Програма математичного гуртка для учнів 10, 11 класів

Міністерство освіти і науки України

Луганський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти

Кафедра природничо-наукових дисциплін і методики їх викладання

Програма математичного гуртка

для учнів 10,11 класів

Творчий проект

Музикантової О. К. слухача курсів

підвищення кваліфікації

вчителів математики вчителя ЗШ№1 м. Краснодона

Краснодон

2012

Зміст

№ занять

Теми занять

Кількість годин

Примітки

Тема 1. Діофантові рівняння

2

Презентація №1

Тема 2. Тригонометричні функції

11

1

Числове коло. Функції Y = sinX,

Y = cosX, Y = tgX, Y = ctgX, та їх графіки.

Презентація №2

2

Кускові тригонометричні фунції

3

Рішення тригонометричних рівнянь

Презентація №3

4,5

Функціонально - графічний метод рішення тригонометричних рівнянь

6,7

Метод тригонометричних підстановок.

8,9

Рішення ірраціональних тригонометричних рівнянь.

10,11

Метод розкладання на множники.

Тема 3. Рішення більш складних ірраціогальни рівнянь.

7

1,2

Метод підстновки. Застосування властивості монотонності фунції при

Розв'язання ірраціональних рівнянь.

3,4

Графічний метод рішення ірраціональних рівнянь.

5,6,7

Рішення рівнянь та систем з параметрами.

Презентація №4

Тема 4. Математичні розваги.

4

Презентація №5

Пояснювальна записка

Людство вступає в час постійних змін. Здатність сприймати зміни і творити їх - це найважливіша характеристика способу життя людини в ХХI столітті. Викладання математики має на меті досягти такого рівня розвитку, а також знань, умінь і навичок, який потрібний для їх підготовки для практичної діяльності в умовах сучасного виробництва , для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів ( фізики, інформатики, хімії, біології) і продовження освіти у вищих навчальних закладах. Загальному піднесенню математичної підготовки має допомогти правильна організація позакласної роботи. Роботу математичного гуртка необхідно організовувати відповідно до здібностей дитини,її здатності до навчання і таланту. Математичний гурток допомагає розширенню кругозору учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології. Мета цієї програми - познайомити учнів з основними прийомами і методами міркувань, які відповідають математичному стилю мислення, розкрити зміст деяких спеціальних видів задач, направлених на розвиток логічного , математичного та нестандартного мислення школярів, допомогти оволодіти навичками пошуку міркувань, які ведуть до математичного відкриття, а також розвивати позитивні риси особистості: кмітливість, зосередженість, активне сприйняття знань , наполегливість в доланні труднощів.

Якщо термін «Задача» розуміти ширше (зокрема, включити в число задач і вправи на обчислення, і вправи на доведення тверджень на інше), то можна стверджувати, що вивчення математики здійснюється в процесі розв'язування задач. І так, як в розв'язуванні кожної задачі, є зернина відкриття, то в ньому повинне мати місце здогадка, інтуїція, аргументоване міркування, яке відповідає здоровому глузду.

Для розв'язування таких задач, крім знань із відповідних розділів шкільної математики, знадобляться спостережливість, вміння порівнювати, проводити аналогії, узагальнювати і систематизувати набуті знання, робити висновки і їх обґрунтовувати.

Програма розрахована на 24 години (з листопада по травень по 4 години на місяць). До кожної з тем підібрані такі задачі, які відповідають рівню їх навченості. Задачі різної складності, які розв'язуються на заняттях, дають можливість здійснювати індивідуальний підхід в навчанні, забезпечити активну участь в пошуку розв'язування їх учнів з різним рівнем навченості.

Також треба стимулювати найбільш здібних і обдарованих учнів складати свої задачі на задану тему, що сприятиме удосконаленню їх знань і вмінь.

Тема 1. Діофантові рівняння. Практична частина.

Розв'язування рівнянь у цілих числах є однією з найстародавніших математичних задач. Уж на початку другого століття до нашої ери вавилоняни вміли їх розв'язувати. Найбільшого розвитку ця галузь математики досягла в Стародавній Греції. Основним джерелом для нас є «Арифметика» Діофанта (III ст. до н. е.).

