Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

113

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияДепартамент образования и науки Брянской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Брянский профессионально-педагогический колледж»




РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ


раздела дисциплины «Математика»

для студентов 2 курса

специальности «Технология машиностроения»


Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Разработала : Плющева А.В.



Брянск, 2015

Аннотация

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи обучающимся колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по разделам курса математики.

Эта работа требует упорства и умения читать, понимать прочитанное и применять его практически. В этом заключается суть умения работать с учебными пособиями.

Некоторые практические советы.

Прежде всего необходимо ознакомиться с содержанием того или иного раздела или темы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.

Учитесь самоконтролю.

Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается - понимание никогда; повторение - важнейшее средство, предотвращающее забывание.

Обязательно отвечайте на вопросы самоконтроля.

О решении задач

Решение задач является лучшим способом закрепления материала. При этом следует придерживаться следующих советов:

1. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами;

2.Составьте план решения;

3.Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное и т.д.

Требования к выполнению и оформлению зачетной работы.

1. По каждой теме в конце даются задания для контроля знаний полученных обучающимися. Результаты выполнения данных заданий позволяют преподавателю оценить и зачесть объем материала, изученного студентом самостоятельно.

2.После изучения темы или раздела студент может получить консультацию преподавателя.

3.Зачетная работа должна обучающимися выполняться самостоятельно, аккуратно

и полно.

Содержание

1. Предел функции. Вычисление пределов функции……………………………..4

2. Производная и ее приложения……………………………………………….…11

3. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования………………………...22

4. Определенный интеграл……………………………………………………..….27

5. Дифференциальные уравнения………………………………………………....34

6. Матрицы. Действия с матрицами……………………………………………....44

7. Определитель матрицы……………………………………………………….….51

8. Системы линейных уравнений и методы их решений…………………..…….58

9. Случайная величина и закон её распределения…………………………….….78

10. Комплексные числа……………………………………………………………. 84

11. Литература………………………………………………………………….……96




Тема: Предел функции

Цели

Обучающийся должен уметь:

− вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

− раскрывать неопределенности.

Обучающийся должен знать:

− место понятия предела в математическом анализе;

− понятие предела функции в точке и на бесконечности;

− теоремы о пределах;

− понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции;

− виды неопределенностей, способы их раскрытия;

− замечательные пределы.

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в медицинской практике. Пределы являются основным средством в построении теории рядов.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у= f(x) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой точки х0.

Определение 1: Число А называется пределом функции f(x) в точке х0 (или при х, стремящемся к х0), если для каждого ε>0 найдется такое число δ>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x- х0|<δ, выполняется неравенство | f(x)-А|<ε.

В этом случае пишут Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или f(x)→А при х→ х0

Геометрически существование данного предела Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения означает, что каково бы ни было ε>0, найдется такое число δ>0, что для всех х, заключенных между х0+ δ и х0 - δ (кроме, быть может, самой точки х0), график функции у= f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у=А+ ε и у=А- ε (рис. 1)

у

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

х

Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х0.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при х Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения а , если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Функция f(x) называется бесконечно большой при х Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения а , если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая. И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.

При вычислении пределов непрерывных функций применяют теоремы о пределах:

1) Предел постоянной величины есть постоянная.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Предел суммы (разности) переменных, имеющих пределы, равен сумме (разности) их пределов.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Предел произведения переменных, имеющих пределы, равен произведению их пределов.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Следствия

а) Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Предел степени переменной, имеющей предел, равен степени её предела.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4) Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному их пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Вычисление пределов

Пример 1: Вычислить Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения достаточно вместо переменной Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения поставить значение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , к которому она стремится, выполнить соответствующие действия.

Ответ: 49

Пример2: Найти предел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вывод: если в функцию Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения подставить значение x=3, то получим тот же результат.

Ответ:2

Поэтому для нахождения предела непрерывной функции при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения берут значения функции в этой точке.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Замечания:

1) Если предел делителя равен нулю, а предел делимого если число, отличное от нуля, то предел дроби не существует, т.е. дробь стремится к бесконечности.

Пример3: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Если предел делимого существует, а делитель стремится к бесконечности, то предел равен нулю.

Пример 4: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Делитель стремится к Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , значит, обратное ему число стремится к бесконечно малому числу, т.е. 0. Следовательно, произведение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ:0

Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения, не имеющие конкретного смысла:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Их называют неопределенностями.

Пример5: Вычислите предел: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

При подстановке x=3 получаем неопределенность Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Преобразуем дробь:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , а только стремится к 3, то можно сократить на (x-3):

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Ответ:6

Пример 6: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , при а) x0=1; б) х0=2; в) х0=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного. Тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Здесь предел знаменателя равен нулю:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Непосредственное применение теорем о пределах приводит к неопределенному выражению вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители, и сократим дробь на множитель (x - 2)

Тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

в) Чтобы найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , разделим числитель и знаменатель на х2.

При стремлении х к Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , числитель и знаменатель стремятся к Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. имеется неопределенность вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Для раскрытия неопределенности почленно разделим числитель и знаменатель на х с наибольшим показателем степени (х2), применим свойства пределов:

получим: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; б) 1; в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 7: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , то теорему о пределе частного применять нельзя (неопределенность Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ).

Преобразуем данное выражение. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пусть функция f(x) имеет вид: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , где

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- отличные от нуля действительные коэффициенты

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- неотрицательные числа.

Наибольшее из чисел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называют степенью числителя дроби, а наибольшее из чисел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - степенью знаменателя.

Замечания:

1) Если степень числителя ниже степени знаменателя, то Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 8: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

т.к. степень числителя равна 3, а степень знаменателя - 4.

Ответ: 0

2) Если степени равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов

Пример 9: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Если степень числителя выше степени знаменателя, то Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 10:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, т.к. степень числителя равна 4, а степень знаменателя - 3.

Ответ:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

т. е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Замечательные пределы

При вычислении пределов функций нередко используют эквивалентность бесконечно малых, а также два замечательных предела.

Две бесконечно малые α и β называются эквивалентными, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пусть u(x)→0 при х→х0 тогда

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

- первый замечательный предел

т.е. sin x и х при хМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения0 являются эквивалентными бесконечно малыми и обозначают sin x ~ x.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

- второй замечательный предел

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- основание натурального логарифма.

Пример 11:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Вычислить предел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Для раскрытия неопределенности Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения воспользуемся тригонометрическим тождеством, свойствами дробей и первым замечательным пределом

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 12:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Вычислить предел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения

Найдите пределы функций:

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

7) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

10) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

11) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

12) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

13) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

14) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

15) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

16) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

17) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

18) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

19) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

20) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

21) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

22) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

23) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

24) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

25) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Контроль знаний № 1

Вычислить пределы:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Тема: Производная и ее приложения.

Понятие производной - одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Цели

Обучающийся должен уметь:

− вычислять производные функций по определению и таблице производных;

− применять теоремы о производных;

− решать задачи с использованием производных.

Обучающийся должен знать:

− определение производной функции;

− таблицу производных;

− теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции;

− геометрический и физический смысл производной функции.

− области практического применения производной функции.

