Урок по теме Исследование функции с помощью производной

Сухомлинова Ольга Игоревна

Тема: Исследование функции с помощью производной

группа: СЭЗС-2012-2

Эпиграфы к уроку:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

И я научусь

Конфуций

Цель урока: отработать умения учащихся систематизировать, обобщать при исследовании функции ее свойства, применять знания производной при построении графиков функции

Задачи урока:

Образовательные:

1) Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях

2. Проанализировать уровень подготовки группы и каждого учащегося по данной теме

3. Расширить кругозор учащихся, пополнить новыми данными знания математического характера.

Развивающие:

1) Развитие математической речи.

2) Развитие логического мышления.

3) Умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.

4) Развитие навыков самоконтроля при выполнении тестирования.

Воспитательные:

1) Воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

2) Воспитание чувства коллективизма, взаимопомощи, сопереживания при работе в группе.

3) Воспитывать чувство гордости и уважения к ученым, внесшим вклад в развитие математики.

4) Формирование графической культуры.

Тип урока: урок обобщения изученного материала.

Методы: проблемно-поисковый, индуктивный, метод групповой работы, самостоятельной работы.

Оборудование: ноутбуки, проектор, карточки с заданиями.

Структура урока:

1. Организационный момент (5 мин)

2.Активизация опорных знаний учащихся (12 мин)

3.Тестирование. (12 мин)

4.Обобщение изученного материала. (20 мин)

5.Работа в группах. (25 мин)

6.Подведение итогов урока. (4 мин)

7.Домашнее задание. (2 мин)

Ход урока:

1. Орг.момент (5 мин)

Добрый день! Тема нашего урока «Исследование функции с помощью производной» (слайды )

На предыдущих уроках мы изучали производные и их применение. Нам пришлось работать с такими терминами, как производная, приращение функции, предел. Когда же и кем введены эти привычные теперь для нас термины и обозначения?

Термин «производная» является буквальным переводом на русский язык французского слова derivee, которое ввел в 1797г. Ж. Лагранж (1736-1813), он же ввел современные обозначения y, f. Такое название отражает смысл понятия: функция f(х) происходит из f(х), является производной от f(х).

И. Ньютон (1643 - 1727) называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой. И. Ньютон ввел термин «предел». Обозначение lim - сокращение латинского слова limes (межа, граница). Уменьшая, например, Х, мы устремляем значения f/x к «границе» f(хо).

ЛЕЙБНИЦ (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716), немецкий философ, математик, физик, языковед. С 1676 на службе у ганноверских герцогов. Основатель и президент (с 1700) Бранденбургского научного общества (позднее - Берлинская АН). По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России.

Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как df/dx. Это обозначение также часто встречается в современной литературе.

Замечу также, что слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum - наименьший.

Повторю еще раз: на предыдущих уроках мы изучали производные и их применение. Мы показали с вами, что с помощью производной можно установить много важных свойств функций, таких как возрастание, убывание, решали задачи, в которых производная помогла решить уравнение, найти множество значений функции.

Цель нашего урока - проанализировать задания по этой теме и выяснить, насколько мы - вся группа в целом и каждый учащийся в отдельности, готовы к их выполнении и выполнению контрольной работы по данной теме.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашнего задания: выявление факта выполнения домашнего задания у всех учащихся, обнаружение причин невыполнения домашнего задания отдельными учащимися, устранение типичных ошибок.

Устный опрос:

Теоретическая часть.

1. Необходимое условие возрастания и убывания функции

2. Достаточное условие возрастания функции

3. Достаточное условие убывания функции

4. Необходимое условие экстремума. (теорема Ферма)

5. Признак максимума функции.

6. Признак минимума функции.

7. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции

Преподаватель анализирует компетентность учащихся в теоретических вопросах темы.

Результаты представляются в виде диаграммы. Например, (слайд)

1

5

2

5

3

5

4

3

5

4

6

4

7

4

Практическая часть.

1. Какова область определения функции?

2. Найдите область значений функции .

3. В каких точках график функции пересекает ось абсцисс?

4. Является ли данная функция чётной или нечётной?

5. Может ли функция обращаться в нуль?

6. Найдите производную функции .

7.

Знак производной меняется по схеме, изображенной на рис.

Определите, на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.

Найдите точки экстремума.

8. Даны функции

и графики их производных. Для каждой функции укажите график ее производной.

9. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум, имеет перегиб (график на слайде).

III. Компьютерное тестирование (тесты в программе Tester)

Итак, тестовая работа. Учтите, время ограничено, на работу отводится 12 минут. Если вы выполните 5, 6 заданий получаете оценку «5»; 3, 4 - «4»;1, 2-«3».

Вариант I

1. Найдите производную функции у = (7х+4)⁵.

1. у^/ = 35 (7x+4)⁴; 2) y^/ = 12 (7x+4)⁴;

2. y^/ = 5 (7x+4)⁴; 4) y^/ = 20 (7x+4)⁴.

2. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = - 2.

1) -96; 2) 96; 3) -88; 4) -104.

3. Найдите точку максимума функции у=х³-3х²+1

1. 0; 2) 2; 3) 1; 4) - 3.

4. Найти минимум функции у=х²-4.

1. 0; 2) -4; 3) 4; 4) 2.

5. На рисунке изображен график производной функции y=f'(x), заданной на отрезке -2;9. Исследуйте функцию на экстремумы.

Укажите точку максимума функции у=f(x)

1) 2; 2) 6; 3) 4; 4) 7.

6. Найдите наибольшее значение функции f(x)=4x-x⁴ на отрезке [-1;2]

1. -5; 2) 5; 3) 24; 4) 3.

Вариант II

1. Найдите производную функции у = (2х - 3)¹²

1) у^/ = 12 (2х - 3)¹¹; 2) у^/ = -36 (2х - 3)¹¹;

3) у^/ = 24 (2х - 3)¹¹; 4) у^/ = 14 (2х - 3)¹¹.

2. Найдите значение производной функции у = х^{3 .} lnx точке х₀ = е².

1. y^/ = 3е⁴; 2) y^/ = 6е⁴ + е²;

3); y/ = 7е4 4) y^/ = 8е⁴.

3. Найдите точку максимума функции у = 4х - х⁴

1. 0; 2) -1; 3) 1; 4) -2.

4. Найдите максимум функции у = 4х - х²

1. 4; 2) 2; 3) -2; 4) -12.

5. На рисунке изображен график производной функции у = f ^'(x), заданной на отрезке [-2; 9]. Исследуйте функцию на экстремумы.

Укажите количество промежутков убывания у = f(x).

1. 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

6. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 2х³ - 6х² на отрезке [-1; 1]

1. -8; 2) 0; 3) 2; 4) 4.

Вариант III

1. Вычислите производную функции y=9x²-cosx

1. y/ = 18x-sinx; 3) y^/ = 18x+sinx;

2. y^/ = 3x²-sinx; 4) y^/ = 3x²+sinx.

2. Найдите значение производной функции y = в точке x₀ =0.

1) 0,25; 2) 0,12; 3) - 5; 4) - 3.

3. Найти точки максимума функции y=7+12x-6x²

1) 4; 2) -1; 3) 1; 4) 13.

4. Найдите минимум функции y=x²-2x-3

1) 1; 2) -1; 3) -4; 4) 0.

5. На рисунке изображен график производной функции y=f'(x), заданной на отрезке -2;9. Исследуйте функцию на монотонность.

Найдите длину промежутка убывания функции y=f(x)

1) 5; 2) 4; 3) 2; 4) 3.

6. Найдите наименьшее значение функции f(x)=x³ -3x² на отрезке [1;3]

1) -4; 2) 2; 3) 0; 4) -6.

4.Обобщение изученного материала

Преподаватель напоминает учащимся общую схему исследования функции и приводит пример.

Общая схема исследования функций:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

5. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

6. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

Показать пример:Исследовать и построить график функции

5.Работа в группах.

Группа делится на 4 подгруппы. Учащимся раздаются карточки.

Перед ними ставится следующая цель: необходимо использовать предоставленное время для того, чтобы все члены группы до конца уяснили суть данных заданий и отработали алгоритм их выполнения. Можно консультироваться с товарищами, получить консультацию у учителя.

Задания для первой группы:

Исследовать и построить график функции:

а); б) f(x)= в)

Задания для второй группы:

Исследовать и построить график функции:

а) б) _в)

Задания для третьей группы:

Исследовать и построить график функции:

а) б) _в)

Задания для четвертой группы:

Исследовать и построить график функции:

а) у = 10 - 2x² б) _в)

_{После выполнения заданий группами графики функций проверяются с помощью программы SMathStudioPC.}

6.Подведение итогов.

Подвести итоги усвоения материала по уровням понимания учащимися, выделив учащихся со структурным пониманием, т.е. тех, кто работал по алгоритму; тех, кто решал по образцу; и тех, кто может применить свои знания в новых условиях. Выставляется отметка учащимя за опрос, за тестирование, за работу в группах. Сообщается учащимся, кому и на какие вопросы необходимо обратить внимание, при подготовке к контрольной работе.

7.Домашнее задание.

1. № 300 (а, б).

2. Нестандартное задание: найдите функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.

Список литературы:

1. Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике». М: Высшая школа, 1997г.

2. Н.В. Богомолов «Сборник дидактических заданий по математике». М: Высшая школа, 1997г.

3. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов». М: Наука, 1991г.

4. А.К. Кутепов, А.Т. Рубанов «Сборник задач по алгебре и элементарным функциям» М: Наука, 1990г.

5. А.Н. Колмогоров, Абрамов А.Н. Алгебра и начала анализа. М: Просвещение, 1994

.