Методические указания для студентов по проведению внеаудиторной самостоятельной работы: «Измерения в геометрии»

Методические указания для студентов по проведению внеаудиторной самостоятельной работы «Измерения в геометрии»

150208 Технология машиностроения

____________ «Математика»___________________

(Наименование дисциплины)

Составитель: Александров А.А. Преподаватель математики

ГБПОУ МТК

(занимаемая должность и место работы)

Рецензенты: _______________________ ________________________________ (Фамилия, И.О.) (занимаемая должность и место работы)

2014

Теоретический материал.

Объёмы многогранников

Объемы равных тел равны.

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Объем призмы равен:

произведению площади ее основания на высоту

произведению площади ее перпендикулярного сечения на боковое ребро

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Объемы призм (пирамид), имеющих равновеликие основания, относятся как их высоты.

Объемы призм (пирамид), имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Объемы тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, относятся как произведения ребер, содержащих этот угол.

Объем тетраэдра может быть найден по формуле:

,

где a и b - длины скрещивающихся ребер,

с - расстояние между ними,

ϕ - угол между ними.

Объем усеченной пирамиды

Объем многогранника можно получить, разбив его на не имеющие общих внутренних точек тетраэдры (триангуляция) и суммировав их объемы.

Если в многогранник можно вписать шар, то объем многогранника равен:

,

R - радиус вписанного шара,

- площадь полной поверхности многогранника.

Объёмы тел вращения

Объем цилиндра

Объем конуса

Объем усеченного конуса

Объем шара

Объем шарового сегмента

Объем шарового сектора

Примеры решения задач:

1. Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда длиной 6 м, шириной 4 м и высотой 8 м.

Решение. Так как длина, ширина и высота измеряются одной и той же единицей длины (м), то подставим их в формулу V=а*b*с и вычислим объем:

V = 6 * 4 * 8 = 192 (м³)
Ответ: 192 м³.

2. Основание пирамиды ABCD - равнобедренный треугольник АВС с основанием AB = 12 и боковой стороной 10. Найти объем пирамиды, если все боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы в 45⁰ .

Решение. Пусть CK - высота треугольника АВС (см. рис. 81), тогда из прямоугольного треугольника АСК имеем

Так как все боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы в 45⁰, то основание О высоты DO пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник АВС, то есть OK = r , где r - радиус этой окружности. Радиус найдем по формуле

Так как угол OKD является линейным углом данного двугранного угла и угол OKD = 45⁰ , то из треугольника OKD имеем OD = r = 3.

Объем пирамиды равен

Ответ: 48.

3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 14, периметр основания 20 и периметр меньшей боковой грани - 32.

4. Куб со стороной a имеет объем V=18π. Найти объем шара, вписанного в данный куб.

Задания для самостоятельной работы:

1. Стороны основания четырехугольной правильной пирамиды равны a см, боковые стороны b см. Найдите объем пирамиды.

   Номер ученика в списке журнала

   a, b

   1, 9, 17, 25

   a= 8, b=

   2, 10, 18, 26

   a= 6, b=

   3, 11, 19, 27

   a=, b=

   4, 12, 20, 28

   a= , b=

   5, 13, 21, 29

   a= , b=

   6, 14, 22, 30

   a= , b= 12

   7, 15, 23, 31

   a= , b= 15

   8, 16, 24, 32

   a= , b= 13

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение ABC₁D₁, проходящее через диагонали боковых параллельных граней AD₁ и BC₁. Площадь сечения = S₁, AB = 10, высота равна h. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

   Номер ученика в списке журнала

   S₁, h

   1, 9, 17, 25

   S₁ = 300, h = 24

   2, 10, 18, 26

   S₁ = 340, h = 30

   3, 11, 19, 27

   S₁ = 200, h = 16

   4, 12, 20, 28

   S₁ = 260, h = 24

   5, 13, 21, 29

   S₁ = 250, h = 24

   6, 14, 22, 30

   S₁ = 410, h = 40

   7, 15, 23, 31

   S₁ = 170, h = 15

   8, 16, 24, 32

   S₁ = 130, h = 12

3. Сторона треугольной пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник, равна a, ее высота h. Вычислите, чему равен объем пирамиды.

   Номер ученика в списке журнала

   a, h

   1, 9, 17, 25

   a = 8, h = 70

   2, 10, 18, 26

   a = 6, h = 60

   3, 11, 19, 27

   a = 10, h = 35

   4, 12, 20, 28

   a = 12, h = 50

   5, 13, 21, 29

   a = 14, h = 20

   6, 14, 22, 30

   a = 16, h = 12

   7, 15, 23, 31

   a = 18, h = 10

   8, 16, 24, 32

   a = 20, h = 26

4. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна S. Найдите объем цилиндра.

Номер ученика в списке журнала

S =

1, 9, 17, 25

729

2, 10, 18, 26

484

3, 11, 19, 27

784

4, 12, 20, 28

523

5, 13, 21, 29

625

6, 14, 22, 30

576

7, 15, 23, 31

676

8, 16, 24, 32

441

Примечание: В ответе укажите значение площади в виде . Например, если получается 999, то в ответе следует написать 999. Будьте внимательны.

5. Шар вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра, если радиус шара равен R.

   Номер ученика в списке журнала

   R =

   1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

   4

   2, 6, 10, 14, 18, 22, 26

   6

   3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

   3

   4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

   5

6. Цилиндр и конус имеют общую высоту и общее основание. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен (40 - n) см³, где n - номер ученика в журнале.

7. Найдите объем многогранника (все двугранные углы прямые), изображенного на рисунке:

Номер ученика в списке журнала

Рисунок

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

8) Найти объем части цилиндра, изображенного на рисунке.

Номер ученика в списке журнала

Рисунок

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

9. Внутри цилиндра диаметра d, с высотой h лежат две фигуры: конус и куб. Конус касается куба в точке пересечения его диагоналей. Известно, что центра основания конуса совпадает с центром верхнего основания цилиндра, а высота конуса равна половине высоты цилиндра. Диаметр конуса совпадает с высотой куба и составляет третью часть диаметра цилиндра. Найти объем фигуры, изображенной на рисунке, где из цилиндра вырезаны конус и куб.

Номер ученика в списке журнала

d, h

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

d = 30, h = 40

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26

d = 12, h = 50

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

d = 18, h = 60

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

d = 24, h = 30

P.s. В ответе оставить выражение с .