- Преподавателю
- Математика
- Сборник Методы решения уравнений, неравенств и их систем
Сборник Методы решения уравнений, неравенств и их систем
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Смирнова М.Н. |
Дата | 23.10.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Содержание.
-
Теорема Безу
-
Симметрические уравнения
-
Возвратные уравнения
-
Метод выделения полного квадрата
-
Однородные уравнения
-
Уравнения вида , где и
-
Уравнения вида , где
-
Решение иррациональных уравнений
-
Показательные уравнения
-
Логарифмические уравнения
-
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
-
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
-
Иррациональные неравенства
-
Показательные неравенства
-
Логарифмические неравенства
-
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Список использованной литературы
-
Математика. Пособие для подготовки к вступительным экзаменам. Под редакцией Барыкина Б.Ю. НАПКС г.Симферополь 2005
-
Сборник задач по математике. Авторы А.Г. Гайштут; Р.П.Ушаков. Киев «А.С.К.» 2002
-
2002 задачи по математике для выпускников и абитуриентов. Ю.В. Кириченко, О.В.Кириченко, В.И.Омельченко. Харьков «Фолио» 2003
-
Алгебра и математический анализ для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. «Просвещение» Москва 1999
-
Математика. К.М.Гуринович. Минск 2003
-
Сборник конкурсных задач по математике. Под ред. Сканави М.И.
Упражнения.
1) ;
2)
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9)
-48-
Теорема Безу и следствия из нее.
Если коэффициенты приведенного уравнения , где , ,… - целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.
Если целый корень подбором найден, то делим многочлен на . Частное от деления - многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим после деления многочлен второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.
Пример1. Решить уравнение
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел Подставляя эти числа в уравнение, находим корень =-1. Делим данный многочлен на х+1:
0
Решаем полученное уравнение =0. Находим корень среди делителей свободного члена методом подбора. Имеем . Выполним деление: на х-2, получим .
-1-
Решая уравнение =0, находим, что оно не имеет
корней.
Ответ: -1; 2.
Деление может быть упрощено по правилу, которое имеет название схемы Горнера:
Уравнение, имеющее рациональные корни
, где ,…, - целые числа, сводится к уравнению, имеющему целые корни.
Умножим почленно обе части уравнения на . Получим
Обозначим . Тогда
.
Если данное уравнение имело рациональные корни, то полученное имеет целые корни, которые, как и в предыдущем случае следует искать среди делителей свободного члена.
Решив полученное уравнение, возвращаемся к подстановке и находим корни данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на . Имеем:
. Обозначим
5х=у,
тогда уравнение примет вид
.
Целые корни его ищем среди делителей числа 50, т. е. среди чисел
. Имеем: .
-2-
Пример 2. Решить систему уравнений.
.
Решение. Обозначим , а , z>0, t>0.
Тогда получим равносильную систему:
, так как z>0, t>0, то и z+t>0
Откуда
1) 2)
Подставляя вместо z и t их значения, получаем две системы уравнений:
1) ;
2) ;
Ответ: (8;9),
-47-
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Область определения: х>0, y>0.
. Решив эту систему, получим решение и данной системы. (6;3), (3;6)
Ответ: (6;3), (3;6)
-46-
Возвращаясь к подстановке, получим
Упражнения
Решить уравнения:
Симметрические уравнения
Симметрическим называется целое рациональное
уравнение вида
.
Симметрическое уравнение третьей степени имеет вид и решается группировкой:
,
откуда .
Решаем совокупность уравнений:
х+1=0 и .
-3-
Уравнения вида: и где а0, называются
симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как х=0 не является их корнем, то, разделив уравнения
на , получим равносильные уравнения:
и
Замена или . Так как , то ,
а .
Подставляем в уравнение: или .
Таким образом, если и или и - корни уравнения,
то исходные уравнения эквивалентны совокупностям
-4-
Ответ: ,
Пример 3. Решить неравенство.
Решение. Это неравенство равносильно двум системам неравенств:
1) ; и 2)
Решением первой системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству .
Решением второй системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству
Ответ: , .
