Конспект с рекомендацией по обучению решения прямоугольных треугольников

Методические рекомендации по обучению решения прямоугольных треугольников.

Из опыта подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ и ОГЭ по математике, я обратила внимание, что решение геометрических задач, в частности планиметрической задачи вызывает затруднение и страх у многих учащихся. Поэтому начала активные поиски в подаче данного материала так, чтобы учащиеся преодолели данный психологический барьер. Затруднения объясняются, тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения прямоугольных треугольников, особенно на их частные случаи. Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения прямоугольных треугольников. Методы решения прямоугольных треугольников обладают некоторыми особенностями, а именно: большое разнообразие, трудность формального описания ; взаимозаменяемость; отсутствие чётких границ области применения. Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач. Знакомство учащихся с методами решения прямоугольных треугольников стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение задач несколькими способами. Особое внимание уделяется аналитическому способу решения задач, доводится до понимания учащихся, что анализ условия задачи, анализ решения задачи - важнейшие этапы её решения. Знание методов решения прямоугольных треугольников позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво. Прием решения задач, которую я придумала, основан сравнительно- символическом подходе.

Идея данного приема решения прямоугольных треугольников состоит в следующем:

1. Напоминаю понятия: «прилежащий угол…», «противолежащий угол… », прилежащий катет, противолежащий катет, гипотенуза. Разминку можно осуществить по следующему рисунку:

М. Назовите: а) угол, прилежащий к катету МN.

б) угол, прилежащий к катету NК.

в) катет, противолежащий углу М

N. К. г) сторону, противолежащую углу N

д) сторону, прилежащую углу М

2. Затем ввожу два искусственных языка: «язык треугольников» и «язык тригонометрии».

Т.М.1. Свойства прямоугольных треугольников: « языке треугольников»

• Теорема Пифагора: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов»

(

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °.

• Против угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы.

• Медиана, проведенная из вершины прямого угла - равна половине гипотенузы. ()

• Высота, проведенная из вершины прямого угла равна отношению произведения катетов на гипотенузу (h =

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

• Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Далее напоминаю материал, касающийся прямоугольных треугольников из раздела «тригонометрии».

Т.М.2 на «языке тригонометрии»:

• Sin²х + Cos²x = 1 (тригонометрическая интерпретация теоремы Пифагора)

• 

• 

• 1+ ctg²x =

• 1+ tg²x =

• .

• .

Решение любой задачи нужно начинать с построения прямоугольного треугольника, при этом выделить все элементы, данные и те, которые нужно найти - цветными мелками. Выделив решение задачи в 2 этапа.

1 этап: Связать все три элемента (2 элемента данных по условию задачи и тот, который нужно найти) на «языке треугольников»

2 этап: Найденный элемент на 1 этапе записываем на «языке тригонометрии».

Задача 1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 20, cosA= .

Найти ВС.

В

? 20

С А

Решение:

1этап: Решаем задачу на языке «треугольников»:

Связываем все известные и неизвестный элементы. В данной задаче: противолежащий катет, гипотенуза и острый угол. Они связаны с синусом острого угла, т.е.

SinA = =

2 этап : На языке «тригонометрии»запишем чему равен косинус угла А . Он равен:

= = . Приравняем синусы из 1-го и 2-го этапов=; х=16, ВС=16.Ответ: 16

Задача 2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 39, cosB = .

Найдите АС.

А

? 39

С В

Решение:

1 этап: на языке «треугольников»: Связываем известные и неизвестный элементы: противолежащий катет, гипотенуза и острый угол - связаны с синусом острого угла, т.е. SinВ= = =

2 этап:на языке «тригонометрии»: находим

SinВ = = = . = АС =36. Ответ: 36.

Задача 3. В треугольнике АВС угол В равен 60°, а АВ=6 см.

Найдите сторону СВ.

А.

С. ? В

Решение:

1 этап: на языке «треугольников»

Связываем известные и неизвестный элементы: острый угол, прилежащий катет и гипотенузу, они связаны косинусом острого угла:

CosB= = =

2 этап: на языке «тригонометрии»

Cos 60° = ; = → СВ=3 Ответ: 3

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sinА= , АС= 4. Найти АВ.

В

?

С А

4

Решение:

1 этап:на языке «треугольников»

Связываем известные и неизвестный элементы: острый угол, прилежащий катет и гипотенузу, они связаны косинусом острого угла:

CosА= = =

2 этап:на языке «тригонометрии» находим CosА = = = = . Приравняем косинусы острого угла из 1-го и 2-го этапов: = , АВ = 25. Ответ: 25.