I Χ Городская научно - практическая конференция школьников г. Искитима

Секция математика

«Лист Мёбиуса

Авторы: Стафиевских Полина и

Ващенко Виктория, ученицы

МБОУООШ №6, 6 класс,

г.Искитим

Научный руководитель: Николаева

Марина Владимировна

учитель

математики

Контактный телефон руководителя:

2-34-62

г. Искитим, 2014

Оглавление

Введение

Тема исследования листа Мёбиуса, является актуальной, так как в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела ветвь геометрии - топология. На основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно тем учащимся, у которых недостаточно развито пространственное воображение.

Мы выбрали тему листа Мёбиуса, потому что считаем, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение и просто интересна для ученика. В своей работе мы рассмотрели ленту Мёбиуса и её применение в науке, технике. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи и т.д. Самое интересное когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Нас так заинтересовал этот лист, что мы стали искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых вам расскажем в своей работе.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Гипотеза: односторонние поверхности существуют.

Цель работы: изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие

Задачи:
-раскрыть понятие топологии;
-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;
- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;
- проверить опытно-экспериментальным путём свойства листа Мёбиуса.

-показать использование листа Мёбиуса
Методы исследования:

- работа с литературой;

-поиск информации во всемирной сети Интернет;

Изучение математики за страницами учебника расширяет знания в области экспериментальной математики, развивает навык самостоятельной работы при проведении исследования, формирует ключевые компетентности учащихся. Для изучения данной проблемы мы использовали ресурсы Интернета, нам помогали учитель и родители.

1.Основная часть

1.1 Что такое топология

Тополо́гия - раздел математики, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов: не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. С точки зрения топологии, кружка и бублик неотличимы. Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны. Примером топологических объектов являются: буквы Л и П, Я и Д. Можно считать, что топология изучает фигуры, сделанные из пластилина, т.к. фигуры из этого материала можно растягивать, сжимать, без разрывов и склеиваний, и получать топологически равные. Примерами топологически равных фигур в жизни могут быть шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид, затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди "носик". Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическ фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные операции - разорвем материал, а потом склеим его в другом месте.Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса. Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения этой новой науки. Насочень заинтересовала эта тема. Мы решила углубить свои познания в этой области.

1.2 Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.Август Фердинанд Мёбиусгоды жизни 1790-1868г.г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса - всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) - две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Началосовременной наукитопологии положили исследования листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии

1.3 Эксперименты с листом Мёбиусом

№

опыта

Описание опыта

Результат

1.

Лист Мёбиуса разрезала по середине вдоль.

Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот.(см. Приложение1)

2.

Лист Мёбиуса шириной

5см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края.

Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 3см; второе кольцо ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота, с двумя границами. (см. Приложение2)

3.

Лист Мёбиуса шириной

5см разрезала вдоль на расстоянии 2см от края.

Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо - лист Мёбиуса шириной 1см, длина равна длине исходного; второе кольцо - ширина 2см, длина в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота, с двумя границами. (см. Приложение3)

4

листа Мёбиуса разрезали на 3 полоски

Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Эти кольца сцеплены друг с другом.(см. Приложение4)

5

Разрезаем ленту с двумя перекрутами посередине

Получаем 2 одинаковых кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом. (см. Приложение 5)

6

Разрезаем ленту с двумя перекрутами на одну треть от края

Получаем два кольца с двумя перекрутами, одно кольцо в 2 раза тоньше другого.(см. Приложение 6)

7

Разрезаем ленту с тремя полуоборотами (540°) пополам

Получается Лист Мебиуса, который закручен узлом.(см. Приложение 7)

8

Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз.

Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, Теперь разрежем двойной слой склеенной ленты по ее средней линии.

Получатся три кольца, сцепленные попарно. (см. Приложение 8)

9

Проверяем свойство односторонности (неориентируемости)

Закрашиваем лист Мёбиуса с одной стороны. В итоге он окрашивается весь (см. Приложение 9)

Выводы: При разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, которых в два раза меньше, чем количество полосок. При разрезании листа Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцеплённых с маленьким.

1.4 Топологические свойства листа Мёбиуса

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

1. Односторонность (неориентируемость) - топологическое свойство листа Мебиуса

2. Непрерывность - на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена

с любой другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная.

С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата,

потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая

непрерывность.

3. Двусвязность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. чь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат односвязен, кольцо и оправа от очков - двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры - многосвязны. А лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота - связность снова равна двум.

4. Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение. Лист Мёбиуса это неориентируемая поверхность.

5. «Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей - четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

1.5 Древняя головоломка о трёх колодцах и трёх домах

В ряд стоят 3 дома, напротив каждого из них есть по колодцу. Нужно от каждого дома сделать тропинки к каждому из колодцев так, что бы никакие 2 тропинки не пересекались. Не так давно была доказана неразрешимость этой задачи.

