Авторский учебный задачник Математика для бизнесмена

МКОУ СОШ №2

МАТЕМАТИКА ДЛЯ БИЗНЕСМЕНА

задачник

Грянкина Алла Альбиновна - учитель

математики высшей категории.

МКОУ СОШ №2

Степновского района

Ставропольского края

2014г

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Данный учебный задачник предполагает знакомство учащихся на занятиях с основными понятиями экономики и бизнеса. Использование математических знаний при решении задач по менеджменту и маркетингу, что позволяет в доступной форме рассматривать вопросы собственности, денежного обращения, получения дохода и прибыли, налогообложения, акционирования, торговли.

За последние годы возросла роль математики в решении народнохозяйственных задач, поэтому необходимо еще в школе использовать воспитательные и познавательные функции предмета математики для экономического образования и воспитания учащихся.

Сегодня успех каждого конкретного человека, а тем самым и процветание общества в целом, зависят от того, будут ли действовать в согласии с объективно существующими экономическими закономерностями.

Действия, противоречащие этим закономерностям, неизбежно приведут к потерям времени, сил, денежных и материальных ресурсов. И речь идет не только о бизнесменах, менеджерах и банкирах, но и о потребителях и покупателях, рабочих и фермерах, физиках и художниках. Уже очень многим ясно, что для обеспечения своего будущего в новых для России условиях рынка необходимо изучение экономики.

А некоторым, вероятно, будет просто интересно узнать, почему уровень инфляции зависит от эмиссии денег. Или почему объемы производства в денежном выражении могут увеличиваться, уменьшаясь. Почему повышение размера оплаты труда в какой-то отрасли незамедлительно ведет к росту цен даже на ту продукцию, которую эта отрасль не производит. Почему самая большая цена не обеспечивает продавцу самых больших доходов. Чтобы ответить на эти и многие другие вопросы, опять же нужно учить экономику.

Экономика лишь по недоразумению зачислена в число гуманитарных наук. На самом деле - это наука точная. Любой университетский учебник по экономике просто «нашпигован» формулами и графиками. Поэтому учить экономике нужно на различных задачах.

Данный задачник содержит интересные задачи знаменитых ученых, писателей, среди которых И. Ньютон, Эйлер, М.Е.Салтыков-Щедрин, Л.Н. Толстой, О. Генри, Я.И. Перельман. Некоторые задачи требуют специальных знаний по теории вероятностей, статистике бухгалтерскому учету. И именно такие задачи помогут школьникам не «выучить», а понять и полюбить основы красивой науки - экономики.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

1. Повышение уровня математического развития учащихся при решении задач с экономическим содержанием.

2.Воспитание экономической грамотности учащихся с целью привития им знаний и умений анализировать практические экономические ситуации.

3.Выработать у учащихся активную жизненную позицию по отношению к происходящим в обществе экономическим процессам.

Содержание

№

Название темы

Логические задачи с экономическим содержанием

Задачи на дроби и проценты с экономическим содержанием

Задачи на составление квадратных уравнений и систем уравнений с экономическим содержанием

Задачи с применением теории вероятностей, статистики и бухгалтерского учета с экономическим содержанием

Графические задачи на тему «Спрос и предложение»

Задачи на расчет издержек и прибыли

Задачи на тему «Уравнение обмена»

Задачи на расчеты в приведенных ценах

Задачи на тему «Международная торговля»

Аналитические задачи на тему «Закон спроса»

Краткое содержание

1. Предмет и задачи курса «Математика для бизнесмена».

Предмет и задачи , стоящие перед экономикой нашей страны. Использование экономических знаний учащихся в своей повседневной деятельности.

2. Решение логических задач с экономическим содержанием.

Решение занимательных логических задач с экономическим содержанием. Классические задачи И. Ньютона, Я.И. Перельмана, Эйлера.

3. Решение задач на дроби и проценты с экономическим содержанием .

Решение математических задач на доли и проценты с экономическим содержанием. Задача Л.Н.Толстого.

4.Решение задач на составление квадратных уравнений и систем

уравнений с экономическим содержанием.

Решение задач на составление квадратных уравнений и систем уравнений, содержащих расчеты заработной платы, прибыли, производительности и др.

5.Решение задач с применением теории вероятностей, статистики и бухгалтерского учета с экономическим содержанием .

Решение задач на расчеты вероятности успеха вложения капитала, вероятности выигрыша, вероятности принятия оптимального решения. Задача М.Е. Салтыкова-Щедрина в произведении «Господа Головлевы». Задача по мотивам О.Генри.

6.Решение графических задач на тему «Спрос и предложение» .

Изучить понятия, такие как спрос, предложение, величина спроса, величина предложения, точка равновесия, разновесная цена, равновесное количество продукции, эластичность спроса. Закон спроса. Закон предложения. Разбираться, каким образом на спрос и предложение влияет изменение их неценовых детерминант. Научить изображать кривые спроса и предложения на графике.

7.Решение задач на расчет издержек и прибыли.

Для решения задач этой темы, необходимо изучить понятия совокупных, постоянных и переменных издержек, средних совокупных, средних постоянных и средних переменных издержек, цены, выручки, прибыли и убытки, рентабельности. Научить записывать соотношения между этими показателями.

8.Решение задач на тему «Уравнение обмена» .

Для решения задач этой темы необходимо изучить такие понятия, как предложение денег, скорость обращения денег, средняя цена товаров и услуг, общий объем продаваемых в стране товаров и услуг. Научить записывать уравнение, которое описывает взаимосвязь этих показателей, - уравнение обмена Ирвинга Фишера.

9. Решение задач на расчеты в приведенных ценах.

Для решения задач этой темы необходимо изучить такие макроэкономические показатели, как валовой национальный продукт (ВНП), валовой внутренний продукт (ВВП), темп инфляции(дефляции). Ориентироваться в терминах «приведенные цены» и «текущие цены». Использовать расчеты, связанные с процентами, темпами роста и темпами прироста для анализа динамики различных экономических показателей.

10. Решение задач на тему «Международная торговля» .

Чтобы решить задачи этой темы, необходимо изучить такие понятия, как производственные возможности, эффект растущих издержек, специализация. Использовать эти понятия для построения функции производственных возможностей и кривой производственных возможностей.

11. Решение аналитических задач на тему «Закон спроса» .

Задачи , представленные в этой теме, решаются с использованием методов математического анализа. Для решения задач этой темы, необходимо уметь использовать закон спроса для определения взаимосвязи между ценой товара и объемом его продаж. Ориентироваться в понятиях цены, выручки, прибыли, рентабельности, совокупных постоянных и переменных издержек, а также средних совокупных, средних постоянных и средних переменных издержек. Знать соотношения между этими показателями. Уметь рассчитывать производную, находить экстремумы функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции на интервале допустимых значений аргумента.

Дидактический материал

1. К теме «Решение логических задач с экономическим содержанием»:

1.1. Имеется 9 золотых монет. Известно, что одна из них фальшивая, отличающаяся от настоящих несколько меньшим весом. Это отличие устанавливается взвешива­нием, стоимость одной такой процедуры 100 руб. Причем можно воспользоваться гирями (вес монет неизвестен) или взвешивать монеты по отношению друг к другу, раскла­дывая их в любом количестве по двум чашкам весов. Каковы минимальные затраты на обнаружение фаль­шивой монеты?

Решение: Можно обойтись всего двумя взвешиваниями а) Положить на каждую чашу весов по 3 любые монеты; если монеты уравновесятся, значит фальшивая в оставшейся тройке; если одна из чашек окажется легче - искомая монета в ней б) Из тройки монет, в которой обнаружена фальшивая, две любые монеты разложить по чашам весов; если монеты уравновесятся, значит, фальшивая - оставшаяся; если одна из монет окажется легче, значит, она и есть фальшивая. Из этого следует, что взвешивание обойдется в 200 руб.

1.2. У разорившегося пред­принимателя спросили, сколь­ко у него осталось денег. Он сказал, что если к оставшему­ся капиталу прибавить 1 млн. руб., то получится столько, сколько ему нужно, чтобы не разориться, а если прибавить 2 млн., то получится вдвое больше того, что нужно было, чтобы не разориться. Сколько у этого предпринимателя было капитала, когда он объявил себя банкротом?

Решение: Обозначим оставшийся капитал через Х.. Тогда Х+1=0,5(Х+2) (млн.руб.)

откуда Х=0 руб.

1.3. Как разделить между двумя компаньонами 7 млн. руб. так, чтобы у одного оставалось на 3 млн. руб. больше, чем у другого?

Решение: 5 млн.руб. и 2млн.руб.

1.4. В семейном предприятии участвуют братья и сест­ры. У каждого брата число братьев и сестер одинаково. У каждой сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в семейном предприятии братьев и сестер?

Решение:4 брата и 3 сестры.

1.5. Автомобиль с прицепом стоит 1,5 млн. руб., при­чем автомобиль дороже прицепа на 1,3 млн. руб. Сколько стоят автомобиль и прицеп по отдельности?

Решение: Обозначим через А и П стоимости автомобиля и прицепа, получим

следующие очевидные равенства: А+П=1,5млн.руб. А-П=1,3млн.руб.

Складывая левые и правые части равенств, получим: 2А=2,8млн.руб.

Следовательно А=1,4млн.руб., П=0,1млн.руб.

1.6. В промтоварном отде­ле магазина покупатель решил приобрести зимнюю шапку за 6000 руб. У продавца не ока­залось сдачи с десятитысячной купюры, и он пошел разменять ее в продовольственный отдел. Получив сдачу и взяв покуп­ку, покупатель ушел. Через несколько минут в промтовар­ный отдел влетел разгневан­ный продавец-продовольствен­ник, который разменивал деньги. Десятитысячная купюра оказалась фальшивой. На сколько рублей пострадал продавец промтоварного отдела? (ответ: на 10000руб)

1.7. Клиенту предложили сделку: он кладет деньги в банк, где они каждый месяц удваиваются (к концу перво­го месяца их становится в два раза больше, к концу вто­рого - в четыре раза и так далее). В это же время клиент платит банку ежемесячно 2400 руб., которые банк изымает из его же денег после каждого их удвоения. Выгодна ли для клиента эта сделка?

Решение: Для успеха сделки первоначальный вклад клиента должен быть больше,

чем та сумма, которую он должен ежемесячно выплачивать банку.

Математически это условие запишется так .Обозначим сумму

первоначального вклада через Х, тогда Х*2-2400 >X , откуда видно, что

Х>2400руб.

1.8. Разделить 25 руб. на две части так, чтобы одна была в 49 раз больше другой.

Решение: Надо разделить 25руб. на 50 частей (49+1). Это даст 25:50=0,5руб., что будет

меньшей из двух частей .Большая часть будет содержать 49 частей и составит

0,5*49=24,5руб.

1.9. По договору работнику в первый день работы выпла­чивается 1 руб., во второй - 2 руб., в третий - 3 руб. и так далее. Сколько всего денег он по­лучит за 100 дней работы?

Решение: Сумма последовательных чисел от 1 до 100 складывается из следующей

суммы пар чисел: первого с последним, второго с предпоследним и т.д.

Каждая такая пара в сумме равна 101; а всего таких пар 50. Итак

101*50=5050руб.

1.10. Фирма А функционирует вдвое дольше, чем фир­ма Б. Известно, что, когда фирма Б просуществовала 8 лет, фирма А отметила свое 31-летие. Сколько лет существуют каждая из фирм?

Решение: Возраст фирмы Б равен: 31-8=23(года).Возраст фирмы А равен :

23*2=46(лет)

1.11. Половина уставного фонда предприятия А составляет 1/3 часть от уставном фонда предприятия Б. Чей уставный фонд больше и во сколько раз?

Решение: Обозначив уставный фонд предприятия А через х, а уставный предприятия Б через у, можем записать: ½*х=1/3*у Из этого следует, что у=3/2*х=1,5х, иными словами , уставный фонд предприятия Б в полтора раза больше, чем уставный фонд предприятия А.

1.12. Председательствующий на общем собрании ак­ционеров на вопрос: "Какая часть дня миновала?» - отве­тил: «Трижды по 2/3 от того, что прошло, еще остается». В какое время был задан вопрос?

Решение: Если обозначить то время, что прошло, через х,то оставшееся время будет равно: 3*2/3*х, а всего в сутках будет: х+3*2/3*х=24ч, откуда х=8ч ( утра).

