Тестовые задания Тела вращения

Использование тестовых заданий при исправлении типичных ошибок по теме : «Тела вращения»

Разработала : преподаватель математики

Михальченко Н. В.

Среди разнообразных форм контроля тестирование все больше проникает в массовую практику. Сейчас кратковременный опрос на каждом уроке с помощью тестов используют все педагоги. Преимущество такой проверки в том, что одновременно занят и продуктивно работают все обучающиеся и за несколько минут можно получить срез обученности всей группы. Это вынуждает готовиться к каждому уроку и решается проблема прочности знаний. При проверке определяются, прежде всего, пробелы в знаниях, что очень важно для продуктивного самообучения.

Индивидуальная и дифференцированная работа с обучающимися по предупреждению неуспеваемости также основывается на текущем тестировании.

Одним из разделов математики, вызывающем у обучающихся трудности усвоения, является изучение круглых тел.

Цель обучения темы - дать обучающимся систематические сведения об основных видах тел вращения.

Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) завершает изучение системы основных пространственных геометрических тел. В ходе знакомства с теоретическим материалом темы значительно развиваются пространственные представления обучающихся: круглые тела рассматриваются на примере конкретных геометрических тел, изучается взаимное расположение круглых тел и плоскостей (касательные и секущие плоскости). Решается большое количество задач, что позволяет продолжить формирование логических и графических умений.

В результате изучения курса математики обучающиеся должны:

• выполнять чертеж по условию стереометрической задачи;

• понимать стереометрические чертежи;

• решать задачи на вычисление геометрических величин, приводя необходимую аргументацию;

• решать несложные задачи на доказательство;

• строить сечения геометрических тел.

При решении задач по теме: «Тела вращения» обучающиеся часто допускают ошибки.

К наиболее часто встречающимся ошибкам можно отнести следующие:

Ошибка 1. Выполнение чертежа по условию стереометрической задачи ;

• могут неправильно начертить тело вращения;

• отметить элементы что приводит к неверному решению.

Причиной возникновения ошибок такого типа является плохое

усвоение определений и свойств тел вращения, а также

отсутствие пространственного представления у учащихся.

Ошибка 2. Ошибки допускают при построении сечений геометрических тел, что приводит к ошибочному нахождению элементов, площадей и объемов тел вращения. Приведенная ошибка возникает из-за неправильного понимания или непонимания стереометрических чертежей.

Ошибка 3. При решении задач на вычисление геометрических величин:

• объема, площади основания, площади полной поверхности,

площади боковой поверхности, площади сечения, высоты,

образующей, радиуса основания могут неверно применить

формулу или допустить ошибку в её записи, также неверно

выразить из формулы искомую величину или неправильно

применить теорему, что приводит к ошибкам в решении и

получению неправильных результатов.

Причиной возникновения таких ошибок является недостаточное

усвоение основных понятий и утверждений данной темы, а также плохое усвоение ранее изученного теоретического материала.

Ошибка 4. Задачи на доказательство более сложны для обучающихся, чем задачи на вычисление геометрических величин.

Часто обучающиеся не могут выделить элементы, способствующие доказательству задачи или не знают какой теоретический факт нужно применить.

Причиной является то, что обучающиеся не знают основных вопросов теории по данной теме и имеют проблемы в знаниях по ранее изученным темам.

Поэтому при изучении темы : «Тела вращения» решается большое количество задач, что способствует развитию пространственного представления учащихся и формированию логических и графических умений. Для лучшего усвоения темы я использую тестовые задания разных видов.

В данной работе представлены типовые задания следующих видов :

1) тестовые задания открытого типа ;

2) тестовые задания закрытого типа :

А) задания множественного выбора;

Б) задания альтернативных ответов ;

В) задания на восстановление соответствия;

Г) задания на восстановление последовательности;

Задания множественного выбора

Вариант 1.

Выберите верный ответ из числа предложенных .

