Средняя линия треугольника

ФГНОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е.Евсевьева»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КОНСПЕКТ УРОКА

по геометрии для учащихся 8 класса

Выполнила: студентка группы МДМ-210

Антяскина Ольга

Саранск 2014

Тема урока: средняя линия треугольника

Тип урока: изучение нового материала

Цель урока:

- образовательная: ввести понятие средней линии треугольника и изучить теорему о средней линии треугольника.

- развивающая: развивать логическое и пространственное воображение, интуицию учащихся; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли

-воспитательная: воспитывать интерес к геометрии, культуру устной речи, правильное и аккуратное оформление геометрических задач.

Методы обучения: индуктивно-репродуктивный,

индуктивно-репродуктивный

Требования к знаниям и умениям учащихся:

Учащиеся должны знать: какой отрезок называют средней линией треугольника, сколько можно их построить

Учащиеся должны уметь: строить среднюю линию треугольника, доказывать теорему о средней линии треугольника, решать задачи на нахождение средней линии треугольника.

Оборудование урока: линейка

Литература:

1.Геометрия. Учебник /Л.С.Атанасян «Просвещение»,2011

2.Дидактические материалы по геометрии, 8 класс /Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., «Просвещение», 2010

План урока:

1. Орг. момент (2 мин)

2. Актуализация знаний (7 мин)

3. Изучение нового материала (20 мин)

4. Первичное закрепление изученного (14 мин)

5. Подведение итогов урока и домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

1.ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Приветствие, проверка готовности учеников к уроку

2.АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Учитель: мы приступаем к изучению нового раздела, который называется «применение подобия к доказательству теорем и решению задач». И тема урока, первый пункт параграфа, средняя линия треугольника. Цель урока, вести определение средней линии треугольника, доказать свойства средней линии и рассмотреть задачи на применение свойств. Прежде чем перейти к изучению темы, вспомним признаки подобия треугольников. Итак, сформулируете первый признак подобия треугольников

Ученик: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

Учитель: сформулируете второй признак подобия треугольников

Ученик: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Учитель: сформулируете третий признак подобия треугольников

Ученик: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

Учитель: устно рассмотрим задачу представленную на доске

Запись на доске

Действия учителя и ученика

Доказать:

Учитель: даны два треугольника АВС и МВК, сторона МВ равна 3 ,сторона АМ равна 9,сторона КВ равна 5,сторона СК равна 15.Докажите что треугольник АВС подобен треугольнику МВК.

(ученики проговаривают решения устно)

Ученик: так как АМ равен 9,а МВ равен 3, то вся сторона АВ равна 12.

Так как КВ равна 5,а СК 15 то сторона СВ равна 20.

Так как длины сторон обоих треугольников известны то здесь можно применить правило отношение сторон (отношение сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой) то есть отношение АВ к ВМ равно 12 к 3,и равно 4.Аотношение ВС к ВК равно 20 к 5 и равно тоже 4.(учитель делает записи на доске под диктовку ученика) Коэффициенты подобия у нас получились одинаковые следовательно АВ относиться к ВМ как ВС к ВК.

Так как АВ относиться к ВМ как ВС к ВК ,угол В общий то треугольник АВС подобен треугольнику МВК по второму признаку подобия треугольников(если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны то такие треугольники подобны)

Учитель: на основании подобий треугольников докажите что сторона МК параллельна стороне АС

Ученик: так как треугольники МВК и АВС подобны то угол ВМК равен углу ВАС ,и угол ВКМ равен углу ВСА как соответствующие то сторона МК параллельна стороне АС

3.ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Учитель: открываем тетради, записываем число и тему урока: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

Запись на доске (в тетради)

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

Учитель: итак, давайте построим треугольник и среднюю линию

Запись на доске (в тетрадях)

Действия учителя и ученика

Учитель: строим треугольник АВС, находим середину стороны АВ и середину стороны ВС, получили точку М и точку Р, получившиеся точки соединяем и получаем отрезок МР который будет, является средней линией треугольника АВС. Мы с вами построили среднюю линию на сторонах АВ и ВС

Учитель: можем ли мы еще с вами построить в этом же треугольники среднюю линию?

Ученик: да можем.

Учитель: и действительно можем. Находим середину стороны АС и получаем точку О, соединяем точку О с точкой Р и получаем еще одну среднюю линию треугольника РО

Учитель: наконец нам осталось соединить точку М с точкой О и получаем третью среднюю линию МО.

Учитель: что же называется средней линией треугольника? Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Учитель: сколько средний линей можно построить в треугольники?

Ученик: в треугольники можно построить 3 средние линии

Учитель: итак средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Учитель: так же, существует и теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Докажем теорему. Строим треугольник АВС и строим среднюю линию МН сторон АВ и ВС

(учитель строит на доске чертеж, а ученики в тетрадях)

Запись на доске (в тетрадях)

Действие учителя и ученика

Дано:

МН - средняя линия

Доказать: 1)МНАС

2)МН= АС

Доказательство

1)Т.к. МН - средняя линия то ВМ=АВ, ВС=
2)Т.к. ВМ=АВ , ВС= то

3)Т.к. В- общий

то (по второму признаку подобия треугольников)

4)Т.к. а

то

5)Т.к. то

6) Т.к. то 1=2-как соответственные ч.тр.доказать

Учитель: пишем, дано треугольник АВС, МН - средняя линия. Доказать что МН параллельна третий стороне то есть АС и что МН равно АС.

