Спецкурс Матрицы и определители урок2

Бабенко Е.В.

Урок 2.

Тема: Система трёх линейных уравнений. Способы решения. Определитель системы трёх линейных уравнений.

Цель: решить задачу с помощью системы уравнений всеми известными способами. Ознакомить учащихся с нахождением определителя трёх уравнений.

Ход урока.

1.Проверка домашнего задания

2.Проверка знаний учащихся.

У доски 4 человека решают систему одним из методов

Пока выполняется задание идёт опрос знаний

• Как задать систему в общем виде?

• Когда система не имеет решений?

• Когда система имеет одно решение?

• Когда система имеет бесконечно много решений?

• Расскажите алгоритм решения системы методом Крамера

• Кто такой Крамер?

Сообщение ученика:

Крамер Габриель- швейцарский математик прожил 48 лет (1704-1752). Оставил труды по теории алгебраических уравнений ,есть труды по геометрии.

• Дать определение определителя второго порядка и способа его нахождения. Как записывается определитель второго порядка?

• Что такое матрица, расширенная матрица?

2. Изучение нового материала.

Решим задачу: В литейном цехе изготавливают крупные, средние и мелкие отливки в количестве 90 штук.

Средних отливок на 4 меньше, чем крупных, а мелких на 10 больше, чем крупных и средних вместе. Сколько отливок каждого вида выпускают за смену?

Решение.

Пусть крупных, средних и мелких соответственно х.у,z штук. Тогда получаем уравнение х+у+z=90.

Средних на 4 меньше, чем крупных . то есть у=х-4, или х-у=4.

Мелких на 10 больше, чем крупных и средних вместе, то есть z=х=у+10 или х+у-z=- 10

Имеем систему трёх уравнений с тремя неизвестными.

Решим систему способом подстановки и получим 22 крупных, 18 средних, 50 мелких отливок. Эта система решилась быстро потому, что коэффициенты при неизвестных мелкие, а если большие, то будет очень трудно и можно запутаться.

Тогда на помощь приходит определитель третьего порядка и система решается методом Крамера.

Пусть дана система:

Составляем главный определитель системы и решим его по правилу Саррюса.

=

Например, вычислим определитель третьего порядка.

Вычислим ещё один определитель третьего порядка.

Теперь решим систему уравнений для нашей задачи.

Вспомним алгоритм решения .

• Составим расширенную матрицу,

• найдём главный определитель,

• найдём

• найдём х,у,z

=4, = , х=

Найдём =72, у=

Найдём =200. Z=

Ответ: 22,18, 50 отливок

4. Закрепление.

• Осмысление изученного материала- работа у доски ученика

Решить системы уравнений:

Находим главный определитель:

Находим

Х=

Находим

У=

Находим

Z=

Ответ: (1;-2;-3)

• Самостоятельная работа - проверка степени усвоения материала.

1. Вычислить определитель третьего порядка . Ответ Δ=0

2. Решить систему уравнений способом Крамера.

ответ (3;4;5)

5. Продолжение изучения нового материала.

Что делать , если главный определитель равен нулю? ведь на нуль делить нельзя, а как же тогда находить переменные?

Запоминаем!

Если

Δ=0

Или хотя бы один из них

Система решений не имеет

графики прямых в системе параллельны

Система имеет бесконечно много решений

Графики прямых в системе совпадают

Или хотя бы один из них равен нулю

Система имеет одно решение

Графики прямых пересекаются в одной точке.

6. Домашнее задание .

1. Вычислить определитель

2. Решить систему.

ответ (1,-2;-3)

Индивидуальное задание: сообщение о биографии Саррюса