Практические работы по геометрии по теме Объем многогранников

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

Объём куба и прямоугольного параллелепипеда.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов куба и прямоугольного

параллелепипеда.

Теоретическая часть

У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

• Каждая грань параллелепипеда - прямоугольник.

• Противоположные грани параллелепипеда равны.

Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.
Среди всех параллелепипедов особую роль играет - куб.

Куб - это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани - квадраты.

За единицу измерения объема принимается объем единичного куба, т.е. объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины.

1 кубический сантиметр (1 cм³) - объем куба, длина которого равна 1 см.
1 кубический дециметр (1 дм³) - объем куба, длина которого равна 1 дм.
1 кубический метр (1 м³) - объем куба, длина которого равна 1 м.

Теорема: объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле

, V = S_осн h.

Теорема: объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:

.

Объем куба равен кубу (третьей степени) его ребра. V = a³

Пример 1. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм.

Решение: 6 x 10 x 15 = 900 (мм³).

Пример 2. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 дм.
Решение: 5³ = 5 x 5 x 5 = 125 (дм³).
Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название - литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ.

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м³; 1 литр.

б) в кубических сантиметрах: 1 дм³; 1 м³.

2.Ответьте «да» или «нет».

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

4. Объём параллелепипеда равен 60 см³.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

5. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?

2 уровень

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см³; б) 60 см³; в) 32 см³; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м³; б) 144 м³; в) 72 м³; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см².

а) 16 см³; б) 64 см³; в) 80 см³; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен 512 м³.

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

3 уровень

11. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

2 вариант

1 уровень

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м³; 1 литр.

б) в кубических миллиметрах: 1 см³; 1 м³.

2.Ответьте «да» или «нет».

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

а) б) в)

4. Объём параллелепипеда равен 40 см³.

Проставьте недостающий размер.

? 2 см

5 см

5. а) б) Каковы измерения параллелепипеда на рис. б),

сложенного из 3 одинаковых брусков,

изображённых на рис. а). Каков его объём?

1 см 8 см

2 см

2 уровень

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см³; б) 13 см³; в) 22 см³; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м³; б) 144 м³; в) 48 м³; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 150 см².

а) 16 см³; б) 125 см³; в) 80 см³; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен 729 м³.

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

3 уровень

11. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Объём призмы.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов призмы.

Теоретическая часть

Призмой называется многогранник, две грани которого(основания) - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые грани) - параллелограммы.

Призма называется прямой, если все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной, если она прямая и её основания - правильные многоугольники.

Формулы для нахождения площадей

фигур

а

S = a b a S = a²

b a

a a S = a S = a

a b

a

a h S = a

h S =

h S = a

a

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

1. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a²h, где а - сторона основания , h - высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота - 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см³; б) 45 см³; в) 10√3 см³; г) 12√3 см³; д) 18√3 см³.

2 уровень

4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Объем призмы равен 80. Найдите ее боковое ребро.

5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите:

1. диагональ основания призмы;

2. диагональ призмы;

3. высоту призмы;

4. площадь боковой поверхности призмы;

5. площадь полной поверхности призмы;

6. объём призмы.

3 уровень

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

2 вариант

1 уровень

1. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a²h, где а - сторона основания , h - высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3√3 см, а высота - 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см³; б) 45 см³; в) 27√3 см³; г) 12√3 см³; д) 18√3 см³.

2 уровень

4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.

5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30⁰. Найдите:

1. диагональ основания призмы;

2. диагональ призмы;

3. высоту призмы;

4. площадь боковой поверхности призмы;

5. площадь полной поверхности призмы;

6. объём призмы.

3 уровень

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Объём пирамиды.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов пирамиды.

Теоретическая часть

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами. Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=S_осн∙h; б) V=S_осн∙h; в) V=S_осн∙h.

2. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двадцать три раза?

а) в 23 раза; б) в 46 раз; в) в 69 раз.

3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание - прямоугольник со сторонами 4 и 6.

а) 4; б) 8; в) 16.

4. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

2 уровень

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м³. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

6. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

3 см, а высота - 4 см.

а) 12 см³; б) 42 см³; в) 8 см³.

7. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

6 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30˚.

а) 12 м³; б) 36 м³; в) 12 м³.

3 уровень

8. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

9. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 9 см³, а длина стороны основания равна 3 см.

2 вариант

1 уровень

1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=S_осн∙h; б) V=S_осн∙h; в) V=S_осн∙h.

2. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать

четыре раза?

а) в 34 раза; б) в 17 раз; в) в 68 раз.

3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание - прямоугольник со сторонами 3 и 4.

а) 48; б) 24; в) 12.

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен .

а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

2 уровень

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м³. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 86 м; б) м; в) м.

6. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

2 см, а высота - 3 см.

а) 8 см³; б) 4 см³; в) 3 см³.

7. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

8 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60˚.

а) м³; б) м³; в) м³.

3 уровень

8. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4.

9. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 16 см³, а длина стороны основания равна 4 см.