1.13. 2 каменщика за 2 ч выкладывают стену длиной в 2 м. Сколько каменщиков за 5 ч выложат стену длиной в 5 м?

Решение: 1 каменщик выложит 2м стены за 4ч, 1м он выложит за 2ч, 5м - за 10ч, отсюда 2 каменщика выложат 5м стены за 5ч.

1.14. Рабочий каждый час отрезает от медного бруса длиной в 20 м по куску длиной в 2 м. Сколько времени пройдет, прежде чем весь брус будет израсходован? (Ответ: 9ч.)

1.15. Три компаньона совместно приобрели оборудо­вание на 450 тыс. руб. и собираются использовать его на равных. Причем первый компаньон заплатил 230 тыс. руб., второй - 220 тыс. руб., а третий не заплатил ничем и остался должен компаньонам. Свой долг - 150 тыс. руб. он им вернул. Как первый и второй компаньоны должны разделить эти деньги между собой?

Решение: Поскольку каждый должен вложить равную долю - 150 тыс.руб., то долг

третьего компаньона первому составляет 230-150=80тыс.руб., а его долг

второму 220-150=70тыс.руб.

1.16. Для строительства сооружения на равных доле­вых началах трем предприятиям потребовалось 110 ка­менных блоков. Первое предприятие в счет своей доли внесло 70 блоков, второе - 40 блоков, а третье решило свою долю блоков оплатить деньгами, выделив для этого 110 тыс. руб. Как разделить эти деньги между первым и вторым предприятиями?

Решение: Доля каждого предприятия составляет 110 (блоков):3, которые стоят 110тыс.руб. Отсюда стоимость 1 блока равна:

110тыс.руб. : (110блоков:3)=3тыс.руб. Первое предприятие внесло 70 блоков по 3 тыс.руб., следовательно, затратило 210тыс.руб., второе внесло40 блоков и затратило 120 тыс. руб., третье затратило 110тыс. руб. Очевидно, что третье предприятие должно первому 100тыс.руб.(210-110) и второму 10тыс.руб. (120-110).

1.17. Как из сосуда емко­стью 12 л отмерить ровно 6 л вина, имея пустые сосуды ем­костью 5 и 8 л?

Решение: В сосуд емкостью 8л наливаем вино из сосуда емкостью 12л. Затем из сосуда емкостью 8л отливаем вино в сосуд емкостью 5л. В восьмилитровом сосуде остается 3л. Из сосуда емкостью 5л переливаем вино в сосуд емкостью 12л и добавляем в сосуд емкостью 5л3л вина, оставшегося в восьмилитровом сосуде. Снова заливаем вино в сосуд емкостью 8л и заливаем из него доверху сосуд емкостью 5л (в котором уже есть3л). При этом в восьмилитровом сосуде остается ровно 6л.

1.18. Сколько граней у де­ревянного бруса, имеющего в сечении прямоугольник?(Ответ: 6 граней).

1.19. Имеется б емкостей, 3 из которых пустые, а 3 напол­ненные жидкостью. Емкости расположены подряд: сначала 3 пустые, затем 3 полные. Что необходимо сделать, чтобы пустые и наполненные жидкостью емкости чередовались?

Какое минимальное число емкостей нужно освободить от содержимого для этой операции?

Решение: Жидкость из пятой ёмкости перелить во вторую.

1.20. Задача И. Нъютона, условие которой можно представить так:

Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что с учетом подрастания травы 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней.

Сколько коров поело бы всю траву за 96 дней?

Решение: Пусть одна корова съедает в день х травы, тогда за 24 дня 70 коров съедят 24*70*х=1680х, за 60 дней 30 коров съедят 60*30х=1800х.

Следовательно, за (60-24)=36 дней вырастает

1800х-1680х=120х новой травы.

Тогда за 96 дней коровы могут съесть то, что было за 60:1800х плюс то, что вырастет еще за 36 дней, т.е. 1800х+120х=1920х.

Учитывая, что одна корова за это время может съесть 96х травы, то всего потребуется 1920х:96х=20 коров

1.21. В бочку с зеленой и желтой краской добавили столько желтой краски, сколь­ко было зеленой (по объему). Затем добавили столько же зе­леной краски, сколько пер­воначально было желтой (по объему). Какой процент по объему занимают зеленая и желтая краски?

1.22. Задача Я. И. Перелъмана, условие которой можно представить следующим образом: Эйфелева башня в Париже сделана целиком из железа и весит около 8 тыс. т. Высота башни 300 м. Какой высоты должна быть точная копия башни ве­сом в 1 кг?

1.23. Имеются две емкости для горючего из одинако­вых материалов, одинаковой формы, со стенками равной толщины. Одна из емкостей в 27 раз вместительнее другой. Во сколько раз большая емкость тяжелее?

1.24. Строительный блок весит 6,25 т. Сколько весит блок из того же материала, все разме­ры которого в 5 раз меньше?

1.25. Половину рабочего времени менеджер провел в рабочем кабинете, затем он совершал обход предприятия до тех пор, пока не осталась половина времени, затрачен­ном на обход. Какую часть своего рабочего времени менеджер по­тратил на обход предприятия?

1.26. Во время деловых переговоров предпринимате­ля Чернова, банкира Белова и юриста Рыжова один из присутствующих, желая несколько разрядить обстановку, воспользовался возникшей паузой и сказал: «Забавно, что ни у одного из нас цвет волос не соответствует фами­лии». При этом он тронул свою черную шевелюру. «Вы правы», - отреагировал банкир.

Какого цвета были волосы у каждого из трех участни­ков встречи, если они имеют разный цвет волос?

1.27. В нашем городе число женщин-предпринимате­лей равно одной трети мужчин-предпринимателей. Какую долю предпринимателей нашего города состав­ляют мужчины?

1.28. На деловой встрече все участники заключили между собой 105 парных договоров, по одному договору. Сколько человек участвовало в совещании?

1.29. Как принести в дом из водоема ровно б л. воды, располагая двумя ведрами емкостью по 4 и 9 л каждое? При этом можно набирать, переливать из ведра в ведро и сливать воду неограниченное число раз, пользуясь только упомянутыми емкостями в их точном объеме.

1.30. В пруду развели карпов. Как можно сосчитать примерное количество рыбы в пруду, не спуская из него воду?

1.31. Ежедневно в одно и то же время из Москвы во Владивосток и из Владивостока в Москву уходят желез­нодорожные составы. Время в пути - неделя. Встречаясь, поездные бригады, едущие в противоположных на­правлениях, обмениваются письмами. Сколько раз за рейс сможет получить письма москов­ская бригада?

1.32. Во сколько раз длина пути по лестнице на шес­той этаж больше, чем на третий (число ступенек между этажами одинаково)?

1.33. По прогнозу, летом в городе N ожидается 80% дней с теплой погодой, из них 80% дней с пасмурной погодой и 60% ветреных дней. Сколько процентов дней будет одновременно тепло, облачно и ветрено?

1.34. Выгрузку ящиков из железнодорожных вагонов осуществляют 2 бригады грузчиков, общая оплата труда которых составила 1518 д. ед. Первая бригада из 5 человек работала 10 дней, вторая бригада из 7 человек работала 4 дня. Затем бригады объединились и работали еще 5 дней. Сколько денег заработал каждый рабочий в первой и второй бригаде?

1.35. Переговоры о сделке, которая может оказаться в равной степени как честной, так и не честной, ведет пред­ставитель компании, намере­ния которой ему известны и который может равно оказать­ся как правдивым человеком, так и лжецом. Честна ли гото­вящаяся сделка и правдив ли данный представитель компа­нии, неизвестно. Какой единственный вопрос достаточно задать пред­ставителю компании, чтобы по ответу на него безошибоч­но судить о честности сделки (на вопросы он может отве­чать лишь «да» или «нет»)?

1.36. Торговая фирма А заключила с торговой фир­мой Б контракт на продажу ей партии товара на общую сумму 100 млн. руб. В контракте предусмотрена упла­та фирмой А фирме Б неустойки на случай срыва фир­мой А поставки в размере 10% от суммы контракта, т. е. 10 млн. руб. В свою очередь, фирма Б заключает контракт с фирмой В на продажу упомянутого товара по удвоен­ной стоимости, т. е. на сумму 200 млн. руб. И здесь тоже предусмотрена уплата неустойки фирмой Б фирме В при срыве фирмой В контракта - 10% от суммы контрак­та, из расчета 200 млн. руб., т. е. 20 млн. руб. Фирма Б, выступающая в качестве посредника, не ведает, что фирмы А и В находятся в сговоре. По этому сговору фирма А срывает поставку фирме Б и выплачивает ей причитающиеся по контракту 10 млн. руб. Но тем са­мым срывается и поставка товара от фирмы Б фирме В. Фирма Б вынуждена уплатить фирме В 20 млн. руб. Раз­ницу в 10 млн. руб. фирмы-заговорщицы делят между собой. Что должна сделать посредническая фирма Б, чтобы защититься в случае нечестных действий партнеров? (Процент неустойки изменять нельзя).

1.37. Иванов и Петров заправляют свои автомобили бензином из общей бочки. Установлено, что Иванов спосо­бен израсходовать весь бензин в одиночку за 14 дней, а пользуясь бензином вместе с Петровым - за 10 дней. За сколько дней сможет израсходовать содержимое всей бочки Петров, если станет пользоваться им один?

1.38. Чем отличается товар-предмет от товара-ус­луги?

1.39. Чем отличается запрос от потребности, а потреб­ность от нужды?

1.40. Чем отличается об­мен идеями от обмена вещами?

1.41. Одно яблоко на 4 крупнее второго и стоит в 1,5 раза дороже второго. Ка­кое из них выгоднее покупать? (Качество яблок будем считать одинаковым.)

1.42. Что тяжелее: мешок муки мелкого помола или та­кой же по объему мешок крупного помола?

1.43. Экспедитору выдали для закупки товаров 480 тыс. руб. Дано задание купить ровно 20 ед. товара трех видов: радиоаппаратуру по 30 тыс. руб. за единицу, одежду по 10 тыс. руб. за единицу, бытовую технику по 5 тыс. руб. за единицу, израсходовав при этом все деньги. Сколько единиц товара каждого вида должно быть за­куплено?

1.44. Специалист по рекламе утверждает, что он мо­жет, задав 16 вопросов относительно расположения на­именования товара в каталоге, отгадать любой товар, ко­торый вы ему собираетесь предложить. Даже если вы бу­дете отвечать на его вопросы только «да» или «нет». Не переоценивает ли он свои способности?

1.45. Единица товара весит 150 г. Сколько будет весить 1 млн. ед. такого товара?

1.46. Задача Эйлера, которая заключается в следующем: Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна - больше, чем другая: обе выручили одинаковую сумму. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы за них 15 крейцеров». Вторая отве­тила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 крейцеров». Сколько яиц было у каждой?

1.47.На рынке неочищенные орехи стоят 1000 руб. за 1 кг, а ощищенные орехи - 3000 руб. за 1 кг. Какие орехи выгоднее покупать ( не считая затрат на очистку орехов), если в 1кг. Неочищенных орехов в среднем содержится 400г ядер?

1.48. Как показал опыт, реализация ¾ партии товара занимает ½ мес. До праздников реализация шла 4 мес., а оставшиеся 14 т товара были проданы в праздничные дни. Каков общий вес партии товара?

1.49. 80 торговых точек обслуживают 78 продавцов. Сколько дней может отдыхать каждый продавец в течение года (355 дней) при условии, что ежедневно в среднем должно работать 90% от торговых точек с одним продавцом в каждой?

1.50. По условию автогонок, выигрывает тот автомобиль, который придет к финишу последним. Машины продвигались «черепашьим ходом» - каждый из гонщиков боялся обогнать соперника. Что нужно сделать гонщикам, чтобы машины помчались к финишу на полной скорости?

2. К теме «Решение задач на дроби и проценты с экономическим содержанием»

2.1 Ссуда в банке на 1 год в размере 5 млн. руб. принесла годовой доход 100 тыс. руб. Какому проценту годовых (норме процента) это соответствует?

2.2. Какую ссуду необходимо взять на 1 год, чтобы получить годовой доход в 1 млн. руб. из расчета 5% годовых?

2.3. Каков будет доход при получении в банке ссуды в 300 тыс. руб. из расчета 10% годовых?

