Автономная некоммерческая образовательная организация

высшего профессионального образования
«ВОРОНЕЖСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»
(АНОО ВПО «ВЭПИ»)

Экономический факультет
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

Ж.И. Бахтина, Я.А. Израилевич, Г.А. Курина, Ж.И. Сухачева

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ
ВТОРАЯ ЧАСТЬ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Воронеж - 2014

Рецензент: Задорожний В.Г., доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра нелинейных колебаний Воронежского государственного университета.

Бахтина Ж.И. Задачи по математическому анализу для студентов первого курса ВЭПИ. Вторая часть: учебное пособие/ Ж. И. Бахтина, Я. А. Израилевич, Г. А. Курина, Ж. И. Сухачева - Воронеж: ВЦНТИ, 2014. - 50 с.

В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика (бакалавриат)»

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского экономико-правового института

Ж. И. Бахтина,

Я. А. Израилевич,

Г. А. Курина,
Ж. И. Сухачева

АНОО ВПО Воронежский
экономико-правовой
институт, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров, соответствующих программе второго семестра первого курса. Рекомендуется студентам первого курса для успешного изучения курса математического анализа. При подготовке учебного пособия использовались «Методические указания и контрольные задания по высшей математике для студентов-заочников II курса (специальности 1609, 0519, 0500, 0902, 0901)», подготовленные Кочкиной Г. А., Кравец Т. М., Львиным С. Я., Требуковой Н. И., Ушаковой В. Н. и изданные в ЛТИ в 1985 г.

При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

Нужно решить задачи, последняя цифра номеров которых совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается знаком * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

0. Найти указанные неопределенные интегралы

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

1. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

2. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) , к) , л) , м) .

3. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

4. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

5. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

6. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

7. а) , б) , в) ,

г) , д) , е), ,

ж) , з) , и)

к) , л) , м) .

8. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

9. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) .

*. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) , и) , к) , л) , м) .

Решение задачи *

Во всех задачах мы пользуемся таблицей неопределенных интегралов. Например, в задачах а), б), в) используется формула

.

а)

б)

в)

В задачах г), д), е) воспользуемся формулой

(*)

где - первообразная для .

г)

д)

е)

ж) Воспользуемся методом замены переменной

з) Воспользуемся формулой

(**)

Для этого выделим в числителе производную знаменателя, равную . Получим

и) Это интеграл с квадратным трехчленом в знаменателе. Выделим в числителе производную знаменателя, равную . Затем в знаменателе выделим полный квадрат, т.е. запишем в виде Далее воспользуемся формулами (*) и (**).

к) Воспользуемся формулой интегрирования по частям

При нахождении мы выбрали произвольную постоянную .

л) Воспользуемся формулами тригонометрии

Имеем

.

В последнем интеграле сделаем замену переменной , тогда . Получим

м) Это интеграл от рациональной функции. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей Чтобы найти числа приведем сумму дробей к общему знаменателю.

Получим

Знаменатели в левой и правой частях получились одинаковыми. Следовательно, числители также должны быть одинаковыми. Поэтому приравняем коэффициенты при в числителях, стоящих в левой и правой частях равенства. Получим

Решая эту систему, находим . Окончательно получаем

Теперь вычислим интеграл, в третьем слагаемом используя формулу (**).

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

10-20. Вычислить определенные интегралы

10. а) , б) , в) .

11. а) , б) , в) .

12. а) , б) , в) .

13. а), б) , в) .

14. а) , б) , в) .

15. а), б) , в)

16. а) , б) , в) .

17. а) , б) , в) .

18. а) , б) , в) .

19. а) , б) , в) .

1*. а) , б) , в) .

Решение задачи 1*

Во всех задачах воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла

где - первообразная для

а)

.

б) Применим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

в) Сделаем замену переменной.

В результате замены переменной пределы интегрирования также изменились: если , то ; если , то

20 - 29. Выполнить задания:

а) вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями, уравнения которых заданы в

декартовой прямоугольной системе координат;

б) вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, уравнение которой задано в полярной системе координат.

К обеим задачам сделать чертежи.

20. а) б) .

21. а) б) .

22. а) б) .

23. а) б) .

24. а) ; б) .

25. а) ; б) .

26. а) б) .

27. а) б) .

28. а) б) .

29. а) б) .

2*. а) б) .

Решение задачи 2*

а) сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 1)

Рис.1

Найдем абсциссы точек пересечения линий с уравнениями и . Для этого приравниваем правые части уравнений: . Получим квадратное уравнение . Решая его, найдем .

Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

В нашей задаче площадь фигуры можно получить как разность площадей и двух криволинейных трапеций (см. Рис.1), а именно, ограниченных линиями а сверху - линиями и Имеем

(кв.ед.).

б) Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 2). Для этого нужно составить таблицу значений функции в зависимости от значений аргумента .

Рис. 2

Воспользуемся формулой площади криволинейного сектора, ограниченного линиями (в полярной системе координат),

.

Данная фигура ограничена линией , при этом угол делает полный оборот, т.е. . Тогда площадь фигуры есть

(кв.ед.).

30 - 39. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38. .

39.

3*.

Решение задачи 3*

Сделаем чертеж к задаче (см. Рис. 3)

Рис. 3

Воспользуемся формулой объема тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями

В нашей задаче объем тела есть (куб. ед.).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

40 - 49. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

4*.

Решение задачи 4*

Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений , не содержащем 0. Правая часть дифференциального уравнения первого порядка представляет собой произведение функций, зависящих только от и только от (произведение и ) . Такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

При запишем данное уравнение в виде Проинтегрируем это уравнение. Учитывая, что неопределенные интегралы находятся с точностью до произвольной постоянной , имеем .

Вычисляя интегралы, получаем Обозначим , где тогда

,

отсюда

.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения есть (при получаем решение ). Найдем постоянную из заданного начального условия . Подставляя и в общее решение, получим , отсюда . Найденное значение подставим в формулу для общего решения. Получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: .

50 - 59. Найти все решения данных дифференциальных уравнений

50. а) б) .

51. а) б) .

52. а) б) .

53. а) б) .

54. а) б) .

55. а) б) .

56. а) б) .

57. а) б) .

58. а) б) .

59. а) б) .

5*. а) б)

Решение задачи 5*

а) Данное уравнение должны рассматривать на множестве значений , не содержащем 0. Запишем уравнение в виде Значит, правая часть зависит только от Такое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным. Для его решения сделаем замену , отсюда имеем Дифференцируя последнее равенство, получаем Подставляя выражения для и в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции , отсюда Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Очевидно, что его решением является . Значит, - решение данного уравнения. Найдем ненулевые решения. Разделяя переменные в уравнении для , имеем

; ,

Полученное решение подставим в формулу и получим, что решениями данного дифференциального уравнения являются функции , где - произвольная постоянная. Добавляя к этому семейству решений функцию , получаем все решения.

б) Данное уравнение должны рассматривать на множестве, не содержащем . В дифференциальное уравнение первого порядка неизвестная функция и ее производная входят линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде , отсюда . Подставляя в данное уравнение выражения для и , получаем:

или

. (1)

Найдем функцию из условия, что коэффициент, стоящий при в (1), равен нулю, то есть,

. (2)

Тогда из (1) получаем, что функция будет удовлетворять уравнению

. (3)

Уравнение (2) есть дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его решение.

, , , , .

(Мы ищем частное решение уравнения (2), поэтому в формулу для решения мы не включили произвольную постоянную.)

Подставляя полученное выражение для в уравнение (3), имеем , отсюда . Тогда

Подставляя найденные выражения для и в равенство , находим общее решение данного дифференциального уравнения

60 - 69. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее

начальным условиям .

60. .

61. .

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

6*. .

Решение задачи 6*

Интегрируя выражение для , находим последовательно и :

;

Итак, получили выражения для и .

Выберем теперь постоянные и так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого подставим в найденные выражения для и Получим систему

Решая ее, находим .

Подставляя эти значения и в найденное выражение для решения , получаем

.

70 - 79. Найти общее решение дифференциального уравнения вида

.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

7*.

Решение задачи 7*

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где - общее решение уравнения без правой части, а - частное решение уравнения с правой частью.

Решим дифференциальное уравнение без правой части . Характеристическим уравнением для него будет квадратное уравнение , которое имеет не равные действительные корни и . Поэтому общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид

.

Правая часть дифференциального уравнения равна . Коэффициент -2, стоящий при в показателе степени, совпадает с одним корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение дифференциального уравнения с правой частью будем искать в виде

.

Тогда

,

.

Подставляя , , в данное дифференциальное уравнение, получаем равенство

.

Сокращая на и приводя подобные члены, получаем . Отсюда находим .

Итак, .

Запишем теперь общее решение данного дифференциального уравнения

.

РЯДЫ

80 - 89. Пользуясь одним из признаков сходимости рядов с положительными членами, установить, сходятся или расходятся данные ряды.

80. а) ,

б) .

81. а) ,

б) .

82. а) ,

б) .

83. а) ,

б) .

84. а) ,

б) .

85. а) ,

б) .

86. a) ,

б) .

87. а) ,

б) .

88. а) ,

б) .

89. а) ,

б) .

8*. а) ,

б) .

_{Решение задачи 8*}

_{а) Для данного ряда с положительными членами воспользуемся признаком Даламбера:}

- если , то ряд сходится;

- если , то ряд расходится.