Площадь полной поверхности цилиндра равна 120 см .

Найдите объем цилиндра , если радиус основания равен 5 см .

А) 237, 5 см ; в) 350 см ;

Б ) 157 см ; г) 425 см 4

Вариант 2 .

Выберите верный ответ из числа предложенных .

Объем цилиндра равен 288 пи см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра , если радиус основания равен 6 см.

А) 132 см ; в) 168 см;

Б) 224 см ; г) 120 см ;

Вариант 3 .

Выберите верный ответ из числа предложенных .

Площадь основания цилиндра равна 9 см. Найдите высоту цилиндра , если площадь полной поверхности равна 54 см .

А) 6 см ; в) 4 см ;

Б) 12 см ; г) 7,5 см ;

Вариант 4 .

Выберите верный ответ из числа предложенных.

Объем цилиндра равен 64 см . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра , если высота равна 2 см .

А) 128 см ; в) 512см ;

Б) 16 см ; г ) 32 см ;

Вариант 5 .

. Выберите верный ответ из числа предложенных

Площадь полной поверхности цилиндра 60 см .

Найдите радиус основания , если площадь боковой поверхности равна 36 см .

А) 6 см ; в) 4 см ;

Б) 2 см ; г) 2 см ;

Вариант 6 .

Выберите верный ответ из числа предложенных.

Площадь боковой поверхности равна 20 см . Найдите объем цилиндра ,

если его высота равна 5 см.

А) 432 см ; в) 972 см ;

Б) 216 см ; г ) 3888 см ;

Задания на установление соответствия .

Вариант 1 .

Установить соответствие между элементами двух списков .

I Список

1. Высота цилиндра равна 8 см , радиус основания 1 см.

Чему равна площадь осевого сечения ?

2. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса с радиусом основания 7 см ?

3. Диаметр основания цилиндра равен 16 см., высота 8 см . Чему равен его объем ?

II Список

А) 64 пи ; б) 98 ; в) 16 ;

Вариант 2.

Установить соответствие между элементами двух списков .

I Список

1. Осевым сечением конуса является треугольник с основанием 4 см и высотой 6 см . Найдите объем конуса

2. Чему равна площадь развертки боковой поверхности цилиндра , радиус основания которой 2 см , высота 10 см ?

3. В равностороннем конусе образующая равна 8 см . Чему равна площадь осевого сечения ?

II Список .

А) 20 ; б) 8 ; в) 16

Вариант 3 .

Установить соответствие между элементами двух списков .

I Список

1. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если образующая конуса равна 12 см ?

2. Какова площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра с радиусом основания 4 см ?

3. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см. Найдите объем цилиндра , если его высота равна большей стороне осевого сечения .

II Список .

А) 160; б) 72 ; в) 64 ;

Вариант - 4

Установите соответствия между элементами двух списков.

I список

1)Угол между образующей конуса и радиусом основания 45°.Чему равен объём конуса , если радиус основания R равен 6 см?

2)Определите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиусы оснований равны 5 см и 7 см, образующая равна 9 см .

3)В равностороннем цилиндре радиус основания равен 8,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?

II список

а) 72 ; б) 289; в)108.

Вариант - 5

Установите соответствия между элементами двух списков.

I список

1)Определите площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра, высота которого равна 10 см.

2)Диаметр основания цилиндра равен 20 см, высота 6 см. Чему равен объём?

3)Площадь развёртки полной поверхности усечённого конуса 56 см².

Чему равна площадь его боковой поверхности, если радиусы оснований2 см и 4 см?

II список

а)60; б)100 ; в)36.

Вариант - 6

Установите соответствия между элементами двух списков.

I список

1)Осевым сечением конуса является треугольник с основанием 6 см и высотой 7 см. Найдите объём конуса.

2)Площадь полной поверхности цилиндра равна 96 см². Найдите площадь его боковой поверхности , если радиус основания 6 см.

