Проект Исследование различных методов решения задач на концентрацию веществ в растворах, смесях и сплавах

Муниципальное общеобразовательное учреждение - Гимназия №1

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

по направлению «Математика»

ТЕМА: «Исследование различных методов решения задач на концентрацию веществ в растворах, смесях и сплавах»

Выполнил:

Яременко Виталий Алексеевич

Класс: 10 «А»

Научный руководитель:

Дацко Елена Владимировна

Учитель математики

г. Клин, 2015 г.

Оглавление

Стр.

Введение………………………………………………………………………3 - 4

1. Решение задач на смеси методом прямоугольников (методом чаш)…...5 - 9

2. Решение задач на смеси методом «креста»……………………………...9 - 12

3. Решение задач на смеси с помощью применения формул……………12 - 14

Заключение……………………………………………………………………….14

Библиографический список……………………………………………………..15

Приложения……………………………………………………...…………16 - 20

Введение

В процессе решения задач на проценты часто приходится сталкиваться с такими понятиями, как «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества». Концентрацией вещества называется отношение массы растворенного вещества к массе всей смеси (раствора или сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным содержанием вещества в смеси (растворе или сплаве). Оба данных понятия позволяют количественно оценить состав смеси.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда требуется смешать различные жидкости, растворы, порошки, разбавлять что - либо водой. Задачи на смеси - это тип задач, охватывающий довольно большой круг разнообразных ситуаций. Сюда входят задачи, связанные со смешением нескольких товаров, имеющих разную цену, сплавлением веществ с различным содержанием в них некоторого металла или соединением кислот разной концентрации и так далее. При этом для получения нужной и заранее задуманной смеси необходимо четко знать в каком соотношении или в каком количестве нужно взять исходные компоненты. Это и доказывает актуальность выбранной и рассматриваемой мной темы. Более того, при решении задач на смеси и сплавы четко прослеживается взаимосвязь математики с другими различными школьными дисциплинами, например, такими, как физика, химия и экономика. А значит, умение решать задачи на проценты позволит легче ориентироваться и в других сферах.

Цель данного проекта заключается в исследовании математических способов решения задач на проценты и выяснении, в каких ситуациях рациональнее и предпочтительнее использовать каждый из них. Для достижения поставленной цели требуется выполнить ряд следующих задач:

1. Рассмотреть различные способы решения задач на проценты, включая традиционный и нетрадиционные методы;

2. Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;

3. Создать рекомендацию по решению задач на смеси, растворы и сплавы.

Объектом изучения данного проекта являются традиционные и нетрадиционные методы решения задач на проценты. Предметом изучения выступает процесс применения данных способов при выполнении различных заданий.

Проектная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе «Решение задач на смеси методом прямоугольников» рассматривается традиционный и универсальный метод решения задач на проценты, который изучается большинством учащихся на уроках математики в школе. Во второй главе «Решение задач на смеси методом «креста» описывается алгоритм решения тех же задач, но с применением старинного нетрадиционного метода. Также приводится теоретическое обоснование возможности применения данного способа решения и подчеркиваются его преимущества. В третьей главе «Решение задач на смеси с помощью применения специальных формул» приводится разбор сложных задач, решение которых значительно упрощается благодаря применению выведенных ранее формул.

В ходе написания проектной работы мной были использованы несколько источников информации: учебные пособия по математике и сборники задач для подготовки к выпускным экзаменам. Основным источником информации для исследования является учебное пособие А.В. Шевкина, в котором подробно изложены теоретические основы решения задач на смеси, растворы и сплавы. Условия рассмотренных в проекте задач были взяты из соответствующих теме разделов задачников по математике [2,3]. Также в целях дальнейшего практического применения выводов проектной работы мной были рассмотрены задачи из рабочей тетради для подготовки к ЕГЭ.

Итогом проектной работы является составление рекомендации к решению задач на смеси, растворы и сплавы в виде таблицы с кратким описанием каждого метода и схемами решения (См. Приложение 3).

1. Решение задач на смеси методом прямоугольников (методом чаш).

