Проект Замечательные точки треугольника

Лискинский район, МОУ Аношкинская СОШ.

Учитель математики Сморчкова Е.Б.

Цель проекта: научиться пользоваться различной литературой по геометрии , справочными материалами для более подробного изучения темы «Замечательные точки треугольника», дать более полное представление о теме, подготовить презентацию по данной теме для демонстрации при выступлениях и на уроках.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, треугольник - атом геометрии. Да и сегодня школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с появлением треугольника. Предшествующие понятия - точка, прямая, угол - представляются расплывчатыми абстракциями, а на­бор теорем и задач, с ними связанный, просто скучным.

Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами - фигурами и телами. Известны случаи, когда человек в юном, если не сказать в младенческом, возрасте увлекается геометрией и даже делает самостоятельные геометрические открытия. Так, маленький Блез Паскаль придумал «игру в геометрию», в которой участвовали «монетки» - круги, «треуголки» - треугольники, «столы» - прямоугольники, «палочки» - отрезки. Его отец, основательно знавший математику, на первое время решительно исключил математику из числа предметов, которым он обучал своего сына, поскольку маленький Блез не отличался хорошим здоровьем. Однако, обнаружив увлеченность сына, он кое-что рассказал ему о таинственной геометрии, а застав Блеза в момент, когда тот обнаружил, что углы треугольника составляют в сумме два прямых, растроганный отец открыл своему 12-летнему сыну доступ к математическим книгам, хранившимся в до­машней библиотеке.

Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, мы и хотим рассказать.

Поясним сначала смысл выражения «замечательные точки треугольника». Все мы знаем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности. Точно так же в одной точке пересекают­ся медианы, высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам.

Получающиеся при пересечении перечисленных тро­ек прямых точки, конечно же, замечательны (ведь три прямые, как правило, пересекаются в трех различных точках). Возможны и замечательные точки других типов, например точки, в которых достигает экстремума какая-либо функция, определенная для всех точек треугольника. С другой стороны, понятие «замечательные точки треугольника» следует толковать скорее на литературно-эмоциональном уровне, чем на формально-математическом. Извес­тен софизм, «доказывающий», что все натуральные числа «инте­ресные». (Допустив, что есть «неинтересные» числа, возьмем среди них наименьшее. Бесспорно, это число «интересное»: оно интересно уже тем, что оно наименьшее среди «неинтересных».) Подобное рассуждение, «доказывающее», что все точки треугольника «за­мечательны», можно сконструировать и в нашем случае. Пе­рейдем к рассмотрению некоторых примеров.

ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Докажем, что существует точка, равноудаленная от вершин треугольника, или, иначе, что существует окружность, проходя­щая через три вершины треугольника. Геометрическим местом то­чек, равноудаленных от точек А и В, является перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через его середину (серединный перпен­дикуляр к отрезку АВ). Рассмотрим точку О, в которой пересе­каются серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Точка О равноудалена от точек А и В, а также от точек В и С. Поэтому она равноудалена от точек А и С, т. е. она лежит и на середин­ном перпендикуляре к отрезку АС (рис. 50).

Центр О описанной окружности лежит внутри треугольника, только если этот треугольник остроугольный. Если же треуголь­ник прямоугольный, то точка О совпадает с серединой гипотенузы,

а если угол при вершине С тупой, то прямая АВ разделяет точ­ки О и С.

Если в Δ АВС угол при вершине С острый, то сторона АВ видна из точки О под углом, равным 2<C; это следует из того, что <.AOB в два раза больше вписанного <ACB, опирающегося на ту же дугу. Если же <.C тупой, то сторона АВ видна из точ­ки О под углом, равным 360° - 2<С. Воспользовавшись этим, легко доказать теорему синусов: AB=2Rsin С, где R- радиус описанной окружности Δ АВС. В самом деле, пусть С₁ - середина стороны АВ. Тогда АС₁ = АО sin <.AOC₁=R sin С, поэтому AB=2AC₁=2R sin С. Теорему синусов можно сформулировать и по-другому: «Проекция диаметра описанной окружности, пер­пендикулярного первой стороне треугольника, на прямую, содер­жащую вторую сторону, равна третьей стороне». Это столь громоздкое утверждение является на самом деле просто теоремой синусов.

