Методическое пособие для учителя Интегральное исчисление и его приложения для решения задач

Пояснительная записка

Результаты, показанные в ЕНТ выпускниками школ, являются несомненно беспорной оценкой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.

К сожалению, приходится констатировать, что за последние годы результаты тестирования демонстрируют тенденцию по снижению уровня математической подготовки у выпускников средних школ. Статистика такова- выпускники решают 30% тестовых заданий по математике. Большинство учащихся плохо владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют стоить графики элементарных функций, не обладают пространственным воображением и имеют низкие навыки логического мышления.

Материалы методического пособия «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» ориентировано на систематизацию знаний по нахождению первообразной и вычислению определённого интеграла, по приложению интегрального исчисления при решении задач планиметрии и стереометрии и на углубленное изучение интегрального исчисления.

Данное методическое пособие является приложением к прикладному курсу по математике для 11 класса «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач».

Проанализировав тестовые задания, предлагаемые учащимся для единого национального тестирования, мы убедились, что в тестах присутствуют задания не только программного материала средней общеобразовательной школы, но и задачи повышенной сложности, изучаемые в классах с углубленным изучением математики. В данном методическом пособии приведено решение наиболее трудных тестовых заданий по интегральному исчислению, встречающихся в ЕНТ за 1999-2010 годы. Все задания были систематизированы, выбраны наиболее простые и общие методы решения, не выходяшие за рамки школьной программы по математике.

Цель пособия - ознакомить учащихся с типовыми методами решения часто встречающихся задач ЕНТ по математике, а также научить их избегать стандартных ошибок при решении задач, связанных с интегральным исчислением. Умение решать такие задачи определят успешность сдачи ЕНТ.

Задачами данного курса являются:

• Повышение математической культуры.

• Развитие пространственного воображения и логического мышления.

• Углубление знаний учащихся по интегральному исчислению

• Развитие умений и формирование навыков решения задач, связанных с интегральным исчисление.

• Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся.

• Подготовка к единому национальному тестированию и к обучению в вузе.

Методы и принципы обучения:

• Научность

• Доступность

• Вариативность

• Опережение программного материала

• Постепенного повышения сложности учебного материала

• Самоконтроль

• Практической направленности курса

Для реализации цели и задач прикладного курса используются такие формы занятий: лекция, практикум по решению задач, индивидуальные домашние задания по вариантам и их защита, в результате которой лежит исследовательская деятельность учащихся.

Содержание

1. Первообразная функции и её вычисление.

2. Определённый интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.

3. Приложения определенного интеграла.

4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Вычисления объемов тел вращения

5. Вычисление площади поверхности

6. Приложение определённого интеграла к решению физических задач

7. Технология работы над тестовыми заданиями

1.Первообразная функции и её вычисление.

До настоящего момента мы рассматривали вопросы нахождения производной известной функции. Но нередко возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстановление функций по их производным, называется интегральным исчислением.

Определение. Функция F(x),заданная на отрезке , называется первообразной для функции f(x), заданной на том же отрезке, если выполнено условие: (х)= f(x).

Операция нахождения первообразной заданной функции называется интегрированием.

Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции дифференцирования) многозначна. Если F(x) - первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообразных для функции f(x) на этом промежутке и все они имеют вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная.

Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно получить из графика одной из них сдвигом вдоль оси Оу. Выбором постоянной С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку, то есть постоянная С удовлетворяла уравнению: F()+С=

Множество всех первообразных F(x)+С для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается: .

Приведём таблицу основных интегралов:

1. = +C 7.+C

2. =+C 8.

3. =-+C 9.

4. =2 +C 10.

5. =+C 11. +C

6. =+C 12.=arc +C

Чтобы найти неопределённый интеграл (то есть множество первообразных для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это удаётся сделать путём преобразования подынтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

1. =

2. =

3. Если , то , где k и b -постоянные, k0.

1. Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:

а)=

б)=

в)=

г)=2

д)

е)x

Решение:

а)=

F(x)=

Ответ: а)

б)=

F(x) =

Ответ: б) F(x)=

в)=

F(x)=-+3+3+

Ответ: в) F(x)=

г)=2

F(x)==2 (-3)sin sin

Ответ: г) F(x)= sin

д)

F(x)=

Ответ: д) F(x)=

е)x

По определению модуля f(x)=

-

F(x)=

-

Поскольку F(x) непрерывна на R, то F(-1)=+-

Заменим

Ответ: е) F(x)=

-

2 Задание: Найдите: а)

б)

в)

г)

д)

е)dx

ж)

Решение:

а)

Преобразовав подынтегральное выражение, получим:

==2+C=2+C.