Для начала целесообразно рассмотреть один из универсальных методов, который изучается на уроках математики в школе и чаще всего применяется учащимися при решении задач на смеси, растворы и сплавы. Это метод прямоугольников или метод чаш. Данный способ является весьма удобным, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи.

Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав). Рассмотрим одну из таких типовых задач.

Задача 1.

Имеется два сплава. Первый из них содержит 10% никеля, а второй - 30% никеля. Из двух данных сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса исходного второго сплава больше массы первого?

Решение:

I способ. Решение задачи с помощью уравнения.

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на части согласно количеству входящих в состав сплава элементов.

Никель

Другой элемент

10%

х кг

Первый сплав

Никель

Другой элемент

30%

(200 - х) кг

Второй сплав

Никель

Другой элемент

25%

200 кг

Новый сплав

+

=

Схема 1. Структура и процесс соединения двух сплавов.

Сплав состоит из никеля и еще одного неизвестного компонента.

Введем обозначения: х кг - масса первого сплава;

(200 - х) кг - масса второго сплава.

Переведем проценты в десятичную дробь: 10% = 0,1; 30% = 0,3; 25% = 0,25. Далее составим и решим уравнение:

,

,

,

.

Первый сплав = 50 кг,

Второй сплав = 200 - 50 = 150 кг.

.

Ответ: масса второго сплава на 100 кг превышает массу первого сплава.

II способ. Решение задачи с помощью системы двух уравнений.

Введем обозначения:

х кг - масса первого сплава, у кг - масса второго сплава.

Никель

Другой элемент

10%

х кг

Первый сплав

Никель

Другой элемент

30%

у кг

Второй сплав

Никель

Другой элемент

25%

200 кг

Новый сплав

+

=

Схема 2. Структура и процесс соединения двух сплавов.

Составим и решим систему уравнений:

.

Получили абсолютно тот же ответ.

При решении задач на смеси, растворы и сплавы выбор обозначения неизвестной величины зависит от интересующего нас параметра смеси. Так в качестве неизвестного можно выбрать либо вес вещества, либо его концентрацию (т.е. вес данного вещества в единице веса всей смеси). Таким образом, очевидно, что при решении подобных задач требования к очень внимательному рассмотрению условий и данных задачи особенно высоки.

Для того, чтобы более ясно понять простоту и универсальность рассмотренного выше метода, предлагаю рассмотреть еще одну задачу на проценты.

Задача 2.

Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Первый сплав содержит 25% цинка, а второй сплав содержит 50% меди. Известно, что процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили сплав, содержащий 28% олова. Сколько килограмм меди содержится в новом сплаве?

Решение:

1) Введем обозначения и начнем заполнять схему.

Пусть х % - процентное содержание олова во втором сплаве.

(кг) - масса олова в новом сплаве,

(кг) - масса цинка в первом сплаве,

+

Цинк

25%

Первый сплав

Медь

Олово

2х%

50 кг

200 кг

Ц

Второй сплав

М

О

50%

х%

150 кг

300 кг

Ц

Новый сплав

М

О

28%

?

140 кг

500 кг

=

(кг) - масса меди во втором сплаве.

Схема 3. Структура сплавов, 1-ый шаг решения задачи.

2) Переведем проценты в доли: - доля олова во втором сплаве,

- доля олова в первом сплаве.

Используя найденную долю, выразим массу олова в исходных сплавах:

(кг) - масса олова в первом сплаве,

+

Цинк

25%

Первый сплав

Медь

Олово

2х%

50 кг

4х кг

200 кг

Ц

Второй сплав

М

О

50%

х%

150 кг

3х кг

300 кг

Ц

Новый сплав

М

О

28%

?

140 кг

500 кг

=

(кг) - масса олова во втором сплаве.

Схема 4. Структура сплавов. 2-ой шаг решения задачи.

Из заполненной схемы ясно видно, что можно составить простое линейное уравнение:

,

,

.

20% - процентное содержание олова во втором сплаве.

