Методическая разработка урока по математике на тему Основные понятия комбинаторики

Министерство сельского хозяйства и продовольствия Самарской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Самарской области

«Борский государственный техникум»

Методическая разработка урока

дисциплина Математика

тема: «Основные понятия комбинаторики»

профессия: 35.01.15 Сварщик (электросварочные и газосварочные работы)

Преподаватель:

Осипова А.Н.

с. Борское 2015 г.

Тема: «Основные понятия комбинаторики»

Дата: 04.12.14 г.

Группа: №9 (профессия 35.01.15 Сварщик (электросварочные и газосварочные работы))

Цели:

1. Образовательные:

• знакомство с новым разделом математики «Комбинаторика», с ее историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;

• формирование умений проводить исследования по данной теме;

• закрепление умений решения заданий по теме «Комбинаторика».

2. Развивающие:

• развитие аналитических способностей, логического мышления;

• развитие индивидуальных способностей студента, при создании комфортной психологической обстановки для каждого студента.

3. Воспитывающая: формирование активности студента, умение работать в группе.

Задачи:

• сформировать знания об элементах комбинаторики;

• закрепить пройденный материал;

• сформировать у студентов понятия необходимости применения знаний по данной теме в будущей профессии.

Тип урока: сообщение нового материала.

Методы и приемы работы: сообщение нового материала, самостоятельная работа обучающихся, беседа

Методическое обеспечение: учебник, схема «Выбор формулы комбинаторики»

Литература:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / 8-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 256 с.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч. 1 учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) - М. Мнемозина, 2010. Ч.2 задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2010.

План урока:

I Организация урока

II Сообщение нового материала

III Самостоятельная работа обучающихся

IV Подведение итогов урока

I Организация урока

II Сообщение нового материала

Введение

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности - комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.

Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют «дерево возможностей») с применением правила умножения.

Мотивация

Преподаватель интересуется у старосты группы, сколько студентов в группе являются дежурными в этот день и кто они, а также, являются ли бригады дежурных в этой группе постоянными? Далее он предлагает студентам группы задуматься о том, сколько всего существует способов назначить из n студентов группы m дежурных. Ответы, предлагаемые студентами, просит обосновать. Заключает, что решением подобного типа задач занимается раздел математики, называемый комбинаторикой.

Основная часть

Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам из уроков информатики понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

Введение общих понятий

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Преподаватель дает студентам под запись тексты двух задач:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: n=3 - общее количество элементов и m=2 - количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

Размещения

Определение. Размещением из n элементов по m называют любое упорядоченное m-элементное подмножество n-элементного множества.

Число размещений из n элементов по m обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая n=8, m=3:

Перестановки

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле:

Сочетания

Определение. Сочетанием из n элементов по m называют любое m-элементное подмножество n-элементного множества.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая n=8, m=3:

Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.

Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.

III Самостоятельная работа обучающихся

Для самостоятельной работы преподаватель дает обучающимся следующую задачу: сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Решение. В этой задаче требуется найти количество 5-элементных подмножеств 15-элементного множества, причем порядок следования элементов в подмножествах не имеет значения. Речь идет о количестве сочетаний из 15 элементов по 5:

Ответ: 3003 способа.

IV Подведение итогов урока

Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.