2.4.Банк выплачивает своим вкладчикам 4% годовых и дает ссуды заемщикам под 10% годовых. Чему равна банковская прибыль от средств вкладчика в 10 млн. руб. при выдачи ссуд заемщикам в 5 млн.руб. на 1 год?

2.5.Банк выдал ссуду в 10 млн.руб. из расчета 8% годовых. Каков будет доход банка за 3 месяца (без учета процентов на проценты)?

2.6.Банк дает 80% годовых. Акционерное же общество выпустило 8 привилегированных акций стоимостью 25 тыс. руб. каждая с доходом на акцию 10% годовых и 10 обыкновенных акций стоимостью 20 тыс. руб. каждая, выделив на дивиденды 800тыс.руб. Как лучше разместить денежные средства в количестве 100тыс.руб.:а) в банке, б) приобретением привилегированных или обыкновенных акций?

2.7.Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн.руб. и берет в банке заем в 50 млн.руб. под 10% годовых. Прибыль (рентабельность) составляет 30%. Какова величина дохода предпринимателя?

2.8. На сколько процентов 25 меньше чем 50? На сколько процентов 50 больше чем 25?

2.9. В результате износа товара его цена снизилась на столько же рублей, на сколько и процентов. Сколько первоначально стоил товар?

2.10. Цены на товары увеличились в 150 раз, а зара­ботная плата увеличилась в 100 раз. На сколько процентов уменьшилась реальная зара­ботная плата?

2.11 В результате умелой организации труда 80% ра­бочих предприятия стали работать на 25% производи­тельнее. На сколько процентов возросла производительность труда на предприятии в целом?

2.12. Капитал вырос в 5 раз. На сколько процентов он увеличился?

2.13. Капитал уменьшился в 5 раз. На сколько процентов он уменьшился?

2.14. Капитал вырос на 50%. Во сколько раз он увели­чился?

2.15. Капитал уменьшился на 50%. Во сколько раз он уменьшился?

2.16. На собрании акционерного общества доля отсут­ствующих акционеров составляла 20% от числа присутст­вующих. Какой процент от общего числа акционеров составля­ли присутствующие акционеры?

2.17. Акционерное общество выделило из прибыли на оплату дивидендов по акциям 100 млн. руб. Эти деньги распределены на 6 привилегированных акций с фиксиро­ванным доходом в 5% годовых и 28 обыкновенных акций. Какой дивиденд выплачивается по привилегирован­ным и обыкновенным акциям?

2.18. Три работника внесли рационализаторские пред­ложения по экономии ресурсов: первое предложение эко­номит 35% ресурсов; второе - 50%, третье - 15%.

Какова экономия от всех трех рационализаторских предложений?

2.19. Лабораторный анализ установил, что влажность (процентное содержание воды) сахарного песка равна 15%. 1 т сахарного песка подвергли сушке, и вес его уменьшил­ся на 80 кг. Какова теперь влажность высушенной части сахарно­го песка?

2.20. Изделие до просушивания весило 60 кг и содер­жало 10% жидкости. После просушивания процентное со­держание жидкости уменьшилось в 10 раз.

Чему равен вес изделия после просушивания?

2.21. До переработки сырье содержит 70% жидкости, а после его переработки в готовом продукте содержится 17% жидкости. Сколько тонн сырья нужно переработать, чтобы полу­чить 1 т готового продукта?

2.22. Опреснение морской воды, содержание соли в которой составляет 6% (по весу), производится добавле­нием к морской воде пресной воды. Опресненная вода должна содержать 1% соли по весу. Сколько тонн пресной воды нужно добавить к 100 т мор­ской воды для опреснения?

2.23. Сплав серебра с зо­лотом содержит 40% золота. Сколько нужно добавить килограммов золота к слитку сплава весом 10 кг, чтобы в образовавшемся новом сплаве золота стало 80%?

2.24. Мешок сахара подмок и стал весить больше на 30%. Затем его сушили до тех пор, пока вес подмоченного товара не уменьшился на 30%. Вернулся ли вес товара к первоначальному?

2.25. Браге на предприятии составлял 5%. После ряда принятых мер брак снизился до 1%. На сколько процентов снизился брак?

2.26. В результате повышения производительности труда количество единиц продукции, выпускаемых в еди­ницу времени, увеличилось на 50%.

На сколько процентов сократилось время, необходимое для изготовления 1 ед. продукции?

2.27. Два экскаватора, имеющие разную производи­тельность, способны вырыть котлован за 8 ч. Сначала 4 ч работал первый экскаватор, а затем 8 ч - второй, и оба выполнили всего лишь 60% работы.

За сколько часов каждый экскаватор по отдельности может вырыть котлован?

2.28. Работая по общему наряду, две бригады выпол­няют строительную работу за 10 ч. Подсчитано, что про­изводительность труда первой бригады на 30% выше, чем второй бригады За сколько часов первая и вторая бригады по отдель­ности выполнили бы эту работу?

2.29. На сколько процентов увеличится площадь квад­ратного садового участка, если его периметр увеличится на 20%?

2.30. На сколько процентов увеличится площадь пря­моугольном садового участка, если длины всех его сторон увеличатся на 40% каждая?

2.31. Как изменится площадь прямоугольном садово­го участка, если его ширину увеличить на 30%, а длину на столько же процентов уменьшить?

2.32. На строительство типового здания первая строи­тельная организация тратит 3 года, вторая организация -2 года, третья - 4 года, а четвертая - 1 год. За сколько времени построят дом все 4 строительных предприятия совместно?

2.33. В емкости находилось 100 л чистого спирта. Часть спирта отлили в канистру, а емкость дополнили водой до прежнего объема. Затем из емкости вновь отлили в ка­нистру столько же образовавшейся смеси, сколько отли­вали спирта в первый раз, и дополнили емкость водой до первоначального объема. В результате в емкости оказал­ся 49-процентный раствор спирта.

Сколько литров жидкости было отлито из емкости в первый и во второй раз?

2.34.Задача Л. Н. Толстого, условие которой можно представить так:

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая полови­на осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

Сколько косцов было в артели?

2.35. Нужно сделать коктейль из двух крепких напит­ков, один из которых имеет 50% спирта, а второй - 20%. Необходимо смешать их так, чтобы получить 30-процент­ный раствор. В какой пропорции должны быть напитки в коктейле?

2.36. Правление акционерного общества решило в двух своих отделениях уравнять ресурсы, общий объем которых составляет 160 млн. д. ед. Для этого из перво­го отделения во второе отделение было передано 20% ре­сурсов.

Каким объемом ресурсов располагали отделения пер­воначально?

2.37. Предприятие располагает акциями трех компа­ний: «Альфа», «Бета» и «Гамма». Стоимость акций «Аль­фа» составляет 40% от стоимости всех акций. Акции "Бета" стоят ¹/₂ стоимости акций «Альфа», а акции «Гам­ма» оцениваются в 120 млн. д. ед. Сколько стоят акции каждой из компаний?

2.38. Два предприятия приступили к выполнению оп­ределенной работы. Первое предприятие может самостоя­тельно выполнить эту работу за 3 рабочие недели, а вто­рое - за 5 недель. По истечении полутора недель совмест­ной работы над заданием первое предприятие переклю­чилось на выполнение другого задания.

Сколько времени потребуется второму предприятию, чтобы завершить работу в одиночку?

2.39. Одна бригада мо­жет построить промышлен­ный объект за один квартал, а вторая бригада - за полу­годие. Вначале на объекте ра­ботала только вторая бригада, а с середины второго месяца к ней присоединилась и первая бригада.

Сколько времени займет сооружение объекта?

2.40. Автоцентр заказал автомобилестроительному предприятию партию запасных частей для автомобилей, включающую передние полуоси, диски колес и колесные гайки, общим количеством 53 тыс. ед. Количество назван­ных деталей представляет собой соотношение 2 : 4 : 20. Сколько деталей каждого вида было заказано? Каков процент деталей каждого вида? ,

2.41. На собрании трудового коллектива число отсут­ствующих составляло 20% от числа присутствующих. Уход с собрания еще 10 человек привел к тому, что число от­сутствующих составило уже 30% от присутствующих. Сколько всего человек в трудовом коллективе?

2.42. Предприятие перешло с шестидневной на пяти­дневную рабочую неделю.

Как должна измениться производительность труда, чтобы при прежних расценках зарплата: 1) не измени­лась; 2) уменьшилась на 10%; 3) возросла на 10%?

2.43. Предприятие в январе, феврале и марте пере­выполняло план на 6% в каждом месяце по отношению к перевыполненному плану каждого предыдущего месяца. На сколько процентов был перевыполнен среднеме­сячный план за I квартал?

2.44. Фирма распределила заказ между тремя пред­приятиями. Первое предприятие способно выполнить 56% от заказа за 4 мес., второе предприятие может выполнить 95% от заказа за 5 мес., а третье предприятие работает с производительностью первого и второго предприятии, вместе взятых. За какое время может быть выполнен за­каз при одновременной работе всех трех предприятии?

2.45. План выпуска продукции предприятия составля­ет 660 тыс. ед. в год (165 тыс. ед. в квартал). План первого квартала предприятие выполнило полностью, план второ­го квартала перевыполнило на 5%, выпуск в третьем квар­тале составил на 10% больше, чем во втором, а в четвер­том квартале - на 10%больше, чем в третьем.

1) На сколько процентов предприятие перевыполнило годовой план?

2) Сколько при этом выпускается единиц продукции сверх плана?

2.46. Набор персонала предприятия производился по конкурсу. Из числа подав­ших заявления необходимо было подобрать линейных руководителей, руководите­лей функциональных отде­лов и мастеров в соотноше­нии 3: 7: 15. Однако фактиче­ски как линейных руководителей, так и руководителей функциональных отделов ока­залось на 25% больше намеченного, а мастеров - на 25% меньше намеченного. Всего же приняли 95 человек.

Сколько человек было принято на каждую должность?

2.47. Смесь удобрений содержит 40% калийного и 60% фосфорного удобрения. Сколько нужно добавить килограммов калийного удоб­рения к 100 кг смеси, чтобы соотношение калия и фосфо­ра изменилось на противоположное?

2.48. Предлагается купить 100 т товара по 300 тыс. руб. за 1 т. Товар в своем составе содержит жидкость, способ­ную с течением времени испаряться. Взвешивание товара проводилось год назад, тогда же было определено про­центное содержание жидкости, которое равнялось 99%о (по весу). На день купли производится повторный замер со­держания жидкости, который показывает, что теперь ее уже осталось 96% (по весу).

Сколько денег покупатель должен заплатить за товар?

2.49. На бензоколонку завезли 36 т высокосортного бензина. После израсходования 12 т этого бензина в ем­кость было закачано столько же бензина низкого сорта. После того как 9 т образовавшейся смеси израсходовали, был еще добавлен низкосортный бензин, а затем еще 8 т низкосортного бензина.

Какой продукт высокосортного бензина остался на бен­зоколонке в результате проведенных операций?

2.50. На сколько процен­тов уменьшится вес 100 кг подмоченного продукта после его просушки, если процент­ное содёржание воды до про­сушки составляло 90%, а по­сле просушки уменьшилось в 2 раза?

2.51. Рассол для огурцов содержит 75 г соли на 1 л рассола. Необходимо пригото­вить рассол для малосольных огурцов, содержащий 50 г соли на 1 л рассола. Сколько нужно смешать 75-граммового рассола и воды, чтобы получить 1 л 50-граммового рассола?

2.52. В результате первой переоценки товара его цену снизили на 20%. При второй переоценке новую цену уменьшили еще на 20%. И наконец, при сезонной распро­даже последнюю цену уменьшили еще на 30%. Какова стала продажная цена товара, если первона­чально она составляла 1000 д. ед.?

3. К теме «Решение задач на составление квадратных уравнений и систем уравнений с экономическим содержанием»

3. 1. Известно, что если бы трое из четырех предпри­нимателей, имеющих счета в банке, образовали общий капитал, то он составил бы:

- без первого - 900 тыс. руб.;

- без второго - 850 тыс. руб.;

- без третьего - 800 тыс. руб.;

- без четвертого - 750 тыс. руб.

Сколько денег на счету у каждого предпринимателя?

3.2. Умирая, муж оставил завещание жене, по кото­рому если она родит сына, то ему будет принадлежать ²/₃ имущества, а матери - ¹/₃ ; если родится дочь, то имуще­ство будет распределено между ней и матерью соответственно­ ¹/₃ и ²/₃.