Итак давайте вернемся к устной задаче, нам нужно было доказать что отрезок МН параллелен стороне АС, первым шагом мы выяснили ,что отношения длин известных сторон равны, вторым шагом мы доказывали подобия треугольников, и третьем шагом ты доказывали параллельность отрезка и стороны. Задачи то похожи между собой единственное, что их отличает, что там были известны стороны, а в этой задаче нам не известно не одной стороны только отношения. Итак, как будем доказывать подобия треугольников?

Ученики: Так как МН по условию задачи средняя линия то ВМ равно АВ и ВН равно ВС, то составляем отношение ВМ относиться к АВ как ВН к ВС и равно все это а угол В общий ,то треугольник АВС подобен треугольнику МВН по второму признаку подобия

Учитель: пишем. Первый шаг. Так как МН по условию задачи средняя линия то ВМ равно АВ и ВН равно ВС.

Второй шаг. Так как ВМ равно АВ и ВН равно ВС то составляем отношение (пропорцию) ВМ относиться к АВ как ВН к ВС и равно все это

Третий шаг. Так как ВМ относиться к ВА как ВН к ВС и равно все это угол В общий то треугольник АВС подобен треугольнику МВН по второму признаку подобия треугольников.

Четвертый шаг. Так как треугольники подобны а коэффициент подобия из отношений ВМ относиться к ВА как ВН к ВС мы выяснили равен то и отношения МН к АС равен .

Пятый шаг .так как МН относиться к АС и все это равно то МН равно

умножить на АС

Шестой шаг. Так как треугольник подобны то угол 1 равен углу 2 как соответственные ,то МН параллельна АС

Все мы с вами доказали теорему, что и требовалось доказать

Учитель: подведем итоги, значит средняя линия это отрезок, соединяющий две его стороны и параллелен третей стороне, а также равен одна вторая основания треугольника.

(ученики задают вопросы, учитель отвечает)

4.ПЕРВИЧНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО

Учитель: открываем учебник номер 564 .Дан треугольник стороны, которого равны 8 ,5 7.Найти периметр треугольника, вершинами которого является середины сторон данного треугольника. Итак, строим рисунок и рассказываем, как будем находить периметр. Кто пойдет к доске?

(ученик рисует рисунок)

Запись на доске (и в тетрадях)

Деятельность учителя и ученика

Ученик: нам дан треугольник АВС ,АА равна 8 ,ВС равна 5 ,АС равна 7.Точка А1,В1,С1 являются серединами сторон ВС,АС,АВ. Нам нужно найти периметр маленького треугольника, то есть А1В1С1.

Учитель: нам даны стороны большого треугольника АВС и требуется найти сторона маленького треугольника А1В1С1. Как найти стороны маленького треугольника?

Ученик: А1,В1,С1(по условию) середины сторон то А1С1 равна одна вторая АС, В1С1 равна одна вторая ВС, а А1В1 равна одна вторая АВ. Сторона АВ, ВС, АС нам известны значит мы можем найти А1С1,В1С1,А1В1.

Учитель: запишем

Ученик: решение. Первый шаг. Так как А1,В1,С1 середины сторон то А1С1 равна одна вторая АС, В1С1равна одна вторая ВС, а А1В1 равна одна вторая АВ. Так как сторона АВ,ВС,АС нам известны значит мы можем найти А1С1,В1С1, А1В1. Находим периметр, он равен 10 см.

Учитель: следующая задача 565.Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найти меньшую сторону прямоугольника. Итак, строим рисунок и находим меньшую сторону прямоугольника. Кто пойдет к доске?

(ученик рисует рисунок)

Запись на доске (и в тетрадях)

Деятельность учителя и ученика

Ученик: нам дан прямоугольник АВCD,точка О точка пересечения диагоналей, ОН это расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой и равна 2,5 .нам нужно найти меньшую сторону прямоугольника то есть АВ.

Учитель: давайте вспомним, что называется прямоугольником?

Ученик: прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны

Учитель: перечислите основные свойства прямоугольника

Ученик: диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника

Ученик: диагонали прямоугольника в точке их пересечения делятся пополам

Учитель: зная основные свойства прямоугольника и его признаки. Как будем решать задачу, если нам дана только высота ОН

Ученик: Так как точка О середина диагоналей прямоугольника то АО равна одной второй АС .Рассмотрим треугольники АОН и АСD. Они подобны так как угол А общий и угол D и Н равны по 90 градусов. На основания подобий треугольников составляем соотношения и находим длину стороны СD ,и так как АВСD прямоугольник то сторона АВ равна стороне СD

Учитель: хорошо оформим решения задачи

Ученик: Решение. Рассматриваем треугольник АОН и большой треугольник АСD.Они подобны так как угол А общий и угол D и Н равны по 90 градусов. На основания подобий треугольников составляем соотношения, АО относится к ОС как ОH к CD.Так как точка О середина АС следовательно то АО равна одной второй АС, а значит наше соотношения ОН к СD равно одной второй т.е. решаем получившуюся пропорцию , 2 умноженная на ОН равно CD от сюда находим CD,равно 5 см. Так как CD равно АВ то АВ равно 5 см.

5.ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА И ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Учитель: сегодня на уроке мы с вами изучи новую тему, средняя линия треугольника. Мы с вами доказали, что средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Рассмотрели задачи, применяя определение и свойства средней линии. Домашнее задания номер 566 и 567