В математике часто бывает так, что объекты, определенные совсем по-разному, оказываются совпадающими. Покажем это на примере.

Пусть А₁, В₁ и C₁ - середины сторон ВС, С А и АВ. Можно до­казать, что окружности, описанные около Δ АВ₁С₁, Δ A₁BC₁ и Δ A₁B₁C, пересекаются в одной точке, причем эта точка - центр описанной окружности Δ АВС (рис. 51). Итак, у нас есть две, казалось бы, совсем разные точки: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Δ АВС и точка пересечения описан­ных окружностей Δ АВ₁С₁, Δ AiBCi и Δ AiBiC. А оказывается, что эти две точки почему-то совпадают!

Проведем, однако, обещанное доказательство. Достаточно до­казать, что центр О описанной окружности Δ АВС лежит на ок­ружностях, описанных около ΔАВ₁С₁, Δ АiBCi и Δ A₁B₁C. Углы ОВ₁А и ОС₁А прямые, поэтому точки В₁ и С₁ лежат на окружности диаметром ОА, а значит, точка О лежит на окружности, описан­ной около Δ AB₁C₁. Для Δ AiBCi и Δ А₁В₁С доказательство аналогично.

Доказанное утверждение является частным случаем весьма интересной теоремы: если на сторонах АВ, ВС и СА треугольни­ка АВС взяты произвольные точки С₁, А₁ и В₁, то описанные окружности Δ АВ₁С₁, Δ А₁ВС₁ и Δ А₁В₁С пересекаются в одной точке.

Сделаем последнее замечание по поводу центра описанной окружности. Прямые А₁В₁ и АВ параллельны, поэтому ОС₁ перпендикулярна А₁В₁ Аналогично ОВ₁ перпендикулярна A₁C₁ и ОА₁ перпендикулярна В₁С₁, т. е. О - точка пересечения высот треугольника A₁B₁С₁ ... Постойте, постойте! Мы пока еще не доказывали, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Нет ли здесь пути к доказательству? К этому разговору мы еще вернемся.

ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Докажем, что биссектрисы углов Δ АВС пересекаются в од­ной точке. Рассмотрим точку О пересечения биссектрис углов А и В. Любые точки биссектрисы угла A равноудалены от прямых АВ и АС, а любая точка биссектрисы угла B равноудалена от пря­мых АВ и ВС, поэтому точка О равноудалена от прямых АС и ВС, т. е. она лежит на биссектрисе угла C. Точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и СА, значит, существует окружность с центром О, касающаяся этих прямых, причем точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. В самом деле, углы при вершинах А и В Δ АОВ острые, поэтому проекция точки О на пря­мую АВ лежит внутри отрезка АВ. Для сторон ВС и СА дока­зательство аналогично.

Пусть А₁, В₁ и С₁ - точки касания вписанной окружности тре­угольника со сторонами ВС, СА и АВ (рис. 52). Тогда АВ₁=АС₁, BC₁=BA₁ и СА₁ = СВ₁. Кроме того, угол B₁A₁C₁ равен углам при основании равнобедренного ΔАВ₁С₁ (по теореме об угле между касательной и хордой) и т. д. Для угла B₁C₁A₁ и угла A₁B₁C₁ доказа­тельство аналогично.

Углы при основании любого равнобедренного треугольника ост­рые, поэтому Δ А₁В₁С₁ остроугольный для любого Δ АВС.

Если x=AB₁, y=BC₁ и z=CA₁, то х+у = с, y+z=a и z+x=b, где а, b и с - длины сторон Δ АВС. Складывая первые два равенства и вычитая из них третье, получаем у= (а+с-в)/2. Ана­логично х=(в+с-а)/2 и z=(а+в-с)/2. Следует отметить, что для четырехугольника подобные рассуждения не привели бы к желаемо­му результату, потому что соответствующая система уравнений

либо вообще не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. В самом деле, если х+у=а, y+z=b, z+t = c и t+x = d, то у=а-х, z=b-y=b- а+х и t = c - b+a-х, а из равенства t+x=d следует, что a+c = b+d. Поэтому если а+с не равно в+ d, то система решений не имеет, а если a+c = b+d, то х можно вы­бирать произвольно, а у, z, t выражаются через х.