Ответ: 2+C.

б) =

Ответ:

в)===+C=+C.

Ответ:+C.

г)==

Ответ:

д)

Решим квадратное уравнение относительно Разложим квадратный трехчлен на множители и получим:

== sinx - x + C.

Ответ: sin x - x + C.

е)dx =dx =dx +16==

Ответ:

ж)

Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, получим:

=

=

Ответ:

3.Задание:Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А:

а) f(x)=

б) f(x)=6, A (3 55).

Решение:

а) f(x) =

Найдем общий вид первообразной для функции:

++C.

Для того, чтобы их всех первообразных выбрать ту, которая проходит через заданную точку, решим уравнение: F()+C=.

++C =

+C =

C= - .

Ответ:++.

б) f(x)=6

- ·(-3) ·2·+C.

Первообразная проходит через точку А(3;55), значит:

2 ·+C=55[

55+С=55, С=0.

Ответ:=.

2.Определённый интеграл.

Формула Ньютона - Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке равен приращению любой её первообразной

4. Задание: Вычислите интеграл:

а) dx

б)

Решение:

а) dx= dx= - =

Ответ:

б)= =

Ответ: 2.

Основные правила вычисления определённого интеграла:

1.

2.

3. =

4.

5.

5. Задание: Вычислите:

а) б) в)

г) д) е)

ж)

Решение:

а) =

Ответ: -

б)

Решим квадратное уравнение и разложим квадратный трехчлен на множители. Получим два одинаковых корня, равных 3. Тогда имеем интеграл от функции :

+

Ответ: 21.

в)

Преобразуем числитель по формулам сокращённого умножения (разность кубов). Имеем функцию: (1+2

=

Ответ:.

г)

Разделим числитель на знаменатель почленно, имеем:

= - =2 .

Ответ: .

д)

Применив тригонометрическую формулу синус двойного угла, имеем:

= )=- -

Ответ:

е) = = .

Ответ: .

ж) = ) = ) - )=.

Ответ:.

6.Задание: Вычислить:

а) б)

в) г)

а) - )= (-1- ) - (0 - 0 - )=-

Ответ: -

б)+1.

Ответ:+1.

Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаком модуля, то вычисление определённого интеграла с данными пределами интегрирования можно свести к вычислению суммы определённых интегралов с подынтегральными функциями, не содержащими переменную под знаком модуля.

в)

Воспользуемся свойством 3определённого интеграла:

- 0)+

+ (2 - 2 - +1) = 1.

Ответ: 1.

г)

х+1 _ + +

……………………-1……...…………………0………………………………>х

х _ _ +

Воспользуемся правилом 3 определённого интеграла:

Ответ: 5.

Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием свойств первообразных и интегралов.

7.Задание: При каком значении а выполняется равенство:

Решение:

Имеем уравнение , правая часть которого есть определённый интеграл, левая- число. Правую часть уравнения вычислим относительно параметра а:

(x-

Подставим значение интеграла в уравнение, имеем:

= .

Ответ: = .

8. Задание: Решить неравенство: - .

Решение:

Вычислим каждый интеграл.

1)

2)=0.

3) -x

Решаем методом интервалов:

f(x)=

x=-12 - не удовлетворяет условию.

____+________________________________4______-_____________

Ответ: x

9. Задание: Найдите все числа b

Решение:

=(bx-2

Ответ: b=2.

10. Задание: Найдите все числа А и В , при которых функция вида f(x)=A+B удовлетворяет условиям: f ' (x)=2 и

Решение:

f(x)=A+B: f ' (x)=

f ' (1)=

Тогда : 2В=4, В=2.

Ответ:

11. Задание: При каких значениях параметра а значение интеграла

Решение:

=(=а-

Значение интеграла максимально, при

Ответ:

III. Приложения определенного интеграла.

1.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

1. а) y=x²+1 , y=0 , x=-1 , x=2

б)y=√x, y=0 , x=1 , x=4

5. a) y=√x-1 , y=1 , y=0 , x=0

б) y=, y=1 , y=4 , x0

2. a) y=-x² , y=0 , x=3

б) y=³√x , y=0 , x=-1

6. y=x², y= (x0) , y=0 , x=5

3. a)y=4x-x² , y=0 , x=0 , x=5

б)y=cosx, y=0 , x=- , x=

7. y=√x , y=|x-2|

4. а) y= , y=x , x=2

б) y=x+3 , y=x² + 1

в) y= sinx , y=cosх, x=0

г) y=, y=

д) y=9/x² , y=-x-2 , x=-2

е) y=-2+|x|, y= -x²

8.а) y= - 4x , y=0

2. Вычисления объемов тел вращения

9.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

y=√x+1 , x=0 , x=1 , y=0

12. Найдите объем тела , полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью ординат и прямой у=1.