Определение 1: Производной функции f(x) в точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется предел отношения приращения функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения к приращению аргумента Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Пример 1: Найдите производную функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , пользуясь определением.

Решение.

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4) Найдем производную: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: y'=3

Определение 2: Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной

Определение 3: Производная функции f(x) в точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е.

f '(Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения)=k=tg α.

в этом заключается геометрический смысл производной.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- уравнение касательной

Определение 4: Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

V(t)=s'(t)=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

в этом заключается физический (механический) смысл производной.

Правила дифференцирования.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Основные формулы дифференцирования

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 2: Найти производную функции у=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияОтвет: y'=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 3: Найти производную функции y=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: y'= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Сложная функция.

Понятие сложной функции широко используется в математике. Со сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов. Например, вычисляя значение функции f(x)=lg(x2 - х + 2), хМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияR, в некоторой точке х0, мы поступаем следующим образом: сначала находим значение квадратного трехчлена g(x)= x2 - х + 2 в точке х0 т.е. у0=g(x0), а затем находим значение его логарифма, т. е. h(y0)=lgy0=lg g(x0) . Итак, f(xa) = h[g(xa)]. Если считать x0 переменной, то получим функцию f(x)=h[g(x)] от переменной х. Функция f(x)=h[g(x)] и есть сложная функция, составленная из функций g и h.

Пусть заданы две функции у=g(x) и z=h(y), причем область определения функции h содержит множество значении функции g. Функция, заданная формулой z = h[g(x)], называетcя сложной функцией, составленной из функций g и h, или суперпозицией функций g и h.

Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций.

Теорема: Пусть функция у=g(x) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , имеет производную в точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , а функция z=h(y) определена на интервале, содержащим множество значений функции f(x), и имеет производную в точке у0=g(x0). Тогда сложная функция z = h[g(x)], имеет производную в точке х0, которая вычисляется по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 4: Найти производную функции: f(x)=(x2+3x+10)2

Решение: Будем рассматривать данную функцию как сложную, а именно, как композицию функций u(x) и y(u) , где y(u)=u2 и u(x)=x2+3x+10 . Тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 5: Найти производную функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вторая производная

Определение 5: Второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вторая производная функции обозначается одним из символов:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таким образом Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияили Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Механический смысл второй производной

Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е. a(t)=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 6: Найти производную четвертого порядка для функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Очевидно, что и все последующие производные будут равны нулю.

Исследование функции методами дифференциального исчисления

Признаки возрастания и убывания функции

Если производная функции f(x) в данном промежутке значений х положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Пример 7: Найти интервалы монотонности функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияфункция возрастает на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияфункция убывает на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Признаки максимума и минимума

1.Первый признак.

(Пусть f(x)-дифференцируема в окрестности точкиМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения)

Если производная Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения при переходе через точку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения меняет знак плюса на минус, то Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения является точкой максимума;

если производная Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения при переходе через точку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения меняет знак минуса на плюс, то Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения является точкой минимума;

если производная при переходе через точку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения не меняет знак, то в точке

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияфункция не имеет экстремума.

2.Второй признак.

Если функция f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , причем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то в точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения функция

f(x) имеет максимум, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и минимум, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 8: Найти точки максимума и минимума функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  1. Находим производную: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

  2. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  3. Находим вторую производную: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  4. Определяем знак второй производной:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Следовательно, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - точка максимума Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - точка минимума

  1. Вычисляем максимальное и минимальное значения функции:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.

1.Если на интервале (а;b) дважды дифференцируемая функция у=f(x), xМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Определение 6: . Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

2.Если функция у=f(x), xМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, дважды дифференцируема на интервале(а;b) и при переходе через Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения вторая производная Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения является точкой перегиба.

Первое правило нахождения максимума и минимума функции у=f(x),

1. Найти производную Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

2. Приравняв её к нулю, отыскать корни полученного уравнения; пусть эти корни( критические значения аргумента) будут Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и т.д.

3. Расположив значенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,… в порядке возрастания их величин, подставить в производную любое число, меньшее Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения а затем подставить любое число, большееМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения но меньшееМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения если при этом знак производной окажется:

1) сначала +, затем -, функция при х=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеет максимум,

2) сначала - , затем +, функция при х=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеет максимум,

3) в обоих случаях одинаковый, то при х=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияфункция не имеет ни максимума, ни минимума.

Таким же образом определить знак Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения для х<Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и для х>Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, но для х<Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроениязнак Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения уже определен, остается найти ее знак в промежутке значений х между Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и по чередованию знаковМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения установить, будет ли функция при х=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того ни другого и т.д.

4. Найти максимальные и минимальные значения функции, т.е. вычислить Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и т.д.

Пример 9: Исследовать на выпуклость график функцииМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и найти точки перегиба

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Точка перегиба Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

План исследования функции с помощью производной и построение графика:

1) Найдите область определения и область значений функции,

2) Установите, является ли функция чётной или нечётной, (найдите y=f(-x). Если f(-x) = f(x) , то функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат;

если f(-x) = - f(x), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат).

3) Исследовать функцию на периодичность (функция периодична, если существует такое число Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x))

4) Исследуйте функцию на монотонность.

5) Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках.

6) Найдите интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7) Найдите нули функции и её значения при x=0 . (Точки пересечения с осями координат).

8) Постройте график.

Пример 10: Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

  1. Область определения функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.к. функция f(x) непрерывна как сумма непрерывных функций Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

  2. Найдем f(-x). Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Значит, функция не является четной и не является нечетной.

3. Функция не периодична, т.к. не существует такого числа Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x).

4. Найдем первую производную:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции:

В точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеем минимум, так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . В точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеем максимум, так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Определим знак первой производной. На интервале Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Для этого найдем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Значит, на промежутке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , функция возрастает.

На интервале Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - функция убывает. На интервале Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , так как Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - функция возрастает.

6. Найдем вторую производную: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения-

Найдем значения в экстремальных точках.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Определим направление выпуклости графика функций:

Поскольку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , то при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - функция выпукла вверх, а при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - функция выпукла вниз. Следовательно, в точке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеется перегиб. Найдем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

По результатам составим таблицу:


X

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

-0,22

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

0.67

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

1,55

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

+

0

-

-

-

0

+

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

-

-

-

0

+

+

+

y


2,11


0,74


-0,63


Вывод


max



точка перегиба


min


7. Определим точки пересечения с осью Ох и Оу.

Пусть х=0, тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пусть теперь y=0, т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Чтобы решить кубическое уравнение, разложим правую часть на множители:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , откуда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Значит, точки пересечения с осями координат (0;2); (-1;0); (1;0);(2;0).

8. Строим график функции:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Правило Лопиталя

Теорема (Теорема Лопиталя). Пусть функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения дифференцируемы в некоторой окрестности точки Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x) 0 для всех хU(х0), Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Тогда если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения f(x) = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения g(x) = 0 (или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения f(x) = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения g(x) = ) и существует Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , то существует и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , причем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Если отношениеМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в свою очередь представляет собой неопределенность вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , то правило Лопиталя можно применять второй раз и т. д.