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-45-
4. Решение неравенств вида
сводится к решению систем:
а) б)
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, получаем, что данное неравенство равносильно неравенству
, то есть
,
Решим эти неравенства. Получим, что 3<x<5; -1<x<1
Ответ: 3<x<5; -1<x<1
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Это неравенство равносильно неравенству
, решая которое, получаем:
, или
Откуда
.
Решив данное неравенство методом интервалов, получим ответ.
-44-
и
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Делим все слагаемые уравнения на , получаем: , группируем:
, заменим
Получаем: , или
1) ,
2) , Д<0,
Решений нет на множестве R.
Ответ:
Упражнения Решить уравнения
1)
2)
3)
4)
5)
-5-
6)
7)
8)
Возвратные уравнения
Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида , в котором выполняется зависимость между коэффициентами
Решение. Разделим обе части уравнения на и сгруппируем первый член уравнения с пятым, второй - с четвертым:
Используя зависимость между коэффициентами уравнения, запишем его в виде:
(*)
Вводим вспомогательную переменную:
(**)
Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и выделяем квадрат первого и квадрат второго выражения:
(***)
Подставив значения (**) и (***) в уравнение (*), получим
-6-
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Логарифмические неравенства.
Рассмотрим основные виды логарифмических неравенств.
-
Решение неравенств вида сводится к решению систем
а) б)
2. Решение неравенств вида сводится к решению систем:
а) б)
3. Решение неравенств вида
сводится к решению систем:
а) б)
-43-
и
Решение неравенства сводится к решению таких систем:
и
Пример 4. Решить неравенство
Решение. Используя монотонность показательной функции, заменим данное неравенство равносильной совокупностью двух систем:
1) 2)
Решением первой системы является неравенство х>4
Решением второй системы является неравенство 2<x<3.
Ответ: х>4, 2<x<3.
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-42-
уравнение , которое и решим. Затем возвращаемся к подстановке.
Пример1. Решить уравнение
Решение. Убеждаемся, что уравнение возвратное:
- равенство выполняется. Разделим обе части уравнения на . После группировки получим
Обозначим , откуда
(*)
Подставив (*) в уравнение, получим
, или .
Отсюда , . Возвращаемся к подстановке и получаем, что а
Ответ: , .
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
-7-
6)
7)
8)
Метод выделения полного квадрата.
Некоторые уравнения удобно решать дополнением левой части до полного квадрата суммы или разности двух выражений.
Пример 1. Решить уравнение
ОДЗ: х≠1
Решение.
или
или
Замена приводит к квадратному уравнению
, , или возвращаясь к подстановке, получим или . Откуда
Ответ: , .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
. Дополним левую часть до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям . Имеем
-8-
или
Получим, что и у>6 - решения.
Возвращаемся к подстановке, тогда
1)
2) , ,
Ответ: .
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Обе части неравенства разделим на
Каждая из функций и определена на множестве действительных чисел. Кроме того, обе они монотонно убывающие. Поэтому функция
является монотонно убывающей.
Поскольку f(2)=0, то х=2 - единственный корень функции
f(x) и, таким образом, f(x) >0 при х<2.
Ответ: х<2.
Решение неравенства сводится к решению двух систем:
-41-
Решение.
Запишем неравенство в виде
, или , откуда -х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить неравенство
Решение. , откуда
.
Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Запишем данное неравенство в виде
Обозначим . Очевидно, что . Получим
.
Решая неравенство
Имеем
,
-40-
.
Получим . Отсюда
. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
и
Ответ:
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
-9-
Однородные уравнения
Уравнение вида , (*)
где -натуральное число, , f(x) и g(x)- некоторые функции, называется однородным относительно функций f(x) и g(x).
Делением на и заменой это уравнение сводится к уравнению вида:
Пример 1. Решить уравнение
Это однородное уравнение, в котором , а
-11-
; . Разделим уравнение на
.
, замена
Приводит к квадратному уравнению , находим корни или => .
Ответ:
-10-
Решение.
Запишем неравенство в виде
, или , откуда -х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить неравенство
Решение. , откуда
.
Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Запишем данное неравенство в виде
Обозначим . Очевидно, что . Получим
.
Решая неравенство
Имеем
,
-39-
9)
10)
11)
12)
Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основывается на использовании свойств монотонности показательной функции.
