Математика и архитектура

Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектуре является простота. Простота форм обязывает придавать им прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщали бы необходимую гармонию.

Алексей Викторович Щусев

Понятие «архитектура» имеет несколько смыслов. Архитектура - древнейшая сфера человеческой деятельности («искусство строить» - по определению Альберти) и её результат.

Вопреки распространенному среди неспециалистов мнению, профессия архитектора вовсе не чужда точных дисциплин. Не случайно две тысячи лет назад один из создателей теории архитектуры древнеримский теоретик М.Витрувий заложил в её основу три основных принципа - польза, прочность и красота. Поэтому архитектор, помимо собственно архитектурных дисциплин, помимо рисунка, живописи и скульптуры, должен владеть и точными математическими методами, и знанием основных законов механики.

Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В одной из колыбелей современной цивилизации - Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Не исчезла связь архитектуры с математикой и в дальнейшем. Все вы, вероятно, знакомы с «Золотым сечением» - соотношением, определяющим оптимальные с точки зрения зрительного восприятия пропорции архитектурного сооружения. Это математическая формула, которую должен знать любой архитектор. Поэтому отрицать связь архитектуры с математикой просто абсурдно.

В школьной программе по математике подробное изучение «золотого сечения» не предусмотрено. Поэтому я решил заняться этой темой подробнее. Моя работа посвящена истории возникновения этого явления, его числовому выражению и применению золотого сечения в искусстве и архитектуре.

Целью исследования стал поиск закономерностей в архитектуре.

Задачи:

1. изучить необходимую литературу по данной теме.

2. Определить и рассмотреть использование «золотой пропорции» при строительстве зданий.

3. Выявить и изучить проявление «золотой пропорции» и её производных в моем окружении.

4. При необходимости спланировать дальнейшую работу в данной области.

Объект исследования: процесс выявления взаимосвязи взаимозависимости между архитектурой и законами геометрии.

Предмет исследования: архитектурные планы, «золотое сечение».

Гипотеза: Если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в мире нашей природы.

Методы:

• Методическую основу исследования составили фундаментальные научно-теоретические труды к изучению точных математических методов Пифагора.

• Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: теоретико-методологический анализ литературы по изучаемой теме, специальные методы вычисления, обобщения и сравнения.

Золотое сечение

Более сложная зависимость, в которой уравниваются отношения различных по величине форм, называется пропорцией (лат. Pro-portio - «соотношение, соразмерность»). Например, 1:2=3:6 или 5:10=10:20. Во всех случаях правая и левая части пропорции будут равны, какие бы числовые значения в них не представляли. Но существуют еще более сложные, иррациональные соотношения, которые распространены, в частности, в истории архитектуры. Они выражаются не целыми числами, а бесконечной дробью. Это отношение стороны квадрата к его диагонали (1:), высоты равностороннего треугольника к половине его основания (1:), стороны двусмежного квадрата к его диагонали(1:).

Вызывает удивление, что не только простые целые числа, но и иррациональные являются модулем (лат. Modulus - «мера») - наименьшей величиной, служащей единицей при построении более сложных форм в архитектуре, скульптуре, живописи. Так, хорошо известно, что планы и фасады древнеегипетских храмов содержат в себе отношения сторон двух квадратов.

Спрашивается, почему возникает такая сложность, представляющая явное затруднение при метрической системе измерений? Зачем она нужна строителям? Доказано, что это не связано с особенностями конструкций, количеством колонн или физическими свойствами материалов.

Геометрическое построение «золотого сечения».

Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля (Рис.2). Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = ½. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" сторона Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок

Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку

или

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий , приписываемых Пифагору.

Многие математические закономерности, как говорится "лежали на поверхности", их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2:1, называемый также "двухсмежным квадратом", так как он состоит из двух квадратов.

Если вычислить диагональ DB "двухсмежного квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна

Если теперь взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне АВ "двухсмежного квадрата", то мы придем к "золотой пропорции", так как

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его.

(Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или золотая пропорция.

В алгебре это число обозначается греческой буквой фи (Ф)

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада.

Собственная разработка - макет монумента строителей.

1.Проводим отрезок OB=1,5м.

2.Через точку B проводим отрезок перпендикулярный OB, равный 2,2м, делимый OB пополам. Получили отрезки длиной по 0,5м.

3. Найдем отрезок Od1 из треугольника OBd1 по теореме Пифагора

2,2²+0,5²=5,1, т.е. Od1≈

4. Проводим окружность с R=1м., с центром d1.

5. Через полученную точку C проводим окружность, с R=OC, равным -1≈1,2м.

6. Проводим диаметр окружности, равный 2,4м.

7. На радиусе OA откладываем точку E: OE=EA=0,6м.

8. Соединяем точку Е и точку D

9. С помощью циркуля на окружности откладываем дугу длиной DE.

10. Получили правильный 5-ти угольник

11.Составляем пентаграмму из 5-ти угольника

Темы бывают разные, в том числе и вечные. Устройство мира, его гармония - одна из них. Слово «гармония» имеет несколько значений: связь, созвучие, соразмерность, согласованность частей одного целого. Представители многих искусств пытались уловить законы гармонии. Пифагор утверждал: «Числа управляют мировым порядком. На числах основана гармония Вселенной». Геометрия способна выразить законы мира. С помощью длин отрезков, Площадей фигур, объемов тел, можно исследовать законы природы. Пифагор первый подсказал эту замечательную мысль. Ведь именно в школе Пифагора каждому числу пытались сопоставить геометрический образ. Числа 1, 4, 9, 16,… назывались квадратными, число 8 - кубическим, число 6 - прямоугольным, число 24 - телесным. Для всех Этих чисел есть веские основания. Платон положил в основу науки геометрию. Недаром в организованную им академию над входом была надпись: «Сюда не должен входить никто, не знающий геометрии».

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Таким образом, золотое сечение продолжает удивлять и современное поколение и наверняка таит в себе еще много загадок.

Будущее искусства и архитектуры - это знание аналитической геометрии и математического анализа. Данная работа посвящена использованию одного из основных понятий геометрии - принципа «золотого сечения» в архитектуре и искусстве, исходя из того, что «золотое сечение» не искусственно выведенное понятие, а природный принцип, лежащий в основе многих природных форм и явлений, способствуя красоте и гармонии.

• Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

• Расположить эти части в пространстве так, что в них проявлялся порядок;

• Установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров(уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие о порядке;

• Выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и проявлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.