Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

2015

Департамент профессионального образования Томской области Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования « Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»



Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


Учебное пособие по элементам высшей математики

Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2015.


Составитель:

Л.В. Журавлёва, преподаватель математики

Учебное пособие по элементам высшей математики предназначено студентам СПО, обучающимся по профессии 260807 Технология продукции общественного питания


Рассмотрено на заседании методического объединения общеобразовательных дисциплин

Протокол № от .. 2015 г.





Пояснительная записка


Данное учебное пособие по математическому анализу предназначено для студентов по профессии 260807 Технология продукции общественного питания.

Пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов в области математики для специалистов среднего звена.

Пособие содержит все необходимые определения, формулы, теоремы, входящие в курс математики средних учебных заведений.

Это не только учебное пособие, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы.














Содержание

Пояснительная записка……………………………………………3

Глава 1. Последовательности…………………………………….

  1. Определение и свойства последовательностей………....6

  2. Предел числовой последовательности.

Предел функции………………………………………………..7

  1. Непрерывность функции в точке……………………….11

Упражнения…………………………………………………...11

Глава 2. Математический анализ…………………………………

2.1. Определение производной………………………………14.

2.2. Правила вычисления производной……………………..15

Упражнения …………………………………………………..16

2.3. Исследование функции методами

дифференциального исчисления……………………………..17

2.31. Исследование функции на возрастание и убывание..17

2.32. Исследование функции на экстремум………………..18

2.33. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке ………………………………………………………20

2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость

и точки перегиба ……………………………………………….21

2.35. Асимптоты графика функции………………………...24

2.36. Общая схема исследования функции и построения

их графиков……………………………………………………..26

Упражнения……………………………………………………..28

2.4. Неопределенный интеграл…………………………………

2.41. Первообразная функции и неопределенный

интеграл ………………………………………………………..29

2.42. Свойства неопределенного интеграла.

Интеграл от основных элементарных функций………………31.

2.43. Методы интегрирования………………………………33

Упражнения……………………………………………………..37

2.5 Определенный интеграл……………………………………38

2.51. Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл……………………………………..41

2.52. Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница…………………………………..

  1. Вычисление площади плоских фигур…………………42

Упражнения………………………………………………………45

2.6. Производная высшего порядка…………………………….45

Упражнения………………………………………………………46

2.7. Функция нескольких переменных …………………………46

Упражнения………………………………………………………47

Глава 3. Ряды…………………………………………………………

3.1. Числовые ряды. Сходимость рядов………………………..48

3.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд. Геометрический ряд……………………..49

3.3. Ряды с положительными членами………………………....50

3.4. Знакочередующиеся ряды………………………………….52

Упражнения………………………………………………………53

3.5. Степенные ряды…………………………………………….53

Упражнения……………………………………………………...56

Раздел 4. Численное интегрирование.

4.1 Приближенные методы вычисления определенных

интегралов………………………………………………………..56

Упражнения……………………………………………………...60

Список литературы ……………………………………………..61

















Глава 1. Последовательности.

Тема 1.1 Определение и свойства последовательностей.

Множество чисел, каждое их которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности: х1, х23,…хn,…

Чаще всего эта последовательность подчиняется какому-нибудь правилу.

Способы задания последовательностей

  1. Аналитический способ задания последовательности.

Задать последовательность аналитически- это значит указать формулу, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно определить этот член. Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

Например, формулы общего члена

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

задают соответственно следующие числовые последовательности:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  1. Рекуррентный способ задания последовательностей.

Рекуррентный способ задания состоит в том, что задается первый член( или несколько первых членов) последовательности указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданному первому члену( или нескольким членам).

Например, по первому члену и формуле вычисления последующих членов последовательности

a1=1, an+1=an+1 ,nУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

задается следующая последовательность:

1, 2, 3, 4, …, n-1, n, n+1, …Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Последовательности бывают: ограниченные (если последовательность задается конечным числом элементов) и бесконечные ( если последовательность задается бесконечным числом элементов).

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

xn+1>xn.

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого натурального n выполнено неравенство

xn+1<xn.

Пример: Доказать, что последовательность, задаваемая формулой общего члена Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОвозрастающая.

Решение : Рассмотрим разность

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и проверим выполнение Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОнеравенства Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО для всех Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Так как последнее неравенство справедливо для всех Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то, данная последовательность -возрастающая.


Тема 1.2 Предел числовой последовательности. Предел функции.

Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Число к которому стремится последовательность называют пределом последовательности, и пишут lim xn=a .

Вычисление пределов.