Вернемся снова к единственности решения системы уравнений для треугольника. Используя ее, можно доказать следующее ут­верждение: пусть окружности с центрами А, В и С касаются внеш­ним образом в точках А₁, В₁ и С₁ (рис. 53). Тогда описанная окружность Δ A₁B₁C₁ вписана в Δ АВС. В самом деле, если х, у и z - радиусы окружностей; a, b и с - длины сторон ΔАВС, то х+у = с, y + z=a, y+x = b.

Докажем три свойства центра О вписанной окружности Δ ABC.

1. Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описан­ную окружность Δ АВС в точке М, то МА=МВ=МО (рис. 54).

Докажем, например, что в Δ АМО равны углы при вершинах А и О. В самом деле, <OAM= <OAB+ <BAM и <AOM=<OAC+<АCO, <ОАВ=<ОАС и <ВАМ=<ВСМ = <ACO. Следовательно, АМ=МО. Аналогично ВМ=МО.

2. Если АВ - основание равнобедренного Δ АВС, то окруж­ность, касающаяся сторон <ACB в точках А и В, проходит через точку О (рис. 55).

Пусть О' - середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По свойству угла между касательной и хордой <CAO'= <О'ВА= <О'АВ, т. е. точка О' лежит на биссектрисе <A. Аналогично можно показать, что она лежит и на биссектрисе <B, т. е. О' = О.

3. Если прямая, проходящая через точку О параллельно сто­роне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А₁ и В₁, то A₁B₁=A₁B+AB₁.

Докажем, что Δ AB₁O равнобедренный. В самом деле, <B₁OA= <OAB = <B₁AO (рис. 56). Поэтому AB₁=B₁0. Ана­логично A₁B=A₁O, а значит, A₁B₁=A₁О+OB₁=A₁B+AB₁.

Пусть в Δ АВС углы при вершинах А, В и С равны α, β, γ. Вычислим величину угла, под которым сторона АВ видна из точ­ки О. Так как углы Δ АО В при вершинах А и В равны α/2 и β/2, то

<AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Эта

формула бывает полезна при решении многих задач.

Выясним, например, в каком случае четырехугольник, образо­ванный сторонами АС и ВС и биссектрисами АА₁ и ВВ₁, являет­ся вписанным. Четырехугольник OA₁CB₁ вписанный тогда и толь­ко тогда, когда <A₁CB₁+ <A₁OB₁ = 180° , т. е.

γ+(90° +γ/2) =180°, а значит, γ = 60°. В этом случае хорды OA₁

и ОВ₁ описанной окружности четырехугольника ОА₁СВ₁ равны, так как на них опираются равные углы OCA₁ и ОСВ₁.

Вписанная окружность Δ АВС касается его сторон во внут­ренних точках. Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех прямых АВ, ВС и СА. Центр окружности, ка­сающейся двух пересекающихся прямых, лежит на одной из двух прямых, делящих пополам углы между исходными прямыми. Поэтому центры окружностей, касающихся прямых АВ, ВС и С А, лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольни­ка (или же их продолжениях). Через точку пересечения любых двух биссектрис внешних углов проходит биссектриса внутреннего угла. Доказательство этого утверждения дословно повторяет дока­зательство соответствующего утверждения для биссектрис внут­ренних углов. В итоге получаем 4 окружности с центрами О, О_а, Оь и О_с (рис. 57). Окружность с центром О_а касается стороны ВС и

продолжений сторон АВ и АС; эта окружность называется вневписанной окружностью Δ АВС. Радиус вписанной окружности треугольника обычно обозначается через г, а радиусы вневписанных окружностей - через г _а, г ь и г _с. Между радиусами вписанной и вневписанной окружностей имеют место следующие соотношения:

г / г_с =(р-с)/р и г г _с=(р - а) (р -в), где р - полупериметр Δ АВС. Докажем это. Пусть К и L - точки касания вписанной и вневписанной окружностей с прямой ВС (рис. 58). Прямоугольные треугольники СОК и CO_cL подобны, поэтому

г/ г_с=ОК/О_сL =CK/CL.. Ранее было доказано, что СК = (а+в-с)/2=р-с.

Остается проверить, что CL=p.

