6 литра?

Ответ:

Налить воду в 7-литровый сосуд (1) и часть ее вылить в 4-литровый (2). Опорожнить 4-литровый сосуд (3) и вылить в него 3 литра из 7-литрового (4). Наполнить заново 7-литровый сосуд (5) и долить из него 4-литровый (6), в который поместится 1 литр. В 7-литровом останется 6 литров.

3. Головоломное переливание.

Как в 5-литровый баллон и в 3-литровую банку налить по 1 литру воды из

полного 10-литрового ведра, если воду можно не экономить и при необходимости

выливать на землю?

Ответ:

1. Наливаем из бочки баллон и банку и, поскольку сосудов для

выполнения задания кажется маловато, освобождаем бочку, вылив из нее всю

воду, например на пол или на землю.

2. Выливаем 3 литра из банки в пустую бочку.

3. Наполняем банку из баллона и опять выливаем ее в бочку. Таким

образом, в баллоне остается 2 литра и в бочке 6 литров.

4. Переливаем 2 литра из баллона в банку и наполняем его из бочки, в

которой после этого остается 1 литр.

5. Доливаем из полного баллона банку. Таким образом, в баллоне

остается 4 литра, в банке 3 литра и 1 литр в бочке.

6. Выливаем на пол воду из банки и наполняем банку из баллона, в

котором остается так же, как и в бочке, 1 литр воды.

7. Воду из банки опять выливаем на пол, а в банку набраем 1 литр из бочки.

4. Деление 10 литров поровну, имея сосуды 3,6 и 7 литров.

Разделить на две равные части воду, находящуюся в 6-литровом сосуде (4

литра) и в 7-литровом (6 литра), пользуясь этими и 3-литровым сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

Ответ:

В скобках - второй вариант решения.

5. Деление 8 литров поровну, имея сосуды 8,5 и 3 литра.

Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 8-литровом

сосуде, пользуясь этим и пустыми 5- и 3-литровыми сосудами. Какое

наименьшее количество переливаний потребуется?

Ответ:

6. Деление 16 литров поровну, имея сосуды 6,11 и 16 литров.

Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 16-литровом

сосуде, пользуясь этим и пустыми 11- и 6-литровыми сосудами. Какое

наименьшее количество переливаний потребуется?

Ответ:

7. Два сосуда и кран с водой.

Какое наименьшее число переливаний необходимо для того, чтобы с

помощью 7- и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 литра?

Ответ:

Если сначала наполнить 11-литровый сосуд, то потребуется 18

переливаний, а если 7-литровый, то, как следует из рисунка, - всего 14.

8. Три сосуда.

Сколько целых литров можно отмерить с помощью сосудов 8, 9 и 18

литров? Например, можно ли отмерить 3 или 12 литров?

Ответ:

Можно доказать, что если есть три сосуда и объемы меньших сосудов не

имеют общего делителя, а больший сосуд не меньше суммы двух меньших, то с

их помощью можно отмерить любое целое число литров, не меньшее объема

среднего сосуда. Поэтому можно отмерить любое число литров от 1 до 9.

9. Выравнивание объемов посредством переливаний.

Как разлить воду из крана в 30 стаканов с измерительными делениями,

чтобы, как угодно и сколь угодно долго переливая воду последовательно

между любыми парами стаканов, нельзя было добиться точного равенства

количества воды во всех стаканах? Предполагается, что в каждый стакан

можно точно налить любое количество воды. Достаточно привести

конкретный пример разливания.

Ответ:

В 29 стаканов можно налить по 100 г, а в 30-й - 200 г. 3100 : 30 = 103,3 (3).

Периодичность десятичной дроби как раз и показывает невозможность

точного выравнивания количества воды во всех 30 стаканах.

10. Переливание в один стакан.

В достаточно больших стаканах налито одинаковое количество воды. Из

любого стакана можно переливать в любой другой стакан столько воды,

сколько в этом последнем уже имеется. За конечное число переливаний всю воду

слили в один стакан. Сколько было сделано переливаний и сколько точно

было стаканов, если приблизительное количество стаканов от 20 до 60?

Ответ:

5 переливаний.

Взвешивания.

1. Взвешивание кирпича.

При взвешивании кирпича оказалось, что имеющихся гирек недостаточно,

но были части кирпича. На одну чашу весов положили кирпич, а на

другую - 4/б кирпича. Для того чтобы уравновесить весы, добавили гирьки

общим весом 4/б килограмма. Сколько весит кирпич?

Ответ: 4 кг.

2. Минимальный перевес.