При вычислении пределов могут помочь их арифметические свойства. Пусть для последовательностей xn и yn существуют пределы Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Тогда существуют пределы для суммы(разности), произведения и частного этих последовательностей, и справедливы равенства :

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


Однако воспользоваться арифметическими свойствами пределов удается далеко не всегда. Может случиться , что нет предела у одной или обеих последовательностей, но для их арифметических операций предел существует. Во всех подобных случаях говорят о неопределенностях, которые стремятся раскрыть. Существует несколько видов неопределенностей: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

  1. Если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены относительно n , то при вычислении ее предела при nУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОполезно поделить числитель знаменатель на старшую степень n, присутствующую в многочленах.

Пример. Вычислить предел:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Решение : Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: -1


  1. При вычислении предела отношений двух функций, при Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО , необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример. Вычислить предел:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Решение:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  1. Вычисление предела от иррационального выражения иногда можно осуществить переводом иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот. Для этого и числитель и знаменатель дроби, стоящей по знаком предела, надо умножить на выражение сопряженное подкоренному.

Пример. Вычислить предел:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Решение:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: 0.

  1. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется предел

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Пример . Вычислить предел:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение :

Преобразуем, числитель дроби по формуле Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Тогда получаем

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: 0.

  1. Правило Лопиталя :

Предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Пример : Вычислить предел:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение :

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: 0.

Тема 1.3 Непрерывность функции в точке.


  • Функция f(x), определенная на промежутке (а;b), называется непрерывной в точке х0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, если:

  1. существует предел Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ;

  2. этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Пример : Доказать непрерывность функции

f(x)=3х2+5х, в точке х=2.

Решение:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

С другой стороны , значение функции в точке 2 тоже равно 17. Следовательно, равенство Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО выполняется и данная функция непрерывна в точке х=2 .


  • если Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО существует, но функция не определена в точке х0, то говорят, что х0- точка устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функцию f(x) «по непрерывности», положив

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Пример . Доопределить функцию

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х=2 по непрерывности.

Решение :

точка х=2 не принадлежит области определения данной функции, но

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Доопределяя функцию f(x) в точке х=2 значением, равным, 4, получаем функцию

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Которая на всей области определения исходной функции совпадает с исходной функцией и будет непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=4.



Упражнения:

Вычислить предел:

1

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

2

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО3

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


4

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

6

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Доопределить функции по непрерывности:

1 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х=3.

2 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х=0.

3 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х=0.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО





Глава 2. Математический анализ.


Тема 2.1 Определение производной.

Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует):

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной: производная Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОесть угловой коэффициент( тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х0, т.е. Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

y= f(x0)+f/(x0)(x-x0)- уравнение касательной.

Механический смысл производной: производная пути по времени Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО есть скорость точки в момент Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Пример : Написать уравнение касательной функции f(x)= х4+5х2-4 в точке х0=1.

Решение:

1) найдем значение функции в точке х0: f(1)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

2) вычислим производную: f/(x)=4х3+10х;

3) найдем значение производной в точке х0: f/(1)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=14.

Подставляя в формулу уравнения касательной получаем:

у=2+14(х-1)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ : у= 14х-12.


Тема 2.2 Правила вычисления производной.


  1. производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  1. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО (при условии, что vУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО).


Таблица производных


п/п

Функция

у

Производная

у/

п/п

Функция

у

Функция

у/

1

с

0

11

loga u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

2

х

1

12

sin u

cos u.u/

3

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

13

cos u

-sin u.u/

4

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

14

tg u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5

un

n un-1.u/

15

ctg u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

6

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

16

arcsin u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

7

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

17

arccos u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

8

eu

eu.u/

18

arctg u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

9

au

aulna.u/

19

arcctg u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

10

ln u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

20

kx+b

k

Упражнения:


1 Вычислить производную:

1

1) f(x)= (x+1)100; 2) f(x)= cos(6x+п); 3) f(x)= tg(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

4) f(x)= sin6x(x-5) ; 5) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 6) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО .

2

  1. f(x)= arcos(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 2) f(x)= ln(1+sin3x); 3) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ;

4) f(x)= 43x(1+tgx); 5) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 6) f(x)= sin2(cos3x).

3


  1. f(x)= x3+2x-cos3x; 2) f(x)= (x+3)4; 3) f(x)= cosx3;

  1. f(x)= tg6xУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 5) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ; 6) f(x)= ln(6x+5)

4


  1. f(x)= 4x+5cosУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО-arcsin(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО+Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО); 2) f(x)= log3(2-5x);

3) f(x)= 4x+5arctg(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО);4) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

5) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 6) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5

1) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 2) f(x)= ln2(x+2); 3) f(x)= arcctg(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

4) f(x)= cos2x(5x-3)3; 5) f(x)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 6) f(x)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.


2 Написать уравнение касательной:

  1. у= -2х2+4х-4, в точке х=3 ; 2) у=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО в точке х=2;

3 Дана кривая у=х2-2х. Составить уравнение касательных в точках пересечения ее с прямой 3х+у-2=0.

Тема 2.3 Исследование функции методами дифференциального исчисления

2.31 Исследование функций на возрастание и убывание

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х1 х21 х2

а)Рис.1b)

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс(рис.1.а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 1.b), то убывает.

Пример . Найти промежутки монотонности функции

у= x2-4x+3.

Решение :

у/=2х-4.

y/>0 при 2х-4>0 ; y/<0 при 2x-4<0;

2x>4 ; 2x<4;

x>2 . x<2.

Получаем, что функция возрастает на (2;+∞), а убывает на (-∞;2).


  1. Исследование функции на экстремум.

Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

О

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемпределение 2. Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x1).

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОу

f(x0)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОf(x2)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОf(x1)

0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х0 х1 х2 х

Рис.2

названием экстремума функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом.

В точках локального экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того, чтобы функция у= f(x)имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю

( f / (х)=0) или не существовала.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Таким образом, если в какой- либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Схема исследования функции у= f(x) на экстремум.

10. Найти производную у/= f /(x).

20. Найти критические точки функции, в которых производная

f /(x) =0 или не существует.

30. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

40. Найти экстремумы ( экстремальные значения) функции.

Пример . Исследовать на экстремум функцию

у=х(х-1)3.

Решение :

  1. Производная. у/=1.(х-1)3+3х.(х-1)2=(х-1)2.(х-1+3х)=(х-1)2.(4х-1).

  2. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции: (х-1)2.(4х-1)=0

(х-1)2=0 или 4х-1=0

х-1=0 4х=1

х1=0 х2=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

  1. Нанесем критические точки на числовую прямую.

уУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО/

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО + + х

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 1

Для определения знака производной слева и справа от критической точки х=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОвыберем, например, значения х=0 и х=0,5 и найдем f/(0)=-1 <0 и f/(0.5)= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО>0; следовательно, f/(x)<0 при всех х< Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и f/(х)>0 на интервале (Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;1).

Аналогично устанавливаем, что f/(x)>0 и на интервале (1;∞).

Согласно условию х=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО- точка минимума. В точке х=1 экстремума нет.

  1. Находим значение функции fmin(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО-1)3=-Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.


  1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее и наибольшее значение функции может достигаться как в точках экстремума так и в точках на концах отрезка. Так, на рисунке, наибольшее значение функции на конце отрезка х=b, а наименьшее- в точке минимума х1.

yУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

10. Найти производную f /(x).

20. Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

30. Найти значения функции в критических точках и на концах

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 0 a x1b x

Рис.3

отрезка и выбрать из них наибольшее fmax и наименьшее fmin.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у=(х-2)2.е на отрезке [0;5].

Решение :

10. f/(x) = 2(x-2).e-x-(x-2)2.e-x= -e-x.(x-2)(x-2-2)=-e-x.(x-2)(x-4).

20. f/(x) =0, -e-x.(x-2)(x-4)=0

-e-x=0 или х-2=0 или х-4=0

нет решения х1=2 х2=4

30. значения функции в критических точках f(2)=0, f(4)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и на концах отрезка f(0)=4 и f(5)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Итак, fmax=f(0)=4, fmin(2)=0.

2.34. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Нахождение экстремумов во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие « узловые» точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить график.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОу у у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 0 х1 х2 х3 х4 х5 х 0 х 0 х

а) б) в)

Рис.4

рассмотрим функцию, график которой изображен на рис.4а. эта функция возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов. Очевидно, однако , ее отличие от функций, изображенных на рис. 4б и 4в. В точках х1, х2, х3, х4, х5 график как бы «перегибается». Поэтому такие точки называются точками перегиба, к строгому определению которых мы переходим.

Прежде всего определим различие поведения функции по разные стороны от точек х1, х2, х3, х4, х5.

Определение 1. Функция называется вогнутой на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО Х из этого промежутка выполняется неравенство

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

График вогнутой функции расположен над касательной в окрестности точки касания рис. 5а.

Определение 2. Функция называется выпуклой на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО Х из этого промежутка выполняется неравенство

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

График выпуклой функции расположен под касательной в окрестности точки касания рис. 5б.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО y y

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy=f(x)


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОα α

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 0 x 0 x

а б

Рис. 5

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна ( отрицательна ) внутри некоторого промежутка Х , то функция вогнута (выпукла ) на этом промежутке. Таким образом, получаем, если f//(x)>0 , то функция вогнута, а если f//(x)<0, то функция выпукла.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Теорема. Если вторая производная f //(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

В окрестности точки х1 функция выпукла и график ее лежит ниже касательной проведенной в этой точке. В окрестности точки х2, на которой функция вогнута, картина обратная- функция расположена выше касательной. Ву

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

0 х1 х0 х2 х

Рис.6

точке перегиба х0 касательная разделяет график- он лежит по разные стороны касательной. Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

10. Найти вторую производную функции f//(x).

20. Найти точки в которых f//(x)=0 или не существует.

30. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости, вогнутости и наличии точек перегиба.

40. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и очки перегиба графика функции у= х.(х-1)3.

Решение :

10. Производная. у/=1.(х-1)3+3х.(х-1)2=(х-1)2.(х-1+3х)=(х-1)2.(4х- 1);

у//= 2(х-1)(4х-1)+ (х-1)2.4=(х-1).(8х-2+4х-4)=(х-1).(12х-6).

20. у//=0, (х-1).(12х-6)=0

х-1=0 или 12х-6=0

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

30. у//>0 на интервалах Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, следовательно, на этих интервалахх=1 х=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

у// + - +

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х

уУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 1

функция вогнута; у//<0 на интервале (Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, следовательно на этом интервале функция выпукла, а точки х=1 и х= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОесть точки перегиба.

40. значения функции в точках перегиба f(Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО)=-Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, f(1)=0.

2.35. Асимптоты графика функции.

До сих пор изучались характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими линиями являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между точкой Р этого графика и данной прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Р от начала координат.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у у у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО0 х 0 х

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х 0 а

а) б) в)

рис. 7

На рис. 7 а изображена вертикальная асимптота, на рис. 7б -горизонтальная асимптота, а на рис. 7в -наклонная.

Очевидно,, этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

1. Пусть функция y= f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и предел этой функции при хУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОх0 равен ∞, т.е. . Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции у= f(x).

Очевидно, что прямая х=х0 не может быть вертикальной асимптотой графика функции , если функция непрерывна в точке х0, так как в этом случае Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО . Следовательно, вертикальные асимптоты х=х0 надо искать в точках разрыва функции.

2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у= f(x).

В том случае, если Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, функция может иметь наклонную асимптоту.

3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у= f(x).

Пример . Найти асимптоты графика функции Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решении:

Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных (Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Найдем наклонную асимптоту.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Таким образом получаем, наклонная асимптота графика функции имеет вид y= x.

Ответ: у=х.

2.36 Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Схема исследования функций:

10.Найти область определения функции.

20. Исследовать функцию на четность - нечетность.

30.Найти вертикальные асимптоты.

40. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

50. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

60. найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

70. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки уточняющие график.

Пример. Исследовать функцию Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОи построить ее график.

Решение :

10. Область определения : 1-х2≠0

х2≠1

х≠±1Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОD(x)=(-∞,-1)Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

20. Функция четная, так как f(-x)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО график симметричен относительно оси ординат.

30. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х=±1. Так как

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то прямые х=1 и х=-1 есть вертикальные асимптоты.

40. Поведение функции в бесконечности.

Вычислим Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, т.е. прямая у=-1 есть горизонтальная асимптота.

50. Экстремумы и интервалы монотонности.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

у/=0 , когда числитель равен нулю, т.е. при х=0

у/ не существует в точках , в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при х=±1.

ОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОднако критической точкой является только точка х=0 (так как значения х=±1Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОне входят в область определения функции). Найдем знаки производной: у/ - +

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у - 1 0 1 х

х=0-точка минимума, f min=f(0)=1- минимум функции.

На интервалах (-∞,-1) и (-1, 0) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1, +∞) функция возрастает.

60. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Очевидно, что у//>0 на интервале (-1, 1) и функция вогнута на этом интервале; у//<0 на интервалах (-∞,-1), (1, +∞) и на этих интервалах функция выпукла. Точек перегиба нет, так как 1+3х2=0

2=-1-не имеет смысла.

70. Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс. График функции изображен на рис. 8

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО -1 1 х

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО -1


Рис.8


Упражнения:



  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:


  1. у= 3х2-6х на отрезке [0;3] ;


  1. 2) у=2х3-3х2-36х+10 на отрезке [-5;4].


  1. Вычислить промежутки монотонности функций:


  1. у= х5-5х ; 2) у= х3-3х2-45х+2; 3) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ; 4) у=х3-2х2-7х+4; 5) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО .

  1. Вычислить экстремумы функций:

1) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 2) у=1+2х2-Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 3) у= 3х4-4х3; 4) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 5) у= х3-12х2+36х.

  1. Вычислить точки перегиба и интервалы выпуклости функций:

1) у=2х3-3х2+15; 2) у=х3-6х2; 3) у= 2х2+lnx; 4) у= х3-3х2+1; 5) у= х4-6х2+5.


  1. Найти асимптоты графиков функций:

  1. у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ; 2) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ; 3) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ; 4) у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО .


Тема 2.4 Неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу_ нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.


  1. Первообразная функция и неопределенный интеграл .

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F/(x)=f(x).

Например, Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО является первообразной для функции f(x)=x2, так как Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

y =f(x)+c α

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

По геометрическому смыслу производной F/(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой

у= F(x) в точке с абсциссой х. геометрически найти

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОF/(x)=tg α =f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО y=f(x) α

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОC

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

0 x x


Рис. 9


первообразную для f(x)- значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке (см. рис.9).

следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя нетрудно убедиться, что функции Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОи вообще Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, где С -некоторое число, являются первообразными для функции f(x)=x2. Аналогично в общем случае, если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то, поскольку (F(x)+C)/=F/(x) =f(x), функции вида F(x)+C, где С -произвольное число, также являются первообразными для f(x).

Геометрически это означает, если найдена одна кривая у=F(x), удовлетворяющая условию F/(x)=tg α=f(x), то сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию *( поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см.рис.9)

Основное свойство первообразной:

Если F(x) - первообразная для функции f(x) , то выражение вида F(x)+C, где С -произвольное число, задает все возможные первообразные для функции для f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, где Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО - знак интеграла, f(x)- подынтегральная функция , f(x)dx - подынтегральное выражение . Таким образом,

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО,

где F(x) - некоторая первообразная для f(x), С- произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.


  1. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.


Основные свойства неопределенного интеграла.

  1. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

где k- некоторое число.


  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  1. Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО,

где k и b-некоторые числа, k ≠0.

Таблица интегралов

п/п

функция

интеграл

1

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

kx+С

2

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

3

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

ln|x|+C

4

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОdx

ex+C

6

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

-cos x+C

7

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

sin x+C

8

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

arcsinУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

9

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

10

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

11

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

12

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

tg x+C

13

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

-ctg x+C

14

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

15

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


  1. Методы интегрирования.

Существуют следующие методы интегрирования:

  • Интегрирование элементарных функций по таблице;

  • Метод замены переменной;

  • Метод интегрирования по частям;

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям основан на следующих равенствах:

(u.v)=u/.v+u.v/;

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

или

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Например . Вычислить интегралы: а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО б) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение:

а) Так как х/=1, а функция cosx при интегрировании обращается в

(-sinx), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, и полагая u(x) =x, v/(x) =cos x

u/(x)=1, v(x)=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Подставляя, получаем:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

б) « Препятствием» к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя lnx в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая u= lnx. Тогда dv=xdx.

Так как du=d lnx=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО используем формулу интегрирования по частям; получаем

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

  1. Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

  2. Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

где a, m, k - действительные числа ( k≠-1), n- целое положительное число.

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям придется применять n раз (при первом применении полагают u= xn , а остальные сомножители подынтегрального выражения задают dv), пока степень n переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл - табличным.

Для нахождения интегралов второй группы полагают xkdx=dv ( оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задают тогда выражение для u). Отметим, что для нахождения Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО формулу интегрирования по частям придется применять n раз ( пи каждом применении степень функции ln x уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл - табличным)

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов. Например, Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО рациональная дробь.

Рассмотрим общий подход к интегрированию рациональных дробей. Прежде всего, достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления многочленов «углом», известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО,


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1 , то искомый интеграл имеет вид Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО , и для его нахождения достаточно воспользоваться формулой (14).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

где a, b, c, e, f- действительные числа, а≠0.

При вычисления данного интеграла можно воспользоваться формулой (15) , для этого надо привести исходный интеграл к виду

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Его можно привести к этому виду, если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую замену переменной.

Пример. Найти интегралы:

а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение:

а) Поскольку х2+2х+1=(х+1)2, то используем замену переменной

t= x+1. Тогда dt=dx, x=t-1 u

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

b) Так как 4х2+4х-3=(2х+1)2-4, то положим t= 2x+1. Тогда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

При нахождении первого интеграла воспользуемся формулой (15) при а=1, с=-4. второй интеграл - (10). Теперь имеем

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ : Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО







Упражнения:


  1. Вычислить неопределенный интеграл:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО2.

2. Проинтегрировать функции:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

3. Проинтегрировать по частям

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 2) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 3) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 4) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО



Тема 2.5 Определенный интеграл.


  1. 2.51 Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a;b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью у=0

(рис. 10).

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОу y= f(x) y y=f(x) ломаная

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

S Sл


0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО a b x 0 a b x

Рис.10 рис.11

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой y= f(x) на [a;b] (рис.11) . фигура под ломаной состоит из трапеций ( прямоугольников) , и ее площадь Sл ( равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство S≈ Sл. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на [a;b] задана функция у=f(x). Разобьем отрезок [a;b] на n элементарных отрезков точками x0, x1,…, xn: a=x0<x1<x2<…<xn=b. На каждом отрезке [xi-1,xi] разбиения выберем некоторую точку ξi и положим Δ xi=xi-xi-1, где i=1,2,3,…,n. Сумму вида