3) Найдем массу олова в первом и втором сплавах:

(кг) - масса олова в первом сплаве,

(кг) - масса олова во втором сплава.

+

Цинк

25%

Первый сплав

Медь

Олово

2х%

50 кг

80 кг

200 кг

Ц

Второй сплав

М

О

50%

х%

150 кг

60 кг

300 кг

Ц

Новый сплав

М

О

28%

?

140 кг

500 кг

=

Схема 5. Структура сплавов. 3-ий шаг решения задачи.

4) Найдем оставшиеся неизвестные данные:

(кг) - масса меди в первом сплаве,

(кг) - масса цинка во втором сплаве,

(кг) - суммарная масса цинка в первых двух сплавах или же масса цинка в новом сплаве.

+

Цинк

25%

Первый сплав

Медь

Олово

2х%

50 кг

70 кг

80 кг

200 кг

Ц

Второй сплав

М

О

50%

х%

90 кг

150 кг

60 кг

300 кг

Ц

Новый сплав

М

О

28%

140 кг

?

140 кг

500 кг

=

Схема 6. Структура сплавов. 4-ый шаг решения задачи.

(кг) - масса меди в новом получившемся сплаве.

Ответ: в новом сплаве содержится 220 кг меди.

Следующие два способа, которые предлагается рассмотреть, опираются на арифметику и знания понятия и свойств пропорций.

2. Решение задач на смеси методом «креста».

Довольно часто встречаются задачи, в которых для приготовления раствора с определенной массовой долей растворенного в нем вещества требуется смешением двух других растворов иной концентрации. Решить подобные задачи возможно путем проведения достаточно сложного и трудоемкого арифметического расчета. Однако это потребует большого количества времени и сил и в итоге будет нерационально и малопродуктивно. Поэтому в таких ситуациях лучше применять диагональную модель, называемую правилом «креста», что позволит прийти к правильному ответу намного быстрее.

Пусть для получения c-% раствора кислоты требуется смешать два раствора кислоты, причем первый раствор содержит a-% кислоты, а второй - b-% кислоты. Предположим, что х г - масса раствора, содержащего a-% кислоты, тогда y г - масса b-% раствора.

г - масса чистой кислоты, содержащейся в первом растворе,

г - масса чистой кислоты, содержащейся во втором растворе,

г - масса чистой кислоты, содержащейся в получившейся смеси.

Справедливо равенство:

,

,

,

.

с

b

a

b - c

с - a

Используя схему, получаем ту же пропорцию:

Схема 7. Диагональная модель в общем виде.

.

Попробуем решить исходную задачу 1, используя этой старинный и нетрадиционный метод.

Задача 1, III способ. Метод «креста».

25

30

10

Запишем друг под другом содержание никеля в исходных сплавах, посередине слева от них - процентное содержание никеля в новом сплаве, образовавшемся в результате смешения двух, данных изначально.

Имеем две пары чисел: 25 и 10, 25 и 30. Далее согласно схеме вычитаем из одного числа пары другое и записываем полученные значения рядом, но поменяв строчки местами (накрест).

25

30

10

30 - 25 = 5

25 - 10 = 15

с

b

a

b - c

с - a

Схема 8. Диагональная модель, метод «креста».

Из 10-% сплава требуется взять 5 частей, а из 30-% сплава - 15 частей. Составляем пропорцию: (кг) - масса одной части.

Соответственно первый сплав - 5 частей - кг, второй сплав - 15 частей - кг. Второй сплав на 100 кг больше первого. Использование данного метода также позволило нам получить правильный ответ.

Диагональная схема очень удобна в применении, и в своей сущности она также является универсальным методом решения задач на смешение двух однородных смесей (растворов или сплавов). В доказательство этого утверждения я предлагаю рассмотреть еще одну задачу на смеси. Самое интересное в следующей задаче заключается в том, что она связана с современной и достаточно развитой сферой деятельности - с экономикой.

Задача Дьёрдь Пойа.

Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

Решение:

Введем обозначения: х кг - необходимая масса орехов первого сорта,

72

90

60

90 - 72 = 18

72 - 60 = 12

II сорт

I сорт

50 - х

х

с

b

a

b - c

с - a

(50 - х) кг - необходимая масса орехов второго сорта.

Схема 9. Диагональная модель, метод «креста».

Составим и решим уравнение:

,

,

,

,

.

Ответ: для получения 50 кг смеси орехов по цене 72 цента за килограмм потребуется смешать 20 кг орехов по 90 центов и 30 кг по 60 центов за килограмм.

Метод «креста» также помогает при решении задач, в которых для получения верного ответа требуется провести сравнение двух различных ситуаций. При этом диагональную модель необходимо применять дважды в соответствии с условиями каждой отдельной ситуации. Задача такого типа рассмотрена в Приложении 1.

3. Решение задач на смеси с помощью применения формул.

Введем обозначения:

- процентное содержание вещества в исходной первой смеси (растворе или сплаве),

- процентное содержание вещества в исходной второй смеси (растворе или сплаве),

- процентное содержание вещества в получившейся или требуемой смеси (растворе или сплаве),

- масса первой смеси,

- масса второй смеси,

- масса получившейся или требуемой смеси.

Можем составить равенство:

или .

Соответственно из данного равенства можно выразить любую интересующую нас величину.

.

Рассмотрим исходную задачу 1, применяя этот метод, для того, чтобы убедиться, что и он приведет нас к верному решению.

IV способ. Использование ранее выведенных формул.

Введем обозначения:

Подставляем данные значения в формулу:

,

,

,

,

,

,

,

.

Таким образом, данную задачу возможно решить, применяя несколько различных методов, каждый из которых имеет свои определенные преимущества. При этом в ходе решения удалось доказать, что правильность конечного ответа не зависит от выбранного способа.

Стоит отметить, что выведенные формулы можно также применять при решении задач, где смешивается не только два раствора, но и большее их количество. Тогда формула в общем виде будет выглядеть следующим образом: или , где n - количество смесей, растворов или сплавов. Знание и правильное применение данных формул позволит учащимся значительно упростить ход решения задачи, а также сэкономить время при выполнении подобных заданий на экзамене. В доказательство данного утверждения в Приложении 2 приведено сравнение двух методов решения задачи на растворы.

Заключение

Таким образом, в данной проектной работе мной были рассмотрены несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения.

Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе». Также при решении таких заданий необходимо понимать взаимосвязь концентрации какого - либо вещества с массой или количеством всей смеси, сплава.

Чтобы моим сверстникам и другим учащимся было легче ориентироваться в выборе наилучшего метода решения при разборе задач на смеси, мной была составлена рекомендация к решению таких типовых задач в виде таблицы, где для каждого отдельного метода отражен основной алгоритм решения и указаны его отличительные преимущества (См. Таблица 1, Приложение 3).

В заключении важно отметить, что знание нескольких различных способов и дополнительная работа по выработке и развитию умений и навыков решения задач на проценты позволит многим учащимся справиться с такими заданиями на экзамене намного быстрее и качественнее, так как будет возможность перепроверить себя, решая задачу другим методом.

Библиографический список:

1. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В13. Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. - 3-е изд., дополн. - М.: МЦНМО, 2012. - 64с.

2. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка. - Волгоград: Учитель, 2009. - 494 с.

3. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы (с решениями и ответами): Учеб. пособие. - М.: Московский лицей, 2009. - 304 с.

4. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 - 11 классы: Учебное пособие по математике. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2003. - 184 с.

Приложение 1

Решение задачи на смеси с использованием метода «креста»

Задача.

Смешали некоторые количества 72-% и 58-% раствора кислоты и в результате получился 62-% раствор этой же кислоты. Если бы каждого изначального раствора взяли на 15 л больше, то получили бы 63,25-% раствор. Сколько литров каждого раствора необходимо было взять первоначально для получения 62-% раствора кислоты?

Решение:

Для решения данной задачи потребуется использовать диагональную модель дважды. Введем обозначения: х л - изначальное количество первого раствора кислоты, а у л - изначального количество второго раствора кислоты.

