Конспект к уроку по геометрии на тему Тела вращения. Цилиндр

ГОУ СПО " Бахчисарайский колледж строительства, архитектуры и дизайна"

КОНСПЕКТ

занятия

по дисциплине "ОБД Математика"

Тема: Тела вращения. Цилиндр

Преподаватель

высшей квалификационной категории

Боровская Е.А.

Группа Д-4,ГХ-3

Тип урока: Занятие-лекция и использованием ИКТ, знакомство с новым материалом

Оборудование: компьютер, проектор, записи на доске, чертёжные принадлежности.

Методические цели:

1) образовательная познакомить студентов с понятиями тело вращения ,цилиндр, как геометрическое тело, так и тело вращения, познакомиться с выводом формул, рассмотреть различные виды сечений цилиндра, осуществить связь между новым материалом и ранее изученным;

2) воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к изучению нового материала;

3) развивающая: развитие логического и пространственного мышления, умение выбирать материал для изучения,продолжить работу над расширением кругозора студентов .

Методическое обоснование темы:

Данная тема изучается в середине второго семестра и является частью темы "Цилиндр, конус, шар" учебного раздела "Геометрия 11 класс". Реализация ИКТ на занятии позволяет реализовать дифференцированный, личностно-ориентированный подход в обучении. Позволяет сформировать интерес к математике.

Ход занятия:

1. Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

На сегодняшнем занятии нам предстоит познакомиться с новым математическими понятиями, значение которых трудно переоценить,тела вращения, цилиндр.

Сначала внимательно смотрите на изображение на экране и слушаете, затем необходимое записываете в тетрадь.

Вам на занятии понадобятся чертежные принадлежности.

2. Изучение нового материала.

Приступаем к работе.

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. (Г. Галилей)

Актуализация знаний:

Нам необходимо повторить понятия: параллельные плоскости, прямая перпендикулярная к плоскости, параллельный перенос.

Начнём мы с тел и поверхностей вращения.(смотрим изображение на экране)

Представим, что плоский многоугольник ABCD вращается вокруг прямой АB. При этом каждая его точка, которая не принадлежит прямой АB, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCD, вращаясь вокруг прямой АВ, описывает некоторое тело вращения.

Поверхность этого тела называется поверхностью вращения.

Как вы думаете, где мы в жизни часто встречаемся с телами вращения?

Ответы

(Демонстрация примеров тел вращения на экране)

Какая же поверхность называется цилиндрической?

Цилиндрическая поверхность - поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.

Прямая АВ - образующая;

кривая AKNLA - направляющая.

Бесконечный цилиндр - тело, ограниченное цилиндрической поверхностью.

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Сегодня мы познакомимся с определением цилиндра как геометрического тела, понятием прямого цилиндра, с его элементами (поверхность, высота, радиус, ось), с определением цилиндра как тела вращения, со свойствами цилиндра, с видами сечений цилиндра плоскостями, вписанной и описанной призмой, с формулой площади цилиндра.

Определение цилиндра как геометрического тела.

Цилиндр, у которого основания перпендикулярны образующим и являются кругами, называется прямым круговым цилиндром(часто, и далее, - просто цилиндром)

AO₁ - радиус цилиндра;

AB, CD - образующие цилиндра;

O₁O₂ - ось цилиндра;

AB, CD, O₁O₂ - высоты цилиндра;

ABCD - осевое сечение цилиндра.

Существует и другое определение цилиндра, его мы и запишем.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Давайте изобразим цилиндр, вспомним какие линии изображают пунктирной линией. (Записывают и рисуют).

Посмотрите, какую фигуру (ранее изученную) вам напоминает цилиндр?

Ответы. (Призму)

Скажите, а какие элементы имеет призма?

Ответы.

Цилиндр тоже имеет свои элементы, давайте познакомимся с ними.

Круги называются основаниями цилиндра. Подпишите на своем рисунке, где находятся основания. (Записывают)

Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов называются образующими цилиндра. (Записывают определение и обозначают образующие)

Мы с вами будем работать с прямым цилиндром, а что это такое давайте рассмотрим определение.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. (Записывают определение)

Кроме этого у цилиндра есть следующие элементы: поверхность, высота, ось и радиус. Давайте познакомимся с этими понятиями.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью цилиндра называется, прямая, проходящая через центры его оснований. Ось цилиндра параллельна образующим.

Мы рассмотрели определение цилиндра как геометрического тела и познакомились с элементами цилиндра.

Давайте теперь рассмотрим цилиндр как тело вращения. Как вы думаете, при вращении какой геометрической фигуры образуется цилиндр?