Родились близнецы - мальчик и девочка.Как в этом случае будет распределено имущество?

3.3. Оплачивая чек клиенту, работник банка ошибся и выплатил сотнями тысяч рублей сумму, указанную в чеке в тысячах рублей, и, наоборот, тысячами рублей сумму, указанную в сотнях тысяч. Клиент обнаружил ошибку, лишь истратив 350 тыс. руб. В этот момент оставшаяся у клиента сумма вдвое превышала ту, которую он указал в чеке.На какую сумму был выписан чек?

3.4. При найме менеджера на работу в контракте было указано, что за год ему причитается зарплата в размере 500 тыс. руб. и премия в виде телевизора или другой вещи подобной стоимости, которая выдается авансом в начале года. Менеджер разорвал контракт, проработав 7 мес. При увольнении он получил 240 тыс. руб.

Какова величина премии, выданной менеджеру в на­чале года?

3.5. При распределении премий среди 150 человек, со­ставляющих трудовой коллектив предприятия, был при­нят следующий порядок: сумма, выданная для премирова­ния - 720 тыс. д. ед., - распределялась поровну между двумя отделениями с разными условиями труда. При этом каждый работник первого отделения получал на 2 тыс. д. ед. больше каждого работника второго отделения.

Сколько человек работает в каждом из отделений? Какую премию получил каждый работник первого и второго отделений?

3.6. Компании "Омега" и "Тета" предлагают на бир­же одинаковые партии однотипных автомобилей по раз­ным ценам. Если компания «Омега» продаст на 2, а компа­ния "Тета" - на 3 автомобиля меньше предлагаемого ко­личества, то первая заработает 112 тыс. д. ед., а вторая - 135 тыс. д. ед. Если же, наоборот, компания «Омега» про­даст на 3 автомобиля, а компания "Тета" - на 2 автомо­биля меньше предлагаемого количества, то компания «Омега» заработает на 32 тыс. д. ед. меньше, чем компа­ния "Тета".

1. Какова выручка от реализации компаниями «Оме­га» и "Тета" всех своих автомобилей?

2. Сколько автомобилей собирается реализовать каж­дая из компаний?

3.7. Фонд заработной платы на предприятии с числен­ностью персонала менее 25 человек составляет 2 млн. д. ед. В результате увеличения персонала на 15 человек и роста средней заработной платы на 50 тыс. д. ед. фонд заработ­ной платы увеличился на 3 млн. 250 тыс. д. ед. Необходимо рассчитать, какова новая численность пер­сонала на предприятии. Какова средняя заработная плата после увеличения фонда заработной платы?

3.8. Фирма имеет два отделения, суммарная прибыль которых в минувшем году составила 13 млн. д. ед. На сле­дующий год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго - на 140%. В результате суммарная прибыль фирмы должна вырасти в два раза. Какова прибыль каждого из отделений в минувшем году? В следующем году?

3.9. Располагая определенным начальным капиталом, предприниматель взял в кредит сумму, равную этому ка­питалу, заплатив за кредит 1 тыс. д. ед. После этого он вновь взял в кредит сумму, равную тому капиталу, ко­торым теперь располагал, и снова заплатил за кредит 1 тыс. д. ед. Подобное повторилось еще два раза. Однако после уплаты за последний кредит предприниматель ос­тался без денег.

Чему был равен первоначальный капитал предприни­мателя?

3.10. Если к акционеру А перейдет от акционера Б количество акций на 1 млн. руб., то акционерный капитал А станет вдвое больше, чем капитал Б. С другой стороны, если акционер Б увеличит свой акционерный капитал за счет А на 1 млн. руб., то стоимости акций А и Б уравняются. Какими акционерными ка­питалами обладают А и Б?

3.11. Из учредительно­го договора фирмы следует, что доля участника А составляет ¹/₂ часть, доля участ­ника Б - ¹/₃ часть, доля участ­ника В - ¹/₉ часть уставно­ro капитала. В текущем году было решено всю прибыль израсходовать на покупку для этих участников 17 автомобилей. Как поделить автомобили между участниками?

3.12. На собрании акционерного общества отсутство­вала ¹/₅ часть от общего числа акционеров. После того как пришел один из опоздавших, доля отсутствующих соста­вила ¹/₆ часть от всех акционеров. Сколько акционеров в обществе?

3.13. При образовании акционерного общества из че­тырех участников первый из них внес в уставный фонд ¹/₂ часть, второй - ¹/₃ часть, третий - ¹/₄ суммы, внесенной остальными участниками. Четвертый же внес 6500 руб. Какова доля каждого из участников в уставном фонде и чему этот фонд равен?

3. 14. На предприятии отметят его столетний юбилей тогда, когда пройдет еще в сумме ¹/₂ , ¹/₃ и ¹/₄ часть от срока его существования. Сколько лет существует предприятие?

3. 15. Двое партнеров по товариществу договорились снимать с общего счета в банке в течение каждого месяца определенную постоянную сумму каждый. Рассчитано, что если счетом станет пользоваться только один из партне­ров, то он исчерпает его за 1 год, а если оба сразу, то - за 8 мес. За сколько времени израсходовал бы деньги второй партнер?

3.16. Фермер обычно распахивает свой участок за 10 дней. Но, используя новую технику, он стал ежедневно вспахивать на 2га больше, чем обычно, и завершил рабо­ту на 2 дня раньше. Сколько гектаров фермер вспахивал ежедневно? Какова общая площадь его участка?

3.17. Предприятие за 10 дней выпускало партию авто­бусов. После реконструкции предприятия за 1 день стали выпускать на 1 автобус больше. В связи в этим увеличенную на 4 автобуса партию стали выпускать на 3 дня раньше. Сколько автобусов в день выпускалось до реконструк­ции предприятия и после нее?

3.18. Предприятие ежедневно производит 3 изделия сверх нормы и поэтому за 5 дней выпускает сверх семи­дневном задания еще 11 изделий. Сколько изделий в день фактически выпускает пред­приятие?

3. 19. При сушке яблок 0,5 потерянного ими веса ока­залось в 1,5 раза больше веса сушеных яблок. Сколько весят 4 т яблок после сушки?

3.20. После того как из бака грузового автомобиля "КамАЗ" перелили в бак автобуса «Икарус» 40 л дизель­ного топлива, в баке автомобиля осталось топлива в 6 раз меньше, чем стало в баке у автобуса. Если бы вместо этого из бака автобуса перелить в бак автомобиля 10 л топлива, то в них находилось бы топлива поровну.

Какое количество топлива было в баках автомобиля "КамА3" и автобуса «Икарус» первоначально?

3.21.Две бригады проходчиков прокладывали тоннель навстречу друг другу и по расчету должны были встре­титься по истечении 24 сут. Сколько времени потребовалось бы на прокладывание тоннеля каждой из бригад по отдельности, если скорости проходки бригад соотносятся как 3:4?

3.22.Акционерное общество израсходовало ¹/₅ часть от получаемой прибыли на закупку оборудования, 1/₄часть оставшихся денег потратило на строительство жилья для акционеров, выплатило 2,5 млн. д. ед. дивидендов по акци­ям. После всех этих расходов осталась нераспределенной ¹/₁₀ часть прибыли.Какова прибыль акционерного общества?

3.23. В издательстве «Антарктида» на оформление ори­гинала-макета рукописи объемом в 4 авторских листа тра­тится то же самое время, что и на оформление объема в 3 авторских листа в издательстве «Тропики».

Какова производительность труда каждого из изда­тельств, если известно, что рукопись объемом в 20 автор­ских листав издательство "Антарктида" оформляет на 2 мес. раньше, чем издательство «Тропики»?

3.24. Фирма решила сформировать пакет в 1 тыс. ак­ций на общую сумму в 600 тыс. д. ед. следующим образом: стоимость акций компании «Альфа» в пакете должна состав­лять ¹/₃ от стоимости акций компании "Бета", а стоимость акций компании «Гамма» должна быть равна ¹/₂ от стои­мости акций компаний "Альфа" и «Бета», вместе взятых. На какую сумму были куплены акции всех трех ком­паний?

3.25. Строительный заказ на общую сумму в 955 тыс. д. ед. размещен среди трех строительных фирм следующим образом: вторая фирма получает половину от суммы, ко­торую получает первая фирма, и премию в 90 тыс. д. ед., третья фирма получает половину от суммы, которую по­лучает вторая фирма, и премию в 120 тыс. д. ед. Сколько денег получает каждая фирма?

3.26. Фермер Иванов получил урожай земляники, равный в среднем 50 кг с

1 сотки (0,01 гектара). Фер­мер Петров на участке пло­щадью в 2 раза меньшей до­бился урожайности в 1,5 раза выше, но собрал со своего участка на 125 кг ягод мень­ше, чем Иванов.

1. Каковы площади уча­стков у Иванова и Петрова?

2. Сколько килограммов земляники собрал каждый из них?

3.27 Фермер наметил обработать к определенной дате 40га земли. Однако ежедневно ему удавалось обрабаты­вать на 2га больше, чем он намечал, что дало возмож­ность на 3 дня раньше до намеченного срока обработать 35 га. Сколько гектаров земли фермер обрабатывал еже­дневно?

3.28. Автослесарь получил задание на изготовление нескольких комплектов деталей для восьмицилиндро­вых автомобильных двигателей. Слесарь подсчитал, что если ему удастся поднять производительность труда на 0,1 дет./ч, то он сможет выполнить задание на 12 ч рань­ше нормы, а если еще на 0,5 дет./ч, то выполнит задание на 36 ч раньше нормы.

Сколько деталей необходимо изготовить слесарю? Каково количество деталей на каждый двигатель?

3.29. Железнодорожный состав с платформами спосо­бен перевезти 175 автомашин. После переоборудования платформ каждая из них стала вмещать на 2 автомашины больше, что дало возможность уменьшить количество платформ на 10 при перевозке в составе тот же количест­ва автомобилей.

1. Сколько платформ теперь участвует в перевозке?

2. Сколько автомашин вмещает каждая платформа по­сле переоборудования?

3.3О. Общее собрание акционеров решило распределить прибыль акционерном общества 4 млн. д. ед. следующим образом: большую часть прибыли направить в фонд раз­вития предприятия, вторую часть, равную 2 первой, ис­пользовать для строительства жилья работникам предпри­ятия и третью, такую же, как и вторую, использовать для выплаты дивидендов акционерам. Одновременно было ре­шено выпустить акции для продажи на бирже ценных бумаг на сумму, равную выделенной на выплату дивиден­дов, в количестве 300 обыкновенных и 200 привилеги­рованных акций (стоимость привилегированной акции на 4 тыс. д. ед. выше, чем обыкновенной).

1. Сколько денег было выделено на каждое, направле­ние?

2: Какова стоимость одной обыкновенной и одной при­вилегированной акции?

3.31. В концерне А в месяц на двух предприятиях из­готавливают 800 ед. продукции. В концерне-конкуренте Б в результате более высокой производительности труда на двух аналогичных предприятиях в месяц изготавливают на 140 ед. продукции больше.

Сколько единиц продукции изготавливают на каждом предприятии концернов А и Б с учетом того, что два предприятия концерна Б имеют производительность тру­да соответственно на 30% и 10% выше аналогичных пред­приятий концерна А?

3.32. Два фермера, у первого из которых площадь зе­мельного участка в З раза меньше, чем у второго, решили обрабатывать свои участки совместно, планируя это сде­лать за 12 дней. Однако на практике первый фермер полностью обработал свой надел и прекратил работу, а второй фермер обработал свой участок. Вся работа фер­меров заняла 27,5 дня.

Сколько времени потребовалось каждому из ферме­ров, чтобы обработать свой участок?

3.33. На конвейерных линиях молочного завода изго­тавливают два сорта мороженого: шоколадное и клубнич­ное. За 8 ч работы с каждой из линий сходит одинаковое количество порций мороженом. В этот день, однако, на шоколадной линии произошла поломка, вследствие кото­рой дневной выпуск шоколадном мороженого сократился на 2 тыс. порций. При этом оказалось, что на выпуск одной порции шоколадном мороженого фактически за­трачивалось на 1,2 сек. времени больше, чем на выпуск одной порции клубничного.

Сколько порций шоколадного и клубничном мороже­ном было выпущено в этот день?

3.34. Знаменитого Пифагора опросили, сколько учени­ков посещают его беседы. Был дан ответ, смысл которого в следующем: половина изучают математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, есть еще 3 женщины. Сколько учеников было у Пифагора?

3.35.Задача Я. И. Перельмана, условие которой можно представить так: Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость автомобиля?

3.36. На предприятии приняли следующий порядок оплаты труда по изготовлению сложных деталей: за пер­вую деталь рабочий получает 6 д. ед., за каждую после­дующую на 2 д. ед. больше. Кроме того, за выполнение дневной нормы изготовления деталей рабочему выплачи­вается премия в 30 д. ед. Какова должна быть дневная норма, чтобы средняя стоимость детали составляла 14⁴/₁₃ д. ед.?

337. Годовой план предприятия предусматривает вы­пуск 20% от продукции в первом квартале, увеличение выпуска изделий в 1,5 раза - во втором квартале. План выпуска третьего квартала составляет среднюю величину от выпуска первых двух кварталов, в последнем же квар­тале необходимо дать 7000 изделий.

Какое количество выпускаемых изделий предусмат­ривает годовой план?

3.38. На предприятие поступил заказ на изготовление 2280 ед. продукции. Эта продукция может быть изготовле­на в трех цехах, причем первый цех способен выпустить 1000 ед. продукции за 10 дней, второй цех - за 25 дней, а третий цех - за 20 дней.

1. Какое количество единиц продукции следует устано­вить для каждого цеха, чтобы заказ был выполнен ими совместно к определенному сроку?

2. Каким должен быть этот срок?

3.39. Предприятие наметило выпустить за определен­ное время 40 комбайнов. Фактически ему удалось поднять производительность труда на 4 комбайна в день, что по­могло ему за 2 дня до срока выпустить 36 комбайнов. Сколько комбайнов ежедневно удалось выпускать пред­приятию?

3.40. Землевладелец решил сдать в аренду принад­лежащую ему землю площадью 30га, имеющую форму прямоугольника. Из общей площади земли была выделе­на часть также в форме прямоугольника по периметру 1000 м и ширине 100 м. Эту часть поделили на ряд участ­ков. Вторая часть земли также была поделена на участки с меньшей площадью, чем каждый из участков первой части, на 1га, а числом на 15 участков больше.

1. Какое количество участков двух видов было наре­зано?

2. Какова площадь этих участков?

3.41.При планировке поселка садоводов 180 домиков (по числу садоводов) решили разместить в нескольких линиях, одинаковых по числу домов. За время строитель­ства число членов садоводческого товарищества выросло до 288 человек. Это потребовало перепланировки: число линий увеличили на 4, а количество домов в каждой - на 3. Сколько линий домов первоначально было в садоводче­ском товариществе?

3. 42. Применяя современные методы переработки дре­весины, комбинат добился изготовления из 500 м³ сырья на 25 комплектов мебели больше, чем раньше он изготав­ливал из 600 м³. При этом на 3 комплекта мебели теперь расходуется столько же сырья, сколько раньше расходо­валось на 2 комплекта.

Сколько кубических метров сырья расходовалось рань­ше и расходуется теперь на один комплект мебели?

3.43. При сравнительном испытании двух моделей ав­томобилей на трассе автотрека протяженностью 216 км первый автомобиль пришел к финишу на 18 мин. раньше, чем второй, превзойдя его в средней скорости на 60км/ч. Каковы были средние скорости первого и второго авто­мобилей?

3.44. Продается гарнитур бижутерии, состоящий из клипсов, кольца, броши и заколки для волос. Брошь стоит 120 руб., заколка для волос - 25 руб. Клипсы с брошью втрое дороже, чем кольцо с заколкой, кольцо же с брошью вдвое дешевле, чем клипсы с заколкой. Сколько стоят клипсы и кольцо?

3. 45. Фирмы М и N совместно приобрели партию то­вара в 500 т по цене 10 д. ед. за 1 т, причем фирма М заплатила за товар (включая стоимость перевозки) на 1120 д. ед. больше, чем N. Перевозка 10 т товара обошлась фирмам в 1 д. ед. за 100 км пути, причем фирма М везла товар на расстояние 600 км, а фирма N - на расстояние 800 км.

1. Какое количество товара приобрели фирмы М и N?

2. Сколько денег затратила каждая фирма на покупку и перевозку товара?

3.46. В течение года стоимость товара 2 раза увеличи­валась на один и тот же процент. Первоначальная цена товара составляла 100 тыс. д. ед. После второго повыше­ния она составила 121 тыс. д. ед. На сколько процентов повышалась стоимость товара оба раза?

3. 47.Чистое пиво в бочке емкостью 40л разбавлялось водой 2 раза и теперь содер­жит 29% воды. Первый раз из бочки было отлито опреде­ленное количество неразбав­ленного пива и столько же долито воды. Во второй раз из бочки было отлито столько же жидкости, сколько и в первый раз, и заменено водой. Сколько литров жидкости отливали из бочки в первый и второй раз?

3.48. Имеется 49 ежедневно работающих залов для показа видеофильмов. Сколько операторов видеопоказа необходимо нанять, чтобы при работе 90% от имеющихся залов каждый опе­ратор имел по одному свободному дню в неделю (7 дней)?

3.49. В книжный магазин одновременно поступили 2 издания: бестселлер и учебное пособие. К моменту ин­вентаризации было продано 280 книг, включающих ЗО% от поступивших бестселлеров и 10% - от учебных посо­бий. Подсчет показал, что число непроданных бестселле­ров в 7 раз больше, чем непроданных учебных пособий. Какое количество бестселлеров и учебных пособий по­ступило в магазин?

3.50. Сколько теряет в весе 100кг абрикосов при суш­ке, если воды в абрикосах 90%, а в кураге (сушеные абри­косы) - в 3 раза меньше?

3.51. Сколько граммов 30-процентных сливок нужно добавить к 500 г 10-процентных сливок, чтобы получить 20-процентные сливки?(Процентное содержание жира в сливках)

3.52. Автомобили «Волга» и «Жигули» отправились в пробег длиной 900км. Известно, что на это расстояние «Волга» израсходует на 36л бензина больше, чем "Жигу­ли". Известно также, что у «Жигулей» пробег на 1л бен­зина больше, чем у «Волги», на 6 ²/₃ км. Сколько литров бензина израсходует каждая машина?

3. 53. Торговая фирма ежедневно отправляет на свои торговые точки 180 холодильников (одинаковое количест­во на каждую точку). В связи с тем что 4 точки были закрыты, количество холодильников, выделенных на_. каж­дую точку, увеличилось на 12 ед.

1. Сколько торговых точек стало работать в фирме?

2. Сколько холодильников стала получать каждая точка?

3.54. Рулон обоев первого вида стоит 120 д. ед., и дли­на его на 4м меньше, чем длина рулона второго вида. Рулон обоев второго вида стоит 108 д.ед., и цена 1м на 6 д. ед. меньше, чем цена 1м обоев первого вида.

1. Сколько метров обоев в каждом рулоне первого и второго вида?

2. Сколько стоит 1м обоев первого и второго вида?

4. К теме «Решение задач на применение теории вероятности, статистики и бухгалтерского учета с экономическим содержанием»

4.1. Знаменитый американский ученый и государст­венный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям города Бостона 1 тыс. фунтов стерлингов на следующих условиях:

- деньги давать под 5% годовых молодым ремеслен­никам;

- через 100 лет из накопленных денег (с учетом про­центов на проценты) 100 тыс. фунтов стерлингов пустить на строительство общественных зданий;

- оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще на 100 лет;

- по истечении этого срока накопленную сумму раз­делить между бостонскими жителями и правлением Мас­сачусетской общины, которой передать 3 млн. фунтов стерлингов.

Сколько денег должно было достаться бостонским жи­телям через 200 лет после смерти Б. Франклина (он умер в 1790 г.)?

4.2. М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Го­ловлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович... си­дит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если 6 маменька... подарен­ные ему при рождении дедушкой..., на зубок, сто рублей ...не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немно­го: всего восемьсот рублей...».

Попробуйте по приведенным цифрам рассчитать, поскольку процентов платил в то время ломбард по вкладам. Примем, что Порфирию в момент его расчетов было 50 лет.

4.3. Вероятность успеха вложения капитала в кино­фильм составляет 0,2, в тор­говлю - 0,7. Вероятность не­успеха вложения капитала в кинофильм составляет 0,8, в торговлю - 0,3. В случае ус­пеха кинофильм дает 90% прибыли, а торговля - 30%. В случае же неуспеха кино­фильм дает 10% прибыли, торговля - 20% В какое производство выгоднее вложить капитал?

4.4.Сберегательный банк выплачивает проценты по вкладам не менее 100 тыс. руб. на следующих условиях: сумму, положенную на срок не менее 1 года, - 150% годо­вых, не менее б мес. - 130% годовых, не менее З мес. - 120% годовых. Какая форма вклада принесет наибольший годовой до­ход при величине капитала 100 тыс. руб.?

4.5. Готовится издание книги, ориентировочная про­дажная цена которой 10 д. ед. (условных денежных еди­ниц).

Совокупные постоянные издержки на издание всего тиража данной книги (редактирование, оформление, на­бор, управленческие расходы, налоги и страховые выпла­ты, аренда помещений и оборудования, амортизационные расходы и др.) составят 200 тыс. д. ед.

Совокупные переменные издержки на один экземпляр данной книги (бумага, материал на обложку, типограф­ские расходы, переплетные работы, сбыт, авторский гонорар и др.) составят 6 д. ед.

Необходимо рассчитать:

1. При каком тираже издание книги будет безубыточ­ным (так называёмая точка безубыточности)?

2. Произвести этот же расчет при цене книги 11 д. ед.

4.6. На организацию и проведение лотереи решено из­расходовать 100 млн. руб. По условиям лотереи, выигрыш определенной крупной суммы денег выпадает на часть билетов выпуска.

Число выпущенных лотерейных билетов (К) - 10 млн. Стоимость одного лотерейного билета (Б) - 1 тыс. руб. Выигрыш на «счастливый» билет (В) - 1 млн. руб. Какова вероятность выиграть, купив 1 билет такой лотереи, при расчете нормы прибыли 30%?

4.7. В условии предыдущей задачи проанализируйте, какие изменения должны произойти, если поднять эту ве­роятность выигрыша до 1%. (Количество выпущенных би­летов и их стоимость остаются неизменными)

4.8. Вероятность выигрыша, выпадающем на 1 билет, равна 1%.

Сколько нужно приобрести билетов, чтобы с вероятно­стью 0,7 хотя бы 1 (не менее чем 1) из них выиграл?

4.9. Выручка от реализации продукции (В) составляет 100 000 д. ед. Статья затрат включает в себя:

материальные затраты (МЗ) - 50000 д.ед.;

накладные расходы (НР) - 10 000 д. ед.;

затраты на зарплату (ЗЗП) - 10 000 д. ед.

Чему равны прибыль (ПР), налог на прибыль (НПР), чистая прибыль (ЧПР)?

4.10. Продажная цена основных фондов (ПЦ) состав­ляет 100 000 д. ед. Первоначальная стоимость основных фондов (ПС) - 10 000 д. ед. Процент износа основных фон­дов за год (ПИ) - 20%. Срок использования основных фондов (СИ) - 5 лет. Индекс инфляции (И) - 10.

Чему равны остаточная стоимость (ОС) и прибыль от реализации основных фондов (ПР)?

4.11. В = 10 000 д. ед.

МЗ = 5000 д. ед.

НР = 1000 д. ед.

ЗЗП = 1000 д. ед.

Количество работающих (КР) - 20 человек.

Чему равны прибыль (ПР), превышение затрат на зар­плату (ПЗЗIл по сравнению с нормативом (4 минималь­ные зарплаты в среднем на одного работника), облагаемая прибыль (ОПР), налог на прибыль (НЛР) и чистая при­быль (ЧПР)?

4.12. Какова плата за кредит в банке 1 млн. руб. на 10 мес. при ежемесячной кредитной ставке 30%?

4.13. На срочный вклад при срочной процентной став­ке 10% годовых (с учетом выплаты процентов на процен­ты) положили 10 тыс. руб.

Сколько денег можно получить через два года?

4.14.Через сколько лет величина вклада в 10 тыс. руб. при срочной процентной ставке 10% годовых (с учетом выплаты процентов на проценты) превратится в 1 млн. руб.?