3) Площадь осевого сечения конуса равна 20 см², высота конуса 5 см. Найдите радиус основания.

II список

а)21; б)24; в)4.

Задания альтернативных ответов

Вариант-1

Выберете»да» ,если утверждение верно и » нет» ,если оно ложно.

1. Изображённое тело является цилиндром.

Да - Нет

2)Изображенное сечение является осевым сечением цилиндра.

Да - Нет

3)Отрезок АВ изображенного цилиндра является его диаметром.

Да - Нет

В

А

4)Основаниями изображенного цилиндра являются круги с центрами О и О₁.

Да - Нет

5) Радиусом изображенного цилиндра является отрезок АВ .

Да - Нет

А В

6) Отрезок РА изображенного цилиндра является его высотой.

Да - Нет

7)Развёрнутой боковой поверхности цилиндра является круговой сектор.

Да - Нет

Р

8) Площадь основания равностороннего цилиндра равна 4 см² .

Да - Нет

4

9)Площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна 40 см².

Да - Нет

10)Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 12,25 см².

Да - Нет

А

Вариант -2

Выберете «да», если утверждение верно и «нет» .если оно ложно.

1. Изображённое тело является цилиндром.

Да - Нет

2)Изображённое сечение является осевым сечением цилиндра.

Да - Нет

3)Круг с центром О₁ изображённого цилиндра является его основанием .

Да - Нет

4)Отрезок ОО₁ изображённого цилиндра является диаметром его основания .

Да - Нет

5)Радиусом цилиндра является отрезок ОВ .

Да - Нет

6)Отрезок ОО₁изображённого цилиндра является его высотой .

Да - Нет

7)Отрезки АА_1,ВВ_1,СС₁ являются образующими изображённого цилиндра .

Да - Нет

А₁ С₁

А С

В

8)Площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра 72 см².

Да - Нет

А₁ В₁

А В

9)Площадь боковой поверхности цилиндра, высота которого 7 см , равна 24,5 см².

Да - Нет

10)Площадь основания цилиндра, осевым сечением которого является квадрат, равна 16 см².

Да - Нет

Вариант -3

Выберете»да», если утверждение верно и «нет», если оно ложно.

1)Изображённое тело является цилиндром.

Да - Нет

2)Изображённое сечение является сечением цилиндра плоскостью перпендикулярной к его оси .

Да - Нет

3)Круги с центрами М и М₁ изображённого цилиндра являются его основаниями .

Да - Нет

4)Отрезок ОВ изображённого цилиндра является его диаметром.

Да - Нет

В₁

В

5)Радиусом изображённого цилиндра является отрезок ОР.

Да - Нет

6)Высотой изображённого цилиндра является отрезок РА.

Да -Нет

М Р

А В

7)Прямая ОО₁ изображённого цилиндра является его осью.

Да - Нет

8)Диаметр цилиндра, у которого площадь боковой поверхности 64 см² , равен 4 см.

Да -Нет

В С

А D

9)Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания 5 см равна 50 см².

Да - Нет

10)Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см².

Да - Нет

В С

А D

Вариант - 4

Выберете «да», если утверждение верно и «нет», если оно ложно.

1)Изображённое тело является конусом .

Да - Нет

2)Изображённое сечение является осевым сечением усеченного конуса.

Да - Нет

3)Прямая РА изображённого конуса является его радиусом .

Да - Нет

Р

А

4)Развёрнутой боковой поверхности конуса является прямоугольник.

Да - Нет

5) Диаметром изображённого конуса является отрезок.

Да - Нет Р

6)Точка Р изображённого конуса является его вершиной.

Да - Нет

Р

7)Отрезок ОО₁ является высотой усеченного конуса .

Да - Нет

8)Площадь боковой поверхности равностороннего конуса равна 36см².

Да - Нет S

А

9)Образующая усечённого конуса , площадь боковой поверхности которого равна 54, равна 6 см.

Да - Нет

10)Площадь сечения усечённого конуса равна 24 см².

