Статья по математике на тему Теоремы о соотношении площадей в плоских геометрических фигурах

Теоремы о соотношении площадей в плоских геометрических фигурах

«Одна и та же формула может относиться к совершенно разным вещам».

(М. Уильямс)

Теорема

Площадь квадрата всегда в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника, и наоборот, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника всегда в два раза меньше площади квадрата.

Доказательство

Докажем, что площадь квадрата в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника.

Рассмотрим квадрат

Сторона Из точки к точке проведём диагональ. Получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника, которые в сумме составляют квадрат. Это и По условию доказательства все четыре стороны квадрата равны друг другу, значит, катет равен катету а катет равен катету

Предположим, что длина катета равна 4 см, значит, длина катета также будет равна 4 см. Учитывая, что равен сразу по трём признакам можно сделать вывод, что катет

Таким образом, мы получаем квадрат, состоящий из двух равнобедренных прямоугольных треугольников, со сторонами 4 на 4 см. Воспользовавшись формулой для нахождения площади квадрата получаем

подставим значения посчитаем

Т. е. площадь квадрата равна

Воспользовавшись формулой для нахождения площади треугольника получаем

подставим значения посчитаем

Т. е. площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

Как видно из вычислений, площадь квадрата в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Теорема доказана.

Теорема

Площадь прямоугольника всегда в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника, и наоборот, площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника всегда в два раза меньше площади прямоугольника.

Доказательство

Докажем, что площадь прямоугольника в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольник

Сторона а сторона Из точки к точке проведём диагональ. Получаем два неравнобедренных прямоугольных треугольника, которые в сумме составляют прямоугольник. Это и По условию доказательства только две взаимно противолежащие стороны прямоугольника равны друг другу, значит, катет не равен катету а катет не равен катету

Предположим, что длина катета равна 3 см, а длина катета равна 5 см. Учитывая, что равен сразу по трём признакам можно сделать вывод, что катет а катет

Таким образом, мы получаем прямоугольник, состоящий из двух неравнобедренных прямоугольных треугольников, со сторонами 3 на 5 см. Воспользовавшись формулой нахождения площади прямоугольника получаем

подставим значения посчитаем

Т. е. площадь прямоугольника равна

Воспользовавшись формулой для нахождения площади треугольника получаем

подставим значения посчитаем

Т. е. площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника равна

Как видно из вычислений, площадь прямоугольника в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника. Теорема доказана.

Прямая задача

Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если площадь квадрата равна 25

Решение

Формула нахождения площади равнобедренного прямоугольного треугольника через площадь квадрата:

где

‒ площадь равнобедренного прямоугольного треугольника;

‒ площадь квадрата.

Прямая задача

Найдите площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника, если площадь прямоугольника равна 15

Решение

Формула нахождения площади неравнобедренного прямоугольного треугольника через площадь прямоугольника:

где

‒ площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника;

‒ площадь прямоугольника.

Обратная задача

Найдите площадь квадрата, если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 12,5

Решение

Формула нахождения площади квадрата через площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:

где

‒ площадь квадрата;

‒ площадь равнобедренного прямоугольного треугольника.

Обратная задача

Найдите площадь прямоугольника, если площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника равна 7,5

Решение

Формула нахождения площади прямоугольника через площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника:

где

‒ площадь прямоугольника;

‒ площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника.