Элективный курс: : «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ»

Управление образования администрации Тамбовского района Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Стрелецкая средняя общеобразовательная школа»

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ

для учащихся 9 класса

тема: «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА,

СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ».

учитель математики

Пастушок Н.В.

2014 год

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

1.Пояснительная записка …………………………………………………...стр.3-6

2.Содержание программы курса……………………………………………стр.7

3.Учебно-тематический план……………………………………………….стр.7

4.Поурочное планирование………………………………………………….стр.8-25

5.Литература…………………………………………………………………..стр.26

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

«Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические

уравнения: приведением их к

самому простому виду.» (Л.Н.Толстой)

Данный курс знакомит с некоторыми способами решения алгебраических задач с параметрами. Решение такого рода задач на вступительном экзамене или ЕГЭ является необходимым условием получения отличной оценки, что особенно важно в условиях высокого конкурса.

В задачах с параметрами наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника.

Решение задач, а точнее, уравнений и неравенств с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Каждый вуз представляет свои требования к уровню математической подготовки будущего студента. Вопрос лишь в том, насколько задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью, можно ли с её помощью проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза. Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами. И далеко не случайно эти задачи стали неотъемлемым атрибутом экзаменационных билетов многих вузов и ЕГЭ.

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания/и в большей степени в старшей школе/. Совершенно очевидно, что к встрече с такими задачами надо готовить учащихся ещё в основной школе.

Огромную роль играют задачи с параметрами в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются и с другими задачами.

А в повседневной жизни каждый из нас ежедневно и постоянно решает задачи с несколькими параметрами, и от умения быстро и логически верно просчитывать ходы, решать жизненные задачи, суметь увидеть и не упустить важный шанс в жизни зависит наша судьба.

Элективный курс посвящен решению самых простых линейных и квадратичных уравнений и неравенств с параметрами и рассчитан на 9 часов.

Учащиеся знакомятся с построением рассуждений, применением свойств, учатся анализировать, развивают математическую интуицию и т.д.

Программа рассчитана на учащихся девятых классов. Занятия проводятся один раз в неделю с преподавателем математики во внеурочное время. Курс рассчитан на занятия со всеми учащимися класса (чтобы дать возможность всем учащимся в той или иной мере познакомиться с этой темой и иметь шанс на продолжение математического образования). На занятиях курса преподаватель в большей степени опирается на сознательное желание слушателей усвоить тему курса.

Контроль знаний учащихся осуществляется в виде самоконтроля, взаимоконтроля, защиты своего проекта решения, индивидуальной консультации с преподавателем и пр. Учет достижений учащегося по окончании курса определяется по трёхбалльной системе: 1-прослушал курс; 2-усвоил на продвинутом уровне; 3- усвоил на высоком уровне.

Этот авторский курс рекомендуется проводить с сентября по ноябрь, он рассматривается параллельно изучению темы «Квадратичная функция», что способствует лучшему усвоению курса и закреплению темы «Квадратичная функция».

ЦЕЛИ КУРСА:

Для учащихся: усвоение курса, углубление знаний учащихся, развитие математического и логического мышления, навыков исследовательской работы, умений воспринимать и интерпретировать разнообразную социальную, экономическую, политическую информацию.

Для учителя: Обучение учащихся точной, экономной и информативной речи, умению отбирать наиболее подходящие языковые средства.

Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

Для родителей: содействовать в воспитании сознательного отношения к усвоению курса; поддерживать детей в борьбе с трудностями, унынием; помочь учащимся с выбором профиля.

НАЗНАЧЕНИЕ КУРСА:

Дополнение базового образования; обучение культуре общения в ходе самопознания, самоконтроля; воспитание сознательного отношения к учению.

ЗАДАЧИ КУРСА:

Расширение и развитие математического образования в общеобразовательной школе; сближение элективного курса с курсами физики, геометрии, где многие процессы и закономерности приводят к решению задач с параметрами.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ:

-правильно употреблять термины и формулировки; применять необходимые свойства функции; алгоритмы решения уравнений и неравенств; иллюстрировать решения с помощью графических изображений.

Формы проведения занятий:

Коллективная (фронтальная); групповая, индивидуальная (с самопроверкой, взаимопроверкой, последующим обсуждением).

МЕТОДЫ:

Эвристическая беседа, вопросно-ответный метод, образец ответа, метод поиска решения задачи(анализ), метод элементарных и неэлементарных задач.

Организационные приёмы решения:

комментированное решение; коллективная работа(1 учащиеся у доски); для «сильных» групповая или парная работа; самостоятельная работа с последующей проверкой на доске или на экране; разбиение задач на отдельные задачи; устные ответы учащихся для обучения связной грамотной монологической речи по предмету.

Занятия ведутся с опорой на принципы обучения:

- непрерывного повторения;

- полноты (рассматриваются различные примеры);

- принцип доступности (примеры рассматриваются подробно у доски, решение по алгоритму);

-активности и индивидуального подхода (каждому предоставляется возможность рискнуть и попытаться решить более сложную задачу);

- научности;

- сознательности, самостоятельности (в большой степени я опираюсь на этот принцип, т.к. изучение элективного курса не является обязательным).

Предполагаемые результаты:

В результате изучения курса у учащихся формируются навыки исследования, умение анализировать ситуацию, повышение интереса к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА:

Определение понятия «параметр»; задачи физики и математики, приводящие к задачами с параметрами; линейные уравнения с параметром; уравнения, приводимые к линейным;

Системы линейных уравнений с параметром и приёмы их решения; рассмотрение двух типов задач с параметром; для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения (неравенства);

Найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения (неравенства) удовлетворяет данным условиям;

Решение квадратных уравнений с параметром; решение уравнений, сводящихся к квадратным;

Линейное неравенство с параметром; приёмы их решения; неравенства, приводимые к линейным;

Квадратичные неравенства с параметром и неравенства, сводящиеся к квадратичным.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН:

№ занятия: тема занятия:

___________________________________________________________________

1. Знакомство с параметром /лекция с элементами беседы/.

2. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.

3. Системы линейных уравнений с параметром.

4. Решение квадратных уравнений с параметром.

5. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.

6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным.

7. Решение квадратичных неравенств с параметром.

8. Повторение вопросов курса «Решение уравнений и неравенств с

параметром».

9. Проверочная работа по курсу.

ЗАНЯТИЕ 1.Тема: ЗНАКОМСТВО С ПАРАМЕТРОМ.

/лекция с элементами беседы/

Цель: познакомить учащихся с понятием «параметр», с основными типами задач, которые будем рассматривать, учить анализировать, рассуждать, развивать логическое мышление.

План занятия:1)Цели, задачи, содержание курса.

2)определение понятия «параметр»

3)решение некоторых простых задач.

4)домашнее задание

2)Определение: Переменная или постоянная величина в уравнении,

неравенстве, системе уравнений и др., которая не

рассматривается как искомая, а наоборот,

решения отыскиваются в зависимости от этой величины.

или: Постоянная величина, характеризующая некоторый

математический объект.

или: Вспомогательная переменная величина, от которой зависят

другие величины, определяющий математический объект.

Такое определение понятия «ПАРАМЕТР» дает справочник по математике.

3)С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий:

-функция прямая пропорциональность: у=кх /х и у переменные, к -параметр/;

-линейная функция: у=кх+в (х и у - переменные, к и в - параметры)

-уравнение первой степени: ах+в=0 /х- переменная, а и в - параметры/;

-квадратное уравнение; ах²+вх+с=0 /х- переменная, а, в, с- параметры, а=0/.

К задачам с параметром, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу; во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требует предварительных исследований. Результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром,-это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Рассмотрим несколько примеров.

№1.Сравнить: -а и 3а.

Естественно рассмотреть три случая: если а<0, то -а> 3а;

если а=0, то -а=3а;

если а> 0,то -а <3а.

№2.Решить уравнение ах=1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х= 1/а. Однако, при а=0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так: Ответ: если а=0, то нет решений;

если а=0, то х=1/а.

Решить уравнение с параметром - значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений уравнения.

№3.Решить уравнение: (а² - 1)х=а+1

Решение. При решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1/а=1, тогда уравнение принимает вид 0х=2 и не имеет решений;

2/а= - 1, получаем 0х=0, и очевидно, х- любое;

3/а= +1,- 1, имеем х= 1

а-1

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В разобранном примере запись ответа практически повторяет решение:

Ответ: если а= -1, то х-любое;

если а=1, то нет решений; если а= -1,+1,то х= 1

а-1

№4.Решить уравнение |х²-1|+|а(х-1)|=0.

Решение. Это уравнение равносильно системе |х²-1| =0,

|а(х-1)|=0.

Имеем: х²-1=0

а(х-1)=0.

При а=0 второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х=1. Если а=0, то из второго уравнения получаем х- любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: х=1 или х= -1.

Ответ: если а=0, то х=1, если а=0, то х=+1,-1.

3/Домашнее задание: (а²-4)х=а+2;

(а²-6а+5)х=а-1;

ах=в.

П.п.13-16 стр. 242-243 учебник 9кл.

ЗАНЯТИЕ 2 .ТЕМА:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ,

ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ.

ЦЕЛЬ: Развивать уровень математического и логического

мышления, первоначальные навыки исследовательской

деятельности.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ: а)Проверка домашнего задания/решение уравнений;

повторение определения понятия «параметр»/.

б) решение уравнений на закрепление умений учащихся;

в) решение уравнений, приводимых к линейным/образец

решения/;

г) закрепление нового /групповая работа с последующей

проверкой/;

д) комментирование домашнего задания.

Ход занятия:

1)Проверка домашнего задания.

-три ученика записывают на доске решения уравнений;

-остальные учащиеся отвечают на вопросы: дать определение «параметр», при рассмотрении каких вопросов математики, физики, химии, биологии, и др. встречается параметр; замечание, уточнения к решениям на доске.

2)Закрепление умений решать линейные уравнения с параметром.

Решить уравнения:

*рх+3=4р-2х, /учащиеся, по желанию, решают уравнение у доски/

х(р+2)=4р-3,

если р+2=0, р= -2, то х= 4р-3

р+2

если р= -2,то уравнение примет вид х(-2+2)=4(-2)-3; 0х=-11, не имеет решений.

Ответ: при р= -2 х = 4р-3 ; при р= -2 уравнение не имеет решения.

р+2

*(а²-1)х-(2а²+а-3)=0, /учащиеся решают самостоятельно с последующей

(а²-1)=2а²+а-3, проверкой/

уравнение имеет смысл при любых действительных значениях параметра а;

приводя его к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1),

заметим, что при а=1 оно принимает вид 0х=0, т.е. решением служит любое число. При а= -1 уравнение принимает вид 0х= -2, т.е. не имеет решения. При а= -1,+1, уравнение имеет единственное решение: х= 2а+3

а+1

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х. Например, при а= -3 х=2,25. Ответ:

3)Решение уравнений, приводимых к линейным.

Решить уравнение: х - 1 _ ах - 1 + 1 - х =0

2(а²+2а) 14(а+2) 7х

При а=0 и а= -2 приводим к виду: (а²+2а -3)х=3а-3, (а+3)(а-1)х=3(а-1),

если (а+3)(а-1)=0,

а= -3 и а=1, то х= 3(а-1) х= 3

(а+3)(а-1) а+3

если а= -3, то 0х= -12, т.е. не имеет решения;

если а=1, то 0х=0, т.е. решением служит любое действительное число.

Ответ: при а= -3,а= -2,а=0, а=1 х= 3

а+3

при а= -3, а= -2 а=0 уравнение не имеет решения;

при а=1 х- любое действительное число.

4)Закрепление нового.

Решить уравнения: 3сх - 5__ + 3с - 11 = 2х +7

(с-1)(х+3) с-1 х+3

х - 3в _ 2в+3 = в-5

х² -9 х+3 х-3

(В зависимости от уровня обученности учащихся в классе, можно провести групповую работу с последующей проверкой, с сильными учащимися организовать такую работу, а со слабыми рассмотреть решение на доске с помощью метода эвристической беседы).

5/Проверочная домашняя работа: решить уравнения

1 вариант 2вариант

1) х-а =0 х-а =0

х+3 а-3

2) х-7=0 х+2а =0

х²-а² х+а

3) х - а =0 х²-4х+3 =0

х²-4х+3 х-а

4) а(х-2) =0 а(х-а) =0

х-а х-2

ЗАНЯТИЕ 3.Тема: СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

Цель: а)закрепить навыки решения систем уравнений;

б)развивать навыки исследовательской деятельности.

План занятия: а)проверка домашнего задания;

б)повторение способов решения систем уравнений,

свойств коэффициентов при неизвестных в решении

систем линейных уравнений;

в)решение систем уравнений с параметром;

г)запись домашнего задания.

1)Проверка домашнего задания.

Учащиеся цветной пастой или карандашом вносят исправления и уточнения в свои решения с образцов, представленных на доске или экране, получают устные консультации учителя на уточняющие вопросы по решению; в конце занятия сдаются тетради на проверку.

2)Повторение способов решения систем уравнений и свойств коэффициентов при решении систем линейных уравнений методом эвристической беседы.

3)Решение систем уравнений с параметром.

В основном встречаются два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют данным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

На предыдущих занятиях были решены задания первого типа. На этом занятии решим задания относящиеся и к первому, и ко второму типу задач с параметром.

а)Решим систему уравнений: ах+у=а², (а+1)х+у=а²,

х+ау=1; 2х+ау=1.

б)При каких значениях а система имеет единственное решение: ах+3у=а,

2х+(а-1)у=1?

в)При каких значения а система имеет бесконечное множество решений:

ах+2у=1,

4х+(а-2)у= -2?

г)При каком значении р пара чисел (а;3а) является решением системы:

4х-ру= -10,

х-3у=2?

д)При каких значениях а система уравнений не имеет решений: 3х+у= -4,

х-ау=8?

4)Домашнее задание: а)при каком значении а пара чисел (2с;с) является решением системы: 3х-ау=6,

х+3у=10?

б)при каком значении а система уравнений 2х-у=5,

х+ау=2; не имеет решения?

в)Решить систему уравнений: 3х-а+2=3у

у-2а-2=х.

г)повторить пар.3, стр.242-244 пп.17-21 учебник «Алгебра» 9класс. Под ред. С.А. Теляковского.

ЗАНЯТИЕ 4. Тема: Решение квадратных уравнений с параметром.

Цель: закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме

«Квадратное уравнение», «Квадратичная функция и её свойства», формировать логическое мышление и математическую культуру учащихся.

План занятия: а)проверка домашнего задания;

б)повторение темы: «Квадратное уравнение», «Квадратичная функция»,

в)решение квадратных уравнений с параметром;

г)домашнее задание.

Ход занятия:

1)На доске или на экране с помощью кодоскопа представлены решения домашнего задания. Учитель отвечает на вопросы учащихся. возникшие при решении.

2)Повторение тем: «Квадратное уравнение», «Квадратичная функция» - учащиеся(по желанию) дают полный ответ по этим вопросам с последующими уточнениями его одноклассниками или учителем.

3)Решение квадратных уравнений с параметром.

Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединённых общей идеей - в основе их решения лежат свойства функции у=ах²+вх+с.

Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей, хорошо знакомой по школьным учебникам. Приведённая схема достаточно ясно показывает, что дискриминант Д, старший коэффициент а, абсцисса х₀ вершины параболы конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции. Поэтому задачи условно можно разделить на два вида. В первом примеры, решение которых связано с исследованием знаков Д и а, а во втором- с положением вершины параболы.

А)При каких а уравнение ах²-х+3 имеет единственное решение?

(а-2)х²+(4-2а)х+3=0

б)При каких а уравнение ах²-4х+а+3=0 имеет более одного корня?

а(а+3)х²+(2а+6)х-3а - 9 =0

в)При каких а уравнение х²+ах+1 =0 имеет единственное решение?

х+3

г)Решить уравнение х _ 2х = 3в-4

в+1 х-2 (х+1)(х-2)

4)Домашнее задание:

Решить уравнение: 1 _ 2 + 2к+1 = 1

к х-к х(х-к) кх(х-к)

При каких а уравнение имеет единственное решение:

(а+4)х²+6х-1=0; (2а+8)х²-(а+4)х+3=0?

При каких а уравнение имеет более одного решения: (а+6)х²-8х+а=0;

а(2а+4)х²-(а+2)х-5а-10=0?

ЗАНЯТИЕ 5. Тема: Решение уравнений, сводящихся к квадратным, решение квадратных уравнений при некоторых условиях.

Цель: закрепить знания учащихся по теме; формировать логическое

мышление, математическую культуру, навыки исследовательской

работы.

План занятия: а)проверка домашнего задания;

б)повторение т.Виета и обратной ей;

в)решение квадратных уравнений;

г)самостоятельная работа;

д)запись домашнего задания.

Ход занятия:

1)На перемене желающие учащиеся оформляют решение уравнений домашнего задания. На занятии учащиеся класса вносят замечания, уточнения, учитель отвечает на вопросы, вызвавшие наибольшие затруднения.

2)Повторение темы «Квадратное уравнение» (в т.ч. т.Виета и обратной ей теоремы).

3)При каких значениях а уравнение (а-2)х²-2ах+2а-3=0 имеет два корня одинаковых знаков?

Данное уравнение равносильно системе:

а-2=0, а=2, а=2, а=2,

Д>0, 4а²-4(а-2)*(2а-3)>0, а²-7а+6> 0, 1< а <6,

х₁ х₂>0; 2а-3 > 0 2а-3 > 0 а < 3/2 или а >2

а-2 а -2

Ответ: (1;3/2)U (2;6)

б)Найти все значения а, при которых значения корней х₁ <1, х₂> 1:

х²-2а+1=0.

в)При каких а оба корня уравнения больше 3: х²-6ах+2-2а+9а²=0.

г)При каких значениях а корни уравнения (1+а)х²-3ах+4а=0 принадлежат промежутку(2;5)?

4)Самостоятельная работа:

а) Найти все значения параметра а, при которых уравнение ах²+13х+1=0 имеет два различных решения?

б)Найти значения параметра, при которых уравнение 2х²+3х+с=0 имеет два различных отрицательных корня.

в)При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х²+(4а+5)х+3-2а=0?

Работа проверяется по образцам решения, представленным на доске или экране, ошибки исправляются.

5)Домашнее задание: стр.245-247 пп.25-32 учебника «Алгебра»9кл.

ЗАНЯТИЕ 6. Тема: Линейные неравенства и неравенства, приводимые к

линейным.

Цель: закрепить знания, умения, навыки учащихся по теме

«Неравенства. Решение линейных неравенств»; развивать

математическое мышление учащихся, инициативу, умение

анализировать, первоначальные навыки исследования.

План занятия: а)повторение темы «Неравенства»;

б)решение неравенств с параметром;

в) домашнее задание.

Ход занятия:

1)Повторение темы «Неравенства, решение линейных неравенств»(вопросно - ответный метод.)

2)Решение линейных неравенств с параметром:

а)Решить неравенство ах <1.

Анализ трех возможностей а> 0, а=0, а< 0 позволяет получить следующий

Ответ: Если а< 0, то х >1/а; если а=0, то х-любое; если а >0, то х <1/а.

б)Решить неравенство ах-5< 2а-3х+1,

(а+3)х< 2а+6,

если а+3> 0, а> -3, то х< 2(а+3) ; х <2;

а+3

если а+3<0, а <-3, то х> 2;

если а+3=0, то получим 0х< 0 - не имеет решения.

Ответ: если а> -3, то х< 2; если а <-3, то х> 2; если а= -3, то нет решения.

в)Решить неравенство (в-1)х <5в, учащийся у доски решает по образцу.

5х-2ах-6 <0.

г)Решить неравенства |х+3|> -а²;

|х²+а |<0;

|х|(х+а)< 0;

3х+1 _ 2х-1 < х-1

а²-1 а-1 а+1

а=+1,-1, (2-3а)х+2а+1 < 0; 3а-2х > 2а+1 ;

а²-1 а²-1 а²-1

если 3а-2>0, то х >2а+1 ;

а²-1 3а-2

если 3а-2 <0, то х <2а+1 ;

а²-1 3а-2

если 3а-2 =0, то 0х> -21 , х- любое число;

а²-1 5

Ответ: при а (-1;2/3)U(1;+ ) х > 2а+1

3а-2

при а (- ;-1)U(2/3;1) х < 2а+1

3а-2

при а=2/3 х-любое действительное число,

при а=+1,-1 неравенство не имеет решения.

3)Домашнее задание: решите неравенства

3ах-4х-5> 0,

|х-2|< а,

|х|(х-2) >0

2х-5 _ х+7 < 3х-2с

с-1 3 2(с-1)

ЗАНЯТИЕ 7. Решение квадратичных неравенств с параметром.

Цель: Закрепить умения и навыки решения квадратичных

неравенств; повышать уровень математического и логического мышления

учащихся.

План занятия: а)Проверка домашнего задания;

б)Повторение вопросов: «Квадратичное неравенство»,

«Квадратичная функция и ее свойства», «Метод

интервалов»;

в)решение квадратичных неравенств с параметром;

г)домашнее задание.

Ход занятия:

1)Проверка домашнего задания - взаимопроверка, консультация учителя по вопросам, вызвавшим наибольшие затруднения.

2)Повторение «Квадратичное неравенство: графический способ решения и метод интервалов», «Квадратичная функция и ее свойства» - краткий монологический ответ учащихся по вопросам.

3)Решение квадратичных неравенств с параметром.

а)При каких а неравенство (х-а)(х-2)<0 имеет единственное решение?

Решение: при а=2 неравенство имеет единственное решение; (х-2)²=0

имеет одно решение;

при а=2 решением неравенства будет отрезок.

Ответ: а=2.

б)При каких значениях а решением неравенства будет отрезок:

(х-а)²(х-2)(х+3)<0,

Решение: Т.К. (х-а)² >0, то данное неравенство равносильно совокупности

(х-2)(х+3)<0,

х=а.

Решением совокупности будет отрезок [-3;2] . Следовательно, при а [-3;2] решением совокупности также будет отрезок.

Ответ: -3< а< 2.

в)Решить неравенства: х(х-а)<0,

(х-а)(х-2а)<0,

(х-а)²(х-2а)<0,

(х-а)²(х-2а)<0.

г)При каких значениях параметра неравенства верны для любого х:

ах²+(а-1)х-2<0,

(в²-1)х²+2(в-1)х+1<0,

(с-2)х²-сх-1<0.

д)Решить неравенства: ах²+2х+1<0,

х²+2х+а>0,

(к-1)х²-2(к+1)х+к-3>0.

4)Домашнее задание: пар.3,4,стр.242-248 пп.13-40 учебника «Алгебра» 9класс. Решите неравенства: сх²-2(с-1)х+с+2 < 0, - "сильным",

х²+кх-2 < 2

х²-х+1

ЗАНЯТИЕ 8. Тема: Повторение курса "Решение уравнений и неравенств с параметром.

Цель: закрепить умение и навыки решения уравнений и неравенств; развивать логическое и математическое мышление; формировать навыки исследовательской работы, развивать интерес к математике; готовить к продолжению образования учащихся по математике.

Ход занятия:

1)Проверка домашнего задания: учащиеся(по желанию) на перемене записывают решения неравенств на доске, на уроке учащиеся вносят уточнения в решение неравенств; учитель консультирует по сложным вопросам.

2)Повторение вопросов курса:

а)решить неравенство: (а³-4а)х< а+2,

б)решить уравнение х²-2(а-1)х+а+5=0,

3вх - 5 = 2в+1____ _ 5

(в+2)(х²-9) (в+2)(х-3) х+3

в)решить систему уравнений 3х+у= -4,

х-ау=8;

г)решить неравенство (а+6)х²-(а+3)х+1< 0.

3)Домашнее задание: повторить все вопросы курса, подготовиться к проверочной работе, решить неравенство

2х-1 _ х+1 > 2х-3

а+1 2(а-1) а-1

решить уравнение ах-9=3х-а²,

при каких значениях а уравнение (а+5)х²-7=(3а+15)х-4 не имеет решения?

ЗАНЯТИЕ 9. Тема: Проверочная работа по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами».

Цель: повторить и закрепить умения и навыки учащихся по теме;

развивать логическое мышление и первоначальные навыки

исследовательской работы.

1)Вопросы по домашнему заданию.

2)Проверочная работа.

а)Решить уравнение (а²-4)х=а+2.

б)Решить систему уравнений 3х-а+2=3у,

у-2а-2=х.

в)При каких значениях параметра уравнение имеет более одного корня:

(а+6)х²-8х+а=0. Ответы: 1) а (-8; -6), 2) а (-6; 2), 3) а (-8; 2),

4) а (-8; -6) или (-6; 2).

г)Решите неравенства 2х-6 _ х+7 < 3х-2с

с-1 3 2(с-1)

вх²-2(в-1)х+в+2< 0.

3)Самопроверка работы по образцу на доске или экране; уточнения, консультация.

4)Оценка работы некоторых учащихся.

Примечание: в работу можно включить задания-тесты; можно работу составить в форме заданий ЕГЭ (части А, В, С).

Курс состоит из 9 логически взаимосвязанных занятий, построенных по принципу от простого к сложному. Предлагается большое количество упражнений, что даёт возможность ведущему курс учителю использовать задания в соответствии с уровнем подготовки учащихся.

Курс находится в стадии внедрения, поэтому отсутствует мониторинг обученности.

Я считаю, что курс должен проводиться в основной школе, т.к. решение задач с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для развития личности, применимых в исследованиях на любом другом математическом материале. Здесь также наиболее ярко проявляется, насколько глубоки и неформальны знания учащихся.

ЛИТЕРАТУРА:

1.Алтынов П.И. «Алгебра. Тесты.» издательство Дрофа, Москва, 2003г.

2.Алтынов П.И.«Контрольные и зачетные работы по алгебре»,Москва,2003

3.Горнштейн П.И., В.Б. Полонский, М.С. Якир, под редакцией

Г.В. Дорофеева «Задачи с параметрами», «Илекса»-«Гимназия», Москва-харьков,2003г.

4.Мерзляк А.Г., В.Б. Полонский, М.С. Якир, «Алгебраический тренажёр»,1998г.

5.Приложение к «1 сентября» МАТЕМАТИКА.

6.Черкасов О.Ю., А.Г. Якушев «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену», Айрис-Пресс, Москва,2003г.

7.Ястребинецкий Г.А. «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», Просвещение, Москва,1972г.

22