Да - Нет

Задания открытого типа

Вариант - 1

Заполните пропуски в приведённых утверждениях

1)Цилиндром называется тело, ограниченное . . .

2) . . . называется боковой поверхностью конуса.

3)У цилиндра образующие . . . и . . .

4)Осевое сечение конуса - сечение конуса плоскостью, проходящий через . .

5)При вращении квадрата вокруг его оси симметрии получится . . .

6)Отрезок, соединяющий центры оснований усечённого конуса, называется …

7)Радиусы оснований усечённого конуса . . .

8)Площадь полной поверхности цилиндра состоит из …

9)Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению . . .

10)Формула объёма конуса : V= . . .

Вариант - 2

Заполните пропуски в приведённых утверждениях.

1)Длина образующей цилиндра называется . . .

2)Осью конуса называется . . .

3)Основания цилиндра . . . и лежат в . . . плоскостях.

4)У прямого конуса основания высоты совпадает с . . . основания.

5)Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает цилиндр по кругу,а боковую поверхность по . . . с центром на оси цилиндра.

6)Отрезки, заключённые между основаниями усечённого конуса, являются . . .

7)Радиусы оснований цилиндра . . . между собой.

8)Площадь полной поверхности конуса состоит из . . .

9)Формула площади боковой поверхности усечённого конуса : S= . . . , где . . .

10)Объём цилиндра равен произведению . . .

Вариант - 3

Заполните пропуски в приведённых утверждениях.

1. . . . это радиус основания цилиндра.

2. Конусом называется тело, ограниченное . . .

3. Осью цилиндра . . . образующим.

4. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину есть . . . , у которого боковые стороны являются образующими конуса .

5. Сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, если секущая плоскость проходит через . . .

6. Все . . . усечённого конуса равны друг другу.

7. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, является . . .

8. Площадь полной поверхности усечённого конуса состоит из . . .

9. По формуле S=(r+r₁)l, где . . . вычисляется . . .

10. Объём конуса равен произведению . . .

Вариант - 4

Заполните пропуски в приведённых утверждениях.

1)Осевое сечение цилиндра - сечение цилиндра плоскостью проходящей . . .

2) . . . называются образующими конуса .

3)Цилиндр. у которого . . . называется равносторонним .

4)Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность по . . . с центром основания на оси конуса.

5)Прямоугольник является . . . цилиндра.

6)Тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям является …

7)Прямая, проходящая через центры оснований усечённого конуса , называется . . .

8)Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле :S= ..,где. .

9)Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле :S_осн= . . . , где . . .

10)Объём усечённого конуса равен произведению . . .

Вариант - 5

Заполните пропуски в приведённых утверждениях.

1)Развёрткой боковой поверхности цилиндра является . . .

2)Высота конуса - это . . .

3)Цилиндрическая поверхность называется . . .

4)При вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии получится . . .

5)Сечение, проходящее через диаметры основания цилиндра , является . . .

6)Осевое сечение усечённого конуса есть . . .

7)Основания усечённого конуса лежат на . . . плоскостях.

8)По формуле S=rl вычисляется . . .

9)Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению . . .

10)Формула объёма усечённого конуса :V= . . . , где . . .

Вариант - 6

Заполните пропуски в приведенных утверждениях

1. Разверткой боковой поверхности цилиндра является:…

2. Высота конуса - это…

3. Цилиндрическая поверхность называется…

4. При вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии получится…

5. Сечение , проходящее через диаметры основания цилиндра, является…

6. Осевое сечение усеченного конуса есть…

7. Основания усеченного конуса лежат на … …. плоскостях.

8. По формуле s=п r l вычисляется…

9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению…

10) Формула объема усеченного конуса : V=…

Задания альтернативных ответов

Вариант - 1

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

S_бок.=2S_осн.- S_цил. (цилиндр)

2.

V_кон.=r²/3h (конус)

3.

r²= S_осн./ (круг)

4.