4.15. Клиенту предлагается заключить следующий до­говор:

- в течение 1 мес. (30 дней) ему будет ежедневно выплачиваться по 100 тыс. руб.;

- в течение этого же времени клиент будет платить в первый день 1 коп., а в каждый следующий день удваи­вать то, что платили в предыдущей (т. е. во второй день 2 коп., в третий - 4 коп. и т. д.).

Выгодны ли эти условия клиенту?

4.16. По опыту, вероятность получить высокую при­быль от некоторой коммерческой операции равна ЗО%. Сколько нужно провести таких операций, чтобы полу­чить такую же прибыль с вероятностью 90%?

4.17. Валовой доход предприятия от реализации про­дукции, выполнения работ, оказания услуг составил за 1 год 100 млн. руб. Валовой доход от внереализованных операций - 150 млн. руб. за год. Затраты предприятия по этим реализованным и внереализованным операциям составили 90 млн. руб., в том числе на оплату труда - 50 млн. руб.

Необходимо рассчитать:

1. Валовой доход (Д);

2. Обла­гаемую прибыль (ОЛР);

3. Налог на прибыль (из расчета 32%) (НПР);

4. Чистую прибыль (ЧПР);

5. Взносы в бюджет из фонда оплаты труда (из расчета 39%) (ВОТ).

4.18. Предприятие приобрело продукцию у поставщи­ка (производителя) за 240 млн. руб. Эта продукция будет реализована предприятием за ЗОО млн. руб. Какой налог на добавленную стоимость (из расчета НДС = 20%) уплатят в бюджет: 1. Поставщик; 2. Предпри­ятие-покупатель?

4.19. Продана по курсовой стоимости 1 тыс. акций. Номинал акции - 10 тыс. руб. Дивиденд - 15%. Ссудный процент - 5% годовых.

Необходимо рассчитать: 1. Курс акций; 2. Учредитель­скую прибыль.

4.20. Общая выручка предприятия за год составляет 250 млн. руб. Норма прибыли - 25%. Ссудный процент 4% годовых. Решено выпустить 100 привилегированных акций с годовым доходом 100 тыс. руб. на каждую.

Определить: 1. Какова сумма эмиссии; 2. Сколько мож­но выпустить обыкновенных акций при годовом доходе 500 тыс. руб. на каждую?

4.21. Номинал акции равен 100 тыс. руб. Дивиденд по акции составляет 20 тыс. руб. Ссудный процент равен 10% годовых.

Каковы: 1. Курс акций; 2. Прибыль от продажи одной тысячи акций?

4.22. Выпуск тиража книги требует следующих рас­ходов в процентах от предполагаемого дохода (суммы вы­ручки от реализации тиража):

- авторский гонорар - 3 - 5%;

- издательские работы - 10-12%;

- бумага, картон, пленка и прочие материалы - 20%; - типографские работы - 30%;

- маркетинг, включая рекламу, - 1%; - торговая наценка - 25%.

1. Какова будет розничная цена одного экземпляра книги (с учетом налога на добавленную стоимость (НДС), равного 20%), чтобы при тираже 100 тыс. экз. и объеме книги в 20 печатных листав получить чистую прибыль (с учетом налога на прибыль, равный 32% от прибыли), равную 1 млн. руб.?

2. Чему равен авторский гонорар?

3. Каковы расходы на бумагу, картон, пленку и дру­гие материалы?

4. Сколько стоят типографские и издательские работы?

5. Какова сумма торговой наценки?

6. Каковы расходы на маркетинг, включая рекламу?

7. Какова чистая прибыль, если цена книги будет рав­на 300 руб.?

4.23. Из 9 изделий 2 бракованных. Какова вероятность того, что при случайной выбор­ке из четырех изделий, окажутся бракованными: 1. Одно; 2. Два; 3. Не менее 1 (хотя бы одно)?

4.24. Из пяти участников акционерного общества за­крытого типа нужно выбрать председателя правления, его заместителя и председателя ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

4.25. Стало известно, что на малом предприятии из ра­ботающих 24 человек четверо являются бандой преступников. Сколько таких возможных четверок необходимо про­верить правоохранительным органам?

4.26. В конкурсе участвуют 10 фирм, из которых жюри должно выбрать 3 фирмы на первое, второе и третье место.

Сколько вариантов решения жюри существует?

4.27. Фирма приобрела 8 автобусов различных марок, которые планирует распределить поровну между двумя своими отделениями.

Сколькими способами это можно сделать?

4.28. Производственная задача решается в три этапа (I, II и III). Исходным моментом является получение ди­ректором предприятия задания (заказа). Далее на основа­нии этого задания под руководством заместителя директо­ра по производству разрабатываются задания первому и второму подразделениям. После этого подразделения од­новременно приступают к I этапу работы. Для того чтобы начать II этап работы, второе подразделение должно по­лучить комплект изделий, изготовленных первым подраз­делением в ходе I этапа. Поэтому первое подразделение начинает II этап работы сразу же после окончания I этапа, а второе подразделение - лишь после получения комплек­тующих из первого подразделения. Далее роли подразде­лений меняются: для того чтобы начать III этап, теперь уже первое подразделение должно ожидать комплектую­щие от второго подразделения. С окончанием III этапа работы у обоих подразделений изделие считается гото­вым. Транспортная служба доставляет его потребителю.

Все этапы решаемой задачи в их взаимосвязи пред­ставляются в виде наглядной схемы (рис. 4.28), состоящей из двух типов элементов: работ и событии.

Работа представляет собой выполнение некоторого ме­роприятия, например, выполнение определенной техноло­гической, транспортной или складской операции. Работа связана_.с затратой времени и расходом ресурсов, она должна иметь начало и конец. Работа обозначается на графике стрелкой, над которой проставлен номер работы (большая буква с индексом), а под ней - продолжитель­ность работы (в скобках).

Событиями называются начальные и конечные точки работы, например начало или окончание производствен­ной операции. Событие не является процессом й поэтому не сопровождается затратами времени или ресурсов. Со­бытие обозначается кружком с буквенным обозначением внутри (маленькая буква с индексом).

Относительно данной работы события могут быть предшествующими (непосредственно перед ней) и после­дующими (непосредственно за ней). Относительно данной работы другие работы могут быть_. предшествующими и последующими. Каждая входящая в данное событие рабо­та является предшествующей каждой выходящей работе; каждая выходящая работа является последующей для каждой входящей.

Основные свойства сетевого графика:

- ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы;

- ни одна работа, выходящая из данного события, не может на~аться до тех пор, пока не произойдет данное событие;

- ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей работы.

Как построить и проанализировать сетевой график?

4.29.Что более вероятно: узнать в первом встретив­шемся по приезде в Москву человеке единственного про­живающего в этом городе знакомого или отгадать в лоте­рее 6 номеров из 49?

4.30. На витрине магазина в ряд можно поставить 14 различных бутылок с напитками. Сколькими способами это можно сделать?

4.31. Из 10 билетов лотереи «Спринт» 2 содержат выиг­рыш. Какова вероятность того, что из 5 купленных билетов выиграют: 1) 1; 2) 2; З) хотя бы один (не менее чем один)?

4.32. Во сколько раз вероятность отгадать в лотерее «6 из 49» 5 номеров меньше, чем вероятность отгадать: 1) 4 номера; 2) 3 номера?

4.33. Автомобиль снабжен двумя противоугонными приспособлениями: механическим и электрическим. Меха­ническое срабатывает с вероятностью 0,9 (это означает, что из 10 раз оно срабатывает 9 раз), а у электрическоro вероятность срабатывания равна 0,8.

Какова вероятность того, что автомобиль не угонят?

4.34. Фирма собирается приобрести ценный электрон­ный прибор, выпущенный одним из трех заводов, причем заранее не известно, каким именно. Обычно в продажу поступает 60% приборов с первого из заводов, 30% - со второго из заводов и 10%- с третьего из заводов. Соот­ветственно, вероятность того, что прибор проработает весь гарантийный срок без поломки, для различных заводов составляет: для первого завода - 0,9, для второго заво­да - 0,8, для третьего завода - 0,6.

Какова вероятность того, что купленный фирмой при­бор проработает весь гарантийный срок без поломки?

4.35. Водитель автомобиля на развилке дорог видит указатель: «Впереди дорога разрыта. Объезд». По карте дорог он определяет, что дорога в объезд займет у него 4 ч, что в 4 раза больше, чем по прямой. Один из ока­завшихся рядом дорожных рабочих утверждает, что до­рогу впереди уже отремон­тировали, а двое других го­ворят, что дорога впереди разрыта и проезд по ней займет не_. менее 5 ч.

Какое наилучшее реше­ние можно принять?

4.36. По мотивам О. Генри.

Энди увидел на противоположной стороне улицы че­ловека, которому так неосмотрительно дал в долг до зар­платы 50 долларов. С тех пор прошло много лет, и вот неожиданная радость. Энди ринулся бы через дорогу на­перерез Должнику, но неподалеку маячила массивная фи­гура полисмена - в этом месте переход улицы воспрещен. Половина шансов на то, что удастся незаметно перебежать улицу. Но если полисмен заметит, придется заплатить 10 долларов штрафа, а Должник тем временем уйдет. Как быть?

4.37. В тот момент, когда пассажир уже сел в вагон, чтобы ехать на курорт, и вагон вот-вот тронется, он вдруг вспомнил, что как будто забыл выключить дома телеви­зор. Можно еще возвратиться и выключить телевизор, но пропадет билет стоимостью 1 тыс. руб. Если же уехать, стрит телевизор, и его ремонт обойдется в 1500 руб., а если пожар - сгорит вся квартира. Стоит ли возвращаться только для тоro, чтобы удосто­вериться, что телевизор выключен?

4.38. Торговый агент должен встретиться с иногород­ним клиентом, чтобы вручить ему заказ на 3000 д. ед. {условных денежных единиц). Если агент поедет поездом, то потеряет рабочий день, который принесет ему 1500 д. ед. дохода. Полет самолетом позволит сократить рабочий день, но, если самолет не полетит из-за тумана (вероятность тумана 0,1 - в это время года из 10 дней 1 туманный), то встреча с клиентом не состоится и рабочий день опять же будет потерян. С другой стороны, разговор с клиентом по телефону уменьшит стоимость заказа на 500 д. ед.

Какое решение должен принять аreнт?

4. 39. Каждый из трех станков производит 2 типа де­талей - А и Б. Первый станок производит в 1 мин. 5 деталей А или 5 деталей Б, второй станок производит в 1 мин. 6 деталей А или 2 детали Б, третий станок произ­водит в 1 мин. 5 деталей А или 3 детали Б. Необходимо распределить детали по станкам таким образом, чтобы общее количество деталей, изготавливае­мых за смену, было максимальным. Причем требуется учесть два ограничения: ни один из станков не должен простаивать; продукция должна быть комплектна; т. е. ко­личество деталей А должно равняться количеству дета­лей Б (это, например, могут быть гайки и болты).

4.40. Из каждого листа дефицитного материала пло­щадью 6 х 13 кв. м (рис. 4.40) необходимо выкроить по нескольку заготовок двух видов: заготовок А - площадью

5 х 4 кв. м и заготовок Б - площадью 2 х 3 кв. м. Задача заключается в том, чтобы получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками, необходимо обес­печить комплектность заготовок: на 1 заготовку А должно приходиться 5 заготовок Б. Как оптимально раскроить листы?

4.41. Детали обрабатываются последовательно на двух станках. В табл. 4.41 показана продолжительность этой обработки для каждой из 10 деталей на двух станках. Нумерация деталей и последовательность их обработки взяты при этом произвольно.

Расчет показывает, что время обработки всех деталей составляет 118 мин. Кроме того, существует время ожида­ния обработки первой детали на втором станке, равное 7 мин., и время ожидания освобожденного второго станка для обработки пятой детали, равное 11 мин. Таким обра­зом, обработка всех деталей на двух станках с учетом времени ожидания продолжается 136 мин.

Необходимо найти оптимальный порядок обработки де­талей на двух станках, при котором суммарное время обработки будет наименьшим.