Ответы.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основание - вращением сторон BC и AD

Кроме того, что цилиндр имеет элементы, он еще обладает и свойствами. Давайте с ними познакомимся.

1. Основания цилиндра равны.

2. Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях.

3. Образующие цилиндра параллельны и равны

Запишите в тетради эти свойства.

Давайте вернемся к призме. Какие фигуры мы могли получить при сечении призмы плоскостями?

Ответы.

А как вы думаете при сечении цилиндра, какие фигуры могут получиться?

Ответы.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельно его оси, представляет собой прямоугольник.

Зарисуйте и подпишите название в тетрадях.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого - образующие, а две другие - диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Зарисуйте и подпишите название в тетрадях

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является круговым. Такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, являющееся цилиндром.

Зарисуйте и подпишите название в тетрадях

Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Зарисуйте и подпишите название в тетрадях

Если секущая плоскость не параллельна ни основанию, ни образующим, то в сечении получается эллипс

Зарисуйте и подпишите название в тетрадях

Атеперь нам необходимо научиться находить площадь полной и боковой поверхностей цидиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Площади оснований легко найти, достаточно знать формулу площади круга.

А с площадью боковой поверхности дело обстоит следующим образом: за площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Т.к. площадь прямоугольника ABB'A' равна AA'*AB=2Пrh, то для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2Пrh

Таким образом, боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

S_бок = 2πRH.

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:

S_п = S_бок + 2S_осн = 2πR(H + R).

Зарисуйте и запищите в тетрадь.

3.Решение задач. (Решение демонстрируется на доске)

Задача №1

Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра:

Даны длина окружности основания и площадь боковой поверхности цилиндра. По-сути нам дана площадь прямоугольника и одна его сторона, требуется найти другую сторону (это есть высота цилиндра):

Требуется радиус и тогда мы сможем найти указанную площадь.

Длина окружности основания равна трём, тогда запишем:

Таким образом

Округляем до десятых, получаем 7,4.

Ответ: h = 2, S = 7,4

Задача №2.

(Решение демонстрируется на доске)

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр

основания - 9. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Значит

Ответ: 8

4.Задачи для самостоятельной работы

1. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения, площадь боковой и полной поверхности цилиндра.

2. Осевое сечение цилиндра -квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания.

3. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144π кв.см. Определите радиус основания и высоту.

4. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

5. Подведение итогов урока.

1. Укажите в природе, технике, архитектуре, среди окружающих вас предметов, объекты , имеющие форму цилиндра.

2. Объясните, что называют цилиндром? Назовите его основные элементы.

3. Дайте определение прямого цилиндра.

4. Что такое осевое сечение цилиндра?

5. Может ли осевое сечение быть прямоугольником? Квадратом? Трапецией?

6. Назовите другие виды сечений цилиндра?

6.Домашнее задание.

Повторить стр.130-132, гл. 1, п.59-60, №538, № 542.

Приложение.

Проверочная тестовая работа

Вариант 1

№1. Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота - 5 см, тогда площадь боковой поверхности равна:

40; 10; 20; 4

№2. В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

80; 96; 64; 32

№3. Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4, тогда площадь боковой поверхности равна:

16; 32; 4; 8

№4. Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его большей стороны, равна:

56; 72; 88; 48

№5. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а высота - 4 м, тогда радиус равен:

16; 8; 26; 8

№6. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна:

256; 100; 24; 64

№7. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту и радиус увеличить в три раза?

3; 6; 9; 27

№8. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

36; 64; 48; 96

№9. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 4 раза, а радиус увеличить в 2 раза?

не изменится; 8; 4; 2

№10. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 12 раз?

4; 6; не изменится; 8

Вариант 2.

№1. Диаметр основания цилиндра равен 4 см, высота - 3 см, тогда площадь боковой поверхности равна:

40; 10; 12; 4

№2. В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 9 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 40; ; 60; 32

№3. Радиус основания цилиндра в три раза меньше образующей, равной 6, тогда площадь боковой поверхности равна:

24; 32; 4; 8

№4. Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его меньшей стороны, равна:

56; ; ; 48

№5. Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а радиус - 8м, тогда образующая равна:

16; 4; 26; 8

№6. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна:

256; 100; 24; 

№7. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус увеличить в три раза?

9; не изменится; 3; 27

№8. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 6 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

; 64; ; 48

№9. Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в 4 раза, а диаметр уменьшить в 2 раза?

уменьшится в 2 раза; уменьшится в 8 раз; не изменится; увеличится в 2 раза

№10. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 6 раз?

2; 6; не изменится; 3

Ключ к тестовой работе (оба варианта)

№ задачи

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ

3

2

1

3

2

4

3

4

4

1