Имеется 100 гирь, на которых не указан вес, но известно, что любая пара

гирь отличается по весу не более чем на 20 граммов. Необходимо все 100 гирь

разложить на две чашки весов, положив на каждую чашку по 50 гирь так,

чтобы перевес одной из чашек был минимальным. Как это сделать и каков

минимальный перевес?

Ответ: Будем 50 раз гири брать парами и класть на чашки весов по одной на каждую, причем более легкую гирю всякий раз кладем на перевешивающую чашку.

3. Две фальшивые из 103 монет.

Среди 103 монет имеются две одинаковые фальшивые, которые отличаются

от подлинных лишь весом. Какое минимальное число взвешиваний на весах

без гирь потребуется для определения, что тяжелее: настоящие или

фальшивые монеты?

Ответ: Разделим монеты на три равные кучки по 34 монеты: А, Б и С. Б этих

кучках могут оказаться одна или две фальшивые монеты.

1-е взвешивание. Взвесим кучки А и Б.

2-е взвешивание. Взвесим кучки Б и С.

Возможны следующие разные варианты взвешиваний:

1. А = ВпВ>С;

2. А>БиС>Б.

Рассмотрим вариант 1. Возможны два следующих случая: либо по одной

фальшивой монете в кучках А и Б, и тогда фальшивая монета тяжелее

настоящей, либо в кучках А и Б настоящие монеты, и одна или две более

легкие фальшивые монеты - в кучке С. Дилемму можно разрешить при

помощи третьего взвешивания.

3-е взвешивание. Кучку А (или Б) делим примерно пополам и сравниваем

половинки. Если они равны, то фальшивые монеты легче и находятся в кучке С. Если одна из половинок кучки А тяжелее другой, то фальшивая монета

тяжелее подлинной. Рассмотрим вариант 2. Возможны два случая: либо в кучках А и С находится по одной тяжелой монете (тогда в кучке С находятся подлинные монеты), либо в кучке С находится одна или две более легкие фальшивые монеты (тогда в кучках А и В оказались подлинные монеты). Третье взвешивание позволяет определить, какая монета тяжелее - фальшивая или настоящая.

4. Определение веса одной из пяти гирь.

Пять кубиков весят 1000, 1001, 1002, 1004 и 1007 граммов. Какое

минимальное число взвешиваний на весах с гирьками (или со стрелкой)

потребуется для определения кубика весом 1000 граммов?

Ответ: 1-е взвешивание. Берем произвольную пару кубиков и определяем их

суммарный вес, по которому можно судить, есть ли среди этой пары искомый кубик. Если есть, то во время второго взвешивания выбранных кубиков определяем, какой именно имеет вес 1000 граммов, и, таким образом, задача решена. Если нет, то производим второе взвешивание.

2-е взвешивание. Берем вторую произвольную пару кубиков из оставшейся тройки. Взвешиваем ее и определяем, есть ли среди этой пары искомый

кубик. Если нет, то 1000-граммовый кубик будет пятым, который не

попал ни в первую, ни во вторую пару, и вновь задача решена. Если

искомый кубик находится среди второй пары случайно выбранных кубиков,

то необходимо третье взвешивание. 3-е взвешивание. Искомый кубик, находящийся среди второй пары выбранных кубиков, однозначно определяется при их взвешивании.

Таким образом, для решения задачи требуется не более трех взвешиваний

(и не менее двух).

5. Раскладывание 1002 гирь на три равные кучки.

Как разложить на три равные кучки 1002 гирьки, имеющие вес 1, 2, 3, ...,

1002 граммов?

Ответ:

Будем раскладывать гирьки в порядке возрастания их весов в три

мысленно пронумерованные кучки, поочередно начиная то с № 1, то с № 3.

Видно, что равенство весов в кучках достигается лишь после четного

количества операций разложения гирек по трем кучкам. Таким образом,

данный алгоритм годится лишь для такого количества гирек с весами

натурального ряда, которое при делении на 3 даст четное число.

6. Определение более тяжелой монеты из 27 монет.

Из 27 монет одна фальшивая, отличающаяся от остальных большим весом.

Какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирек

потребуется для определения поддельной более тяжелой монеты?

Ответ:

Разделим все монеты на три кучки по 9 монет.

1. Взвесим две любые кучки. Во время этого первого взвешивания

определим кучку, в которой находится фальшивая монета. Если взвешиваемые кучки по весу равны, то фальшивая монета находится в

третьей кучке, в противном случае поддельная монета окажется в той

кучке, которая окажется тяжелее.