4.42. На промышленном предприятии готовятся к пе­реходу на выпуск новых видов продукции. При этом воз­можны 4 решения: Р₁, Р₂, Р_З и Р₄, каждому из которых соответствует выпуск определенного вида продукции или их сочетание. Результаты принятых решений существен­но зависят от обстановки (степени обеспеченности произ­водства материальными ресурсами), которая заранее точ­но не известна и может принимать разные значения: 0₁, О₂, О_З. Каждому сочетанию решений Р и обстановки О соответствует определенный выигрыш, значения которого помещены в таблицу эффективности на пересечении зна­чений Р и О (табл. 4.42). Этот выигрыш характеризует относительный результат предстоящих действий (при­быль, нормативно чистую продукцию, издержки производ­ства и т. п.). Так, из таблицы видно, что при обстановке 0₁ решение Р₂ в 2 раза лучше, чем Р_З, а решение Р₁ неоди­наково эффективно для обстановки 0₁ и О₂ и т. д.

Необходимо найти наиболее выгoдное решение Р₁.

4.43. Вероятности различных вариантов обстановки 0₁ = 0,50; О₂ = 0,30;

О_З = 0,20 (табл. 4.42).

Какое решение Р является оптимальным?

4.44. Вероятности различных вариантов обстановки (табл. 4.42) не известны, и нет основания предпочесть ка­кой-либо вариант.

Какое решение Р является оптимальным?

4.45. Вероятности различных вариантов обстановки (табл. 4.42) не известны.

Какое решение Р явится оптимальным, если наиболее вероятный из вариантов обстановки - О₂, менее вероят­ный 0₁ и еще менее вероятный - О₃.

4.46.Вероятности различных вариантов обстановки (табл. 4.42) не известны.

Существует ли гарантия того, что сумма выигрыша в любых условиях окажется не меньше, чем наибольшая сумма выигрыша в худших условиях (принцип «рассчи­тывай на худшее»)?

4.47. Вероятности различных вариантов обстановки (табл. 4.42) не известны. Требуется в любых условиях избежать большого риска.

4.48.Вероятности различных вариантов обстановки (табл. 4.42) не известны. Требуется выбрать оптимальное решение между ли­нией поведения «рассчитывай на худшее» и линией пове­дения «рассчитывай на лучшее».

4.49. Группе из трех равноправных компаньонов не­обходимо принять решение, выбрав его из четырех воз­можных вариантов. Каждый компаньон по-разному оценивает возможные решения, присваивая каждому из решений различный ранг (так называемая ранжировка). Причем чем больше порядковый номер, тем вариант пред­почтительнее.

Необходимо найти оптимальное групповое решение.

4.50. Группа из трех равноправных компаньонов оценивает 3 возможных решения по трехбалльной системе: лучшее решение - 3 балла, среднее - 2, худшее - 1 (табл. 4.50).

Необходимо найти такое групповое решение, при кото­ром отклонения между предпочтением группы и индиви­дуальными решениями будет наименьшим.

4.51. Предположим, принимается общее решение дву­мя компаньонами. Возможны 2 варианта решения: а₁ и а₂. Оценки полезности этих вариантов обоими компаньонами для двух возможных исходов показаны в табл. 4.51, а и б. Вероятности исходов для каждом компаньона, естествен­но, различны.

Необходимо найти оптимальное групповое решение.

4.52. Решение принимается двумя равноправными компаньонами. Возможны два решения: а₁ и а₂. Оценка полезности этих вариантов для обоих компаньонов приве­дена в табл. 4.52.

4.53. Владельцу груза приходится принимать одно решение из двух: страховать или не страховать перевозимый груз. Риск заключается в том, что возможна катастрофа с вероятностью 0,1, в результате чего груз будет утрачен. Матрица полезности - см. табл. 4.53.

Полезность исходов определяется владельцем груза следующим образом: если груз застрахован, то в случае его утраты владелец получает страховую компенсацию в размере 100 ед., если же катастрофы не было, он теряет 5 ед., потраченных на страховой полис. Если груз не за­страхован, то в случае катастрофы теряется его стоимость - 95 ед.; при благополучном же исходе владелец, может распорядиться суммой 5 ед., сэкономленных на страховом полисе.

4.54. При вложении средств в 2 предприятия на выбор сле­дует учитывать, что первая инвестиция допускает потерю вкладчиком 1 млн. руб, с веро­ятностью 0,5; вторая инвестиция допускает потерю 2 млн. руб. с вероятностью 0,3.

Какое решение сопряжено с наименьшим риском?

4.55. В условии задачи 4.40 стало возможным из каж­дого листа раскраивать заготовки одного вида (а не обяза­тельно обоих). Как это повлияет на план раскроя?

4.56. На ферме в качестве корма для животных ис­пользуются два продукта: М и N. Сбалансированное пи­тание предполагает, что каждое животное должно полу­чать в день не менее 200 кал., причем потребляемое при этом количество жира не должно превышать 14 ед. Под­считано, что в 1кг продукта М содержится 100 кал. и 14 ед. жира; в 1 кг продукта N - 200 кал. и 4 ед. жира.

Как разработать максимально дешевый рацион откор­ма животных, отвечаемый этим условиям, если стоимость 1 кг продукта М составляет 1,5 д. ед., а 1 кг продукта N - 2,5 д. ед.?

4.57. Новый прибор, разрабатываемый на одном из предприятии, предполагается оснастить предохранителем, который гарантировал бы сохранность прибора на случай внезапного прекращения подачи электроэнергии. Стои­мость предохранителя 50 руб. Стоимость ремонта прибора при выходе его из строя при отсутствии предохраните­ля - 150 руб. Стоит ли прибор оснащать предохранителем, если пре­кращения подачи электроэнергии может и не произойти? Иными словами, стоит ли идти на риск?

4.58.Решить предыдущую задачу при условии, если предохранитель стоит 50 руб., ремонт - 150 руб., а веро­ятность аварии равна 0,2, вероятность безаварийной рабо­ты - 0,8.

4.59. Страховая фирма установила величину страхо­вого взноса при угоне автомашины в 5 млн. руб. По стати­стике, вероятность уroна автомобиля за год составляет 0,05%.

Какова должна быть сумма страховых взносов (ВС) за год, чтобы годовой доход фирмы (Д) от страхования со­ставил 1 млн. руб.? (При условии, что в год фирма обслу­живает в среднем 100 автомобилей.)

4.60. В условии предыдущей задачи рассчитать, ка­кую прибыль получает фирма в год с учетом затрат необходимости выплат страховых премий, если на выплату страховых премий фирма расходует в год 250 тыс. руб., а затраты на организацию страховой деятельности состав­ляют в год также 250 тыс. руб.

4.61. На прием к директору записалось несколько по­сетителей (табл. 4. 61).

На весь прием директор отвел 2 ч = 120 мин. Являет­ся ли составленное расписание оптимальным по времени ожидания для посетителей?

4.62. Менеджер планирует провести за день 3 ответ­ственных мероприятия из 15, намеченных на неделю. Сколькими способами эти 3 мероприятия могут быть раз­мещены в дневном плане?

4.63. Сколько трехбуквен­ных названий фирм можно со­ставить, используя 32 буквы русского . алфавита (подходят любые названия, даже начи­нающиеся с мягкого знака)?

4.64. Из трудового коллектива; состоящего из 12 че­ловек, необходимо сформировать три бригады, имеющие одинаковое количество работников.

Сколькими способами это можно сделать?

4.65. Установлено, что посещение кинотеатра зрителя­ми зависит от цены билета. При цене билета 150 руб. на сеансе присутствуют 300 зрителей, при цене 100 руб. -600 зрителей, при цене 70 руб. - 1200 зрителей. Макси­мальная вместимость зала 2000 человек. По какой цене следует продавать билеты, чтобы полу­чить наибольший доход? (Популярность фильма не учи­тывается.)

4.66. Назовите 8 законных способов увеличения при­были в торговле.

4.67. Продавец предлагает вам взвесить товар на не­исправных чашечных весах (разрегулирование произошло из-за смещения чашек относительно центра весов) сле­дующим образом:

- гиря, равная ¹/₂ нужного веса товара, кладется на левую чашку весов, а товар - на правую, и веса уравно­вешиваются;

- затем гиря перекладывается на правую чашку ве­сов и снова уравновешивается товаром.

Идея такого взвешивания заключается в том, что если при первом взвешивании получается недовес, то он ком­пенсируется перевесом при втором взвешивании. Так ли это?

4.68. Какие экономические показатели отличаются, а какие - совпадают при торговле продуктами питания, книгами и недвижимостью?

4.69. Продается товар по 1000 руб. за штуку. Затраты на единицу товара составляют 750 руб. Чему равна прибыль (ПР) и норма прибыли (НП) (рен­табельность)?

4.70. Выручка равна 2500 руб. Какими должны быть затраты, чтобы норма прибыли (рентабельность) равнялась 25%?

4.71. Прибыль, направляемая на развитие предприятия (накопление), равна 10 млн. руб., прибыль, направляемая на оплату труда (потребление), равна 5 млн. руб.

Какова норма накопления?

4.72. Масса прибыли равна 5 млн. руб., норма прибы­ли - 25%.

Определить: 1. Затраты; 2. Выручку.

4.73. Выручка от продажи продукции составила 100 млн. руб., торговые издержки - 20 млн. руб., оплата труда рабочих предприятия - 30 млн. руб., материальные затраты - 10 млн. руб. Найти: 1. Прибыль; 2. Норму прибыли (рентабельность); 3. Процент рентабельности.

4.74. Торговой фирме необходимо сделать заказ у прея­приятия-производителя на поставку одного из видов бы­товых электроприборов. Годовая стоимость заказа (Г) рав­на 900 млн. руб. Издержки на изготовление партии това­ров (Изг) равны 10 млн. руб. Издержки на хранение това­ра (Хр) равны 20% (0,2).

Какова стоимость оптимальной партии товара (С_опт) и ее натуральный объем (Об)?

4.75. В результате маркетингового исследования установлена следующая картина зрительского спроса на би­леты в кинотеатр:

Вместимость зрительного зала кинотеатра 700 мест, все места в зале равноценны. Затраты в расчете на 1 сеанс составляют:

- плата за прокат кинофильма - 1800 д. ед.;

- аренда зала (включая оплату уборки) - 250 д. ед.;

- плата киномеханику - 50 д. ед:;

- плата контролерам - 250 д. ед.

1. Какова должна быть самая выгодная цена одного билета?

2. Чему равна максимально возможная прибыль за 1 сеанс?

4.76. Из условия предыдущей задачи определить наи­лучшее использование 200 свободных мест (700-500).

4.77. Для привлечения зрителей фирма уменьшает плату за прокат кинофильма с 1800 д. ед, до 800 д. ед. плюс 2 д. ед. с каждого проданного билета.

1. Какова теперь должна быть самая выгодная цена одного билета?

2. Какой будет при этом максимальная прибыль?

3. Как использовать в этом случае остающиеся сво­бодные места? (См. условие задачи 4.47.)

4.78. Существует следующий спрос на товар - яблоки:

Какова цена товара, приносящая наибольшую выручку?

4.79.Учитывая условия предыдущей задачи, принять во внимание, что продавец должен реализовывать в день не менее 100 кг яблок. Как обеспечить в этом случае максимально возмож­ную выручку?

4.80. Некая компания пред­лагает гражданам необычайно высокий дивиденд по акциям, тратит огромные деньги на рекламу и при этом не произво­дит ничего, что могло бы быть продано и приносить прибыль.

1. Откуда у компании та­кие средства?

2. В чем секрет их появле­ния?

3. О чем следует подумать покупателям акций?

4.81. Некая фирма предлагает гражданам высокие по­стоянные заработки в валюте. Работа очень простая: нужно распространять за доллары чудодейственное лечебное средство, однако каждый завербованный распространи­тель чуда-средства выплачивает фирме определенный вступительный взнос. Затем он должен найти еще не­сколько себе подобных: их взносы компенсируют его за­траты. Все они получают право продажи лекарственного средства на льготных условиях - со скидкой и зарабаты­вать при этом заветную валюту.

1. За счет чего делается скидка в цене товара?

2. Кто оплачивает в валюте работу его распространи­телей?

К теме «Графические задачи на тему «Спрос и предложение»

Для всех задач этой главы предусмотрено общее условие - все неценовые детерминанты спроса и предложения, кроме меняющихся исходя из условия задачи, остаются неизменными.

1. Узнав о повышении цен на кожу, руководство компании, владеющей сетью обувных магазинов, распорядилось уволить часть продавцов.

2. Осенью спрос на шерстяные варежки вырос, однако их цена осталась на том уровне, что и весной. Как изменилась за это время цена на шерсть?