Пример 11: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =

= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 12: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 13: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения xlnx.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения


1. Найдите производные функций, пользуясь определением:

а)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

д) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


2. Найдите производные функций:

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

7)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

10) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

11) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

12) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

13)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

14)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

15)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

17) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

11)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4. Продифференцировать функции

1

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


7

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

10

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5. Найдите значение производной функции:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6. Найти промежутки монотонности для функции

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

7. Исследуйте на экстремум следующие функции:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8. Проведите исследование функции и постройте ее график

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9. Решите задачи:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияб) Зависимость температуры T тела от времени t задана уравнением Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=10 c?

в)Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Найдите скорость растворения вещества.

Контроль знаний № 2.

  1. Найти производные функций:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

__________________________________________________________________

3. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

___________________________________________________________________

4. Найти максимум и минимум функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

5. Исследовать и построить график функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Тема: Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

Неопределенный интеграл - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).

Цели

Обучающийся должен уметь:

− находить первообразные функции, неопределенный интеграл;

− применять метод непосредственного интегрирования и замены переменной.

Обучающийся должен знать:

− определение понятия первообразной, неопределенного интеграла;

− свойства неопределенного интеграла;

− таблицу интегралов;

− методы интегрирования;

− область применения неопределенного интеграла.

Как известно, в дифференциальном исчислении решается задача о нахождении производной или дифференциала заданной функции. Однако на практике часто приходится решать обратную задачу: по заданной производной или по заданному дифференциалу находить саму функцию. Для решения этой задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. Функцию, восстанавливаемую по заданной производной или дифференциалу, называют первообразной.

Для дифференциального исчисления: дана функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , требуется найти ее производную.

Для интегрального исчисления: дана функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , необходимо найти такую функцию Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , или, что то же самое, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 1: Найти первообразную для функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Решение: Функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения является первообразной для Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Но в качестве первообразной может быть функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , где С - произвольная константа.

Для функции f(x) существует множество первообразных F(x)+c.

Определение 2. Множество всех первообразных F(x)+c для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таким образом Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =F(x) +c.

Функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется подынтегральной функцией,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- подынтегральным выражением,

х - переменной интегрирования,

символ Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - знаком неопределенного интеграла,

С - постоянной интегрирования.

Пример 2: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , т.к. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Основные свойства неопределенного интеграла.


1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таблица основных интегралов.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличных интегралов.

Пример 3: Найти интеграл Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2.Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Пример 4: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Сделаем подстановку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Найдем дифференциал обеих частей подстановки: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения откуда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Следовательно,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3.Интегрирование по частям.

Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию. При вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения представляется в виде произведения множителей u и dv; при этом dx обязательно входит в dv. В результате получается, что заданный интеграл находят по частям:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Рекомендации для выбора функций u и dv.

1. При вычислении интегралов вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения за функцию принимается непосредственно Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

2. При вычислении интегралов вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , за функцию u принимается многочлен Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

3. При вычислении интегралов вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причем оба раза за u выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая.

Пример 5: Найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Положим u=3x-1; dv=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, тогда du=3dx, v=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Следовательно, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения.

1. Найдите интеграл и проверьте результат дифференцированием

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2.Найдите интегралы

1

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

16) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

17) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

18) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

19) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

20) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

21) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

22) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

23) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

24) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2

10

3

11

4

12

5

13

6

14

7

15

8

3. Найдите интегралы, используя замену переменной

1

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


9

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

17

18

19

20

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2


10

3


11

4


12

5


13

6


14

7

15

8

16

4. Найдите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям


1

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


6

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


2


7



3


8


4

9


5

10

5. Используя указанные подстановки, найти интегралы:

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Контроль знаний № 3

1.Доказать, что функция F(х)=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения есть первообразная для функции f =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения на промежутке Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

________________________________________________________

2. Найти первообразную для функции f(x)=3sin x-2cos x.

_________________________________________________________

3. Для функции f(x)=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения найти первообразную, график которой проходит через точку М(1; -1).

4. Вычислить неопределенный интегралы

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

_____________________________________________________________

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

______________________________________________________________

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Тема: Определенный интеграл.

Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- Вычислять определенный интеграл.

- Решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

Обучающийся должен знать:

- Понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница.

- Свойства определенного интеграла.

- Геометрический смысл определенного интеграла.

- Области применения определенного интеграла.

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой множество всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливается формулой Ньютона-Лейбница:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

где:

функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - подынтегральная функция,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- подынтегральное выражение,

х - переменная интегрирования,

символ Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - знак интеграла,

F(x)- любая первообразная от функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- знак вставки,

а - нижний предел интегрирования,

b - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b, т.е. S= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


у

х

а

b

f(х)


Свойства определенного интеграла.

1. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Все формулы и методы неопределенного интегрирования распространяются и на определенное интегрирование.

1.Непосредственное интегрирование

Пример1 : Вычислите определенный интеграл Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 2: Вычислите определенный интеграл Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2.Интегрирование подстановкой

Пример 3: Вычислите определенный интеграл методом подстановкиМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 4: Вычислите Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3.Интегрирование по частям

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 5: Вычислите интеграл Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , используя формулу интегрирования по частям

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Приложения определенных интегралов

Вычисление площади криволинейной трапеции

Если f(x)≥0 при х[a;b] ,то

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вычисление объема тела вращения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пусть криволинейная трапеция D c границей y= f(x), х = а и х = b (a<b), y=0 вращается вокруг оси ОХ. Объем тела вращения вычисляется по формуле

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 6:

х

у

1

3

0

Вычислите площадь, ограниченную параболой Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , прямыми Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и осью абсцисс.

Искомая площадь выражается интегралом

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения



Пример 7: Найти площадь фигуры ограниченной линиями у=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и х+у=3

На рисунке представлена фигура, площадь которой требуется найти.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

При решении квадратного уравнения системы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , получаем два корня x1=2 и x2=1.

Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=3-x, (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).

Теперь можно вычислить площадь фигуры:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: 4,5 кв.ед.

Упражнения.


1. Вычислите определенный интеграл


1)




2)



3)



4)




5)



6)




7)



8)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

10) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

11) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

12) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

13) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

14) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

15) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Найдите функцию по ее дифференциалу

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Вычислите определенный интеграл с помощью подстановки


1)



2)



3)




4)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5)




6)




7)



8)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


4. Вычислите определенный интеграл методом интегрирования по частям

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

д) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

е) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

ж) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

з) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

и) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

к) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

л) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения




Контроль знаний №4

1.Вычислить:

1).Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения_______________________________________________________

2). Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения _____________________________________________________

3). Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ___________________________________________________

4). Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ___________________________________________________

2 .Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

_________________________________________________________________________

3.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=2х+1, х=0, х=2, у=0.


Тема: Дифференциальные уравнения.


В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;

- находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;

- составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Обучающийся должен знать:

- понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и частного решения;

- понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения

- понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;

Определение 1: Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию y и ее производные Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Решить дифференциальное уравнение - значит найти такую функцию Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.

