Статья «Математический софизм»

Математический софизм.

Можно рассмотреть с учащимися факты, которые на первый взгляд кажутся загадочными и необъяснимыми.

При решении задач о площадях многоугольников прошу построить прямоугольник со сторонами 11см и 13см, провести диагональ и сдвинуть полученные треугольники в положение 2

V S U U

P

Т

Q R X

Рис.1 Рис.2 R

Фигура на втором рисунке на первый взгляд состоит из квадрата VSXR со стороной 12 см и площадью 144см², и двух треугольников PQR и SUT, площадью 0,5см² каждый. Следовательно площадь всей фигуры равна 12х12+2 х0,5= 145см². Но как это получилось, если площадь исходного прямоугольника равна 13х11=143см²?

При более подробном рассмотрении того, как диагональ пересекает клетки прямоугольника заметим, что VRXS не является квадратом. В геометрии «по виду» фигуры не всегда ее можно правильно определить, что подтверждается вычислениями.

При решении задач на применение признаков подобия треугольников проблемная ситуация создается с помощью софизма следующим образом.

Обращаю внимание учащихся на чертежи, заранее подготовленный на плакате и даю пояснение к нему.

I III

13

II 8 IV В 8 13 С В 13 М 21 С

₁

I

III F

Е

II IV

8

13

А Д

А Д N

Рис.3 Рис.4

Квадрат разрезали на два равных прямоугольных треугольники (части I и II) и две равных прямоугольных трапеции (части III и IV). Из полученных частей (рис 3) составили четырехугольник (рис 4).

Сравнить площадь квадрата с площадью полученного четырехугольника.

Вычислив площадь каждой фигуры, учащиеся обнаруживают противоречие: площадь квадрата равна 441 кв.ед, а площадь прямоугольника равна 442 кв.ед. В связи с этим обстоятельством возникает проблема, которую формулируют учащиеся, -объяснить полученный результат.

Приступаем к решению проблемы. Видимо, четырехугольник, полученный из частей квадрата, не является прямоугольником. Выясним это.

В этом четырехугольнике (рис 4) противоположные стороны попарно равны (АВ1 = СД = 13, ВС = АД = 34) Значит, четырехугольник АВСД является параллелограммом, поэтому < А = <С, < В = < Д т.к. <В= < Д= 90°, то по свойству параллелограмма все остальные углы четырехугольника являются прямыми. Следовательно, рассматриваемый четырехугольник действительно прямоугольник и его площадь равна 13 х (13+21) = 442 (кв.ед.)

После неудачных попыток решения проблемы предлагаю учащимся начертить в тетрадях квадрат, имеющий площадь 441 кв.ед. и провести аналогичное превращение, взяв другие размеры частей I ,II, III, IV, например, как на рис.5.

I II

15

II IV

6

I

Е

III

F

IV

II В 6 15 С В 15 М 21 С С

6

15

А

А Д Д

Рис.5 Рис.6

Рассматривая полученный чертеж, учащиеся замечают, что части I,II,III,IV не покрывают полностью прямоугольник, а составляют «просвет» в форме параллелограмма. «Просвет» в форме параллелограмма может иметь такую малую площадь, что ее можно не заметит глазом. Если это так, то отрезки АЕ и ЕС, АF и FС образуют излом. Предположим противное, пусть АВС - треугольник, тогда ∆ АВС ≈ ΔМЕС и МЕ/АВ=МС/ВС, но МЕ/АВ=8/13= 0,617…, что противоречит предположению, значит, АВСЕ четырехугольник и <АЕМ + <МЕС не равно 180%

Противоречие 441=442 объясняется так: рассуждая, что из частей I,II,III,IV квадрата может быть получен прямоугольник (рис 4), мы доверяемся кажущейся наглядности.

Боковая сторона трапеции III и гипотенуза треугольника I не лежат на одной прямой, а дают «излом» в общей точке этих отрезков. Площадь фигуры АВСД действительно равна 442 кв.ед., но в ней есть «щель» - параллелограмм АЕСF, площадь которого равна 1 кв.ед.