Діофантові рівняння користуються популярністю і сьогодні. Майже на кожній олімпіаді з математики зустрічаються рівняння такого виду. Пропонують ці рівняння і на вступних екзаменах у вищі навчальні заклади. Діофантовими рівняннями називаються алгебраїчні або система алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами з двома або більшою кількістю невідомих, для яких знаходять цілі (або раціональні розв'язки, причому число невідомих повинно бути більшим від числа рівнянь).

1.1 Розв'язати рівняння в натуральних числах.

7х + 3у = 23.

Алгоритм.

1. Виразим одну змінну через іншу:

=

2.Виділим з дробу цілу і дробову частини:

3. Відібрати необхідні числа згідно з умовами

= 2, = 3.

3. Виконаємо перевірку.

7 2+33 =23

Відповідь: (2;3).

1.2 На станцію привезли 420 тон вугілля у вагонах по 15 тон, 20 тон і 25 тон. Скільки і яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

Розв'язання :

Нехай було Х вагонів по 15 тон; У вагонів по 20 тон.

Тоді було (27-Х-У) вагонів по 25 тон.

Складаємо рівняння:

15Х + 20У + 25(27-Х-У) = 420

15Х + 20У + 675 - 25Х-25У = 420

-10Х- 5У = -255

У = 51-2Х

Так як вагонів було всього 27, отже Х = 25, У = 1, Z = 27-25-1 = 1

Відповідь: 25 вагонів по 15 тон, 1 вагон по 20 тон, 1 вагон по 25 тон.

1.3 Розв'язати рівняння в цілих коренях:

7(X + Z + YXZ) = 10 (1 + YZ)

Запишемо пропорцію зібравши зліва змінні:

=

Далі запишемо ліву і праву частини ланцюговими дробами:

= 1 + = 1 +

==x+;

=1+

Отже, х=1,у=2,z=3.

1.4 Великий оркестр демонстрував своє мистецтво на площі. Спочатку музиканти вишикувались у квадрат, а потім перешикувались у прямокутник, причому кількість шеренг збільшилась на 5. Скільки музикантів в оркестри.

Розв'язання:

Нехай було шерег по музикантів, тоді ( + 5) шеренг після перебудови по У музикантів.

Кількість музикантів не змінилася.

² = ( + 5)У, тоді

=20

20 20 = 400 музикантів.

Відповідь:400

Тема II. Тригонометричні функції. Практична частина.

1. Яким числам відповідають точки А, F, Е, К, В, L, С, Р, Д, S, якщо відомо, що Е - середина дуги АВ, L - середина дуги ВС, дуги АF,FK, КВ - рівні.

Відповідь: ; ; ; ; ; .

1.2. Яким числам відповідають точки А,N, K, M, D, L, C, F, B,якщо відомо, що К - середина дуги АД, F - середина дуги СВ, а дуги АN, NM, MD, DL - рівні.

Відповідь: ; ; ; ;

1.3. Знайти точки, які відповідають числам 1;2;3; - 5.

Так,як , а , тому точка 1 розташовується на дузі АВ ближче к В, точки 2 та 3 - на дузі ВС, перша - ближче к В, друга - ближче к С. Щоб знайти -5, треба рухатись з А у від'ємному напрямі, тобто за годинною стрілкою. Якщо дійдемо в цьому напрямі до В (тобто .

Тому -5 знаходиться праворуч точки В.

1.4 Для складання аналітичних записів (подвійних нерівностей) для дуг числового кола, розглянемо для приклада відкриту дугу МР, де М - середина першої чверті числового кола, а Р - середина її другої чверті. Нерівність, що являє собою аналітичну модель дуги, ми складемо у два етапи.

На першому етапі складемо ядро аналітичної записі, для заданої дуги МР отримаємо

На другому етапі складемо загальний запис:

Для дуги РМ треба врахувати, що А (О) лежить в середині дуги, а тому к початку дуги необхідно рухатись у від'ємному напрямі. Отже, ядро аналітичного запису дуги РМ має вигляд:

, а загальний запис буде мати вигляд

.

Рішення цих вправ дозволяє будувати надійний фундамент для успішного засвоєння вивчає мого матеріалу.

2.1 Після повторення властивостей функцій Y = sin X, Y = cos X, Y= tg X, Y = ctg X по можливості, треба розглянути рішення так званих кускових функцій - функцій, які задані різними формулами на різних проміжках.

Збудувати графік функції

2.2 Розв'язати рівняння.

Побудуємо графік . Розглянемо функцію . Якщо , то , тоді . Якщо , то , тоді

Отже,

Графік цієї функції має такий вигляд.