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками x0, x2, …, xn, так и от выбора точек ξ1, ξ2, … ξnна каждом из отрезков разбиения [xi-1, xi], где

i=1, 2, … n.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть функция y= f(x) неотрицательна на [a;b] . отдельное слагаемое f(ξi).Δxiинтегральной суммыв этом случае равно Si прямоугольника со сторонами f(ξi) и Δxi, где i=1, 2, … n ( см. рис. 12, где х01= Δx1, х21= Δx2, и т.д.)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Другими словами Si - это площадь пд прямой y= f(ξ i) на отрезке [xi-1,xi]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади

S=S1+S2++Sn под ломаной, образо-


y y=f(x)


S3


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОf(ξ3)

f(ξ2)

S2


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

f(ξ1)

S1Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО




0 a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО x3 x


Рис.12


ванной на каждом из отрезков [xi-1,xi] прямой y= f(ξ i) параллельной оси абсцисс ( рис. 12)

Понятие определенного интеграла.

Для избранного разбиения отрезка [a;b] на части обозначим через

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО максимальную из длин отрезков [xi-1,xi], где i=1, 2, … n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2,… и точек ξ1, ξ2, … .Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a,b], обозначается Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

При этом число а называется нижним пределом, число b- его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx- подынтегральным выражением, а задача о нахождении Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО- интегрированием функции f(x) на отрезке [a,b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО- представляет семейство функций, Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО- есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом , что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО численно равен площади S под кривой y=f(x) на [a,b] (см. рис. 10). Действительно, при стремлении Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО к нулю ломаная (см. рис.12) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.


  1. 2.52 Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.


Свойства определенного интеграла:

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=kУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО,

где k- некоторое число.

  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

  1. Если отрезок интегрирования разбит на части , то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Формула Ньютона -Лейбница:

Основная формула интегрального исчисления, традиционно связана с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) -любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона- Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x).например, имеющую наиболее простой вид при С=0.

Например. Вычислить: а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение :

а) произвольная первообразная для функции f(x)=х2 имеет вид Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО для нахождения интеграла по формуле Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ : Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

b) первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (4). Применяя формулу Ньютона- Лейбница получаем

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.


  1. Вычисление площадей плоских фигур.

1 способ 2 способ

уУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО y y=f1(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

S

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО х

0 х=а х=b 0 x=a x=b x

f2(x)<f1(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

3 способ

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО y=k

S

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 0 x=a x=b x

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Рис.13 Площади плоских фигур

Например . Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, х=0, у=4; б) у= х2-2, у=х.

а)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение: из чертежа видно , что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

S=SОАВС-SОВС, каждая их которых находиться по геометрическому смыслу интеграла.у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО В у=4

А

х =0 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО С

О х


  1. найдем пределы интегрирования:Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у12 и у2=4

у12;

х2=4Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО(отрицательный корень не принимаем);

  1. SОАВС=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

SОВС=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Окончательно S=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО(кв.ед.)

Ответ : S=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОкв.ед.

б) у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение:

1. найдем пределы интегрирования: у12;

х2-2=хУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОх2-х-2=0,

D= 1+8=9Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОх1=2, х2=-1.

На отрезке [-1;2] у1≤у2.

Воспользуемся формулой 2 способа (рис.13):

у12-2 у2Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО-1 0 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 2 х


-2



Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: S= 4,5 кв.ед.






Упражнения:


  1. Вычислить определенный интеграл:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

2.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1) у= 4-х2; у= 0; 2) у= -х2; х+у+2=0; 3) у= х2; ух=8; у=6;

  1. у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; у= х ; х=2; 5) у= ех; у=е; у=4.

Тема 2.6 Производная высшего порядка.

До сих пор мы рассматривали производную f/(x) от функции f(x), называемую производной первого порядка. Но производная f/(x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Обозначение производных: f//(x) -второго порядка (или вторая производная), f///(x)-третьего порядка( или третья производная).

Для обозначения производных более высшего порядка используются арабские или римские цифры, например,

f(4)(x),…, f n (x) или fIV(x) и т.д.

Механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если s= s(t) -это закон по которому движется точка, то s/(t) представляет скорость изменения пути в момент t0. следовательно, вторая производная пути по времени s//(t0)=[s/(t0)]/ /(t0) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t0.

Пример. Найти производные до n-го порядка включительно от функции у= ln x.

Решение: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и

т . д.Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОочевидно , что производная n-го порядка Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Упражнения :

Найти производные: а) второго порядка: 1) у= sin2x, 2) y= tg x, 3) y= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ;

б) третьего порядка: 1) у= x ln x, 2) y= x sin x;

г) n-го порядка: 1) у= ln x, 2) y= sin x, 3) y= xn, 4) у=ах.

Тема 2.7 Функция нескольких переменных.

В предыдущих параграфах мы изучали функцию одной переменной. Однако многим явлениям присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (х1, х2,…, хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что заданна функция нескольких переменных z= f 1, х2,…, хn ).