3. Подорожал сахар. Через полгода цена на мороженое оказались на том же уровне, что и накануне этого подорожания. Зимой или летом подорожал сахар, если летом спрос на мороженое выше, нежели зимой?

4. * Учителям повысили заработную плату. Доходы остальных групп населения не изменились. Количество продаваемых холодильников после повышения зарплаты учителей не возросло. Изменилась ли средняя цена на холодильники?

5. Производители телевизоров перепрофилировали часть мощностей предприятий на выпуск деталей для компьютеров, полагая, что новое производство будет более прибыльным. Это привело к изменению на 100 рублей средней цены на телевизоры, составлявшей первоначально 1 тыс. рублей. По старой цене производители реализовывали ежедневно 5 тыс. телевизоров. Сколько телевизоров в день продаётся по новой цене, если коэффициент эластичности спроса на них равен 2,5?

К теме «Задачи на расчёт издержек и прибыли».

Для всех задач этой главы предусмотрено общее условие - объём продаж равен объёму производства.

2.1. Затраты на сырьё составляют 40% переменных издержек. После повышения на 130 % затрат на сырьё в расчёте на единицу продукции фирма «V» изменила объём производства. При этом прочие составляющие средних переменных издержек и постоянные издержки выросли на 233 рубля. На сколько процентов фирма изменила объём выпуска продукции, если до этого изменения средние совокупные издержки равнялись 500 рублей за единицу продукции, а средние постоянные издержки 100 руб./ед.?

2.2. Из-за сокращения сырьевой базы фирма «D» уменьшила объём выпуска продукции. Постоянные и средние переменные издержки после этого не изменились, а средние совокупные издержки выросли на 30 руб./шт. Первоначальная величина средних постоянных издержек составляла 120 руб./шт. На сколько процентов фирма должна увеличить цену единицы продукции, чтобы осталась неизменной выручка от продажи продукции?

3. Арендная плата за помещение, составляющая 40% постоянных издержек фирмы «Е», повысилась на 150%. Прочие составляющие постоянных издержек, средние переменные издержки и объём выпуска продукции не изменились. До повышения арендной платы средние постоянные издержки равнялись 700 рублей на единицу продукции, продажная цена составляла 2800 руб./ед. На сколько процентов фирме «Е» следует изменить цену, чтобы сохранить исходный уровень прибыли с единицы продукции?

4. Изменение технологии производства мотоциклов привело к снижению средних переменных издержек на 20%, после чего цена единицы продукции была снижена на 10%. Постоянные и совокупные издержки не менялись. Чему равна выручка производителей мотоциклов, если её прирост после изменения технологии составил 37500 тыс. рублей?

5. Первоначально на предприятии «F» средние постоянные издержки составляли 30% от средних совокупных издержек, а рентабельность производства по издержкам равнялась 40%. В результате инфляционных процессов средние постоянные издержки выросли на 10%, а средние переменные издержки - на 20%. Чему будет равна рентабельность производства по издержкам, если предприятия повысит цену продукции на 17%?

К теме «Задачи на тему «Уравнение обмена»

3.1. Предложение денег в Галиции возросло с 16 млн. до 18 млн. дукатов. Объём продаж уменьшился на 10%. Скорость обращения не изменилась. На сколько процентов в среднем изменились цены?

3.2. Предложение денег на Крите упало на ¹/₁₂. Объём продаж снизился в 1,2 раза. Скорость обращения не изменилась. На сколько процентов в среднем изменились цены?

3.3. В Лидии цены выросли в среднем на 20%.Объём продаж увеличился с 30 млрд. до 33 млрд. купонов. Скорость обращения не изменилась. На сколько процентов изменилось предложение денег?

3.4. В Валахии цены снизились в среднем на 20%. Предложение денег упало с 20 млрд. до 18 млрд. талонов. Скорость обращения не изменилась. На сколько процентов изменился объём продаж?

3.5. Организация компьютерной связи между банками позволила увеличить скорость обращения денег в Спарте на 5%. Рост производства обусловил возрастание объёма продаж в 1.2 раза. Предложение денег не изменилось. На сколько процентов изменилась средняя цена товаров и услуг?

К теме «Задачи на расчёты в приведённых ценах»

4.1. За 1992-1994 годы валовой внутренний продукт страны Гонделупы в текущих ценах вырос на 10%. Темп инфляции за этот период составил 13,4%, а за 1993 год - 8%. ВВП 1992 года в текущих ценах равен 1050 млн. дукатов. Определить ВВП 1994 года в ценах 1993 года.

4.2. В 1994 году валовой внутренний продукт княжества Мумбо-Юмбо в текущих ценах составил 982,8 тыс. купонов. При этом ВВП 1994 года в ценах 1993 года равен 702 тыс., а ВВП 1993 года в ценах 1992 года - 432 тыс. купонов. За 1993-1994 годы цены в княжестве выросли в среднем на 82%. Найти ВВП 1993 года в текущих ценах.

4.3. В 1994 году валовой внутренний продукт королевства Брунгильдия в ценах 1992 года составил 10 млн., а в 1992 году - 130 млн. цехинов. В 1993 году темп роста ВВП в текущих ценах по отношению к предыдущему году был равен 1,1, а в 1994 году - 1,4. Годовой темп инфляции в 1994 году составил 30%. Определите темп инфляции в 1993 году.

4.4. За 1990-1994 годы в государстве Швамбрания темп инфляции не менялся. В 1994 году валовой национальный продукт страны составил в текущих ценах 66355,2 тыс., а в ценах 1990 года - 32000 тыс. пиастров. Выразите ВНП 1990 года в ценах 1992 года.

4.5. В течении нескольких лет, начиная с 1980 года, темп инфляции в султанате У-Ку-Шу не менялся и составлял 10% в год. Темп роста валового внутреннего продукта в приведённых ценах за тот же период тоже был постоянен. В последнем году периода ВВП султаната в ценах 1980 года был равен 41472 млн., а в текущих ценах составил 20000 млн. алтын. Найдите ВВП 1982 года в текущих ценах.

К теме «Задачи на тему «Международная торговля»

Для всех задач этой главы предусмотрены следующие общие условия:

1. все данные о производстве, потреблении, экспорте и импорте приведены за период, равный одному году;

2. рассматривается ситуация максимального использования ресурсов;

3. игнорируется эффект растущих издержек, то есть функция производственных возможностей линейна, а значит, имеет вид:

у = kx + b.

Экономический смысл значения функции, переменной и параметров:

х и у - объёмы производства двух разных товаров Х и Y;

k - отношение изменения объёма выпуска продукта Y к соответствующему изменению производства продукта Х;

b - максимальный возможный выпуск товара Y.

Приложение

1. Словарь терминов.

Валовой внутренний продукт (ВВП) - общая рыноч­ная стоимость всех готовых (идущих на конечное потреб­ление) товаров и услуг, произведенных на территории стра­ны за год.

Валовой национальный продукт - валовой внутренний продукт (ВВП), уменьшенный на общую рыночную сто­имость готовых товаров и услуг, произведенных на терри­тории страны за счет ресурсов других стран, и увеличен­ный на общую рыночную стоимость товаров и услуг, произведенных за счет ресурсов страны за рубежом.

Величина предложения - количество товаров или услуг, которое производитель (продавец) хочет и может продать по конкретной цене в конкретный момент и в конк­ретном месте.

Величина спроса - количество товаров или услуг, ко­торое потребитель хочет и может купить по конкретной цене в конкретный момент и в конкретном месте.

Выручка предприятия (фирмы) - денежная сумма, получаемая предприятием за реализованную продукцию.

3акон предложения - утверждение, гласящее: «С ростом цены товара величина его предложения увеличивается».

Закон спроса - утверждение, гласящее: «С ростом цены товара величина спроса на него падает».

Инфляция - повышение среднего уровня цен в эконо­мике.

Коэффициент эластичности спроса - частное от деления относительного изменения объема реализации продукции, на которую есть спрос, на относительное изменение его цены. Рассчитывается по формуле

E = ^{(Q2 - Q1)}/_Q1 : ^{(Р1 - Р2)}/_Р1

где Е - коэффициент эластичности, Q₁ и Q₂ - соответственно начальный и конечный объемы реализации продукции; Р₁ и Р₂ - соответственно начальная и конечная цены продукции.

Кривая предложения - график зависимости величины предложения товара от его цены. Является графичес­кой интерпретацией закона предложения.

Кривая производственных возможностей - график зависимости между объемами выпуска двух товаров при максимально возможном использовании имеющихся ре­сурсов.

Кривая спроса - график зависимости величины спро­са на товар от его цены. Является графической интерпре­тацией закона спроса.

Неценовые детерминанты спроса и предложения -факторы, за исключением цены, обуславливающие изменения спроса или предложения для конкретного товара (услуги). Такими детерминантами для спроса являются, например, мода, сезон или средний уровень доходов потребителей, а для предложения - совокупные издержки.

Совокупные издержки - сумма всех затрат предприя­тия на производство продукции. Складываются из посто­янных и переменных издержек.

Переменные издержки - затраты на производство, воз­растающие (убывающие) с ростом (уменьшением) объема производства на предприятии.

Постоянные издержки - затраты на производство, не зависящие от объема производства на предприятии.

Предложение - желание и возможности продавцов продать конкретный товар (услугу) в конкретное время и в конкретном месте.

Предложение денег (денежная масса в обращении) - металлические и бумажные деньги, вклады до востребо­вания, чековые вклады, а также (при более широких оп­ределениях предложения денег) срочные вклады, депозиты и т. п.

Прибыль - положительная разность между выручкой и совокупными издержками предприятия. Прибыль с единицы продукции - частное от деления прибыли, получаемой в результате реализации конкрет­ной продукции, на объем производства этой продукции.

Приведенные цены - цены, скорректированные в со­ответствии с темпами инфляции.

Производственные возможности - сочетание выпуска двух продуктов и стране при максимальном использовании ее ресурсов.

Равновесная цена - цена, складывающаяся на рынке при равенстве величин спроса и предложения.

Равновесное количество продукта - объем продаж продукта на рынке при равенстве величин спроса и предло­жения.

Рентабельность производства по издержкам - частное от деления прибыли на величину совокупных издержек.

Скорость обращения денег - число, показывающее сколько раз в среднем за год каждый рубль (доллар, франк и т. д.) расходуется на приобретение товара.

Специализация - концентрация ресурсов для производства одного или нескольких товаров (услуг).

Спрос - желание и возможности потребителей купить конкретный товар (услугу) в конкретное время и в конк­ретном месте.

Средние совокупные издержки - совокупные издержки в расчете на единицу продукции, Т. е. частное от деления совокупных издержек на объем выпуска продукции.

Средние переменные издержки - переменные издержки в расчете на единицу продукции, Т. О. частное от деления переменных издержек на объем выпуска продукции.

Средние постоянные издержки -- постоянные издержки и расчете на единицу продукции, Т. е. частное от деления постоянных издержек на объем выпуска продукции.

Текущие цены - цены того года, к которому относится значение экономического показателя.

Темп инфляции - темп прироста среднего уровня цен. Рассчитывается по формуле

i = ^{(P1 - P0)}/_Р0

где i - темп инфляции за период от момента 0 до момента 1, Р₀ - средняя цена и момент 0, Р₁ - средняя цена в момент 1.

Точка равновесия - точка пересечения на графике кривых спроса и предложения, определяющая равновес­ную цену и равновесное количество продукта.

Убыток - отрицательная разность между выручкой и совокупными издержками предприятия.

Уравнение обмена - уравнение, связывающее предло­жение денег (М), скорость обращения денег (V), среднюю цену на товары или услуги (Р) и общее количество реали­зованных товаров или услуг (Q):

MxV=PxQ.

Цена - количество денег, за которое продается и поку­пается единица товара или услуги.

Эластичность спроса - способность величины спроса изменять свое значение под влиянием изменения цены.

Эффект растущих издержек - рост средних совокуп­ных издержек при увеличении производства продукта, на котором специализируется страна, в результате необходимости использования менее доступных и подходящих ресурсов.

Список рекомендуемой литературы

1. Абчук В.А. 250 занимательных задач по менеджменту и маркетингу.

М., Вита-Пресс, 1997г.

2. Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах. «Математика»,

приложение к газете «Первое сентября» №34-1998г.

3. Казаков А. «Школьнику о рыночной экономике». М., Знание, 1993г.

4. Липсиц И. «Экономика без тайн». М., Вита-Пресс, 1994г.