Определение 2: Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Пример: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - уравнение первого порядка

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- уравнение третьего порядка.

При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:

  • Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.

  • Полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Определение 3: Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение - совокупностью интегральных кривых

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения(зависит от С)

Пример 1: Найти решение задачи Коши: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - общее решение

Найдем С, подставив Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в общее решение:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Следовательно, решение задачи Коши: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Виды дифференциальных уравнений и их решение

а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Определение 4: Уравнение вида f(x)= φ(x), где f(x) и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения φ(x) - данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием. Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.

Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения :

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Интегрируем обе части уравнения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Данное выражение получилось в результате интегрирования.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Это и есть общее решение данного уравнения. Подставив в общее решение начальные условия, находим С из предыдущего уравнения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставим С в общее решение и получим частное решение данного уравнения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 5: Дифференциальное уравнение первого порядка Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется уравнением с разделяющимися переменными.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными используется следующий алгоритм:

  1. Выразить производную функции через дифференциалы dx и dy Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  2. Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку

  3. разделить переменные (если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения )

  4. проинтегрировать обе части полученного равенства по Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения соответственно и найти общее решение., т.е. написать уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  5. решить это уравнение относительно y (если это возможно) и получить общее решение в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Если это сделать нельзя, то говорят, что уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения неявно задает общее решение.

  1. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.

Пример 3: Найти общее решение дифференциального уравнения: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Заменим Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Умножим все члены равенства на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения dx : Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Сгруппируем все члены, содержащие Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения dy и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения dx , и запишем полученные выражения в разных частях равенства (1+x)dy=-(1+y)dx

Разделим обе части равенства на (1+x) и (1+y) т.е. разделим переменные

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проинтегрируем обе части равенства Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Воспользовавшись теоремой о логарифмах преобразуем правую часть равенства

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

и свойством логарифмов: если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Находим у и получаем общее решение дифференциального уравнения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 6: Дифференциальное уравнение первого порядка Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

называется линейным, если имеет следующий вид: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - заданные функции от Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

При решении таких уравнений применяют метод Бернулли, который заключается в следующем:

  • Приводят уравнение к виду Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - функции переменной Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или постоянные величины

  • Используя подстановку Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и подставляют это выражение в уравнение.

  • Группируют члены уравнения, выносят одну из функций Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

  • Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

  • Записывают общее решение, подставив выражение для найденных функций Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в равенство Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  • Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных

условий и подставляют в общее решение.

Заменив в равенстве Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения найденными значениями, получим решение: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Разделим все члены уравнения на cosx

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставим выражение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в уравнение

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вынесем общий множитель Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения u за скобки

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Приравняем к нулю выражение в скобках

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Разделим переменные и найдем общее решение

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, учитывая это перепишем уравнение в виде
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Заменим u' Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, найдем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и проинтегрируем обе части уравнения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставим значения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в равенство Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Находим общее решение дифференциального уравнения
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


г) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


Определение 7: Функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется однородной функцией к-того измерения (к-той степени), если при любом Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеет место тождество: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 5: Функция Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - однородная функция третьей степени:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Определение 8: Дифференциальное уравнение первого порядка Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

называется однородным, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - однородная функция нулевого измерения.

Его можно представить в виде:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - новая неизвестная функция.

Пример 6: Найдите решение уравнения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проверим, являются ли функции Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - однородными функциями одинакового измерения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- второго измерения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- второго измерения.

Вывод: данное уравнение является однородным.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставим Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в уравнение:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Разделяем переменные (Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения):

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Возвращаемся к подстановке:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

д) Дифференциальные уравнения второго порядка


Определение 9: Уравнения, содержащие производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияимеет вид: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Такое уравнение решается двукратным интегрированием:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияили Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функции , которую обозначим через F(х). Таким образом y'=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияили Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Интегрируем еще раз: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияили Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Данное выражение представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Следовательно, решение дифференциальных уравнений вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения осуществляется по следующему плану:

  • Интегрируют обе части уравнения и находят Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

  • Интегрируя Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения находят общее решение, содержащее две произвольные постоянные.

Если требуется найти частное решение, то определяют Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения из начальных условий и подставляют их в общее решение.

Пример 7: Найти общее решение уравнения: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение: Пусть Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

е) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - постоянные величины. Решение таких дифференциальных уравнений производится по следующему плану:

  • Записывают дифференциальное уравнение в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

  • Составляют его характеристическое уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

  • Вычисляют дискриминант Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения:

а) если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то уравнение имеет два разных корня Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , а общее решение записывается в виде: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то уравнение имеет два равных корня Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , а общее решение записывается в виде: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то уравнение имеет комплексные корни Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, а общее решение записывается в виде: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 8: Найти частное решение дифференциального уравнения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Составим характеристическое уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения16 D>0 Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения 2 корня Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- общее решение дифференциального уравнения

Составление дифференциальных уравнений по условию задачи

Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. Дифференциальное уравнение задачи составляют по ее условию и в зависимости от этого условия оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используют геометрический, физический или механический смысл производной. Решение таких задач необходимо выполнять по следующему плану:

  • Из переменных величин выделяют функцию и аргумент, устанавливают физический смысл функции и ее производной.

  • Используя известные сведения из физики, механики, электротехники и других дисциплин, выражают зависимость между функцией, ее производной и аргументом, т.е. составляют дифференциальное уравнение.

  • Определяют, к какому типу относится составленное уравнение и находят его общее решение.

  • Если в задаче даны начальные условия, то получается частное решение уравнения.

Пример 9: Рассмотрим применение дифференциального уравнения на примере решения конкретной задачи:

Концентрация лекарственного вещества в крови человека уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент времени. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.

Данным соотношением связана скорость изменения концентрации с концентрацией Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в любой момент времени. Знак минус поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени. Получилось дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставим в последнее равенство концентрацию лекарственного вещества при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и найдем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроениямг/л

Из формулы при Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения найдем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Подставили в формулу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения значения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

и получим закон изменения концентрации

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения.

1. Проверьте, является ли функция y=f(x) решением дифференциального уравнения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Найдите общие решения уравнений:

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Найдите общие решения уравнений:

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

д) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

е) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

ж) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

з) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

и) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Найдите частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.

5.

1)


2)



3)


4)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Контроль знаний № 5

1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

2. Решить дифференциальное уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

3. Найдите решение задачи Коши: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

4. Решите однородное дифференциальное уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

5. Решите линейные дифференциальные уравнения: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

6

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

7

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

Тема: Матрицы. Действия с матрицами.

Теория матриц и определителей имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Например, общие затраты предприятия, стоимость единицы сырья и т.д. описываются линейными алгебраическими выражениями, которые анализируются и решаются с помощью матриц и определителей. Также теория матриц и определителей широко применяется в математическом прогнозировании цен и т.д.

Цель:

Обучающийся должен уметь:

- производить операции над матрицами

Обучающийся должен знать:

- определение матрицы, виды матриц

Матрицы. Основные понятия

Определение 1: В общем случае матрицей размерности mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

А(mn) = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами А, В, С,…

Определение 2:Числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называются элементами матрицы, первый индекс Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - номер строки, второй индекс j - номер столбца, на пересечении которых находится элементМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- квадратная матрица второго порядка,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- квадратная матрица третьего порядка.