-
Неравенство вида ;
а) если , то неравенство выполняется при произвольном значении х ( поскольку для любого значения х );
б) если c>0, то, записав неравенство в виде ,
получим:
если а>1,
если 0<a<1,
2. Неравенство :
а) если , то неравенство не имеет решений;
б) если c>0 , то, записав неравенство в виде
, получим:
Если а>1,
Если 0<a<1,
Пример 1. Решить неравенство
-38-
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Уравнения вида , где
a<b<c<d и b-a=d-c.
Уравнения такого вида можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения):
Пример Решить уравнение
Решение.
Перепишем уравнение в виде:
Так как и , то введем новую переменную:
-11-
, т. е.
Подставим в уравнение:
. Отсюда находим
, т. е. . Возвращаясь к подстановке, имеем: ,
Ответ: .
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Уравнения вида ,
где .
Решение. Объединим сомножители: и разделим обе части на . Получим:
Введем замену переменных, обозначив , получим квадратное уравнение, из которого найдем t.
-12-
Решение.
I. и II
I. II
Итак,
Ответ:
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
-37-
3) ;
4)
Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять равносильный переход на области определения или ее части.
Пример 1. Решить неравенство.
Решение.
; ;
Таким образом, решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все числа из промежутка
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство.
-36-
Пример. Решить уравнение
Решение.
Так как 2•12=3∙8, то перегруппируем сомножители
или
Разделим на
, введем замену
, получим квадратное уравнение:
, . Т.е. => =>
Ответ:
Упражнения
1)
2)
3)
-13-
Решение иррациональных уравнений
Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
Решение иррациональных уравнений состоит в приведении их к соответствующим рациональным уравнениям, которые являются
следствиями данных иррациональных уравнений. Одним из стандартных способов решения иррациональных уравнений есть освобождение их от корней при помощи последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.
Заметим, что когда при решении иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную степень, возможно нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые исключаются при помощи проверки.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. I- способ
Возведем обе части уравнения в квадрат:
, откуда
Снова возведем в квадрат:
,
То есть
Откуда . Делаем проверку и убеждаемся, что -посторонний корень, а удовлетворяет уравнению.
Ответ: 1.
II-способ. Запишем уравнение в виде :
Это уравнение равносильно системе:
-14-
17)
II.Иррациональные неравенства.
Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала, причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но необходимо помнить.
-
Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным преобразованием.
-
Если обе части неравенства на некотором множестве Х определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на множестве Х.
-
Для иррациональных неравенств вида
q(x)<0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.
Методы решения иррациональных неравенств.
1) ;
2)
-35-
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
-34-
Откуда
Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще одним дополнительным условием:
Или
(*)
, или
Система (*) имеет одно решение х=1, которое и является корнем уравнения.
Ответ: 1.
-15-
Пример 2 Решить уравнение
Решение. Уравнение такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:
.
Получим
Учитывая, что по условию , имеем:
, ,
Откуда ,
Ответ: .
В некоторых случаях целесообразно заменить иррациональное уравнение равносильной рациональной системой при помощи введения нескольких вспомогательных неизвестных.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Обозначим ;
Сложим почленно левые и правые части этих уравнений и введем их в условие уравнения. Получим систему уравнений, которую решаем:
,
Решив второе уравнение системы, найдем , ,
и, возвращаясь к подстановке, получим
, ,
Ответ: 1;2;10.
-16-
и
Решаем эти системы неравенств:
1) ; ;
Откуда
2) ; ;
Решений нет.
Ответ: .
Упражнения.
-33-
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству или системе неравенств
, откуда ,
Данная система равносильна системе :
Решаем полученную систему методом интервалов.
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:
-32-
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
-17-
Показательные уравнения
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
, где и . Очевидно, что при это уравнение корней не имеет ( в области действительных чисел), поскольку для всех действительных значений х.
I. Решением уравнения вида
( по определению степени с нулевым
показателем ) будет f(x)=0
Пример 1. Решить уравнение
Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: , то есть откуда
, решая полученное уравнение, получим
,
Ответ: ,
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Запишем данное уравнение в виде
Тогда уравнение равносильно данному.
Решая полученное уравнение, находим х=10.
Ответ: 10.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Прологарифмировав обе части уравнения, получим
,
,
-18-
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Неравенства
-
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью определения модуля.
1. .
