Проект Квадратные уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

Учебный проект

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Автор: ученик 8»а» класса

Комарков Дмитрий

Руководитель:

учитель математики

высшей категории

Смирнова

Надежда Александровна

2012 год

Оглавление.

Введение

Глава 1. Изучение литературы

Глава 2. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и приемах их решения

Глава 3. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава 4. Материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Глава 5. Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами.

Глава 6. Выводы

Список литературы

Введение.

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Цель: создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос: как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Гипотеза: Предполагаем, что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

Задачи:

1. Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения

2. Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

3. Изучить дополнительные литературу и источники информации

4. Систематизировать нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

5. Разработать дидактический материал и провести его апробацию на факультативе в 8 классе

6. Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: приемы решения квадратных уравнений

Глава 1

Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Решение квадратных уравнений» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Алгебра-8 класс разобраны основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2.Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений, о нестандартных приемах их решения, в школьных учебниках отсутствуют. Поэтому в ходе работы над проектом изучалась дополнительная научная литература и другие источники информации.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений нестандартными приемами и перейти к следующему этапу в исследовании- научиться применять полученные знания на практике.

Глава 2.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

1. Немного истории.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В III в. н. э. квадратное уравнение
х² - 20х + 96 = 0
без обращения к геометрии
решил великий древнегреческий математик Диофант (3век).

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

2. Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

А) Общий вид квадратного уравнения

Б) Известные способы решения

квадратных уравнений

полные

Известные способы решения

квадратных уравнений

полные (особые случаи)

полные приведённые квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

Неполные квадратные уравнения

- Нет корней, если -с/a <0

+ √-с/a ,если -c|a>0

-

Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах² + bx + с = 0 (а ≠ 0)

можно рассматривать как абсциссы точек пересечения

окружности с центром Q (- в/2a ; (a+c)/2a ), проходящей через точку

A(О; 1), и оси Ох .

1) если QA > (a+c)/2a , то
окружность пересекает ось Ох в двух точках
М(х₁; 0) и N(х₂; 0) , уравнение имеет
корни х₁ ; х₂

2) если QA = (a+c)/2a , то

окружность касается оси Ох в точке М(х₁; 0),
уравнение имеет корень х_1.

3) если QA<(a+c)/2a , то окружность не имеет общих точек с осью Ох,
и уравнение
не имеет корней.

Проведя анализ, я заметил, что значения корней квадратного уравнения зависят от его коэффициентов. Следовательно, искать нестандартные приемы решения квадратных уравнений необходимо учитывая эти связи.

Глава 3

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

метод коэффициентов

Прием « переброски» старшего коэффициента

Глава 4

Материал для проведения проверочной работы по решению квадратных уравнений с помощью нестандартных приемов

Найденные нестандартные приемы было решение апробировать на факультативном занятии в 8 классе.

Цель данной работы: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Данная работа проведена в 2 этапа:

1. Изучение теории

2. Практическая работа

Были подобраны задачи для проведения работы.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

А) 4х² - 13х + 9 =0

(1; 2,25)

Б) 1978х² - 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

В) 4х² + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

Г) 319х² + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

Д) 1999х² + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

А) 313х² +326х+13=0

(-1; -13/313)

Б) 839х²- 448х -391=0

(1; -391/839)

В) 345х² - 137х - 208=0

(1;.-208/345)

Г) 939х²+978х+39=0

(-1; -39/939)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х²+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х²-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х²-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х²-5х+2=0 4. -2; -3

5. х²-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х²+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х²+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х²+5х+2=0 8. 2; 3

Глава 5

Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;

2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17

3. Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 - 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 - 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Глава 6

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Литература

1.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: - М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970

2 А М.Л.Галицкий,.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение. 2001

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996

5. Штейнгауз В.Г.:Математический калейдоскоп.- М.: Бюро «Квантум»,2005

6.Знциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика,1985

Защита проекта «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

В этом учебном году на уроках алгебры мы изучили тему «Квадратные уравнения и способы их решения».

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Недавно ко мне обратился мой знакомый -ученик 11 класса, который забыл общие формулы решения квадратного уравнения. Я сначала удивился, но потом задумался над тем, как помочь таким ребятам найти другие, ранее не изученные приемы решения квадратных уравнений, без применения основных формул решения квадратного уравнения.

Так появился учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»(Слайд1)_

Эпиграфом к проекту могут служить слова Сойера:(2слайд)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

У. Сойер.

Цель проекта;(3 слайд)

создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос (3 Слайд)

как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Я преположил(3слайд - гипотеза)

что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

План исследования (4слайд)

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Немного истории вопроса(5 слайд)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Однако, почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

В результате обобщения знаний о способах решения квадратных уравнений, анализа дополнительной литературы и других источников информации, найдены нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

(слайд6)Метод коэффициентов

Рассказать

(слайд7) метод переброски

Рассказать

Для проверки эффективности использования этих приемов я разработал дидактический материал и предложил провести занятие факультатива в 8 классе поданной теме. Цель занятия: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Проведен анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами (слайд 8)

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

Всего предложено 17 заданий.

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл; наибольшее количество набранных баллов-17

2. Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 - 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 - 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений: заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Слайд 9

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а так же, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Слайд 10 Спасибо за внимание

история

первое тысячелетие н.э. - Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат "Арифметика" содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате "Алгебра" классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Глава 2

Классификация задач на проценты

В ходе проведения исследовательской работы в УМК под ред. Г.В.Дорофеева была проведена классификация всех задач по их основным типам.

Глава 3

Описание средств, методов

организации деятельности

В работе использовался общественный опрос и проведена обработка собранных данных по следующим вопросам:

1. Количественный состав

2. Внешний вид

3. Темперамент

4. Данные гороскопа

5 .Увлечения

6. Распределение времени суток

7. Успеваемость

Заключение

Проводя исследование мы решили много практических задач на проценты, применяя умения решать опорные задачи .

Это помогло нам не только дать полное и яркое представление о нашем классе, но и закрепить умение решать задачи на проценты.

Данный проект был апробирован на общем собрании учащихся и родителей. Материалы проекта будут использованы при подготовке других внеклассных дел в классе и в школе, а в дальнейшем планируется разработать подобный проект для использования их при подготовке выпускных вечеров класса.

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Список литературы

1. Г.В. Дорофеев «Математика-6» Издательство Просвещение, 2008г

2. А.В. Шевкин «Обучение решению текстовых задач», Русское слово, 2001

3. «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика»,М.,2007

4. «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Глава 3

Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

Глава 4

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава5

Выводы

В ходе исследования я изучил литературу, решил множество различных квадратных уравнений и пришел к выводу, что существует связь между коэффициентами квадратного уравнения и приемами его решения. Учитывая этот факт были найдены и отработаны нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Данные приемы решения заслуживают внимания, так как они не отражены в школьных учебниках.

Овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы экзаменов.

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

4. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

4х² - 13х + 9 =0

(1; 2,25)

1978х² - 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

4х² + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

319х² + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

1999х² + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

5. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

313х² +326х+13=0

(-1; -13/313)

839х²- 448х -391=0

(1; -391/839)

345х² - 137х - 208=0

(1;.-208/345)

939х²+978х+39=0

(-1; -39/939)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х²+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х²-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х²-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х²-5х+2=0 4. -2; -3

5. х²-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х²+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х²+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х²+5х+2=0 8. 2;3