Проект по математике: Искусство отгадывать числа

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение -

Казанская средняя общеобразовательная школа

Баганского района Новосибирской области

Исследовательская работа по математике

"Искусство отгадывать числа"

выполнила:

Вербах Людмила Сергеевна

ученица 5 класса

руководитель:

Альгаер Тамара Филипповна

учитель математики

Содержание

Введение……………………………………………………..…………………..…………………..

3

1Из истории уравнений………………………………..…………………..……….........

5

2 Исследовательская часть ………………………………………………………………….

10

2.1 Основные понятия ………………………………………………………...................

10

2.2 Простые уравнения ………………………………………………………..................

10

2.3 Виды уравнений, изучаемые в учебнике Н. Я. Виленкина «Математика 5»…………………………….........................................................

13

2.4 Искусство отгадывать числа ……………………………………………...............

16

Заключение……………………………………………………………………........................

17

Список литературы……………………………………………………………....................

18

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики. Подавляющее большинство задач сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники, Так же умения решать уравнения понадобятся в дальнейшем при решении задач по физике, химии. Составление и решение уравнений способствуют развитию мышления, находчивости, сообразительности, инициативности.

Целью данной работы является исследовать, что же лежит в основе задачи «Искусство отгадывать числа».

Гипотезой исследования стало предположение, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить литературу по данному вопросу;

2) найти все виды уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я. Веленкина «Математика 5»;и разбить их по видам

3) исследовать задачу «Искусство отгадывать числа»;

4) придумать фокус на отгадывание числа

5) разработать памятку «Решаем уравнения на 5

Методы:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;

-исследовательский метод при определении видов уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я. Веленкина «Математика 5», при отгадывании фокусов, при составлении фокусов, на отгадывание чисел.;

- практический метод при разработки памятки «Решаем уравнения на 5».

Структура данной работы следующая:

- в первом разделе представлены исторические сведения о развитии уравнений;

- во втором разделе представлены все виды уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я. Виленкина «Математика 5»;

- в третьем разделе приведено исследование задачи «Искусство отгадывать числа»;

- примеры математических фокусов представлены, разобраны,

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;

- список литературы содержит 6 наименований;

- в приложении представлена памятка «Решаем уравнения на 5».

1 Из истории уравнений

Искусство решать уравнения возникло давно, а занимается вопросом решения уравнений алгебра. Алгебра - это часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнение первой и второй степени умели решать в древности также китайские и индийские учёные.

Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаютcя во многих текстах глубокой древности. B Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850г. до н. э., и в папирусе Axмeca, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое «исчесление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Рис.1 Математический папирус Ринда; 1550 г. до н. э., Британский музей. Содержит решения 84 задач, вычисления площадей и объемов

Рис.2 Древнеегипетская запись уравнения.

Вот пример задачи и её решение из папируса Ахмеса:

Задача: «Количество и его четвёртая часть дают вместе 15». В настоящие время для решения задачи составляется уравнение

Решая его, находим : х = 12.

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

Египетский метод решения является по существу методом предложения. Начинают с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как четверть его, 1, просто вычисляется. Далее 4 + 1 = 5. Однако, по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно, во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название «метода ложного положения».

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе.

Вот одна из задач Московского папируса:

« Число и его половина составляет 9». Найти число.

В современной записи уравнения к решению этой задачи будет иметь вид:

Ответ: неизвестное число 6

В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед ал - Хорезми написал трактат « Китаб аль - джебр Валь - мука - бала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль - джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его части в другую с изменением знака.

Рис.3 Ал-ХОРЕЗМИ Мухаммед бен-Муса (783-850).

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Его «Книга абака» (1202) - трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений.

Рис.4 Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 - 1250).

Рис.5 Страница из Книги абака.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшие развитие алгебры: самые сложные формы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Ф.Виет ввёл буквенные обозначения.

Рис.6 Виет Франсуа (1540 -1603).

2 Исследовательская часть

2.1 Основные понятия уравнения

Уравнение - равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение - значит найти все его корни (или убедиться, что корней нет).

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.

В уравнениях пишут одну из строчных букв латинского алфавита.

Чаще употребляют х(икс), у(игрек),

Уравнения бывают следующих типов

2.2 Простые уравнения.

Уравнения называются простыми тогда, когда нужно выполнить только одно арифметическое действие, чтобы найти неизвестное число.

Например:

х + 12 = 30,

54 : у = 9,

b 6 = 48 ,

75 - с = 38.

Где х- неизвестное слагаемое, у- неизвестный делитель, в- неизвестный множитель, с -неизвестное вычитаемое.

Что надо найти

Слагаемое

x + 9 = 15

Уменьшаемое

x - 14 = 2

Вычитаемое

5 - x = 3

Правило

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Пример решения

x + 9 = 15

x = 15 - 9

x = 6

Проверка

6 + 9 = 15

15 = 15

x - 14 = 2

x = 14 + 2

x = 16

Проверка

16 - 2 = 14

14 = 14

5 - x = 3

x = 5 - 3

x = 2

Проверка

5 - 2 = 3

3 = 3

Что надо найти

Множитель

y • 4 = 12

Делимое

y : 7 = 2

Делитель

8 :y = 4

Правило

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Пример решения

y • 4 = 12

y = 12 : 4

y = 3

Проверка

3 • 4 = 12

12 = 12

y : 7 = 2

y = 2 • 7

y = 14

Проверка

14 : 7 = 2

2 = 2

8 : y = 4

y = 8 : 4

y = 2

Проверка

8 : 2 = 4

4 = 4

Если в уравнении встречается выражения, которые можно упростить, то вначале упрощаем выражения, и только после этого решаем уравнение.