А зараз зобразимо обидва графіка в одній системі координат.

Обидва графіка перетинаються у двох точках, які симетричні відносно прямій . Зрозуміло, що абсциса точки перетину належить інтервалу ,тоді , тоді .

Відповідь: ; .

2.3 Побудувати графіки:

1)

2)

3)

2.4 Розв'язати рівняння

Розв'язання:

Нехай ; .

Будуємо ескізи графіків в одній системі координат.

;

Відповідь: розв'язків немає.

2.5 Розв'язати рівняння.

Розв'язання:

;

Розв'язок лише один, від'ємний.

Перевіримо:

; ; .

Корінь знаходиться в проміжку , але точно знайти його неможливо. Існують способи наближеного обчислення коренів рівнянь, але ми не розглядаємо їх.

2.6 Розв'язати рівняння

Розв'язання. Ескізи графіків та в одній системі координат показують, що ці функції дотикаються при .

Але те, що ми бачимо на графіках, треба довести аналітичним методом.

Нехай , .

Нехай , тоді і .

Кутовий коефіцієнт дотичної до двох кривих у точці (1;1) той самий, тобто ; тобто, дотична спільна, інших точок перетину немає.

Відповідь: 1.

У шкільній програмі багато часу приділено рішенню тригонометричних рівнянь, але зовнішнє тестування показало, що треба учнів знайомити з нестандартними способами, які допоможуть учням успішно засвоїти матеріал та підготуватися до вступних іспитів в вузи.

Метод тригонометричних підстановок застосовують у тих випадках, коли, зокрема, область визначення змінної │x│≤ 1, тоді застосовують підстановку

х = ; t [- ; ], або x = , t [ 0; π].

3.1. Скільки коренів на відрізку [0;1] має рівняння:

8х (2х² - 1) (8х⁴ - 8х² + 1 ) = 1

Розв'язання:

Якщо х [ 0; 1], то існує (і тільки одне) число t із відрізка [ 0; ] таке, що х=. Підставимо х= в вихідне рівняння, одержимо рівняння 8(2)(8 - 8 +1)=1(*). Виконаємо в ньому тотожні перетворення:

8 - 8 +1 = 8( -1) + 1 =

=8(- ) + 1 = - 8 + 1 =

= -2 + 1 = -2 + + =

= - = .

8(2) = 8(2 - - ) =

= 8 ( - ) = 8 .

8 = 1 (**).

Так як = 0 не задовольняє рівняння (**), помножено останнє рівняння на ≠ 0, одержимо

8 = ;

4 = ;

2 = ;

= ;

- ;

2sin cos = 0.

sin = 0; = πn; t = ; n Z

cos = 0; = + πk; t = + , k Z.

Врахуємо, що t [ 0; ], одержимо n = ; ;.

Відповідь: 3 кореня.

3.2.Розвязати рівняння:

= 4

Рoзв'язання

Область визначення рівняння |x|Підстановка

х= Одержимо рівняння =

=4 . │sin t│= cos 3t. Так як t [0;π], то sin t≥0, тоді рівняння має вигляд sin t = cos3 t.

cos3t - sin t = 0;

cos3t - cos( - t) = 0

-2 sin ( 2t - )sin (t + ) = 0.

sin(2t - ) = 0 2t - = πn; t = + , n Z

sin (t + ) = 0 t + πk; t=-Z

t= Z

тоді

t= +

Із одержаних серій розв'язків візьмемо лише ті, де t

t=

Тоді х=

Можна перейти до числових значень х:

= - .

Cos= - cos

Відповідь: х = cos

х = ; х = -.

4.1 Доведіть, що ас + вd якщо a² +b² =c² +d² =1.

Розв'язання . Покладемо: а=.

Тоді ac + bd =cos + sin

4.2.Розв'язати рівняння

= 2х^{2 _}

Розв'язання

Область визначення рівняння х[-1;1].

Підстановка х=cos t;t

=2cos²-1+2cost²t;

= 2+2;

| = + 2 t

=

= + ,

=

=

= 0;

2 + )=0 ;

) = 0; + = Z

t = - + , n Z ;

) = 0; t = +

Відберемо ті значення t, що задовольняють умові t

Одержимо t= Тоді x = .

Відповідь: x= .

4.3 Розв'язати рівняння

+ 7 = 5.