Определение 3: В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a11, a22, a33,.., ann , называется главной диагональю матрицы.

Определение 4: Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Определение 5: Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Большой буквой Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

Определение 6: Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры mn и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны aik = bik.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

1. Суммой двух матриц Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения одинаковой размерности mn называется матрица Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1: А+В = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ;

Пример 2: матрицы а) А =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и В =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

б)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример 4: Найти разность матриц

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2. Произведением матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения на число называется матрица А, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число .

Пример 5: А= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Вычислить 3∙А

3Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Умножение матриц. Рассмотрим умножение матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения на матрицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Подчеркнем, что число столбцов матрицы А, равно числу строк матрицы В. Отличие произведения А(33) В(32) заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А(33) В(32) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D - это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

А(33) В(32) = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Приведем еще несколько примеров умножения матриц.

Пример 6:

Покажем, что АЕ = ЕА = А, где А - квадратная матрица произвольного порядка, Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Действительно, пусть А - квадратная матрица третьего порядка, тогда

АЕ =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = А.

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

Пример 7:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияПример 8: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 9: А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, В =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Найти АВ и ВА.

АВ =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения;

ВА =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 10:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 11: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример 12: Транспонировать матрицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

DT - транспонированная матрица

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или штрихом справа вверху.

Пример13 (пошаговый): Транспонировать матрицу

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения

1. Пусть А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, В=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Найдите матрицу С=3А+5В

2. Даны матрицы В и С. Найдите В+С, С-2В, -5В+4С, С-В

а) В=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, С=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) В=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, С=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

в) В=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, С=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, г) В=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, С=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3. Найдите произведения матриц:

Задания

Задания

1)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

5)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

2)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

6)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

3)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

7)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

4)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

8)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Контроль знаний № 6

1. Пусть А= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , В= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Найдите матрицу С=А-2В _________________________________________________________________

2. Найдите C+D, C-D, -2D, - Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения C, если С=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, D=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

_________________________________________________________________

3. Найдите произведения матриц:

а) А= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , В= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

_________________________________________________________________

Тема: Определитель матрицы.

Цели

Обучающийся должен уметь:

-вычислять определители второго, третьего, четвертого порядков.

Обучающийся должен знать:

-определение определителя;

-методы вычисления определителей.

Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим матрицу второго порядка А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Определение 1: Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению

= detA= detМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = a11 a22 - a12 a21.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения + Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения + Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения -Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения-Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения-Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

= a11a22a33 + a12 a23a31 + a21 a32 a13 - a31 a22 a13 - a21 a12 a33 - a32 a23 a11.

По схеме правила треугольника определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника - со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).

Пример 1:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= (-3)5 - 2(-4) = -15+8 = -7.

Пример 2:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= (-1)4(-3)+ (-2)02+315-542-3(-2)(-3) -10(-1) = 12 +15 - 40 -18 = - 31.

Ещё один способ вычисления определителя: решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

!!! Внимание! Матрица знаков - это понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя. В ней знаки получаются следующим образом (-1)1+1=+1 (1+1 элемент стоит в первой строке первого столбца), (-1)1+2=-1 (1+2 элемент стоит в первой строке второго столбца)и т.д.

Пример 3:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, миноров Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор - маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2) Затем записываем сам элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется минором данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5) Затем записываем второй элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки.

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8) Записываем третий элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях(3 строки и 3столбца) ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

В следующем примере раскрыт определитель по четвертому столбцу:

Пример 4:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Свойства определителей


Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения -

- разложение определителя по элементам первой строки;

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения -

- разложение определителя по элементам второго столбца.

Как видим, с помощью такого разложения вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Пример 5: Вычислить определитель Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Решение: Разложим определитель по элементам первого столбца, получим

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= 8Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- 0Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения+0Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= 8(2+4) = 48.

Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Этим свойством можно воспользоваться для "создания" нулей в определителе и последующего применения свойства 1.

Пример 6: Вычислить определитель Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Решение

К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (-3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=14Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=1429 = 406.

Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

Это следует из свойства 1.

Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Свойство 6. Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.

Доказательство следует из свойства 1; при перестановке двух строк матрицы знак определителя должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = - detA detA=0.

Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

Рассмотрим это свойство для определителя третьего порядка. Пусть элементы третьей строки имеют общий множитель . Тогда по свойству 7 выполняется равенство

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).

Упражнения

1. Вычислите определитель второго порядка

a) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , д) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , е) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , ж) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

2. Вычислите определитель третьего порядка

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

д) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , е) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , ж) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , з) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

3. Решите уравнения и неравенства

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

4. Вычислите определитель четвертого порядка

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .


Контроль знаний № 7


1. Вычислите определитель второго порядка

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

2. Вычислите определитель третьего порядка

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

________________________________________________________________

3. Вычислите определитель четвертого порядка

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

______________________________________________________________

Тема: Системы линейных уравнений и методы их решений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводятся к решению систем линейных уравнений.

Цели

Обучающийся должен уметь:

-решать системы линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы.

Обучающийся должен знать:

Определение 1: Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (1)

Здесь Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - количество уравнений, а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - количество неизвестных. x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn - коэффициенты системы - и b1, b2, … bm - свободные члены - предполагаются известными.

Определение 2: Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе -неоднородной.

Определение 3: Решение системы (1) - совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Определение 4: Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

или:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Здесь Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это матрица системы, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - столбец неизвестных, а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - столбец свободных членов. Если к матрице Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Матричные обозначения в методе Гаусса

Пример 1: Решить систему уравнений

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение

Выпишем матрицу системы и через разделительные черточки припишем к ней столбец правых частей уравнений.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Такая матрица называется расширенной матрицей системы.

Со строками и столбцами расширенной матрицы можно производить преобразования, которые равносильны сложению уравнений системы, перестановке местами слагаемых в уравнениях и другим действиям, преобразующим данную систему к эквивалентной. Такими преобразованиями являются:

1) перестановка местами строк матрицы (эквивалентно перестановке местами уравнений системы);

2) перестановка местами столбцов "левой части" матрицы (эквивалентно перестановке слагаемых в уравнениях);

3) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число, неравное нулю (эквивалентно умножению уравнения на некоторое число);

4) прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки (эквивалентно сложению двух уравнений системы).

Рассмотрим последовательность применения этих операций.

1. Процесс исключения удобно начать, когда ведущим элементом является единица. Для этого поменяем местами вторую строку с первой:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

2. Оставляя первую строку без изменений, к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на -3, а к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на - 4, расширенная матрица преобразуется к виду:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

3. Ведущим элементом второго шага является -1 во второй строке и втором столбце. Первую и вторую строку оставим без изменений, а к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на -5:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

4. Теперь вторую строку умножим на -1, а третью - разделим на -11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

которому соответствует преобразованная система уравнений:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Последнее уравнение дает х3 = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х1= -1.

Таким образом, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - решение системы.