Например:

Решить уравнение:

5x + 2x = 49

Левую часть уравнения можно упростить. Сделаем это:

7x = 49

Теперь решим простое уравнение по правилу нахождения неизвестного множителя:

x = 49 : 7

x = 7

Завершив пример, выполним проверку.

Ответ:7

2.3 Виды уравнений, изучаемые в учебнике Н. Я. Виленкина «Математика 5» Все виды уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я. Виленкина «Математика 5» я разобрала по видам: простые, с упрощением левой части, двухуровневые и сложные. Привожу примеры некоторых из них в таблице:

Уравнения

Виды

2x=8

Простые

Х-5=32

Простые

Х+23=45

Простые

17-х=4

Простые

y • 4 = 12

Простые

y : 7 = 2

Простые

8 : y = 4

Простые

32+y=65

Простые

5y+7y=900

Упрощение левой части

9y-7y=2

Упрощение левой части

5a-a+6y+4y=500

Упрощение левой части

7t-2t-1t-3t=25

Упрощение левой части

(54y)+(5y+7y)=132

Упрощение левой части

a+a+a+a+a+a=36

Упрощение левой части

11r-(6r+5r)+4a=4

Упрощение левой части

56z-20z-7z+265

Упрощение левой части

(17-x)•9=36

Двухуровневые

87-(41+y)=22

Двухуровневые

5-a+6=6

Двухуровневые

65-(33:y)=54

Двухуровневые

63•(7y)=9

Двухуровневые

55:(5y)=11

Двухуровневые

5x+6x•7=770

Двухуровневые

(x-87)-27=36

Двухуровневые

78+(54-x)+22=120

Сложные

67-y-45+9=21

Сложные

2136:(19-x)•2=1424

Сложные

42•(8+y)•5=4410

Сложные

54-(23+y)•1=23

Сложные

2t+17t-54-4=18

Сложные

Все мы умеем решать уравнения, ну или почти все , многие умеют решать задачи с помощью уравнения, так например:

Задача:

В поезде ехало несколько человек на первой остановке сошли 8, на второй остановке вошли еще 5пассажиров , на конечной станции в вагоне было 28 человек .сколько человек ехало в поезде первоначально?

Я составляю уравнение для решении этой задачи:

(х-8)+5=28

Легко догадаться, что в поезде был 31 пассажир.

А сейчас перейдем к задаче на отгадывание чисел. Все получили листочки и ручку или карандаш. Сейчас я угадаю сколько лет вам или вашей сестре или маме и т.д .

2.4 Попробуем еще раз Фокус "Угадать число"

Задумайте число ваших лет. Задумайте любое число.

Умножьте его на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность еще раз проверяем ,считаем правильно.

В этом случае "фокусник" должен цифру единиц сложить с числом десятков - получится число лет.

(только считайте правильно).

Каждый из вас, возможно и раньше, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте натуральное число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 2, отнимите 1. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Итак, что же лежит в основе фокуса? «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика»¹.

Переведем данную задачу на язык алгебры.

Таблица 1.

Чтобы ответить на выше поставленный вопрос, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое - то число x, то после всех действий у вас должно получиться 4x + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 9. Тогда фокусник быстро . , от полученного числа он вычитает 1 и делит на 4

Таким образом, подтверждается гипотеза, о том, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Такие фокусы можно придумывать самим.

Я придумала следующий:

Задумайте число х

Умножьте его на 4 4х

Прибавьте задуманное число 4х+х=5х

Скажите ответ, и чтобы вы не сказали, я ответ ваш разделю на 5, т.к. в результате алгебраических преобразований получилось буквенное выражение, которое очевидно делится на 5 и результат это х, ваше задуманное число.

Математические фокусы

Фокусы развивают творческие начала личности, артистические способности, стимулируют потребность в творческом самовыражении. Математические фокусы способствуют концентрации внимания и активизации учащихся на уроках математики. Магия фокуса способна разбудить сонных, растормошить ленивых, заставить думать тугодумов. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А секрет фокуса чаще всего имеет математическую природу.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.

1. На основе изученной литературы по данной теме, открыла для себя много интересного и нового об уравнениях, чего не могла прочитать в учебнике. Например, узнала о том, что ещё в древности люди пользовались ими, не зная, что это - уравнения. В наше время невозможно представить себе решение, как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других науках, без применения решения уравнений.

2. Выполненный обзор школьного учебника Н. Я. Виленкина «Математика 5», показал, что в учебнике встречаются 4 вида уравнений.

3. Исследовав задачу «Искусство отгадывать числа», выяснила, что в основе задачи лежит уравнение.

4 Научилась составлять и отгадывать несложные фокусы

5. Подготовлена и разработана памятка «Решаем уравнения на 5».в подарок 4 классу и памятка для гостей « Угадай число и разгадай фокус»

Список литературы

1. Виленкин, Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд // Математика: учебник для 5 кл. / ред. Г. С. Уманский. - М.: Мнемозина, 2009. - 280 с.

2. Глейзер, Г. И. История математики в школе ⁄ Г. И. Глейзер ⁄⁄ История математики в школе: пособие для учителей ⁄ под редакцией В. Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

3. Ефимова, А. В. Решаем уравнения/А. В. Ефимова, М. Р. Гринштейн // Решаем уравнения: учебник для 2 - 5 кл. - СПб.: Издательский дом «Литера»,

1