Пусть М и Р - точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и АС. Тогда

CL= (CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP )/2 = ( CB+BM + CA+AM)/2 = р

Для доказательства соотношения rr_c=(p-a)(p-b) рассмот­рим прямоугольные треугольники LO_CB и КВО, которые подобны, так как

<OBK+< O_CBL =(<СВА + <АВL)/2=90°.

Значит, LО_с/ВL=BK/KO, т. е. rr_c = KO·LO_c = BK·BL. Остается за­метить, что ВК=(a+c-b)/2=p-b и BL = CL-CB=p-a.

Отметим еще одно интересное свойство (попутно уже факти­чески доказанное). Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются стороны АВ в точках N и М (рис. 58). Тогда AM = BN. В самом деле, BN=p - b и АМ=АР=СР-АС=р - в.

Соотношения rr_c=(p - а)(p-в) и rр=r_с (р-с) можно исполь­зовать для вывода формулы Герона S²=p(p - a)(p - b)(p - c), где S - площадь треугольника. Перемножая эти соотношения, по­лучаем r²p=(p - a)(p - b)(p - c). Остается проверить, что S=pr. Это легко сделать, разрезав ΔАВС на ΔАОВ, ΔВОС и ΔСОА.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН

Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точ­ке. Рассмотрим для этого точку М, в которой пересекаются медиа­ны АА₁ и ВВ₁. Проведем в ΔВВ1С среднюю линию A₁A₂, парал­лельную ВВ₁ (рис. 59). Тогда A₁M:AM=B₁A₂: AB₁=B₁A₂:B₁C=BA₁:ВС=1:2, т. е. точка пересечения медиан ВВ₁ и АА₁ делит медиану АА₁ в отношении 1:2. Аналогично точка пересечения ме­диан СС₁ и АА₁ делит медиану АА₁ в отношении 1:2. Следователь­но, точка пересечения медиан АА₁ и ВВ₁ совпадает с точкой пере­сечения медиан АА₁ и СС₁.

Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вер­шинами, то треугольник разобьется на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р - любая точка медианы АА₁ в АВС, то площади ΔАВР и ΔАСР равны. Ведь медианы АА₁ и РА₁ в Δ АВС и ΔРВС разрезают их на тре­угольники равной площади.

Справедливо также и обратное утверждение: если для некото­рой точки Р, лежащей внутри Δ АВС, площади ΔАВР, ΔВСР и ΔСАР равны, то Р - точка пересечения медиан. В самом деле, из равенства площадей ΔАВР и ΔВСР следует, что расстояния от точек А и С до прямой ВР равны, а значит, ВР проходит через середину отрезка АС. Для АР и СР доказательство аналогично.

Равенство площадей треугольников, на которые медианы раз­бивают треугольник, позволяет следующим образом найти отно­шение площади s треугольника, составленного из медиан ΔАВС, к площади S самого ΔАВС. Пусть М - точка пересечения медиан ΔАВС; точка А' симметрична А относительно точки М (рис. 60)

С одной стороны, площадь ΔА'МС равна S/3. С другой стороны, этот треугольник составлен из отрезков, длина каждого из которых равна 2/3 длины соответствующей медианы, поэтому его площадь

равна (2/3)²s = 4s/9. Следовательно, s=3S/4.

Весьма важным свойством точки пересечения медиан является то, что сумма трех векторов, идущих из нее в вершины треугольника, равна нулю. Заметим сначала, что АМ=1/3(АВ+АС) , где М - точка пересечения медиан Δ ABC. В самом деле, если

ABA'С - параллелограмм, то АА'=АВ+АС и АМ=1/3АА'. Поэтому МА+МВ+МС=1/3(ВА+СА+АВ + СВ + АС + ВС) = 0.

Ясно также, что этим свойством обладает только точка пересече­ния медиан, так как если X - любая другая точка, то

ХА+ХВ+ХС=(ХМ+МА)+(ХМ+МВ)+(ХМ+МС)=3ХМ..

Воспользовавшись этим свойством точки пересечения медиан треугольника, можно доказать следующее утверждение: точка пе­ресечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон АВ, CD и EF шестиугольника ABCDEF совпадает с точкой пере­сечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон ВС, DE и FA. В самом деле, воспользовавшись тем, что если, например, Р - середина отрезка АВ, то для любой точки X спра­ведливо равенство ХА+ ХВ=2ХР, легко доказать, что точки пере­сечения медиан обоих рассматриваемых треугольников обладают тем свойством, что сумма векторов, идущих из них в вершины шестиугольника, равна нулю. Следовательно, эти точки совпадают.