Пример 2: Решить систему линейных уравнений АХ = В методом Гаусса:

А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; В =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Решение

Для того чтобы на каждом шаге исключения ведущим элементом была единица, при решении этой системы производится перестановка столбцов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , поэтому сверху над столбцами указываются неизвестные, содержащиеся в этом столбце:

х1 х2 х3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Поменяем местами первый и второй столбцы матрицы

х2 х1 х3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 4, а к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на -2, получим

х2 х1 х3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Поменяем местами вторую строку с третьей

х2 х1 х3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

х2 х1 х3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

которому соответствует преобразованная система уравнений:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Последнее уравнение дает х3 = 1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х1 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х2 = 1. Решение системы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .


Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Обозначим определитель матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения : =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Умножим на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х1 первый столбец, получим равенство

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Прибавим к элементам первого столбца элементы второго столбца, умноженные на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , и элементы третьего столбца, умноженные на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

По свойству 2 определитель не изменится.

х1 =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

х1 =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 1 .

Здесь 1 обозначен последний определитель.

Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем

х1 = 1 ;

х2 = 2 ;

х3 = 3 .

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, 1 =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, 2=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

3 =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

1) Если ≠ 0, то система имеет единственное решение х1 = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; х2 = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; х3 = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

формулы Крамера

2) = 0, а хотя бы один из определителей 1 , 2 или 3 не равен нулю. В этом случае система несовместна.

3) = 1 = 2 = 3 =0.

Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3: В качестве примера рассмотрим применение метода Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение

Переставим слагаемые в первом уравнении:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вычислим определители.

= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = -16 - 9 = -25; х = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 4-54 = -50;

y = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = -72 - 3 = -75.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 2; y = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 3.

Таким образом, решение системы (2; 3).

Пример 4: Решить систему Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения методом Крамера.

Решение

Вычислим определители

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

- Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 15 + 1 + 9 + 10 = 35;

- Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= -20 + 6 - 12 + 40 = 14;

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

- Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = -120 - 4 - 18 - 40 = - 182;

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроенияМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

- Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 24-18 + 8 + 72 - 4 - 12 = 70.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения;

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения;

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таким образом, решение системы (0,4; -5,2; 2).


Решение системы с помощью обратной матрицы

Обратная матрица

Определение 5: Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если и только если выполняются равенства Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Рассмотрим квадратную матрицу А . Обратную матрицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения можно найти по следующей формуле:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - определитель матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Начнем с простейшего случая - матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример 6: Найти обратную матрицу для матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

!!! В том случае, если определитель матрицы равен нулю - обратной матрицы не существует!

В рассматриваемом примере, как выяснилось, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то есть в данном случае Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Как найти его минор?

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Рассматриваем следующий элемент матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Готово.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица миноров соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Это просто. В матрице миноров нужно поменять знаки у двух чисел:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Именно у этих чисел, которые обведены в кружок!

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

5) Ответ.

Вспоминаем формулу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Необходимо выполнить матричное умножение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения либо Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проверка:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Переходим к более распространенному на практике случаю - матрице «три на три».

Пример 7: Найти обратную матрицу для матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

1) Находим определитель матрицы.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, а значит, всё нормально - обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Матрица миноров имеет размерность «три на три» Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, и нам нужно найти девять чисел.

Подробно рассмотрим пару миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, однообразный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления - нахождение еще одного минора в картинках:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица миноров соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

То, что все миноры получились отрицательными - чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

В матрице миноров необходимо сменить знаки строго у следующих элементов:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

В данном случае:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

5) Ответ:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проверка:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Метод обратной матрицы - это, по существу, частный случай матричного уравнения

Для изучения данного метода необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.

Пример 8 Решить систему с матричным методом

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение: Запишем систему в матричной форме: АХ=b, гдеМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формулеМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и выполнить матричное умножение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Обратную матрицу найдем по формуле:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Сначала разбираемся с определителем:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

!!! Внимание! Если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

!!! Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра - это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра - это номер столбца, в котором находится данный элемент:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения- матрица миноров соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица алгебраических дополнений.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

!!! Ни в коем случае не вносим Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот - упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Матричные уравнения

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы Х, которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.

Пример 9: Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Как решить матричное уравнение?

Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Причёсываем правую часть:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Выразим Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, для этого обе части уравнения умножим на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на -2:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Как выполнить проверку?

Подставим найденное значение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Последним действием вынесли «тройку» из матрицы.

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%-ам, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения:

Распространённый алгоритм решения матричного уравнения:

На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения либо Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где А,В - известные матрицы.

Как привести уравнение к виду Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения? Все действия вы видели в Примере №1 - это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание.

На втором шаге необходимо выразить Х или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно Х.

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, умножим обе его части на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

!!! Внимание! Произведение матриц не коммутативно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

По свойству матричных операций:Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, поэтому:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Единичную матрицу можно убрать

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Чего и требовалось достичь. Матрица А-1 нам не известна.

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Умножаем обе части уравнения на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения справа:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Согласно свойству матричных операций Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, получаем:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Единичную матрицу убираем:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Готово. Матрица Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения нам опять же не известна.

Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения либо в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении.

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, и, собственно, получаем ответ.

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна - необходимо подставить найденное значение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:


Решение матричного уравнения вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 10: Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение: Уравнение уже имеет вид Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения умножим обе его части на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения слева:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения» - без всяких пояснений и вывода формулы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Из условия известны матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, однако, обратной матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения мы не знаем. Придётся её найти:

Обратную матрицу найдем по формуле:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица миноров соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица алгебраических дополнений.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проверка: Подставим найденное значение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в левую часть исходного уравнения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Решение матричного уравнения вида Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 11:

Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение: Уравнение имеет готовый вид Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, что позволяет сразу же заняться «иксом».

Для разрешения уравнения относительно Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения умножим обе его части на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения справа:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения».

Матрица В известна. Берём матрицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица миноров соответствующих элементов матрицы Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - матрица алгебраических дополнений.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица «едет во втором вагоне»:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Проверка: Подставим найденное значение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в левую часть исходного уравнения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Упражнения


1. Найти обратную матрицу к матрице А

а) А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, б) А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

2. Решите уравнение АХ = В , если

А

В

1)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

2)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

3)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

2. Решите уравнение ХА = В , если

А

В

1)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

2)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

3)

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения,

3. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса.

а)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4. Решите системы линейных уравнений методом Крамера.


Система уравнений

Система уравнений

1

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

3

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

2

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

4

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

5. Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

а) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , б) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Контроль знаний № 8


1. Найти обратную матрицу к матрице А

А=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

______________________________________________________________________

2. Решить систему уравнений: 1) методом Крамера, 2) методом Гаусса, 3) с помощью обратной матрицы

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

___________________________________________________________________________

3. Решить систему уравнений

г) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

_________________________________________________________________________

Тема: Случайная величина и закон её распределения.

Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. В результате применения статистического метода мы получаем оценку вероятности того или иного предположения. Кроме того каждый статистический метод основан на собственной математической модели и результат его правильный настолько, насколько эта модель соответствует действительности.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- составить вариационный, выборочный, статистический ряд,

- применять формулы для подсчета выборочных характеристик случайной величины,

- оценивать выборку по подсчитанным характеристикам.

Обучающийся должен знать:

- понятие случайной величины,

- закон распределения случайной величины,

- понятие дискретной случайной величины,

- понятие генеральной и выборочной совокупности, вариационного ряда, статистического распределения, выборочного распределения,

- формулы выборочных характеристик случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение)

Определение 1: Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначение случайной величины: X, Y, Z

Значения случайной величины х1, х2, …у1, у2, …

Пример 1: Опыт 1: Бросаем игральную кость. Случайная величина - количество выпадающих очков Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Опыт 2: Человек стреляет до первого попадания в цель. Случайная величина - количество выстрелов.

Опыт 3: Человек стреляет по мишени. Случайная величина - расстояние от центра до пробоины.

Определение 2: Дискретной случайной величиной называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Примеры дискретной случайной величины:

− количество пациентов с диагнозом «грипп»,

− значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости

− порядковые значения текущего месяца

Определение 3: Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Возникает при измерениях.

Примеры непрерывных случайных величин:

− расстояние между населенными пунктами;

− показатели крови (холестерин, гемоглобин, сахар…).

В дальнейшем будем рассматривать дискретные случайные величины.

Чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указать множество ее значений, но и указать, как часто случайная величина принимает то или иное значение. Любое правило, которое устанавливает связь между значением случайной величины и вероятностью ее появления называется законом распределения случайной величины.

Для дискретных случайных величин закон распределения записывается в виде таблицы:

Х

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Р

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Причем Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 2: Игральная кость бросается один раз. Случайная величина х - число выпавших очков.

Х

1

2

3

4

5

6

Р

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Одним из основных методов обработки статистических данных является выборочный метод. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию.

Определение 4:

Генеральная статистическая совокупность - совокупность всех исследуемых объектов (бесконечно большая величина).

Выборочная совокупность или выборка - множество объектов, случайно ото-бранных из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N - объем генеральной совокупности.

n - объем выборки.

Варианта хi - значения случайной величины.

Частота встречаемости ni -- означает, сколько раз встретилось значение хi.

Вариационный ряд - выборка, представляющая собой неубывающую числовую последовательность.

Статистическое распределение (статистический ряд)записывают в виде таблицы:

xi

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

xk

ni

n1

n2

n3

nk

xi - варианты,

ni - частота встречаемости варианты

Для графического изображения статистического дискретного ряда на координатной плоскости откладываются точки (xi; ni)и соединяются отрезками, образуя ломаную - полигон частот.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Выборочное распределение - записывают в виде таблицы

xi

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

xk

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

n=n1+n2+…+nk - объем выборки

Основные числовые характеристики случайной величины


Размах выборки ( Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ) - разность между максимальным и минимальным значением вариант.

Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.

Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.

В ряде с четным числом наблюдений за медиану принимается полусумма в центре находящихся двух величин.

Мода (Мо) - это чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется как варианта с наибольшим количеством частот.

Пример 3: Статистическое распределение случайной величины представлено в таблице

xi

1

2

5

6

8

10

12

13

15

ni

2

3

3

5

6

4

4

2

1

Вычислите объем выборки и размах Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , моду Mо и медиану Me.

Объем выборки - сумма ni, n=2+3+3+5+6+4+4+2+1=30

Размах выборки: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = 15-1=14

Модой является варианта х=8, Mо=8

Медианой является полусумма 15 и 16 вариант: х1516=8, значит Me=8

Математическое ожидание (выборочное среднее) - среднее арифметическое выборки.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений случайной величины Х на их вероятности:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 4: Найти математическое ожидание случайной величины Х - числа очков, выпадающих на игральной кости.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Х

1

2

3

4

5

6

Р

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Решение. Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример показывает, что математическое ожидание может не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

Смысл математического ожидания: около этого числа колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной Х в большинстве серий опытов.

Дисперсия («рассеяние») случайной величины - мера разброса случайной вели- чины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Чем больше разброс, тем больше дисперсия.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Среднее квадратическое отклонение

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

При помощи квадратического отклонения можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант.

Применение среднего квадратического отклонения дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности

Пример 5: Пусть случайные величины Х и У это число очков, выбиваемых при одном выстреле первым и вторым стрелком соответственно:

Х

1

2

3


У

1

2

3

Р

0,3

0,2

0,5


р

0,1

0,6

0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию случайных величин Х и У, а также среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вывод: в среднем стрелки выбивают по 2 очка.

По формуле Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения :

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

-1,2

-0,2

0,8

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

1,44

0,04

0,64


Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

-1,2

-0,2

0,8

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

1,44

0,04

0,64

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вывод: у первого стрелка рассеивание больше, чем у второго.

Чем меньше дисперсия, тем лучше значение случайной величины Х.

Упражнения.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для выборки с данным статистическим распределением:

Х

2

5

7

10


У

1

3

6

26

Р

16

12

8

14


Р

8

40

10

2

2. В итоге пяти измерений длины стержня были получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти среднюю длину стержня, дисперсию ошибок прибора, среднее квадратическое отклонение.

3. Даны результаты измерения роста (в см) группы из 100 студентов. Рост: [154;158], [158;162], [162;166], [166;170], [170;174], [174;178], [178;182]. Соответствующее число студентов: 10, 14, 26, 28, 12, 8, 2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.

4. Проведите исследования и для каждой группы найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Оцените результаты.

а) Соберите данные о росте студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на 2 группы: юноши и девушки.

б) Соберите данные о весе студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: проживающих в общежитии и проживающих дома.

в) Соберите данные о результатах ЕГЭ по математике студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: закончившие школы г. Брянска и закончившие школы области.

г) Соберите данные среди студентов вашей группы о частоте пульса после 10 приседаний, разбив результаты на 2 группы: курящих и некурящих.

5.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

6. В результате измерений были получены следующие результаты: 3,2; 3,4; 3,3; 3,5; 3,6; 3,7; 3,4; 3,3; 3,4; 3,7; 3,2. Вычислите выборочное среднее.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

8. Найдите выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее, квадратическое отклонение, запишите выборочное распределение, если совокупность задана таблицей распределения:

хi

2

4

5

6

ni

8

9

10

3

9. Решите задачу:

На приемных экзаменах 45 студентов получили следующие баллы

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 42 39 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 39 40 41 38 44 40 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

а) Постройте таблицу статистического распределения

б) Постройте таблицу выборочного распределения

в) Найдите размах выборки

г) Найдите моду и медиану выборки

д) Вычислите математическое ожидание

е) Вычислите дисперсию

ж) Вычислите среднее квадратическое отклонение

Контроль знаний № 9

1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (в В):

227; 219; 223; 220; 222; 218; 219; 222; 221; 226; 226; 218; 220; 220; 221; 225; 224; 217; 219; 220. Постройте статистическое распределение.

____________________________________________________________________________

2. По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию D(X).

хi

-2

-1

0

2

3

pi

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

__________________________________________________________________________

3. Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 вычислите числовые характеристики случайной величины: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

_________________________________________________________________________

Тема: Комплексные числа.