10.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой х∙у=2 , прямыми: х=1 , х=2 и осью абсцисс.

13.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=х² , у=2-х , у=0.

11.Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: у=х∙|x-2| , x=0 , x=3, y=0.

14.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=√7∙х³ , у=0 , х=-1 и х=1.

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла общим методом.

Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод вычисления площадей фигур.

Определение. Фигура, ограниченная прямыми y=0, x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a;b] функции f(x), называется криволинейной трапецией.

S_ф=

1.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=x²+1, y=0, x=-1, x=2.

б) y=, y=0, x=1, x=4.

в) y= , y=0 , x=1, x=2.

Решение:

а) y=x²+1,y=0,x=-1,x=2

S_ф =dx = = ( + 2) - =3+3=6

Ответ: 6.

б) y=, y=0, x=1, x=4

S_ф= = · (-1)= ·7=

Ответ:

в) y=, y=0, x=1, x=2

S_ф=dx= =.

Ответ: .

2. Рассмотрим случай, когда у=непрерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу:

2.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

_{, ,}

_{, ,}

Решение:

_{, ,}

Ответ: 9.

1. _{, ,}

Ответ :

3.Пусть функция f(x) непрерывна на и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае отрезок разбивается на части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак. Затем вычисляются соответствующие этим частям площади по приведённым выше формулам. После этого полученные результаты складываются.

3.Задание: Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями :

1. _{, , ,}

2. _{, ,,}

Решение:

1. _{, , ,}

Ответ: 13.

2. _{, , ,}

Ответ: _.

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f(x) и g(x) , а так же двумя прямыми x=a и x=b, где f(x)g(x) на отрезке [a;b] находиться по формуле:

Замечание. Если известно,что график одной из функций f(x ) или g(x) лежит выше другого,то можно не выяснять какой именно, а воспользоваться формулой :

4.Задание: Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями:

a)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение:

a)

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

Ответ:

б₎

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

Ответ: .

в)

Решение:

Найдём точки пересечения графиков функций :

tq x =1

Ответ:

г)

Область определения функции есть

Найдем точки пересечения графиков функций:

=

_=.

Ответ:

д)

Ответ: 1.

е)

Решение:

Ответ:

5.Если фигура ограничена прямыми : у=с, у=d (d и графиком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у=f () (, то её площадь вычисляеися по формуле

5 Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у= ,у=1, у=0,=0.

б) у=у=1, у=4,0.

Решение:

а) у= ,у=1, у=0,=0.

Найдём функцию, обратную данной у=:

Ответ:

б) у=у=1, у=4,0.

Найдём функцию, обратную данной у=

Ответ: 2.

6.Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.

6. Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: при условии0,у=0, х=5.

Решение:

Кривые у=и при условии0 пересекаются в точке х=1.

Ответ:

7.Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение: По определению модуля имеем:

Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения:

_,

х =-4х+4

-5х+4=0

2)

-5х+4=0

Искомая площадь равна:

Ответ:

8.Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у =

б) у =, у=1, х=_.
в) у =

Решение:

у =

Найдем нули функции:

Функция у =

у =

у =х

Ответ:8

3. Вычисление объемов тел вращения

Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями Y=f(x) (f(x)>0) , x=a , x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле: V=

9.Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

y=, =0, =1, y=0

Решение:

Воспользуемся формулой объема тела вращения:

V=

Ответ:

10.Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy=2, прямыми х=1 , х=2 и осью абсцисс.

Решение:

V== ₌

Ответ:

11.Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: y=x|x-2| , x=0 , x=3 , y=0.

Решение:

V= =

Ответ: 3.6

12.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью ординат и прямой у=1.

Решение:

Искомый объем состоит из разности объемов цилиндра, полученного вращением квадрата ОАВС вокруг оси Ох и фигуры, ограниченной параболой у=х² , осью Ох и прямой х=1.

Поэтому: V=

Ответ:

13.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=х ² , у=2-х, у=0.

Решение:

V=

Ответ:

14.Задание: Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=√7х³ , y=0 , x= -1 и х=1.

Решение:

V=2dx=

Ответ:

4.Приложение определённого интеграла к решению физических задач

IV. Технология работы над тестовыми заданиями.

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=

Решение:

1)График функции у=у =

2)Функцию f(x)=| можно переписать в виде:

F(x)=

Из условия задачи следует, что нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной функцией у=4-2 на отрезке [-1;2];

S== ===12 - - =9

Ответ: 9.