V_цил.=r²h _. (цилиндр)

5.

S_бок.= (r+r₁), где r, r₁- радиусы основания усечённого конуса

6.

S_кон.= r( l + r ) (конус)

7.

V_кон.= ¹/₃ּ ּh ּ(r ²+ r²₁+rּ r₁),где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

8.

S_бок.= 2r (цилиндр)

9.

r = S_цил /2( r+h) (цилиндр)

10.

S_осн.= V_цил.h_. (цилиндр)

Вариант - 2

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

r =S_кон./ (l + r) (конус)

2.

V=h(r² + r²₁+ r ּr₁), где r, r₁ - радиусы оснований усечённого конуса

3.

r = S_бок./2h (цилиндр)

4.

S_цил. = 2r(r + h ) (цилиндр)

5.

V_цил.= S_осн. /h (цилиндр)

6.

S_осн. + S_кон.= S_бок. (конус)

7.

V_кон.=¹/₃S_осн.h (конус)

8.

V_кон.= h(S+S₁+), где S,S₁ - площади оснований усечённого конуса

9.

V_цил.= S_осн.h (цилиндр)

10.

l= S_бок/r (конус)

Вариант - 3

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

V= ¹/₃ּhּ(r ²+ r²₁+rּ r₁),где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

2.

h=V_цил./S_осн. (цилиндр)

3.

S_осн.=3V_кон./h (конус)

4.

S_бок= S_цил. -r² (цилиндр)

5.

S_бок=2l (конус)

6.

S_осн.= r² (круг)

7.

h= V_цил.S_осн (цилиндр)

8.

V_кон.= (S+S₁+), где S,S₁ - площади оснований усечённого конуса

9.

S_цил. = r(r + h ) (цилиндр)

10.

r²= V_цил/h (цилиндр)

Вариант - 4

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

V_кон.= h(S+S₁+), где S,S₁ - площади оснований усечённого конуса

2.

S_цил. = 2r(r + h ) (цилиндр)

3.

r = S_бок/2r (цилиндр)

4.

V_кон..=rh /3 (конус)

5.

r = S_бок/r (цилиндр)

6.

S_кон.= S_осн+ S_бок (конус)

7.

S_бок.= (r+r₁), где r, r₁- радиусы основания усечённого конуса

8.

h= V_цил/r² (цилиндр)

9.

V_кон.= ¹/₃ּhּ(r ²+ r²₁+rּ r₁),где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

10.

S_осн.= r² (круг)

Вариант - 5

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

2 S_осн- S_цил.= S_бок. (цилиндр)

2.

r = S_кон./ (l + r) (конус)

3.

V_кон..=r²/3h (конус)

4.

V= (r²+ r²₁+rּ r₁),где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

5.

r²= S_осн./ (круг)

6.

S_бок=2rh (цилиндр)

7.

r2h=V_цил (цилиндр)

8.

= S_цил. (цилиндр)

9.

l(r+r₁)= S_бок. ,где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

10.

V_кон..=, где S,S₁ - площади оснований усечённого конуса

Вариант - 6

Поставьте знак«+»,если формула истина и знак «-», если она ложна.

№

Формула

Знак

1.

S_кон.= ( l + r ) (конус)

2.

S_осн. + S_кон.= S_бок. (конус)

3.

V_кон.= ¹/₃ּhּ(r ²+ r²₁+rּ r₁),где r,r₁- радиусы оснований усечённого конуса

4.

V_кон.=¹/₃S_осн.h (конус)

5.

S_бок=2rh (цилиндр)

6.

V_кон.= h(S+S₁+), где S,S₁ - площади оснований усечённого конуса

7.

r = S_цил /2( r+h) (цилиндр)

8.

V_цил.= S_осн.h (цилиндр)

9.

l= S_бок/r (конус)

10.

r²= V_цилh (цилиндр)

Задания с выбором способа решения

Вариант - 1

Выберете правильное решение , если оно есть . Если его нет , как бы вы ответили?