Нехай u = , тоді

12u²- 2u-2=0

6u²-u-1=0

u₁= u₂=-

Отже , ми маємо

+

отже х = 2 arctan

Або tan звідки a 2arctan

Відповідь: 2arctan

-2arctan +2, n

5.1 Розв`яжіть рівняння.

Розв'язання. Хай , тоді

Хай , тоді ;

.

Отже, , виходить, рівняння зводиться к системі рівнянь або к системі рівнянь .

Розв'яжемо перше рівняння:

Розв'яжемо друге рівняння:

Серія вхожа в серію отже, - рішення системи, а також і рівняння.

Відповідь .

5.2 Розв'яжіть рівняння.

Розв'язання

Хай , тоді , та рівняння буде мати такий вигляд.

, де

Так як , а , то перейдемо до системи рівнянь

,

Звідки знаходимо , тобто .

Розв'язавши цю систему, маємо відповідь: ;

5.3 Розв'язати рівняння

на має серію коренів , а цьому відрізки належать три значення: .

Крім цього у відповідь треба включити корені рівняння тобто значення 4 и .

6.1 Розв'язати рівняння

Рішенням нерівності .

Рішенням рівняння .

Якщо , то , та даному вирізу належить тільки значення .

Якщо , то , або ; відрізку належить тільки .

За останніми значеннями параметру корені тригонометричного рівняння лежать поза .

6.2 Розв'язати рівняння

, .

Крім , усі тригонометричного рівняння задовольняють цим умовам.

7.1 Розв'язати рівняння

Рішення.

Знизимо степінь у лівій частині 4 рази:

; ;

Відповідь: .

7.2 Розв'язати рівняння.

.

Рішення.

,

Отже, , або

Відповідь: ; .

8.1 Розв'язати рівняння.

Якщо тоді

Хай , а , тоді

Отже

Відповідь: ; де .

Тема 3. Рішення більш складних ірраціональних рівнянь та нерівностей. Практична частина.

1.1 Розв'яжіть рівняння.

Нехай , , тоді

;

;

;

, звідки

; , так як

не є коренем рівняння.

Отже,

; .

В цьому випадку після піднесення до квадрату, не можуть з'явитися сторонні корені, так як, підкорінне рівно додатному числу.

Відповідь:; .

1.2 Розв'язати рівняння.

Розв'язання. Нехай , тоді

.

Залишається вирішити сукупність двох рівнянь:

; .

Перше рівняння має корні друге рівняння коренів не має.

Відповідь: .

2.1 Розв'язати рівняння.

Розв'язання:

область визначення

зростаюча функція, спадна. Якого виду монотонність функції нічого н можна сказати без додаткового дослідження її за допомогою похідної.

зростаюча функція. Перетворимо ліву частину так:

.

Ця функція - спадна. У рівнянні функції різної монотонності, тому корінь може бути лише один. Перевіримо .

; . Відповідь: .

2.2 Розв'язати рівняння

.

Розв'язання:

Область визначення рівняння . Функція і спадні, тоді сума двох спадних функцій також спадна функція. Функція зростаюча, тому корінь рівняння лише один. Підбором робимо перевірку ; .

Відповідь: 1.

2.3 Розв'язати рівняння.

Розв'язання:

Область визначення рівняння . Функції ; зростаючи, їх сума - функція зростаюча. Функція спадна. Корінь рівняння може бути лише один. Підбором , робимо перевірку.

; .

Відповідь:

3.1 Розв'язати рівняння

.

Розв'язання:

Графіки функцій та перетинаються у двох точках (1;1) і (4;2). Отже, рівняння має два кореня:

Відповідь: 1; 4.

3.2 Побудуйте кускову функцію

, та розв'яжіть рівняння якщо

Розв'язання:

Графіки функцій , та , якщо мають спільну точку (1; 1). Отже, рівняння має один корінь: .

4.1 Розв'язати рівняння.

.

Розв'язання:

область визначення рівняння.

Нехай ; .

Будуємо ескізи графіків та .

=

;

.

Графіки дотикаються при .

Других спільних точок у графіків немає, хоч це слід обґрунтувати аналітично.

Робимо перевірку.

; ; 2 = 2.

Відповідь: .

4.2 Розв'язати рівняння.

Розв'язання:

область визначення рівняння.

;

Будуємо ескізи графіків та в одній системі координат.

;

;

лише при умові .

при

при

Відповідь: розв'язків немає.

5.1 Розв'язати рівняння.

Розв'язання:

Маємо .