Переменные х1, х2,…, хn называются независимыми переменными или аргументами, z- зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции.

Для простоты ограничимся рассмотрением функций двух переменных z=z(x,y), заметив, что логика всех рассуждений полностью сохраняется для функций любого числа независимых переменных.

Пусть в некоторой точке определена функция z= z(x,y). Если зафиксировать значение одной из переменных, положив, например, у= у0, то z=z(x,y0) окажется уже функцией только от одного переменного х. Для такой функции может существовать производная z/x ( здесь индекс х указывает на переменную, по которой производится дифференцирование). Она называется частной производной от функции z(x,y) по переменной х.

Аналогично можно определить частную производную и по другой независимой переменной z/у.

Вычисление частных производных не представляет труда, поскольку все независимые переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными.

Например . Вычислить производную функции

z= 3x2+2xy+4y2.

Решение :

z/x= 6x+2y ; z/y= 2x+8y.


Упражнения:

Вычислить частные производные:

1) z=x3y2-2xy3; 2) z= ln(x2+2y3); 3) z= (1+x2)y; 4) z= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

5) z= e3x+5cos9y-ln(x3-y).


Глава 3. Ряды.

Тема 3.1 Числовые ряды. Сходимость рядов.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и1, и23,…,иn… соединенных знаком сложения:

и12+3+…+иn+…=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Числа и1, и23,…,иn… называются членами ряда, член иn- общим членом или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член иn. Например, ряд с общим членом иn=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОимеет вид

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример : Найти в простейшей форме общий член ряда:

а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО б) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение : нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО , а для ряда б) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S1=u1, S2=u1+u2, …, Sn=u1+u2+u3+…+un.

Сумма n первых членов ряда Snназывается n-й частичной суммой ряда.

Определение :Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример : Найти сумму ряда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение : n-я частичная сумма ряда

Sn=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.Учитывая, что

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Отсюда, Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО т.е. сумма ряда S =1.

Тема 3.2 Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Геометрический ряд.

Теорема ( необходимый признак сходимости). Если ряд сходиться, то предел его общего члена иn Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОпри Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОравен нулю, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Пример . Исследовать сходимость ряда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходиться.

«Эталонные » ряды, часто используемые для сравнения:

1) Геометрический ряд :

a + aq + aq2 ++aqn-1+…=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Геометрический ряд сходиться к сумме Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО при│q│<1 b и расходиться при │q│≥1.

2) Гармонический ряд.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО- расходиться.

3) Обобщенный гармонический ряд.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Ряд сходиться при α >1, расходиться при α≤1

Тема 3.3 Ряды с положительными членами .

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОпричем члены первого ряда превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n

un ≤ Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Тогда : а) если сходиться ряд (2), то сходиться и ряд(1);

б) если расходится ряд(1), то расходиться и ряд (2).

Пример . Исследовать сходимость ряда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО ( его знаменатель q=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО<1)

Так как члены данного ряда, начиная со второго , меньше членов сходящегося геометрического ряда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то на основании признака сравнения ряд сходиться.

Весьма удобным на практике является признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОс положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример . Исследовать сходимость ряда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Решение:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО. Тогда предел отношения будет равен

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

то по признаку Даламбера ряд сходиться.

Замечание 1. Если Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то ряд расходиться.

Замечание 2. Если Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.

Тема 3.4 Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u1-u2+u3-u4++(-1)n-1un+… ,un>0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1>u2…>un> и предел его общего члена при nУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОравен нулю, т.е Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО , то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена Su1.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение :

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и предел общего члена Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то по признаку Лейбница ряд сходиться.

Определение 1. Ряд называется условно сходящимся, если сходиться как сам ряд , так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.



Упражнения:

I. Установить сходимость или расходимость ряда с помощью признаков сравнения:

1) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 2) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 3) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО;

4)Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 5) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

6) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

II. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

1) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 2) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 3) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 4) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

5) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Тема 3.5 Степенные ряды.

Перейдем к рассмотрению рядов членами, которых являются функции, в частности степенные функции

с01х+с2х2+....+cnxn+… .

Такие ряды называются степенными, а числа с012,…,cn- коэффициентами степенного ряда.

Пример: найти область сходимости степенного ряда

1+х+х2++xn+… .

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q=x, который сходиться при │q│=│x│<1. Отсюда

-1<x<1, т.е. областью сходимости является интервал (-1;1).

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0(отличном от нуля) , то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│х0│. 2) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х таких, что │х│>│х1│.

Из теоремы Абеля следует , что существует такое число R ≥0, что при │х│<R ряд сходится, а при │x│>R-расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) -интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х=- R и х= R, ряд может как сходится, так и расходится.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО данное выражение позволяет вычислить радиус сходимости числового ряда через его коэффициенты.

