График функции

Зададим на плоскости прямоугольную систему координат . Зададим также прямую, являющуюся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Пусть

А

y

O

х

Рис. 9

А

y

O

х

Рис. 8

есть произвольная точка этой прямой.

На рис. 8 отмечена точка , имеющая положительную абсциссу . Пусть ее проекция на ось абсцисс. Очевидно, что

.

На рис. 9 отмечена точка , имеющая отрицательную абсциссу . По-прежнему проекция точки на ось абсцисс, но теперь

.

В каждом из этих случаев треугольник прямоугольный и его острый угол равен 45°. Но тогда треугольник равнобедренный и , откуда получаем, что

. (1)

Мы получили равенство (1), выражающее зависимость между абсциссой и ординатой произвольной точки данной прямой. Впрочем, при выводе этого равенства мы исключили случай, когда точка совпадает с началом координат . Но непосредственно видно, что в этом случае равенство (1) тоже выполняется, так как в этом случае и .

Итак, любая точка рассматриваемой биссектрисы имеет координаты, удовлетворяющие равенству (1). Но верно и обратное утверждение: если точка такова, что

,

то она лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов. В самом деле, рассмотрим сначала точку такую, что. Тогда . Пусть проекция точки на ось абсцисс. Очевидно, что . Значит, прямоугольный треугольник равнобедренный, следовательно, каждый из его острых углов равен 45°. Но тогда точка находится на биссектрисе первого координатного угла. Если же , то , и , обращаясь к рис. 9, получим, что точка находится на биссектрисе третьего координатного угла.

Таким образом, показано, что:

если точка лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов, то ,

если же точка такова, что , то она лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Говорят, что биссектриса первого и третьего координатных углов есть график функции .

Говорят также, что биссектриса первого и третьего координатных углов имеет уравнение .

Говорят, наконец, что биссектриса первого и третьего координатных углов есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Вопросы.

1. Что является графиком функции ?

2. Какое уравнение имеет биссектриса первого и третьего координатных углов?