2. Из подозрительной кучки в 9 монет возьмем две любые тройки монет

и взвесим их. Если выбранные произвольно группы из трех монет

окажутся равными по весу, то фальшивая монета будет в третьей, невзве-

шиваемой тройке, в противном случае поддельная монета в той кучке

из трех монет, которая окажется тяжелее.

3. Возьмем из подозрительной тройки монет две любые и взвесим. Та

монета, которая перевесит, и будет фальшивой. Если выбранные монеты

окажутся одинакового веса, то поддельной будет третья монета.

Таким образом, из 27 монет с помощью трех взвешиваний всегда можно

найти одну более тяжелую монету.

От задачек к задачам.

1.Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы,второй - одну, третий - ни одной, но он расплатился пятьюпатронами. Как должны поделить патроны первые два охотника?

Ответ:

На каждого охотника приходится по одной кружке крупы. Получается, что первый охотник одну из своих кружек крупы отдаёт третьему. Взамен он должен получить все пять патронов!

2.Можно ли расставить охрану вокруг небольшого объекта так,чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно под-красться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 мстрого вперёд.)

Ответ:

да, можно.

3. В некотором царстве, в некотором государстве есть десять источников с мёртвой водой (№№ 1, 2, . . . , 10), которая по вкусуне отличается от обычной, но является сильным ядом (смертельнымдаже для Кащея Бессмертного). Противоядием для воды из любогоисточника является вода из источника с бо´ льшим номером (для воды из источника № 10 противоядия нет). Источники №№ 1, . . . , 9 общедоступны, источник № 10 доступен лишь Кащею. Иван вызвал Кащея на дуэль, предложив обменяться стаканами

с мёртвой водой и выпить её. Кащей, конечно, согласился, предложив Ивану воды из источника № 10 и рассчитывая принять еёв качестве противоядия. Однако Иван остался жив, а Кащей умер.Как Ивану это удалось?

Ответ:

Иван дал Кащею обычной воды, которую тот не отличил от мёртвой и за-

пил водой из источника № 10. Сам же Иван перед дуэлью выпил воды из ис-

точника № 1. Тогда вода из источника № 10, предложенная Кащеем, оказалась противоядием, и Иван остался жив!

4. Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт

на а) семь, б) восемь частей?

Ответ: Восемь частей образуется с помощью двух вертикальных разрезов и одного горизонтального.

5. В городе Запрещаевске в метро строго запрещено провозить

предметы, длина, ширина или высота которых превосходит 1 м. Тем

неменее первоклассникуВасе удалось провезти лыжи длиной 1,5 м.Как?

Ответ:

Вася взял пустую коробку размером 1×1×1 м и положил туда лыжи. Поскольку лыжи можно поместить в коробке. С другой стороны, правила не будут нарушены.

6. Дорога между двумя горными сёлами A и B идёт то в гору, то под гору. Автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из A в B и обратно. Какова была его средняя скорость на всём пути?

Ответ: 40 км/ч.

7. Король решил устроить экзамен трём придворным мудрецам A, B и C. Он сообщил, что у него имеются два белых и три чёрныхколпака. После этого король завязал глаза мудрецам и надел каждому чёрный колпак. Развязав глаза, король спросил: <Может ликто-нибудь из вас определить цвет своего колпака?>.

Мудрецы ответили:

A: <Нет, так как могу ошибиться>.

B: <Нет, так как могу ошибиться>.

C: <Да, на мне чёрный колпак!>.

Как мудрецу C это удалось?

Ответ:

Третий мудрец мог рассуждать так: <На мне белого колпака быть не может, поскольку иначе второй бы мудрец смог определить цвет своего колпака. Но он этого не сделал. Значит, на мне чёрный колпак!>.

Рассуждения второго при дополнительном предположении, что на C белый колпак: <На мне белого колпака быть не может, поскольку иначе первый мудрец A, увидев два белых колпака (на мне и на C) и зная, что белых колпака всего два, сразу сказал бы цвет своего колпака. Но он этого не сделал! Значит, на мне чёрный колпак>.

8.На свой день рождения Маша испекла торт, имеющий форму правиль-

ного шестиугольника ABCDEF. Разрезав его так, как показано на рис. 1

(M и K - середины сторон AF и FE соответственно), она отдала два выде-

ленных куска своим гостям: треугольный - Васе, а четырёхуголь-

ный - Пете. Кому из Машиных гостей достался больший кусок торта?

Ответ: площади этих фигур равны.