Точка пересечения медиан обладает одним свойством, резко выделяющим ее на фоне остальных замечательных точек тре­угольника: если ΔА'В'С' является проекцией ΔАВС на плос­кость, то точка пересечения медиан Δ А 'В'С' является проекцией точки пересечения медиан ΔАВС на ту же плоскость. Это легко следует из того, что при проектировании середина отрезка пере­ходит в середину его проекции, а значит, медиана треугольника переходит в медиану его проекции. Ни биссектриса, ни высота таким свойством не обладают.

Нельзя не отметить, что точка пересечения медиан треугольни­ка является его центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами, находящихся в вер­шинах треугольника, так и центром масс пластинки, имеющей форму данного треугольника. Положением равновесия треуголь­ника, шарнирно закрепленного в произвольной точке X, будет та­кое положение, при котором луч ХМ направлен к центру Земли. Для треугольника, шарнирно закрепленного в точке пересечения медиан, любое положение является положением равновесия. Кро­ме того, треугольник, точка пересечения медиан которого опира­ется на острие иглы, также будет находиться в положении равно­весия.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ

Чтобы доказать, что высоты ΔАВС пересекаются в одной точке, вспомним путь доказательства, наметившийся в конце раздела «Центр описанной окружности». Проведем через вершины А, В и С прямые, параллельные противоположным сторонам; эти прямые образуют ΔА₁В₁С₁ (рис. 61). Высоты ΔАВС являют­ся серединными перпендикулярами к сторонам ΔA₁B₁C₁. Следо­вательно, они пересекаются в одной точке - центре описанной окружности ΔA₁B₁C₁. Точка пересечения высот треугольника на­зывается иногда его ортоцентром.

-

Легко проверить, что если Н - точка пересечения высот ΔАВС, то А, В и С - точки пересечения высот ΔВНС, ΔСНА и Δ АНВ соответственно.

Ясно также, что <ABC+ <AHC= 180°, потому что <BA1H= <BC1H=90° (A₁ и C₁ - основания высот). Если точка H₁ сим­метрична точке Н относительно прямой АС, то четырехуголь­ник АВСН₁ вписанный. Следовательно, радиусы описанных ок­ружностей Δ АВС и Δ АН С равны и эти окружности симметричны относительно стороны АС (рис. 62). Теперь легко доказать, что

АН=а |ctgА|, где а=ВС. В самом деле,

AH=2R sin <ACH=2R |cos A| =a |ctg А| .

Предположим для простоты, что ΔАВС остроугольный и рас­смотрим ΔA₁B₁C₁, образованный основаниями его высот. Оказы­вается, что центром вписанной окружности ΔA₁B₁C₁ является точка пересечения высот ΔАВС, а центры вневписанных окружностей

ΔA₁B₁C₁ являются вершинами Δ АВС (рис. 63). Точки А₁ и В₁ лежат на окружности с диаметром СН (так как углы НВ₁С и НА₁С прямые), поэтому <HA₁B₁ = <HCB₁. Аналогично <HA₁C₁ = <HBC₁. А так как <HCB₁ = =<HBC₁ то А₁А - бис­сектриса <В₁А₁С₁.

Пусть Н - точка пересечения высот АА₁, ВВ₁ и CC₁ тре­угольника ABC. Точки A₁ и В₁ лежат на окружности с диамет­ром АВ, поэтому AH·A₁H=BH·B₁H . Аналогично ВН • B₁H=СН ·С₁Н.

Для остроугольного треугольника справедливо также обратное утверждение: если точки А₁, B₁ и C₁ лежат на сторонах ВС, СА и АВ остроугольного Δ АВС и отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке Р, причем АР·А₁Р=ВР·В₁Р=СР·С₁Р, то Р - точка пе­ресечения высот. В самом деле, из равенства

AP·A₁P=BP·B₁P

следует, что точки А, В, А₁ и В₁ лежат на одной окружности с диаметром АВ, а значит, <AB₁B= <BA₁A=γ. Аналогично <ACiC=<CAiA = β и <СВ₁В= <ВС₁С= α (рис. 64). Ясно так­же, что α + β= <BC₁C+ <CC₁A = l80°, β+γ=180° и γ + α = 180°. Следовательно, α = β=γ=90°.