Площадь осевого сечения конуса равна 12 см². Высота конуса равна 4 см.

Вычислите площадь полной поверхности конуса .

I способ

1)S_полн.= r (l+r);

2)S_АРВ= = 2rh=rh

rh=12

r=3 АО=3 см

рис.1

3)Из АРО по теореме Пифагора :

АР===5(см)

4) S_полн.= 3(5+3)=24(см²)

Ответ: 24см²

II способ

1. S_полн.= r (l+r);

2. S_АРВ= =АВ·4=2АВ (см. рис. 1)

2АВ=12

АВ=6см , АО==3(см)

3)Пусть АР=х см ,тогда р==х+3;

По формуле Герона: S= ;

S²=(х+3-х)(х+3-х)(х+3-6)

9(х-3)=144

х-3=16

х=19 ,АР=19(см)

4) S_полн.= r(19+3) = 66(см²)

Ответ: 66см²

III способ

1)Найдём S: S==6см²; (см.рис. 1)

S=

АО·4=6

АО=3(см)

2)Из по теореме косинусов:

АР²=АО²+РО²-2АО·ОР·cos90º=9+16-2·3·4=25-24=1

3) S_полн.= r (l+r)= 3(1+3)=12(см²)

Ответ: 12см²

IV способ

1) Найдём площадь АРО: S==6см²; (см.рис. 1)

S=

6=·АО·4

АО=3см

2) Пусть АР=х (см), тогда р==х+3;

По формуле Герона: S= ;

S²=(х+3)(х+3-х)(х+3-х)(х+3-6)

S²=(х+3)(х-3)9

144=9х²-81

х²=25

х=5АР=5(см)

3) S_полн.= r (l+r)= 3(5+3)=24(см²)

Ответ: 24см²

Вариант - 2

Выберете правильное решение , если оно есть . Если его нет , как бы вы ответили?

Диагонали осевого сечения цилиндра равны 24 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60º. Найдите объём цилиндра.

I способ

1)V= r²h;

2) Найдём высоту цилиндра :

cos 90º=ВВ₁=24=12(см) (см. рис.1)

3) По теореме косинусов из АВ₁В найдём АВ:

АВ²=АВ₁²+ВВ₁²-2АВ₁· ВВ₁·cos60º

АВ²=24²+(12)²-2·24·12·=144 рис.1

АВ=12(см) , тогда АО=АВ/2=6(см)

4) V=·36·12=432(см³)

Ответ: 432см³

II способ

1) Рассмотрим АВ₁В - прямоугольный ВВ₁=АВ₁,

т.к. В₁АВ=30º (см. рис. 1)

ВВ₁=24=12(см)

2)Из АВ₁В:sin60º= АВ= sin60º.АВ=24=12(см)

АО=6(см)

3) Найдём объём цилиндра:

V= 2rh=2·6·12=144 (см³)

Ответ: 144 см³

III способ

1) Из АВ₁В найдём ВВ₁ (см. рис.1)

sin30º= ВВ₁=24=12(см)

2) По теореме косинусов из АВ₁В :

АВ²=АВ₁²+ВВ₁²-2АВ₁· ВВ₁·cos60º

АВ²=576+144-2·12·24=432

АВ=12(см)

Тогда АО=АВ=6(см)

3) Найдём объём цилиндра : V= r²h

V=(6)²12=1296(см³)

Ответ: 1296см³

IV способ

1) Из АВ₁В - прямоугольный ,найдём высоту цилиндра :

ВВ₁=АВ₁=12(см) (см. рис.1)

2) Из АВ₁В по теореме Пифагора :

АВ²=АВ₁²+ВВ₁²

АВ²=24²+12²

АВ²=720

АВ=12(см) , тогда АО=6(см)

3) Найдём объём цилиндра : V= r²h

V=(6)²12=2160(см³)

Ответ: 2160

Вариант - 3

Выберете правильное решение , если оно есть . Если его нет , как бы вы ответили?