Известно, что при некоторых значениях коэффициентов a, b, c квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0 имеет два корня, а при некоторых - ни одного. Например, требуется решить уравнение: x2+1=0

Очевидно, что решение имеет вид: x=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . А такого действительного числа не существует. Т.е. уравнение не имеет действительных корней. Поэтому говорят, что некоторые квадратные уравнения нельзя решить в действительных числах. То же можно сказать и о кубических уравнениях вида: ax3+bx2+cx+d=0 при некоторых сочетаниях коэффициентов a, b, c, d они имеют три действительных корня, при других коэффициентах - лишь один действительный корень.

Будем считать, что уравнение любой степени относительно x разрешимо и имеет число корней равное степени x. Но для этого требуется иметь возможность извлекать корень четной степени не только из положительного числа, но и из отрицательного.

Цели

Обучающийся должен уметь:

переводить комплексные числа из одной формы представления в другую;

совершать действия над комплексными числами;

решать уравнения с комплексными корнями.

Обучающийся должен знать:

понятие комплексного числа;

представление комплексного числа в алгебраической форме;

действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме;

представление комплексного числа в тригонометрической форме;

действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме;

представление комплексного числа в показательной форме;

действия над комплексными числами, представленными в показательной форме.

Алгебраическая форма комплексного числа


Определение 1: Комплексным числом называется выражение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ,

в котором Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (действительные числа), а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения такое число, квадрат которого равен -1,

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.


Число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называют мнимой единицей.

Выражение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называют алгебраической формой комплексного числа, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - действительной частью, а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - действительное число. Если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , тогда Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - такое число называют чисто мнимым

Два комплексных числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения считаются равными, если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения у = 0. Понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел не существуют.

Комплексное число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется сопряженным по отношению к комплексному числу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Например, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Чтобы всё было понятнее, комплексным числам можно дать геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Как известно, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С. Заметим, что множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел RМетодическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения C. Поэтому на чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - действительная ось
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Пример 1: Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

В числах Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения нужно сложить их действительные и мнимые части

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.


Аналогично производится вычитание Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения + Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 2: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения =Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения;

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

2) Умножение:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.


Формула умножения комплексных чисел (6.4) получается, если числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения перемножить как два многочлена и учесть, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).

Пример 3:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения= Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 4: В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Здесь использована формула сокращенного умножения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, в которой принято Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу


Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.


3) Деление: На предыдущей формуле основано построение формулы деления комплексных чисел:


Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.

Пример 5: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения . Найти: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Решение

1) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ;

2) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения = Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 6: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения , найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Решение

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения=

=Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Ответ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Пример 7: Дано комплексное число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения).

Приём - умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. В знаменателе уже есть Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то есть на Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения


Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости. Эта точка будет иметь координаты Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

y

Im z


z = x + i y

y

0 00O

x

x

Re z



Определение 2: Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Попросту говоря, модуль - это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения стандартно обозначают: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Данная формула справедлива для любых значений a и b.

!!! Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Определение 3: Аргументом комплексного числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения называется угол Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения между положительной полуосью действительной оси Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Аргумент не определён для единственного числа: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения стандартно обозначают: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения или Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

!!! Внимание: Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 8: Представить в тригонометрической форме комплексные числа: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Выполним чертёж:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Запомним намертво, модуль - длина (которая всегда неотрицательна), аргумент - угол.

Пример 9: Представим в тригонометрической форме число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Формальный расчет по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Ясно, как день, обратное проверочное действие: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 10: Представим в тригонометрической форме число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Формальный расчет по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 11: Представим в тригонометрической форме число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Формальный расчет по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Проверка: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 12: И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Формальный расчет по формуле: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (270 градусов),

и, соответственно: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Проверка: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

!!! Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения можно записать в показательной форме:
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, где Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это модуль комплексного числа, а Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Пример13 : Число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения записать в показательной форме.

Решение: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Пример14 : Число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения в показательной форме будет выглядеть так: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Пример 15 : Записать в показательной форме число: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

И т.д.

Единственный совет - не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.


Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 16: Возвести в квадрат комплексное число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то при его возведении в натуральную степень Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения справедлива формула:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Аналогично для показательной формы: если Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, то:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Просто до безобразия.

Пример 17: Дано комплексное число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, найти Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме.

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Тогда, по формуле Муавра:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Для удобства делаем дробь правильной: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения. Надеюсь всем понятно, что Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - ни в коем случае не ошибка.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень - это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 18: Возвести в степень комплексные числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Извлечение корней из комплексных чисел


Пример 19: Вычислить Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень - можно! А точнее, два корня:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения? Выполним проверку:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения
Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.


Квадратное уравнение с комплексными корнями

Пример 20: Решить квадратное уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Вычислим дискриминант: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

По известным формулам получаем два корня:

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения - сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения имеет два сопряженных комплексных корня: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

Упражнения

1. На комплексной плоскости постройте точки

а) z=2+2i, б) z=i, в) z=-i+1, г) z=-i.

2.Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и постройте их на комплексной плоскости

а) z=3-2i, б) z=5i, в) z=6, г) z=i.

3. Даны числа z1=2+3i и z2=1-2i. Найдите числа: 1)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 2)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 3)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 4) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 5) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 6) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

4. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

1) -1; 2) - Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 3) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 4) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 5) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

5. Возвести в степень комплексные числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения, ( Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения)30, Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

6. Найти корни уравнения Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и разложить квадратный двучлен на множители.

7.Решите квадратные уравнения

а) x2+x+1=0; б) x2-x+1=0;

в) x2+1=0 ; г) 2x2+3=0

8. Решите уравнение: Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

Контроль знаний №10


1. Выполните действия над комплексными числами Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения :

1)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 2)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 3)Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения; 4) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 5) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения ; 6) Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

_________________________________________________________________

2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

_________________________________________________________________

3. Представить в алгебраической форме комплексное число Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

___________________________________________________________________

4. Найдите Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

___________________________________________________________________

5. Вычислить Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения .

___________________________________________________________________

6. Числа представьте в тригонометрической форме Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения и Методическое пособие по математике по специальности Технология машиностроения

___________________________________________________________________

7. Решите квадратное уравнение 2x2-6x+9=0

___________________________________________________________________



Рекомендуемая литература

1. Баврин И.И., В.Л. Матросов Высшая математика -М., ВЛАДОС,2009.

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах -М.: Физматлит,2010.

3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов -М.: Наука, 1990

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Росткнига,2013

5. Высшая математика. Учебное пособие для пединститутов/Под ред. Г.Н.Яковлева. - М, 2007.

6. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений/Под ред. В.А.Гусева. - 2-е изд, стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007.

7. Дадаян А.А. Математика: Учебник.-М.: ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003

8. Дорофеева А.В. Высшая математика. -М.: Дрофа, 2003.

9. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. - М.: Издательский центр «Академия», 2008.

10. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2006.

11. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая математика, 2006

12. Щипачев В.С. Основы высшей математики - М.: Высшая школа, 2011.


© 2010-2022