9. В волейбольном турнире, проходившем в один круг (каждая

команда играет с каждой ровно один раз) 20% всех команд не одер-

жали ни одной победы. Сколько команд участвовало в этом турнир?

Ответ: 5 команд.

10. Али-Баба пытается проникнуть в пещеру с сокровищем. У входа

в пещеру стоит барабан с четырьмя отверстиями по бокам. Около

каждого отверстия внутри поставлен переключатель, имеющий два

положения: <вверх> и <вниз>. Разрешается засунуть руки в любые

два отверстия, пощупать, как стоят переключатели и переключить их

произвольным образом (в частности, можно не переключать). После

этого барабан вращается и после остановки нельзя установить, какие

именно переключатели переключали в прошлый раз. Разрешается про-

делать эту операцию до 10 раз. Дверь в пещеру открывается, когда все

переключатели в одном положении. Как Али-Бабе попасть в пещеру ?

11. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк,

а в вершинах квадрата - четыре собаки. Волк может бегать по все-

му полю, а собаки - только по его сторонам. Известно, что волк

задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная ско-

рость каждой собаки в полтора раза больше максимальной скорости

волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка

за пределы поля.

Нестандартные задачи.

1. Прилетели галки, сели на палки. Если на каждой палке сядет по галке, то для

одной галки не хватит палки. Если же на каждой палке сядет по две галки, то одна из

палок будет без галок. Сколько было палок и сколько было галок?

Ответ: галок - 4, палок - 3.

Количество галок на 1 больше, чем количество палок. При этом, количество галок

четно и половина этого количества на единицу меньше, чем количество палок.

Следовательно, галок - 4, палок - 3.

Можно рассуждать иначе. Если добавить одну палку, то галок и палок станет

поровну. Тогда, если на каждую палку сядет по две галки, то две палки будут лишними, а

две - занятыми. Следовательно, изначально галок - четыре, а палок - три.

2. Расстояние между двумя машинами, движущимися по шоссе, 100 км.

Скорости машин 80 км/ч и 60 км/ч. Чему может быть равно расстояние между ними через

час?

Ответ: 40 км, 80 км, 120 км или 240 км.

Возможны четыре варианта расположения машин:

1) Машины едут навстречу друг другу: (60 + 80) - 100 = 40 (км).

2) Машины едут в противоположные стороны: 100 + (60 + 80) = 240 (км).

3) Машины едут в одну сторону, первая догоняет вторую: 100 - (80 - 60) = 80 (км).

4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 100 + (80 - 60) = 120 (км).

3. Четыре близнеца Коля, Петя, Боря и Вася праздновали свой день

рождения. Им подарили коробку конфет. Договорившись разделить конфеты поровну,

мальчики ушли играть с гостями. Коля зашел в комнату первым, взял свой долю и ушел.

Через некоторое время зашел в комнату Петя взял четвертую часть конфет и ушел. То же

самое проделали Боря и Вася, после чего в коробке осталась 81 конфета. Сколько всего

конфет было в коробке и сколько конфет взял каждый? Кто и сколько конфет должен

взять еще?

Так как осталась 81 конфета, то перед тем, как брал конфеты Вася, в коробке было

81 : 3 × 4 = 108 конфет; перед тем, как брал Боря: 108 : 3 × 4 = 144 конфеты; перед тем,

как брал Петя: 144 : 3 × 4 = 192 конфеты. Вначале было 192 : 3 × 4 = 256 конфет. Каждому

полагалось по 64 конфеты. Коля получил свою долю. Петя должен взять еще 16 конфет.

Боря должен взять еще 28 конфет. Вася должен взять еще 37 конфет.

4. В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом ящике

написано «крупа», на втором - «вермишель», на третьем - «крупа или сахар». Что в

каком ящике находится, если содержимое каждого из ящиков не соответствует надписи

на нем?

Так как каждая надпись не соответствует действительности, то в третьем ящике -

вермишель, следовательно, в первом ящике - сахар, а во втором - крупа.

5. На доске написано равенство: 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 8 ∗ 9 = 20 (вместо

символа «∗» на доске в неизвестном порядке могут быть написаны знаки «+» или «-»).

Докажите, что это равенство не может быть верным.

Так как в левой части данного равенства есть пять нечетных цифр, то при их сложении

или вычитании получится нечетное число. От четных цифр четность правой части не

зависит, поэтому в правой части может получиться только нечетное число,

следовательно, 20 получиться не может.

6. Дана таблица 4×4 клетки. Расставьте семь звездочек в клетки таблицы так,

чтобы при вычеркивании любых двух строк и любых двух столбцов в оставшихся клетках

была хотя бы одна звездочка.

7. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько

дней десять рыбаков съедят десять судаков?

Ответ: за пять дней.

Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. Другие пять рыбаков съедят за те же

пять дней еще пять судаков. Следовательно, десять рыбаков съедят десять судаков за

пять дней.

8. Сколько всего прабабушек и прадедушек было у всех ваших прабабушек и прадедушек?

Ответ: 64.

9. На острове Буяне четыре королевства, причем каждое граничит с тремя

остальными. Нарисуйте карту острова так, как вы ее себе представляете.

10. Все животные старухи Шапокляк, кроме двух, - попугаи, все, кроме двух, -

кошки, и все, кроме двух, - собаки, а остальные - тараканы. Сколько тараканов живет у

старухи Шапокляк?

Ответ: либо - 2 таракана, либо - 0 тараканов.

Заметим, что более одного попугая у старухи быть не может, так как если их хотя бы

два, то остальные животные должны быть кошками и собаками одновременно.

Аналогично, у нее не может быть более одной кошки и более одной собаки. Возможен

случай, когда у старухи Шапокляк живут попугай, кошка и собака, тогда тараканов у нее

нет.

Если у старухи вообще нет, например, попугаев, то нет также ни кошек, ни собак. В

этом случае у старухи Шапокляк должно быть ровно два таракана.

11. Двое по очереди ломают плитку шоколада 7 × 8. За один ход разрешается

сделать прямолинейный разлом любого из кусков по углублению. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет и каким образом?

Ответ: выиграет первый.

Максимальное количество кусков, на которые можно разделить данную плитку

шоколада, - 56. Это осуществляется за 55 разломов. Следовательно, независимо от того,

как будет разламываться шоколадка, последний разлом сделает первый игрок.

12. На столе в ряд выставлены девять пакетов с вермишелью. Масса первого - 3

кг, а каждый следующий тяжелее предыдущего на 1 кг. Покажите, как разложить пакеты в

три одинаковых рюкзака, чтобы количество вермишели в каждом из рюкзаков было

одинаковым.

Ответ: например, так:

I рюкзак II рюкзак III рюкзак

3 кг, 8 кг, 10 кг. 4 кг, 6 кг, 11 кг. 5 кг, 7 кг, 9 кг.

Сумма натуральных чисел от 3 до 11 равна 63, то есть в каждом рюкзаке должно

быть по 21 килограмму вермишели.

13. За один час станок разрезает 300 шестиметровых досок на одинаковые

куски, по 2 метра в каждом. Сколько времени потребуется, чтобы на этом же станке

разрезать 200 восьмиметровых досок такой же ширины и толщины на такие же куски?

Ответ: 1 час.

Для того, чтобы разрезать триста шестиметровых досок на куски по 2 метра каждый,

требуется сделать 600 распилов (два распила на доску). Для того, чтобы разрезать 200

восьмиметровых досок на такие же куски, также требуется 600 распилов.

14. В очереди в школьный буфет стоят Юра, Миша, Володя, Олег и Саша. Юра

стоит впереди Миши, но после Олега. Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не

находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. В каком порядке стоят ребята?

Ответ: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша.

Из первого условия получаем расстановку: _ О _ Ю _ М _ (мальчики обозначены

первой буквой своего имени). Третье условие позволяет определить, что Саша стоит

после Миши. Затем из второго условия однозначно определяется место Володи.

15. Прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см требуется разрезать на две части,

из которых можно сложить квадрат. Покажите, как это можно сделать.

16. У Андрея и Бори вместе 11 орехов, у Андрея и Вовы - 12

орехов, у Бори и Вовы - 13 орехов. Сколько всего орехов у Андрея,

Бори и Вовы вместе?

18 орехов. «Сложив» все три условия, получим, что удвоенная сумма

орехов равна 36.

17. Рядом сидят мальчик и девочка. «Я мальчик», - говорит черноволосый

ребенок. «Я девочка», - говорит рыжий ребенок. Выясните цвет волос мальчика и цвет

волос девочки, если известно, что хотя бы кто-то из них обязательно врет.

Если хотя бы один из детей врет, то врет и второй. Следовательно, черноволосый

ребенок - девочка, а рыжий ребенок - мальчик.

18. Кузнец подковывает одно копыто за 5 минут. Сколько времени потребуется

8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей, если на двух ногах лошадь стоять не может?

Объясните, как они должны работать, чтобы это время было наименьшим.

Ответ: 25 минут.

37