Точку пересечения высот треугольника можно определить еще ж другим весьма интересным способом, но для этого нам потребу­ются понятия вектора и скалярного произведения векторов.

Пусть О - центр описанной окружности Δ АВС. Сумма векторов О А + OB + ОС является некоторым вектором, поэтому сущест­вует такая точка Р, что ОР = ОА + ОВ+ОС. Оказывается, что Р - точка пересечения высот ΔАВС !

Докажем, например, что AP перпендикулярно BC. Ясно, что АР=АО+

+ор=ао+(оа+ов+ос)=ов+ос и вс= -ов+ос. По­этому скалярное произведение векторов АР и ВС равно ОС² - OB²=R² -R²=0, т. е. эти векторы перпендикулярны.

Это свойство ортоцентра треугольника позволяет, доказывать некоторые далеко не очевидные утверждения. Рассмотрим, напри­мер, четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Пусть На, Нв, Нс и H_d - ортоцентры Δ BCD, ΔCDA, Δ DAB и Δ ABC соответственно. Тогда середины отрезков АН_а, ВНь, СН_С, DH _d совпадают. В самом деле, если О - центр окружности, а М - се­редина отрезка АН_а, то ОМ=1/2(0А + ОН_а)= =1/2(ОА + ОВ+ОС+ОD). Для середин трех других отрезков получаем точно такие же выражения.

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА

Самым удивительным свойством замечательных точек тре­угольника является то, что некоторые из них связаны друг с дру­гом определенными соотношениями. Например, точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н и центр описанной окруж­ности О лежат на одной прямой, причем точка М делит отре­зок ОН так, что справедливо соотношение ОМ:МН= 1:2. Эта теорема была доказана в 1765 г. Леонардом Эйлером, который своей неутомимой деятельностью значительно развил многие об­ласти математики и заложил основы многих новых ее разделов. Он родился в 1707 г. в Швейцарии. В 20 лет Эйлер по рекомендации братьев Бернулли получил приглашение приехать в Санкт-Петер­бург, где незадолго перед этим была организована академия. В конце 1740 г. в России в связи с приходом к власти Анны Леополь­довны сложилась тревожная обстановка, и Эйлер переехал в Берлин. Через 25 лет он снова вернулся в Россию, в общей слож­ности в Петербурге Эйлер прожил более 30 лет. Находясь в Берли­не, Эйлер поддерживал тесную связь с русской академией и был ее почетным членом. Из Берлина Эйлер переписывался с Ломоно­совым. Их переписка завязалась следующим образом. В 1747 г. Ломоносова избрали в профессоры, т. е. в действительные члены академии; императрица это избрание утвердила. После этого реакционный чиновник академии Шумахер, яро ненавидящий Ло­моносова, послал его работы Эйлеру, надеясь получить о них плохой отзыв. (Эйлер был старше Ломоносова всего на 4 года, но его научный авторитет был к тому времени уже очень высок.) В своем отзыве Эйлер писал: «Все сии сочинения не токмо хоро­ши, но и превосходны, ибо он изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкова­нию самым остроумным и уче­ным людям, с таким основательством, что я совсем уверен о точности его доказательств... Желать надобно, чтобы все про­чие академии были в состоянии показать такие изобретения, ко­торые показал господин Ломо­носов».

Перейдем к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим ΔA₁B₁C₁ с вершинами в ­ серединах сторон Δ АВС; пусть H₁и Н - их ортоцентры (рис. 65). Точка Н₁ совпадает с центром О описанной окружности ΔАВС. Докажем, что ΔC₁H₁M=ΔCHM. В самом деле, по свойству точки пересечения медиан С₁М:СМ= 1:2, коэффициент подобия ΔA₁B₁C₁ и ΔАВС равен 2, поэтому C₁H₁:CH=1:2, кроме того, <H₁C₁M=<НСМ (C₁H₁||CH). Сле­довательно, < C₁MH₁ = < СМН, а значит, точка М лежит на отрезке H₁H. Кроме того, H₁M:MH=1:2, так как коэффициент подобия ΔC₁H₁M и ΔСНМ равен 2.

