Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Раздел Математика
Класс 9 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение неравенств с двумя переменными

Графическое решение неравенств


Неравенство с двумя переменными х и у f(x;y) > Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (х;у) можно записать в виде F(x;y)>0 (1), где f(x;y),Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными(x;y), F(x;y) - многочлены с указанными переменными. Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть и другого вида:

F(x;y) < 0,F(x;y) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0,F(x;.y) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0.

Решением неравенства (1) называется упорядоченная пара действительных чисел (х0; у0), обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки (х0; у0) координатной плоскости. Решить неравенство - значит, найти множество всех его решений. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью его решений.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

Полезно будет напомнить здесь одно простое
утверждение: график уравнения F(x;y) = y - f(x) = 0, где f(x) - многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) меняет знак на противоположный.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Рис. 1cnh 62

Действительно, если взять любую точку (рис. 1), лежащую выше графика, то ее ордината будет больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на графике. То есть множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства у > f(x), т.е. F(x;y) > 0 . Для точек, лежащих ниже графика, имеет место неравенство F(x;y) < 0.

Аналогично можно сформулировать утверждение для графика уравнения F(y,x) = х - Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (у) = 0, где Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (у) -многочлен.

Многочлен можно заменить на элементарную функцию. Например, для выражений F(x;y) = y - log2x иF(x;y) = y - Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (k>0) на рисунках 2 и 3 соответственно представлены решения неравенства F(x;y) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Рис. 2


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Рис. 3

Указанные утверждения удобно использовать, если в неравенстве удается выразить переменную у(или х) в явном виде, то есть уединить эту переменную в одной из частей неравенства.

Области знакопостоянства линейного многочлена F(x;y) =px + qy + r

Уравнение px + qy + r = 0, где p2+q2Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными, задает прямую линию. Геометрической интерпретацией решения линейного неравенства с двумя переменными является следующая теорема.

Теорема 1. Прямая px + qy + r = 0, где p2+q2Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными, разбивает координатную плоскость на две открытые полуплоскости так, что координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют неравенству рх + qy + r > 0, а другой - неравенствуpx + qy + r <0.

Исходя из теоремы 1, можно сформулировать свойство чередования знака для линейного многочлена Ф(х;у) = px + qy + r (p2+q2Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными,):

при переходе через точку прямой px + qy + r = 0 из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена Ф(х;у) меняется на противоположный.


  • Если прямые F1(x;y) = a1x + b1y + c1 = 0 и F2(x;y) = a2x + b2y + c2 = 0 пересекаются, то каждая из систем неравенств


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы. Например, совокупность Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными соответствующая системе неравенств Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными задает оставшуюся часть, исключая границы (координатную плоскость с «вырезанным» углом). Аналогичные утверждения верны и для других пар систем и совокупностей неравенств. Другими словами, в алгебре указанные совокупность и система неравенств являются логическими отрицаниями друг друга, а на координатной плоскости им соответствующие множества точек являются дополнениями друг друга до всей плоскости.

• Неравенство (a1x + b1y +c1)(a2x + b2y + c2) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0 (или (a1x + b1y +c1)(a2x + b2y + c2) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0), где ai2 +bi2 Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0 (i = 1; 2), Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.

Метод областей и его обобщения

• Рассмотрим выражение F(x;y)=F1(x;y) F2(x;y) × ... × Fn(x;y), (2)

где Fi (х; у) = pix + qiy + ri, причем прямые pix + qiy + ri =0 и pjx + qjy + rj =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; i Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Выражению (2) соответствует разбиение плоскости на области прямыми линиями pix + qiy + ri =0 (i = 1,2,...,n). Точки пересечения прямых будем называть особыми точками границы области, другие точки -обыкновенными. Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (2): при переходе через обыкновенную точку прямой pix + qiy + ri =0 (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (2) меняется на противоположный.

Действительно, при переходе через прямую линию pix + qiy + ri =0 в выражении (2) меняет знак только один множитель pix + qiy + ri.

Пример . Решите графически неравенство (у + х)(х - у - 1)(х + 2)Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными0.