62

72

58

72 - 62 = 10

62 - 58 = 4

у

х

с

b

a

b - c

с - a

1.

Получаем пропорцию: или .

63,25

72

58

72 - 63,25 = 8,75

63,25 - 58 = 5,25

у+15

х+15

2.

Аналогично получаем пропорцию: или .

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: для получения 62-% раствора кислоты требуется 12 л 72-% раствора и 30 л 58-% раствора кислоты.

Приложение 2

Сравнение двух методов решения задачи на смеси

Задача.

Смешав 30-% и 60-% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-% раствора этой же кислоты, то получили бы 41-% раствор кислоты. Сколько килограмм 30-% раствора использовали для приготовления исходной смеси?

Решение:

I способ. Метод прямоугольников (метод чаш).

Пусть х кг - масса первого раствора кислоты, а у кг - масса второго раствора кислоты. Рассматривая две отдельные ситуации, составим и заполним соответствующие схемы:

+

=

Вода

10 кг

0% кислоты

К

Второй раствор

В

60%

0,6у кг

40%

0,4у кг

Кислота

Первый раствор

Вода

30%

0,3х кг

70%

0,7х кг

К

Новый раствор

В

36%

0,36(х+у+10) кг

64%

064(х+у+10) кг

+

+

=

К

Второй раствор

В

60%

0,6у кг

40%

0,4у кг

Кислота

Первый раствор

Вода

30%

0,3х кг

70%

0,7х кг

К

Новый раствор

В

41%

0,41(х+у+10) кг

59%

059(х+у+10) кг

+

К

Третий раствор

В

50%

5 кг

50%

5 кг

Схема 1. Первая ситуация.

Схема 2. Вторая ситуация.

Составим и решим систему уравнений:

Составление данной системы уравнений и схем смешения растворов потребует довольного большого количества времени, а также концентрации внимания. Но данную задачу возможно решить, используя уже выведенные формулы, что будет менее трудоемко и позволит сэкономить время на экзамене.

II способ. Решение с использование выведенных формул.

Введем необходимые обозначения:

1) 2)

Для составления системы уравнений воспользуемся уже выведенной формулой: .

Ответ: для приготовления исходной смеси было использовано 60 кг 30-% раствора кислоты.

Приложение 3

Таблица 1. Рекомендация к решению задач на смеси, растворы и сплавы с кратким описанием различных методов.

№

Название метода

Алгоритм решения

Примечания

1

Метод прямоугольников или метод чаш

1 шаг. Составить и согласно условиям задачи заполнить схему, описывающую структуру смесей, растворов или сплавов.

n-ый сплав (смесь или раствор)

Элемент 1

Элемент 2

концентрация элементов

масса элементов

Общая масса сплава

Эл. 1

Эл. 2

Первый сплав

Эл. 1

Эл. 2

Второй сплав

Эл. 1

Эл. 2

Новый сплав

+

=

2 шаг. Исходя из данных схемы составить и решить уравнение или систему уравнений.

Данный метод является универсальным и подходит для решения задач на смеси, растворы и сплавы любого типа

2

Диагональная модель или метод «креста»

с

b

a

b - c

с - a

у

х

1 шаг. Ввести обозначения: a - процентное содержание вещества в первом растворе, b - процентное содержание вещества во втором растворе, c - процентное содержание вещества в получившемся растворе, х - масса первого раствора, у - масса второго раствора.

2 шаг. Согласно схеме составить

и решить пропорцию: .

Метод удобен в применении при решении задач на смешение двух однородных по составу веществ

3

Использование специальных формул

1 шаг. Ввести необходимые обозначения: - процентное содержание вещества в первой смеси, - процентное содержание вещества во второй смеси, - процентное содержание вещества в получившейся или требуемой смеси, - масса первой смеси, - масса второй смеси, - масса получившейся или требуемой смеси.

2 шаг. Используя равенство выразить и вычислить интересующую неизвестную величину.

Данный метод упрощает процесс решения задач, в которых смешивается большое количество веществ разной концентрации