Но задача эта не разрешима на плоскости, на бумаге. Разве мы с вами живем на бумаге? Головоломка имеет решение, и в этом нам поможет лист Мебиуса. Соедините соответствующие буквы, и получите ответ на головоломку. Это и доказывает что хроматический номер листа Мёбиуса равен 6.

(см. Приложение 10)

1.6 Топологические фигуры своими руками

Мы решили сами сделать несколько топологических фигур. Вот что у нас получилось. (см. Приложение 11)

1.7 Практическое применение листа Мёбиуса

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.

∞ Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

∞ Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - её нельзя перекрутить, как обычную - своего рода вечный двигатель.

∞ В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

∞ Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

∞ Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп», в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты»

∞ Школьник из Дубно изобрел мини- электростанцию, позволяющую заряжать мобильный телефон энергией . Он спроектировал переносную ветровую электростанцию на основе ленты Мебиуса. Конструкция высотой 70 сантиметров способна вырабатывать напряжение 12 вольт. Двухметровый аналог увеличивает напряжение до 40 вольт. Благодаря такому изобретению мобильный телефон и ноутбук можно будет заряжать даже в поле.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

∞ Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики.

∞ Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

∞ Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

∞ При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Заключение

На основании полученных результатов, сделали следующие выводы: изучив всю литературу, касающуюся данной темы, мы подтвердили выдвинутую гипотезу; односторонние поверхности существуют. Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. В течение исследования узнали о профессиях, в которых применяется лист Мёбиуса. Закончив, исследование, мы провели урок для учащихся 5 класса. Для учителей у нас есть рекомендации: мы советуем учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества рекомендуем научиться конструировать бутылку Клейна, изготавливать лист Мёбиуса; а ученикам - больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур, чтобы также расширять кругозор. Мы считаем эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Очень надеемся , что наш проект принесёт пользу ровесникам, старшеклассникам и учителям.

Приложение1

Опыт №1

Лист Мёбиуса разрезала по середине вдоль.

Получила 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот

Приложение2

Опыт №2

Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края

Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 3см; второе кольцо ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

Приложение3

Опыт №3

Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 2см от края.

Получила два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо шириной 1см, длина равна длине исходного; второе кольцо - ширина 2см, длина в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота.

Приложение4

Опыт №4

листа Мёбиуса разрезали на 3 полоски

Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Эти кольца сцеплены друг с другом.

Приложение5

Опыт №5

Разрезаем ленту с двумя перекрутами посередине

Получаем 2 одинаковых кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом.

Приложение 6

Опыт №6

Разрезаем ленту с двумя перекрутами на одну треть от края

Получаем два кольца с двумя перекрутами, одно кольцо в 2 раза тоньше другого

Приложение 7

Разрезаем ленту с тремя полуоборотами (540°) пополам

Получается Лист Мебиуса, который закручен узлом

Приложение 8

Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз.

Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, Теперь разрежем двойной слой склеенной ленты по ее средней линии.

Получатся три кольца, сцепленные попарно.

Приложение 9

Проверяем свойство одсторонности (неориентируемости)

Закрашиваем лист Мёбиуса с одной стороны. В итоге он окрашивается весь

Приложение 10

Приложение11

Односторонняя поверхность своими руками

Рецензия

На научно - исследовательскую работу «Лист Мёбиуса» учениц 6 класса МБОУ - ООШ №6 Стафиевских Полины и Ващенко Виктории

Тема, выбранная для исследования, актуальна и значима в учебной деятельности школьника и в организации досуга. Авторы достаточно много просмотрели и проанализировали литературы по данному вопросу, в том числе научно - методическую. Материал изложен на доступном и понятном языке, ясно и убедительно для людей любого возраста, любой профессии и их понимание не требует особой подготовки. Результаты исследований получены и сформулированы вполне самостоятельно. В них чётко прослеживается собственное мнение авторов по данному вопросу. Считаю, цель работы достигнута, гипотеза подтверждена. Работа оформлена с учётом всех требований, выдержан логический порядок. Данный материал может быть использован на уроках математики.

Рецензент -Заместитель директора по учебной части Соболева О. В.

Литература

1. «Большая советская энциклопедия» том №26, «Топология», Москва, из-

во «Советская энциклопедия», 1977 год, Постников М.

2. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г.,

стр. 43 - 48.

3. Квант: научно-популярный журнал.-1975, № 7; 1977, № 7.

4. Марчукова С.М. «Флатландия и трёхмерный мир».-СПб: СМИО Пресс,

2006-192 с., ил.

5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений/-14-е изд.,стереотип.-М.: Дрофа,2012.-189.

6. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.

7.Материалы сайтов:

arbuz.uz/t_lenta.html

frei.ru/golos/books/

umiranie.chat.ru/sphere.htm

websib.ru/noos/math/listmebiusa/

Выводы:

Поставленной цели мы достигли, так как я теперь знаю, что Мёбиус-это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки. Таким образом получается, что верна первая гипотеза, а предположение что лист Мёбиуса растёт на дереве «Мёбиус» совершенно не верно.

Ещё по ходу исследования я узнала, что наука топология-это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомилась со свойствами листа Мёбиуса.

Предположение о применении листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) в технике и искусстве оказалось верным. Ленту Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека.