2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= , у= , у=0

Решение:

Построим схематично графики данных функций в одной системе координат.

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков функций:

Х=2

Найдем площадь фигуры:

S=+=x+(4-x) = - (0-2)=

Ответ:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой х=0, графиком функции у=4х- и касательной к этому графику в точке с абсциссой =3

Решение:

1)Найдем касательную к графику функции у=4х- в точке с абсциссой =3

У(3)=12-9=3

(х)=4-2х =>

Уравнение касательной: у=-2(х-3)+3=-2х+9

2) Схематично изобразим графики функций у=4х- и у=-2х+9.

S=-=dx==0-(-9)=9

Ответ: 9.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=-2x+1 и графиком ее производной

Решение:

2)Найдем точки пересечения графиков функций f(x) и :

;

Точки пересечения (1;0) и (3;4).

3)Схематично изобразим графики функций у= и у=2х-2

S==)dx==4 - =

Ответ:

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=3,у=5-2

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

3

=1

Точки пересечения (-1; 3)и(1;3).

2)Схематично изобразим графики функций у=3 и у=5-2

S==2=10=

=10=10=

Ответ:

6.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-+2х+3, у=3-х

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

-

=0; =3

Точки пересечения: (0;3)и(3;0).

2)Схематично изобразим графики функций у=-+2х+3 и у=3-х

S=====27=27* =

Ответ:

7.При каких значениях параметра а верно равенство:

Решение:

1)Найдем интеграл: =sina

2)Решим тригонометрическое уравнение:

Sina=1

a=+2;

Ответ: a=+2; .

8.При каких значениях параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями у=,у=0,х=a (a>0) равна 4?

Решение:

1)Площадь фигуры, ограниченной линиями у= и х=a (a>0) есть интеграл

=

2)Решим уравнение:

=>a =

Согласно условиям задачи a>0,следовательно а=2

Ответ: 2.

9.При каких значениях параметра а верно неравенство

Решение:

1)Найдем интеграл:=-cosa+1=1-cosa.

2)Решим неравенство:

1-cosa>0 =>cosa<1

Поскольку функция cosx принимает только значения из интервала -1cosx1,

полученное неравенство равносильно соотношению:

cosa1 =>a ; n

Ответ: а.

10.При каких значениях параметра а значение интеграла

Решение.

1)Найдем интеграл: =а-.

2)Определим точки максимума функции f(a)=a-,приняв ее первую производную

(a)=1-2a к нулю:

1-2а=0 => a=

3)Исследовав знак производной, получаем, что a= - точка максимума

Ответ:

Для решения следующих задач воспользуемся свойством:

Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x) (f(x)0),x=a, x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляете по формуле:

V=(x)dx

11.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у= , x=0, x=1, y=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=dx====

Ответ:

12.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=, х=1, х=2, у=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=dx=dx===

Ответ:

13.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=1-, у=0

Решение:

Парабола у=1-пересекает ось Ох при х=-1 и х=1, поэтому объем тела вращения равен:

V=dx=dx=)dx===

Ответ:

14.Вычислите интеграл

Решение:

==+=1

Ответ: 1.

Резюме

«Основы математического анализа» - единственный раздел математики, изучаемый в школе, который не относится к элементарной математике. Основным объектом изучения данного раздела является числовая функция. В пособии вы ознакомились с первообразной функции f(x) и её применением, нахождением неопределённого интеграла, с определённым интегралом и его приложениями при решении задач.

В начале пособия описаны методы нахождения первообразной и неопределённого интеграла. Подробно с многочисленными примерами, изложены методы вычисления табличных интегралов. При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к «табличным». В заключительной части дано приложение определённого интеграла к решению задач.

Особенность математического анализа - кинематический подход к функции, где основной акцент делается на изучение изменения функции в независимости от изменения аргумента. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традиционных курсах ВУЗов. Такой подход должен облегчить преемственность перехода от школьной программы к методике изложения математического анализа в ВУЗах.

Глоссарий по дисциплине

Список принятых сокращений

в. (вв.) - век (века)

г. (гг.) - год (годы) др. - другой, другие

и т.п. - и тому подобное

лат. - латинский

мин - минута

млн - миллион

млрд - миллиард

пр. - прочий

с - секунда

с. - страница

т. - том

т.е. - то есть

т.к. - так как

т.н. - так называемый

А

Аксиома - предложение, не требующее доказательства.

Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира, который даёт законченное, логически стройное построение научной теории.

Алгебра - часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными

величинами и решение различных уравнений, связанных с этими действиями.