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК

В 1765 г. Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Докажем и мы это свойство треугольника.

Пусть В₂ - основание высоты, опущенной из вершины В на
сторону АС. Точки В и В₂ симметричны относительно прямой А₁С₁
(рис. 66). Следовательно, ΔА₁В₂С₁ = ΔA₁BC_t = ΔA₁B₁C₁, поэтому <A₁B₂C₁ = <А₁В₁С₁, а значит, точка В₂ лежит на описанной
окружности ΔА₁В₁С₁. Для остальных оснований высот доказа­тельство аналогично. "

Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности ле­жат еще три точки - середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.

Пусть Аз и Сз - середины отрезков АН и СН, С₂ - основа­ние высоты, опущенной из вершины С на АВ (рис. 67). Дока­жем сначала, что A₁C₁A₃C₃ - прямоугольник. Это легко следует из того, что А₁Сз и A₃C₁ - средние линии ΔВСН и ΔАВН, а A₁C₁ и А₃Сз - средние линии ΔАВС и ΔАСН. Поэтому точки А₁ и Аз лежат на окружности с диаметром С₁Сз, а так как <C₁C₂C₃=90°, то на этой окружности лежит и точка С₂. Итак, точки Аз и Сз лежат на окружности, проходящей через точки А_1, C₁ и С₂. Эта окружность совпадает с окружностью, рассмотренной Эйлером (если Δ АВС не равнобедренный). Для точки Вз доказа­тельство аналогично.

ТОЧКА ТОРРИЧЕЛЛИ

Внутри произвольного четырехугольника ABCD легко найти точку, сумма расстояний от которой до вершин имеет наимень­шее значение. Такой точкой является точка О пересечения его диагоналей. В самом деле, если X - любая другая точка, то АХ+ХС≥АС=АО+ОС и BX+XD≥BD=BO + OD, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Для треугольника аналогичная задача решается сложнее, к ее решению мы сейчас перейдем. Для простоты разберем случай остроугольного треугольника.

Пусть М - некоторая точка внутри остроугольного Δ АВС. Повернем Δ АВС вместе с точкой М на 60° вокруг точки А (рис. 68). (Точнее говоря, пусть В',С и М' - образы точек В, С и М при повороте на 60° вокруг точки А.) Тогда АМ+ВМ+СМ=ММ'+BM+C' M', АМ=ММ', так как ΔАММ'- равнобедренный (АМ=АМ') и <МАМ' = 60°. Правая часть равенства - это длина ломаной ВММ'С'; она будет наименьшей, когда эта ломаная

совпадает с отрезком ВС'. В этом случае <.AMB = 180° - <АММ' = 120° и <АМС = <AM'C - 180°- <AM'M = 120°, т. е. стороны АВ, ВС и СА видны из точки М под углом 120°. Такая точка М называется точкой Торричелли треугольника ABC.

Докажем, впрочем, что внутри остроугольного треугольника всегда существует точка М, из которой каждая сторона видна под утлом 120°. Построим на стороне АВ треугольника ABC внешним образом правильный ΔАВС₁ (рис. 69). Пусть М -точка пересе­чения описанной окружности ΔАВС₁ и прямой СС₁. Тогда <AMC₁ = <ABC₁=60° и <BMC₁ =<BAC₁=60°. Поэтому сто­роны Δ АВС видны из точки М под углом 120°. Продолжая эти рассуждения немножко дальше, можно получить еще одно опреде­ление точки Торричелли. Построим правильные треугольни­ки А₁ВС и АВ₁С еще и на сторонах ВС и АС. Докажем, что точка М лежит также и на прямой АА₁. В самом деле, точка М лежит на описанной окружности ΔA₁BC, поэтому <A₁MB= <A₁CB = 60°, а значит, <А₁МВ+ <.BMA= 180°. Аналогично точка М лежит и на прямой ВВ₁ (рис. 69).

Внутри ΔАВС существует единственная точка М, из которой его стороны видны под углом 120°, потому что описанные окруж­ности ΔABC₁, ΔAB_iC и ΔА₁ВС не могут иметь более одной об­щей точки.