а) Если , неравенство решений не имеет;
б) Если , то данное неравенство эквивалентно неравенству .
2.
а) Если , то неравенство равносильно совокупности неравенств
б) Если , то решением неравенства будет область определения функции f(x).
Пример 1. Решить неравенство
-31-
,
т.е. решений нет.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде:
Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение будет иметь решение при , откуда . Кроме того, левая часть уравнения является четной функцией, то есть если
х является корнем уравнения, то и -х тоже его корень.
Таким образом, достаточно найти корни данного уравнения на промежутке , а если они есть, то к ним следует добавить корни, противоположные по знаку найденным. На данном промежутке имеем:
Откуда . Это уравнение решений не имеет.
Ответ: нет решений.
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
-30-
Откуда
II.Уравнения вида , где постоянные величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. , , ,
, отсюда х=1
Ответ: 1.
Пример5. Решить уравнение.
Решение.
,
Разделив обе части на 12, имеем
, , отсюда
Ответ:
III. Уравнения вида
-19-
при помощи подстановки сводятся к квадратному уравнению
Решив это уравнение, найдем корни и . После этого решение исходного уравнения сводится к решению. Таких двух уравнений:
и .
Пример 6. Решить уравнение
.
Решение. Запишем уравнение в виде
И обозначим
Получим уравнение , имеющее корни
и .
Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в области допустимых значений неизвестного равносильно уравнению , а последнее уравнение равносильно уравнению .
Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе. Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х= - 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -0,25.
-20-
Решение. Найдем критические точки.
х+5=0 х-3=0
х=-5 х=3
Тогда числовая ось разбивается на три интервала:
-
Если
-х-5+х-3=8
-8=8
Уравнение решений не имеет.
2) Если
х+5+х-3=8
2х=6
х=3
3)Если
х+5-х+3=8
8=8
Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде:
.
Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение может иметь действительные корни, если , то есть при .
А на этом промежутке выражения, записанные в каждом из модулей, положительны.
Уравнение равносильно системе:
-29-
19)
20)
21)
22)
23)
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.
На практике это делается так:
-
находят критические точки, то есть значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль;
-
разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
-
на каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.
Совокупность решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 1. Решить уравнение.
-28-
IV. Уравнение вида , легко сводится к предыдущим уравнениям делением обеих частей на .
Тогда получим
Обозначив , имеем
Решив уравнение, найдем и , после чего возвращаемся к подстановке:
или .
Пример 7. Решить уравнение.
Решение. Поскольку , то данное уравнение равносильно уравнению , или .
Пусть , приходим к квадратному уравнению
.
Его корни , . Решая уравнение и , получим в первом случае х=0, а во втором , т.е.
-21-
2х=1, или
Ответ: 0; .
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
-22-
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
-27-
Решив это уравнение, найдем, что
, ,
Получим . Все эти значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: .
Пример 7. Решить уравнение
Решение.
, ,
, х=64
Проверка. Если х=64, то , 0=0
Ответ: 64.
Иногда при решении логарифмических уравнений используется формула: , где
Пример 8. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: х>0
На этом множестве , поэтому данное уравнение равносильно уравнению
, , х=625.
Ответ: 625.
-26-
15)
16)
17)
18)
Логарифмические уравнения
Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.
Способы решения
-
Решение уравнений, основанное на определении логарифма
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. , , х-1=3, х=4.
Проверка подтверждает правильность полученного результата.
Ответ: 4.
-
Решение уравнений потенцированием.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. , , => (х=-1)
Ответ: -1.
-
Решение уравнений логарифмированием
Пример 3 Решить уравнение .
-23-
Решение.
, пусть , тогда
, откуда ;
Возвращаемся к подстановке, имеем:
и ,
х=100
Ответ: ; 100.
-
Применение основного логарифмического тождества
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству
, при х>0. Заметим, что и по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
; => х=3
Ответ: 3.
-
Замена переменной.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: х>0.
Пусть , тогда . Находим корни
-24-
, . Откуда и
Получаем, что х=10 и х=100.
Ответ: 10; 100.
-
Переход к новому основанию
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
Приводим все логарифмы к основанию 2, применяя формулу перехода к новому основанию:
.
Учитывая, что , получим
Введем подстановку
, тогда уравнение примет вид:
. Где
-25-