Якщо , то 1

Якщо то задовольняє умові , отже є коренем рівняння;

Якщо а, то ₁=1 не задовольняє умові

, тобто стороннім коренем.

Відповідь: якщо , то ₁=1,

якщо , то .

5.2. При яких значеннях параметрах , рівняння ()( має один корінь?

Розв'язання:

Маємо: . Єдиний корінь, по перше, у випадку, коли та, по-друге, коли з двох значень ( ) один є стороннім коренем, а саме . Це можливо, коли не належить області визначення рівняння:

тобто при

Відповідь: або

6.1. Розв'язати рівняння.

Нехай: = Маємо:

;

0

=;

;

;

Тоді ;

Відповідь: :

6.2. Розв'язати рівняння

Розв'язання:

Область визначення рівняння. Піднесемо обидві частини рівняння в області визначення до квадрата

Це рівняння квадратне відносно числа 7.

Нехай

Тоді

.

; ;

не задовольняє області визначення рівняння.

Відповідь: ;

7.1 Розв'язати рівняння

+=

При а ліва частина рівняння не визначена, а при а0 визначена.

1. При а немає коренів.

2. а0 після зведення у квадрат

2=1-2х-2а

Знову зведемо у квадрат та спростимо:

4х²+4(а-1)х+4а²-4а+1=0

=4(1-а)²-4(4а²-4а+1)=4(2а-3а²)

Якщо Д=0 а₁=0 а₂=

Д а

Якщо а, то рівняння немає коренів.

Якщо 0 корені рівні

_1,2=

Перевірка.

Відповідь: якщо ; , то коренів немає; якщо , то

Тема IV. Математичне тестування

Література

1. Бевз В.Г. Історія математики. - Харків:Видавнича група «Основа», 2006.- 176 с.-

(Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 2 (38)).

2. Бевз Г. П. Методи навчання математики. - Харків:Видавнича група « Основа», 2003. - 96 с. - (Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 4).

3. Винниченко Е., Горошко Ю. Розв'язування задач із параметрами за допомогою « GRAN - 1» // Математика в школі. - 2006. - №4. - С. 25-28.

4. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М.: Просвещение, 1990. - 352 с.

5. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. - Киров: АСА, 1994. - 272 с.

6. Губа Л. А. Нетрадиційні уроки математики . - Харків : Видавнича група « Основа», 2005. - 96 с.

7. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения. - М.: Народное образование, 2001. - 128 с.

8. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. - 2004.- № 2.- С. 2 - 5.

9. Евсюк С. Л. Математика . Решение задач повышенной сложности .- Минск: Мисанта, 2003. - 224 с.

10. Епишева О. Б.,Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. - М.: Просвещение, 1990.- 127 с.

11. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 - 11 классов/ Ивлев Б. М., Абрамов А, М,, Дудницын Ю. П. и др.. - М.: Просвещение, 195. - 48 с.

12. Звавич Л. И., Рязановский А. Р., Поташник А. М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10 - 11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики :Выпуск 1. - М.: Новая школа, 1996. - 38 с.

13. Інтерактивні технології на уроках математики / Упорядн. І.С. Маркова. - Вид. група «Основа»,2007. - 128 с. - ( Б-ка журналу «Математика в школах України»; Вип. 3(5) (15 шт. по 7,5 грн.).

14. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник/ автори - укладачі: О.Пометун, Л. Пироженко. - К.: А,П,Н,,2002. - 136 с.

15. Концепція математичної освіти 12 - річної школи. // Математика в школі. - №2. - С. 12 - 17.

16. Кушнір І. Шедеври шкільній математики. - К.: Астарта, 1995. - 575 с.

17.Марко М. Е. Дидактичні ігри на уроках математики. - Ужгород: Авторський навчально-виховний комплекс, 2003. - 141 с.

18. Математика після уроків. Тиждень математики / Упоряд. І. С. Маркова. - Харків: Видавнича група «Основа» , 2005. - 176 с. - (Серія « Бібліотека журналу « Математика в школах України»;вип.. 3 ( 27)).

19. Осинська В. М. Нестандартні методи розв'язання алгебраїчних рівнянь ( на допомогу учням 9 - 11 класів). - Луганськ: Знання, 2006. - 104 с.

20. Шмаков С. А.Игры учащихся - феномен культуры. - М.: Новая школа, 1994. - 240 с.

21. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математики. - М.: Просвещение, 1995. - 222 с.

41