Алгебраическое уравнение- это уравнение вида Р(x,z,.,…,к,е)=0, где Р - это многочлен, х,у,…е - переменные.

Алгоритм - это точное предписание определяющее процесс перехода от исходных данных к искомому результату.

Асимптота кривой -это прямая, в которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.

В

Вероятность - числовая характеристика возможности появления случайного события в определённых условиях, которые могут быть воспроизведены.

Теория вероятностей - наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Выпуклая фигура - эта фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые её две точки.

Г

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами, некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.

Группа - одно из основных понятий математики.

Множество G , в котором задана некоторая операция, соответствующая двум элементам а, в из этого множества G некоторый элемент а * в того же множества G, наз. группой, если выполняются следующие свойства:

1. а* (в* с)= (а * в ) *с, для любых а, в, с из G

2.существует нейтральный элемент е из G, такой, что а * е =а и е* а = а, для любого а.

3. существует обратный элемент аֹ из G, такой, что а* аֹ = е и аֹ* а = е, для любого а.

Д

Делимость. Говорят, что целое число а делится на число в, если существует целое число с, что а = в · с.

Доказательство - цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Е

Единица - это первое число натурального ряда чисел, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Евклида алгоритм - это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.

К

Комбинаторика - раздел математики, который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комплексные числа - числа вида а + в · i , где а и в- действительные числа, i- мнимая часть, где i · i= -1.

Л

Логика - это наука, изучающая такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предположения.

М

Математическая индукция - метод доказательства, при котором используются индуктивные рассуждения (от частных заключений переходим к общим).

Математическая статистика - наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений.

Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Математические объекты - это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования (отвлечения) от всех других свойств.

Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной A¸ В , С ¸ …, М¸ не имеющей точек самопересечения. Звенья ломаной - отрезки- стороны многоугольника; точки А,В,С…,М - вершины многоугольника; - углы многоугольника.

Многогранники - простейшие тела в пространстве.

Множество - это неопределяемое понятие. Математик Кантор о нём сказал так,

« Множество- это многое, мыслимое как единое целое».

Н

Наибольший общий делитель (НОД) - это наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из целых чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) - это наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел.

Необходимое и достаточное условие - форма записи и осмысления математической теоремы.

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: «> - больше», «< - меньше», «- больше или равно», « - меньше или равно».

О

Объём - величина, характеризующая размер геометрического тела.

Окружность и круг. Кругом с центром в точке О и радиусом r наз. множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние не больше r. Круг ограничен окружностью - множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние равное r.

Определение - математическое предложении, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий.

Определитель - число, поставленное по определённому правилу в соответствие квадратной матрице.

П

Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр.

Площадь - это величина, характеризующая размер геометрической фигуры.

Поле - множество элементов, для которых определены арифметические операции.

Последовательность - считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие элемент х(п) некоторого множества.

Пропорция - равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин.

Процент - сотая часть числа.

Р

Расстояние - длина отрезка между заданными точками.

Ряд - это выражение вида , составленное из чисел х, , которые называются членами ряда.

С

Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Софизм - это доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована.

Т

Теорема - это высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства.

Тождество - это запись вида АВ, где А,В - выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М.

У

Уравнение - это выражения, соединённые знаком равенства.

Ф
Факториал - так называют встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Обозначается она: п! = 1·2·3·4·5·…·п.

Формула - комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.

Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Ц

Цифры - условные знаки для обозначения чисел.

Ч

Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения.

Рекомендуемые сборники задач и упражнений

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.: Наука, 1985.- 446 с.

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.- М.: Высш. шк., 1986.- Ч. 1.- 446 с; Ч. 2.- 464 с.

Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- М.: Наука, 1977.- 528 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.- М.: Наука, 1978.- 380 с.

Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Высш. шк., 1978,- 288 с.

Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.- М.: Высш. шк., 1983.- 176 с.

Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.- М.: Наука, 1970.- 400 с.

Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.- М.: Высш. шк., 1973.- 576 с.

Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.

Список рекомендуемой литературы

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.: Наука, 1985.- 446 с.

5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.- М.: Высш. шк., 1986.- Ч. 1.- 446 с; Ч. 2.- 464 с.

6. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- М.: Наука, 1977.- 528 с.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.- М.: Наука, 1978.- 380 с.

8. Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Высш. шк., 1978,- 288 с.

9. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.- М.: Высш. шк., 1983.- 176 с.

10. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.- М.: Наука, 1970.- 400 с.

11. Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.- М.: Высш. шк., 1973.- 576 с.

12. Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.