Выпишем - ый и - ый члены ряда

,

тогда

.

Поскольку, то данный ряд сходится.

б) Для данного ряда с положительными членами

(1)

воспользуемся признаком сравнения: если существует конечный предел и этот предел отличен от нуля, то ряды и ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В качестве второго ряда возьмем ряд

. (2)

Ряд (2) есть обобщенный гармонический ряд с . Обобщенный гармонический ряд сходится, если , и расходится, если . Следовательно, ряд (2) сходится.

- ый член ряда (1) есть , - ый член ряда (2) есть .

.

Предел отличен от нуля, поэтому ряды (1) и (2) ведут себя одинаково. Ряд (2) сходится, следовательно, и данный ряд (1) сходится.

90 - 99. Установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд. Если ряд сходится, выяснить, является ли его сходимость абсолютной или условной.

90. .

91. .

92. .

93. .

94. .

95. .

96. .

97. .

98. .

99. .

9*. .

Решение задачи 9*

Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

, (3)

Если и , то ряд (3) сходится. При этом, если ряд с положительными членами

(4)

сходится, то ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если ряд (4) расходится, а ряд (3) сходится, то ряд (3) называется условно сходящимся.

В нашей задаче требуется исследовать знакочередующийся ряд

.

Условия признака Лейбница выполнены, так как

;

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Составим из данного ряда ряд с положительными членами:

.

Этот ряд является обобщенным гармоническим рядом при . Так как , то ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

100 - 109. Найти область сходимости степенного ряда.

100. .

101. .

102. .

103. .

104. .

105. .

106. .

107. .

108. .

109. .

10*. .

Решение задачи 10*

Степенной ряд абсолютно сходится при , где , и расходится при .

Запишем коэффициент при в нашей задаче .

Тогда .

Вычислим .

.

Итак, данный степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .

Исследуем его сходимость при , то есть при и .

При степенной ряд превращается в ряд с положительными членами

.

Запишем общий член этого ряда .

Воспользуемся признаком сравнения. Для этого возьмем расходящийся гармонический ряд

с общим членом .

Найдем предел отношения -х членов последних двух рядов

.

Предел отличен от нуля, следовательно, последние два ряда одновременно расходятся в силу признака сравнения. Значит, степенной ряд при расходится.

При степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд

.

Для этого ряда выполнены условии признака Лейбница:

и

Следовательно, последний ряд сходится. Соответствующий ему ряд с положительными членами есть степенной ряд при . Так как он расходится, то степенной ряд при сходится условно.

Итак, данный степенной ряд сходится для всех , удовлетворяющих неравенству . Причем внутри этого промежутка ряд сходится абсолютно.

110 - 119. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции .

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

11*.

Решение задачи 11*

Ряд Маклорена для функции имеет вид

Следовательно,

.

Подставляя в полученную формулу вместо , получаем

.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

120 - 129. Вычислить определенный интеграл, пользуясь разложением в ряд подынтегральной функции. Вычислять с тремя десятичными знаками.

120. . 121. .

122. . 123. .

124. . 125. .

126. . 127. .

128. . 129. .

12*. .

Решение задачи 12*

Ряд Маклорена для функции имеет вид

.

Поэтому

,

.

Отбросим члены полученного числового ряда, начиная с . Так как ряд знакочередующийся, то ошибка не превосходит числа , то есть меньше 0, 0002. Получим

130 - 139. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения при условии, что .

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

13*.

Решение задачи 13*

Будем искать решение в виде ряда Маклорена

.

Для этого нам надо определить значения , , ,….

Значение нам задано. Дифференциальное уравнение первого порядка можно рассматривать как формулу для вычисления Подставляя в нее и , находим, что .

Продифференцировав уравнение по переменной получим формулу для вычисления : . Подставляя в нее и , , находим . Аналогичным образом можно найти значения , , …. Подставляя найденные значения в ряд Маклорена, получаем

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Кытманов А. М. Математический анализ: учебное пособие для бакалавров / А. М. Кытманов. - М. : Юрайт, 2014. - 607 с.

2. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин. - М. : Юрайт, 2012. - 909 с.

3. Ильин В. А. Высшая математика: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина. - М.: Проспект, 2012. - 608 с.

4. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - СПб.: Лань, 2010. - 299 с.

Дополнительная

5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2 / Н. С. Пискунов. - М. : Наука, 2001. - 432 с.

6. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. - СПб.: Лань, 2005. - 736 с.

7. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. - М. : Астрель, АСТ, 2008. - 654 с.

8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие для студ. втузов / Г. С. Бараненков [ и др.]; ред. Б. П. Демидович. - М.: Астрель, АСТ, 2004. - 495 с.

9. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. - СПб.: Профессия, 2002. - 432 с.

10. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 471 с.