Приведем теперь физическую (механическую) интерпретацию точки Торричелли. Закрепим в вершинах ΔАВС колечки, про­пустим сквозь них три веревки, одни концы которых связаны, а к другим концам прикреплены грузы равной массы (рис. 70). Ес­ли х = МА, у = МВ, z=MC и а - длина каждой нити, то потенци­альная энергия рассматриваемой системы равна mg(x-а)+ mg (y - a)+mg (z--а). В положении равновесия потенциальная энергия имеет наименьшее значение, поэтому сумма х+у+z тоже имеет наименьшее значение. С другой стороны, в положении равновесия равнодействующая сил в точке М равна нулю. Силы эти по абсолютной величине равны, поэтому попарные углы между векторами сил равны 120°.

Остается рассказать, как обстоят дела в случае тупоугольно­го треугольника. Если тупой угол меньше 120°, то все предыдущие рассуждения остаются в силе. А если тупой угол больше или равен 120°, то сумма расстояний от точки треугольника до его вершин будет наименьшей, когда эта точка - вершина тупого угла.

ТОЧКИ БРОКАРА

Точками Брокара Δ АВС называются такие его внутренние точки Р и Q, что <ABP= <.BCP=<CAP и <.QAB = <.QBC = < QCA (для равностороннего треугольника точки Брокара сли­ваются в одну точку). Докажем, что внутри любого ΔАВС сущест­вует точка Р, обладающая требуемым свойством (для точки Q до­казательство аналогично). Предварительно сформулируем опреде­ление точки Брокара в другом виде. Обозначим величины углов так, как показано на рисунке 71. Поскольку <АРВ=180° - а+х-у, равенство х=у эквивалентно равенству <APB=180°-<.A. Следовательно, Р - точка Δ АВС ,из которой стороны АВ,
ВС и СА видны под углами 180°-<.A, 180°- <B, 180°-<С.
Такую точку можно построить следующим образом. Построим на
стороне ВС треугольника АВС подобный ему треугольник СА1В
так, как показано на рисунке 72. Докажем, что точка Р пересече­ния прямой АА1 и описанной окружности ΔА1ВС искомая. В са­мом деле, <BPC=18O° - β и <APB= 180°- <A_tPB= 180° -<A1CB = l80° - а. Построим далее аналогичным образом по­добные треугольники на сторонах АС и АВ (рис. 73). Так как <.APB =180° - а, точка Р лежит также и на описанной окружности ΔАВС₁ Следовательно, <BPC₁ = <BAC₁ = β, а значит, точка
Р лежит на отрезке СС₁. Аналогично она лежит и на отрезке ВВ₁,
т. е. Р - точка пересечения отрезков АА₁, ВВ₁ и СС₁.

Точка Брокара Р обладает следующим интересным свойством. Пусть прямые АР, ВР и СР пересекают описанную окружность ΔАВС

в точках А₁, В₁ и C₁ (рис. 74). Тогда ΔАВС = ΔB₁С₁A₁.В самом деле, <.A₁B₁C₁ = <A₁B₁B+ <BB₁C₁ = <A₁AB+<ВCC₁ = <A₁AB+ +<A₁AC=<.ВАС, по свойству точки Брокарa ΔАВС углы BCC₁ и А₁АС равны, а значит, A₁C₁=BC. Равенство остальных сторон ΔАВС и ΔВ₁С₁А₁ проверяется аналогично.

Во всех рассмотренных нами случаях доказательство того, что соответствующие тройки прямых пересекаются в одной точке, можно провести с помощью теоремы Чевы. Мы сформулируем эту теорему.

Теорема. Пусть на сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты точки С₁, А₁ и В₁ соответственно. Прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

АС₁/С₁В·ВА₁/А₁С·СВ₁/ В₁А = 1.

Доказательство теоремы приведено в учебнике геометрии 7-9 класс Л.С.Атанасяна на с.300.

Литература.

1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.- М.:Просвещение, 2000г.

2.Киселев А.П. Элементарная геометрия.- М.:Просвещение, 1980г.

3.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. М.:Просвещение, 1991г.

4. Энциклопедический словарь юного математика.. Сост. А.П.Савин.-.М.:Педагогика, 1989.