Решение. На координатной плоскости хОу строим сплошными линиями график уравнения (у + х)(х - у - 1)(х + 2) = 0, состоящий из трех прямых у = -х, у = х - 1 и х = -2 (рис.4). Многочлену F(x; у) = (у + х)(х - у - 1)(х + 2) соответствует разбиение плоскости (х;у) на семь областей. Возьмем пробную точку (3;0) и определим знак значения выражения F(x;y) в этой точке: F(3;0) = 30; 30 > 0. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (3;0). Далее, используя свойство чередования знака выражения F(x;y) вида (2), расставляем знаки в остальных областях. Нумерация областей на рисунке показывает последовательность их обхода (последовательность обхода может быть и другой). Выбираем области, содержащие знак плюс и решения уравнения F(x;y) = 0.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Рис. 4

• Пусть дано выражение вида F(x;y) =Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными(x;y) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными(x;y)  ...  Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (x;y) (3), где Fj{x;y) = pix + qiy + ri , причем прямые pix + qiy + ri =0 и pjx + qjy + rj =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; iПодборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными k1,k2,...,kn - фиксированные натуральные числа и выражению F(x;y) соответствует разбиение плоскости на области.

Для решения неравенства (1), где выражение F(x; у)имеет вид (3), используется обобщенный метод областей, который опирается на следующее правило чередования знака выражения: при переходе через обыкновенную точку прямой pix + qiy + ri =0(границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (3) меняется на противоположный, если кi - нечетное число, и не меняется, если ki - четное число.

Области знакопостоянства многочленов F(x; у) второй степени

Рассмотрим кривые второго порядка: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу.

Теорема 2. Окружность (х - т)2 +(у - n)2 = R2 (с центром в точке А(т;n) и радиуса R > 0) делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне окружности, удовлетворяют неравенству (х - т)2 +(у - n)2 > R2,а расположенных внутри окружности неравенству (х - т)2 +(у - n)2 2.
Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Рис. 5

Теорема 3. Эллипс, заданный каноническим уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными = 1, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне эллипса, удовлетворяют неравенству Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными а расположенных внутри эллипса - неравенству Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 1.

Для эллипса Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными аналогично формулируется утверждение о знакочередовании значения выражения F(x; y) = Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Отсюда как следствие вытекает теорема 2.

Теорема 4. Гипербола ху - k = 0 (k Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0) делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную выражение F(x;y) = ху - k меняет знак на противоположный.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Аналогичное свойство знакочередования формулируется для гиперболы (х - т)(у - n) - k = 0 (kПодборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0)

Теорема 5. Гипербола, заданная каноническим уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными = 1), делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) = Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными (F(x; y) = Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 1) меняет знак на противоположный.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Аналогичное свойство формулируется для гипербол Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными и Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Теорема 6. Парабола, заданная каноническим уравнением у2= 2рх (р > 0 или р < 0), делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) = у2 -2рх меняет знак на противоположный.

Аналогичное свойство формулируется для параболы (у - n)2= 2р(х - т).


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Области знакопостоянства выражений, содержащих знак модуля

Для решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля, обычно разбивают координатную плоскость на отдельные области так, чтобы на каждой из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

В некоторых случаях удобно использовать известные области знакопостоянства выражений с модулями.

Теорема 7. Ромб, заданный уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными = 1, где k > 0, l > 0, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне ромба, удовлетворяют неравенству Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными > 1, а расположенных внутри ромба - неравенству Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

По аналогии с существующей терминологией «уравнение прямой в отрезках», уравнение Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными = 1, где k > 0, l > 0, можно назвать «уравнением ромба в отрезках».


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 8. Фигура, заданная уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , где k> 0, l > 0, делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) = Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными меняет знак на противоположный.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 9.Фигура, заданная уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными или kПодборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x; y) = Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными меняет знак на противоположный.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 10. Неравенство a1x + b1y +c1÷ Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными a2x + b2y + c2,где ai2 + bi2 Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0 (i = 1; 2), Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 11.Неравенство a1x + b1y+c1÷ Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными a2x + b2y +c2 , где ai2 +bi2 Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0 (i = 1; 2),Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными, задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 12. Пара параллельных прямых, заданных уравнением Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными разбивает координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной плоскости в другую значение выражения F(x; y) = ax + by + c - m меняет знак на противоположный.