Гипотеза о том, что на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части-верна частично. Ведь писать и рисовать удобнее в тетради и альбоме, а вот разрезая его на части можно проводить различные увлекательные эксперименты.

В дальнейшем я продолжу работу над данной темой. Меня интересует показ фокусов в цирке и я продолжу эксперимент с перекручиванием колец и с двойными кольцами.

Заключение.

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования мы узнали много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свою гипотезу, мы работали с различными источниками информации в сети Интернет, проводила эксперименты.Свойства листа Мёбиуса действительно отличны от свойств аналогичных фигур.

С ним можно проводить различные увлекательные эксперименты.

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией.

В дальнейшем мы продолжим работу над данной темой. Меня интересует показ фокусов в цирке (хочу научиться показывать их сама) и не только.

В интернете я нашла статью А.М.Белова[4] о том, что лист Мёбиуса вовсе не является простейшей односторонней поверхностью. Существует односторонняя поверхность по своей форме и процедуре своего изготовления более простая, чем классический лист Мёбиуса. Правда, любопытно!!!

Заключение

На основании полученных результатов, сделали следующие выводы:изучив всю литературу, касающуюся данной темы, мы подтвердили выдвинутую гипотезу; определили и проверили удивительные свойства листа Мёбиуса. Также сконструировалисами лист Мёбиуса и проверили свойства разными способами. В течение исследования узнали о профессиях, в которых применяетсялист Мёбиуса. Закончив, исследование, мы провели урок для учащихся 5 класса. А буклеты с информацией о листе Мёбиуса помогут учащимся углубиться и попытаться самим разобраться в данной теме. Для учителей у меня тоже есть рекомендации: я советую учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна, изготавливать лист Мёбиуса; а математикам - больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но

эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и нас учеников. Мне были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

• Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону

• Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

• Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

• Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

• Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

• Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерила своими руками и поделилась этим с ребятами нашей школы.

.

Заключение

На основании полученных результатов, сделал следующие выводы:изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердил выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов; определил и проверил удивительные свойства бутылки Клейна. Также сконструировал бутылку Клейна разными способами. В течение исследования узнал о профессиях, в которых применяется бутылка Клейна. Закончив, исследование, провёл урок для учащихся, которые с энтузиазмом и со всем интересом меня слушали. А буклеты с информацией о бутылке Клейна и моими рекомендациями помогут им углубиться и попытаться самим разобраться в данной теме. Для учителей у меня тоже есть рекомендации: я советую учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна из металла, дерева и других материалов; а математикам - больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур (См. Приложение 9 - Дополнительная литература), в частности, бутылки Клейна, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию.

Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Очень надеюсь, что мой проект принесёт пользу и моим ровесникам, и старшеклассникам, и учителям. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрели применение листа Мёбиуса в науке, технике и искусстве. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Также, по утверждению физиков, все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени. Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни:

5. Заключение.

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мѐбиуса, я узнал о жизни

самого учѐного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всѐ гениальное

рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Мною была

изучена большая разнообразная информация. Она анализировалась и перерабатывалась.

Я получил удовольствие, когда выполнял опыты. Результаты были очевидны,

поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мѐбиуса. Так я

узнал об удивительных свойствах листа Мѐбиуса. Для меня это были маленькие

открытия. Предположение, что лента Мѐбиуса обладает удивительными свойствами,

подтвердилось.

Используя источники сети Интернет, я обратил внимание на широкое применение

Листа Мѐбиуса. Он так нужен в практической жизни!

Поэтому этому математическому объекту и п

Бутылка Клейна - это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мёбиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Открытие Ф. Х. Клейна дополнило уже развивающуюся ветвь геометрии - топологию, которая появилась после открытия того же самого листа Мёбиуса. Бутылка Клейна - это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку. Кстати, тот, кому это удастся, будет удостоен большой денежной премии. Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Да, и учителям полезно изучать такие темы. Сам я хочу научиться строить «идеальную» бутылку Клейна и получить за это премию. Но и это не предел для моих исследований! Далее планирую углубиться в изучение опытов с разрезанием бутылки Клейна, потому что они довольны своеобразны и интересны. Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

См. также

., Поверхность Кипенского получается из трёх цилиндрических полосок бумаги склеенных последовательно друг с другом. То, что поверхность односторонняя, видно из среднего рисунка, обход по синей линии возвращает к этой точке с другой стороны бумаги, хотя линия не переходит через край. Интересно, что если поверхность разрезать по красным линиям, она разбивается на две зеркально-симметричные части. Одна из них показана на нижнем рисунке. Такой вариант поверхности был придуман А. В. Кипенским.Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты МёбиусаСуществует также версия, что в качестве знака бесконечности используется символическое изображение ленты Мёбиуса, поскольку она отражает диалектическую модель Вселенной, заключающуюся в единстве и двойственности бытия.

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

1.хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна - 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов - и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 - Свойства бутылки Клейна).

2.непрерывность.Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан - скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск - с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3.ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели - не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.

33