Замечание . Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0) , у других охватывает всю ось Ох (R=∞) .

Пример. Найти область сходимости степенного ряда

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение :

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

т.е. интервал сходимости ряда Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО .

Ответ: R= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Сумма функционального ряда представляет собой функцию, определенную в области его сходимости. Про эту функцию говорят, что она разлагается в данный функциональный ряд. Для степенного ряда сумма обязательно будет бесконечно дифференцируемой функцией внутри интервала сходимости, поскольку степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

S(x) =Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, то существует S/(x) и верно равенство

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Это одно из замечательных свойств степенных рядов. Из этого свойства, в частности, вытекает, что при фиксированном х0 разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУказанный ряд называется рядом Тейлора.

При х0=0, рассматривается частный случай ряда Тейлора- ряд Маклорена:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Элементарные функции ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)α разлагаются в ряды Маклорена в интервалах

ex=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Упражнения:



  1. Исследовать сходимость ряда:

1) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


  1. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 2) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО; 3) y= sin2x; 4) у= sin2x; 5) y=xex.



Раздел 4. Численное интегрирование.


Тема 4.1 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Методы приближенного интегрирования позволяют находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Излагаемые численные методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение, т.е. приближенное значение интеграла, если вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности, мало отклоняется по положению от заданной линии. Вспомогательную линию при этом проводим так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется.

Существуют следующие правила численного интегрирования:

  1. правило прямоугольников и правило трапеций;

  2. правило параболических трапеций, называемое правилом Симпсона.

1. Правило прямоугольников и правило трапеций.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО y=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

y0 y1 y2 y3 yn-1

0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО а=х0 х1 х2 х3 хn=b x рис.18

Разделим интервал интегрирования [a;b] на n равных частей (рис.18)

( частичных интервалов) и заменим данную трапецию на ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значению функции в начальных или конечных точках частичных интервалов(у1, у2, у3, …, у n). Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла: I=Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.результат будут тем более точен, чем больше взято число частичных интервалов.

Если обозначить длины частичных интервалов какУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО и подсчитать все значения функции yi( где i=0,1,2,3,…,n-1), то получим формулу:

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Эта формула называется формулой прямоугольников.

На практике эта формула используется редко, т.к. естественнее ожидать, что взяв вместо прямоугольников обычные трапеции , мы практически притом же объеме работы получаем более точный результат.

Для этого составим тоже разбиение интервала [a;b] , но заменим теперь каждую дугу линии у= Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО, соответствующую частичному интервалу, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги ( рис.19).

уУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Т.о. мы заменяем данную криволинейную трапецию , на n прямолинейных трапеций. И значение интеграла будет более точным.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОy=f(x)

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО 0 а=х0 х1 в=хn х

рис. 19

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.

Эта формула носит название формулы трапеций.

2. Правило параболических трапеций.

Но и формула трапеций не является наилучшей. Оказывается, что самой удачной приближенной формулой будет та, которая получается, если через тройки соседних точек на графике функции, возникающих в результате разбиения отрезка [a;b] , проводить параболы с вертикальной осью (рис. 20), вычисляя соответствующие коэффициенты ai, bi, ci в уравнениях парабол y=aix2+bix+ci.

Соответствующая формула носит название формулы параболических трапеций или Симпсона. Ценность ее не только в повышенной точности, но и в удобстве оценки погрешности приближенного вычисления . Вид формулы не приводиться,


Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО у

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

yУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=f(x) y=aix2+bix+ci.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО




0Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОxi Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО xi+1 x

рис.20


поскольку ее редко применяют для «ручного счета», а пользуются готовыми компьютерными программами.

3. Характеристики приближенного числа ( абсолютная и относительная погрешности).

Обозначим приближенное значение числа а через А.

Абсолютную величину разности числа а и его приближенного значения А называют абсолютной погрешностью, т.е.

| a-A|.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа, т.е.

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО.


Пример. Вычислить приближенное значение интеграла

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Решение: 1) Точное значение интеграла: Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО=2;

2Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО) по формуле трапеций получаем:

0 Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПОУчебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

3) Абсолютная погрешность: | 2-1.9541|=0.0459;

Относительная погрешность : Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО

Ответ: I≈1,9541.

Упражнения:


В задачах вычислить по формулам прямоугольников приближенные значения интегралов и сравнить с точными значениями:

а) Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО



Список литературы:


  1. Высшая математика для экономистов

под редакцией профессора Н.Ш. Кремера, Москва, 2003г.

  1. Математика

И.Д. Пехлецкий , Москва, 2002г.

  1. Справочник по математике

А.Г. Цыпкин , Москва, 1983г.

  1. Математика

Л.П. Стойлова, Москва, 1999г.











Учебное пособие по элементам высшей математики для студентов СПО


© 2010-2022