Радиус оснований усечённого конуса равны 12 см и 15 см , а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45º. Найдите объём усечённого конуса .

I способ

1) V= ¹/₃ּhּ(r ²+ r²₁+rּ r₁); Проведём ВКАД

2)АК=АД-КД=АД-(ОД+ОК)=30-(15+12)=3(см)

3)Из АВК найдём АВ

cos 45º=АВ=АК· cos 45º=3·=(см)

4) Из АВК по теореме Пифагора найдём ВК:

ВК²=АВ²+АК²

ВК²=()²+3²

ВК²=(см)

5)Найдём объём усечённого конуса :

V= ¹/₃ּhּ(r ²+ r²₁+rּ r₁)= ¹/₃(15²+12²+12·15)=(см³)

Ответ: см³

II способ

1) Найдём АК:

АК=АД-ВМ=15-12=3(см)

2) Из АВК найдём АВ

АВ=(см)

3) Найдём объём усечённого конуса :

V=(г+г₁)l

V=(15+12)3=81(cм³)

Ответ: 81cм³

III способ

1) Проведём ВКАД.

Найдём АК: АК=АД-ВМ=15-12=3(см)

2) Из АВК найдём АВ

АВ=(см)

3) ) Из АВК по теореме косинусов найдём ВК:

ВК²=АВ²+АК²-2АВ· АК·cos45º

ВК²=(3)²+3²-2·3·=18+9-9=18

ВК=3(см)

4) Найдём объём усечённого конуса :

V= ¹/₃ּhּ(r₁²+r₂² +r₁ r₂)

V= ¹/₃3(225+144+180)=549(см³)

Ответ: 549см³

IV способ

1) Проведём ВКАД.

Найдём АК: АК=АД-ВМ=15-12=3(см)

2)Рассмотрим АВК:А=45º,К=90ºВ=45º , значит

АВК- равнобедренный .

Поэтому объём усечённого конуса :

V= ¹/₃ּhּ(r₁²+r₂² +r₁ r₂)= ¹/₃3(225+144+180)=549(см³)

Ответ: 549см³

Ключ к тестам

1)Задания множественного выбора

В.1-б В.3-а В.5-б

В.2-в В.4-г В.6-в

2)Задания на установление соответствия

В.1-1(в) В.2-1(а) В.3-1(б)

2(б) 2(б) 2(в)

3(а) 3(в) 3(а)

В.4-1(а) В.5-1(б) В.6-1(а)

2(в) 2(а) 2(б)

3(б) 3(в) 3(в)

3)Задания альтернативных ответов

В.1. 1- В.2. 1+ В.3. 1- В.4. 1- В.5. 1- В.6. 1-

2- 2- 2+ 2- 2+ 2-

3+ 3+ 3+ 3+ 3- 3+

4+ 4+ 4- 4- 4- 4+

5- 5+ 5- 5- 5+ 5-

6- 6- 6+ 6- 6+ 6-

7+ 7+ 7- 7+ 7+ 7+

8- 8- 8- 8+ 8- 8+

9+ 9+ 9- 9+ 9+ 9+

10- 10+ 10+ 10+ 10- 10-

4)Задания альтернативных ответов

В.1. 1Да В.2. 1Нет В.3. 1Нет В.4. 1Да

2Нет 2Да 2Да 2Нет

3Да 3Нет 3Да 3Нет

4Да 4Нет 4Нет 4Нет

5Нет 5Да 5Да 5Да

6Нет 6Да 6Нет 6Да

7Нет 7Да 7Да 7Да

8Да 8Нет 8Да 8Нет

9Да 9Нет 9Нет 9Да

10Нет 10Да 10Да 10Нет

5)Задания с выбором способа решения

Вариант1 - I, IV способы Вариант2 - III способ Вариант3 - IV способ