Конкретизируем данную теорему: неравенство Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными задает на координатной плоскости множество внутренних точек «полосы», включая границы. В частности, «полоса»Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными параллельна оси Ох, а «полоса» Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными параллельна оси Оу.


Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными
Теорема 13. Неравенство a1x + b1y +c1÷ Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными a2x + b2y + c2Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , где m Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ai2+ bi2 Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными 0 (i = 1; 2), Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , задает на координатной плоскости множество внутренних точек параллелограмма, включая границы.Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Пример. Решить неравенство Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Решение. Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Заменим неравенство вида дроби на равносильное неравенство вида произведения: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Найдем корни многочлена Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными :Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными, Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Определим знак выражения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными в интервалах Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ; если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Ответ: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Решением системы неравенств являются те значения переменной (или переменных), при которых каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств - это пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Таким образом, чтобы решить систему неравенств, надо решить каждое из неравенств этой системы, а затем выбрать область, в которой все неравенства системы выполняются одновременно.

Решение двойных неравенств Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными также сводится к решению системы неравенств Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Пример. Решить систему неравенств Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы и решим его: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Теперь перейдем ко второму неравенству и получим его решение: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Областью решения обоих неравенств системы является отрезок Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными или Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Ответ: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Пример. Решить систему неравенств Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Решение. Рассмотрим первое неравенство системы Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными и решим его. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Согласно формуле разложения на линейные множители, квадратное неравенство примет вид Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Обозначим на числовой оси точки Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными и проверим знак выражения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными в промежутках, на которые разбивают действительную ось найденные значения корней. Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ; если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ; если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Поэтому решением первого неравенства будут значения переменной Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Перейдем ко второму неравенству Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными и найдем его решение: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Запишем неравенство в виде Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , обозначим на числовой оси точки Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными и проверим знак выражения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными в промежутках, на которые разбивают действительную ось найденные значения корней. Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ; если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ; если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Решением второго неравенства будут значения переменной Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Общей областью решения двух неравенств является интервал Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Ответ: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

6.2. Задания для самостоятельного решения.

Найдите решения неравенств:

1) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

2) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

3) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

4) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

5) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

6) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

7) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

8) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Найдите решения систем неравенств:

1) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

2) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными ;

3) Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

7. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Теоретические сведения и примеры

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала (корня), называется иррациональным. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому при использовании указанного метода следует проверять найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

При решении уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель радикала четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом значение радикала также является неотрицательным;

2) если показатель радикала нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом, в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

Таким образом, при решении иррациональных уравнений надо сначала определить область допустимых значений переменной, перейти от иррационального уравнения к рациональному, решить его и проверить подстановкой полученные корни.

Пример. Решить уравнение Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку в уравнении имеется корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Найдем дискриминант квадратного трехчлена: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Оба корня удовлетворяют допустимым значениям. Проверим, удовлетворяют ли эти корни заданному уравнению. Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то левая часть уравнения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , а правая часть Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Левая часть равна правой, следовательно, значение Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными является корнем уравнения. Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то левая часть уравнения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , а правая часть Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Левая часть не равна правой, следовательно, значение Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными не удовлетворяет уравнению и является посторонним корнем.

Ответ: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Пример. Решить уравнение Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку в уравнении имеется корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Найдем дискриминант квадратного трехчлена: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Квадратный трехчлен имеет два действительных корня Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Область допустимых значений уравнения Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Исходное уравнение содержит всего один знак корня (радикал). Оставим его в левой части уравнения, а все остальные слагаемые перенесем в правую часть уравнения: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Возведем обе части уравнения в квадрат: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , откуда Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Выполним проверку. Если Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными , то Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными . Корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными .

Пример 4

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства (у - х2)(у - х - 3) ≤ 3.

Сначала построим график уравнения (у - х2)(у - х - 3) = 0. Им является парабола у = х2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х2)(у - х - 3) происходит только на этих линиях. Для точки А(0; 5) определим знак этого выражения: (5 - 02)(5 - 0 - 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для которых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Подборка материала по математике Решение неравенств с двумя переменными

Как видно из рассмотренных примеров, для построения множества решений неравенства с двумя переменными используется метод интервалов на координатной плоскости.



© 2010-2022