- Преподавателю
- Математика
- Сборник типовых расчетов по теме Основы тригонометрии
Сборник типовых расчетов по теме Основы тригонометрии
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Шарапова Ю.В. |
Дата | 17.08.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
ОАОУ СПО «Астраханский социально-педагогический колледж»
Сборник типовых расчетов
по теме: Основы тригонометрии
для студентов 1 курса
специальностей:
050146 «Преподавание в начальных классах»
050141 «Физическая культура»
040401 «Социальная работа»
050710 «Специальное дошкольное образование»
050715 «Коррекционная педагогика в начальном образовании»
050144 «Дошкольное образование»
2014
Содержание
Контрольная работа 3
Решение варианта №0 20
Справочный материал 29
Перечень литературы 33
Контрольная работа
Тема: «Тригонометрия»
Цель работы: «отработать практические навыки в применении тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений, в решении тригонометрических уравнений и неравенств, в применении преобразований графиков для построения графиков тригонометрических функций».
Задание №1.
Упростите выражение:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №2.
Вычислите значения всех тригонометрических функций угла α, если известно, что
-
-
;
-
sin a=, ;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
sin a=, ;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
Задание №3.
Вычислите, применяя таблицу значений:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
-
;
-
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №4.
Определите знак выражения:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №5.
Упростите, применяя формулы приведения:
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №6.
Найдите:
-
, если - угол III четверти;
-
, если - угол II четверти;
-
, если - угол III четверти;
-
-
;
-
, если - угол III четверти.
-
, если ;
-
, если ;
-
, если ;
-
, если ;
-
, если α - угол I четверти, β - угол I четверти;
-
, если , ;
-
, ;
-
, ;
-
;
-
, ;
-
, ;
-
, если ;
-
, ;
-
, ;
-
, если α - угол I четверти, β - угол I четверти;
-
, если , ;
-
, если ;
-
;
-
, если ;
-
, если - угол III четверти;
-
;
-
, если ;
-
, если α - угол I четверти, β - угол I четверти;
-
.
Задание №7.
Вычислите без помощи калькулятора:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №8.
Выполните задания, используя формулы двойного и половинного угла:
-
-
Доказать тождество ;
-
Упростите ;
-
Вычислить ;
-
Найти значение выражения ;
-
Найдите ;
-
Вычислить, не используя калькулятора ;
-
Доказать тождество ;
-
Вычислить ;
-
Упростите ;
-
Вычислить ;
-
Преобразовать выражение ;
-
Упростить ;
-
Вычислите ;
-
Упростите ;
-
Найдите ;
-
Упростите ;
-
Вычислить ;
-
Упростите выражение ;
-
Доказать тождество ;
-
Упростите ;
-
Вычислить ;
-
Найти значение выражения ;
-
Найдите ;
-
Вычислить, не используя калькулятора ;
-
Доказать тождество ;
-
Вычислить ;
-
Упростите ;
-
Преобразовать выражение ;
-
Вычислите ;
-
Упростите .
-
Задание №9.
Выполните задания, используя формулы преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение и формулы преобразования произведения в сумму:
-
-
Верно ли равенство ;
-
Вычислить если ;
-
Упростите выражение ;
-
Вычислить ;
-
Преобразуйте в произведение и вычислите: ;
-
Доказать тождество ;
-
Преобразовать в произведение: ;
-
Вычислить ;
-
Упростите ;
-
Найдите значение выражения ;
-
Верно ли равенство ;
-
Доказать, что ;
-
Преобразуйте в произведение ;
-
Вычислить ;
-
Найдите значение выражения: ;
-
Упростите выражение ;
-
Вычислить ;
-
Верно ли равенство ;
-
Доказать, что ;
-
Упростите выражение
-
Вычислить: ;
-
Преобразовать в произведение: ;
-
Доказать тождество ;
-
Вычислить ;
-
Упростите выражение ;
-
Проверить, что ;
-
Верно ли равенство ;
-
Доказать, что ;
-
Верно ли равенство ;
-
Разложите на множители .
-
Задание №10.
Постройте графики тригонометрических функций:
-
а) ; б) .
-
а) ; б) .
-
а) ; б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
-
а) б)
Задание №11.
Вычислить:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №12.
Найти значение выражения:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
Задание №13.
Решите тригонометрическое уравнение:
-
cos x - 2 = 0 ;
-
cos 2x = -;
-
;
-
2sin x + = 0;
-
;
-
2;
-
sin 3x = 0;
-
3tg 4x - = 0;
-
;
-
;
-
cos x + 2 = 0;
-
2cos x + 1= 0;
-
;
-
;
-
;
-
-
sin x + 2 = 0
-
2cos x - = 0;
-
;
-
cos 5x = 0;
-
-
;
-
tg 2x + 1 = 0;
-
sin 3x = - ;
-
;
-
tg 2x + 1 = 0;
-
;
-
;
-
;
-
sin 2x = 0;
Задание №14.
Решите простейшее тригонометрическое уравнение:
-
;
-
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
sin = - ;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
-
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
Задание №15.
Решите тригонометрическое уравнение, проводимое к квадратному:
-
3tgx - tg 2x = 0;
-
;
-
;
-
5cos - 6cos x + 1 = 0;
-
;
-
cos2x - sin2x = - 1;
-
-
cos2x - sin2x = 0;
-
;
-
3sinx + sin x - 2 = 0;
-
;
-
2cos x + sin x +1 = 0;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
3tgx - tg 2x = 0;
-
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №16
Решите тригонометрическое уравнение, разложением левой части на множители:
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №17.
Решите однородное тригонометрическое уравнение:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №18.
Решите уравнение преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение или преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №19.
Решите уравнение с использованием тригонометрических формул:
-
;
-
;
-
;
-
cos2x+sinx=0;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
-
2sin2x=3cos2x;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задание №20.
Решите неравенство:
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) ;
-
а) .
-
б)
-
б) ;
-
б)
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б)
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б)
-
б) ;
-
б)
-
б)
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б)
-
б) ;
-
б) ;
-
б) ;
-
б)
-
б)
-
б)
-
б) ;
-
б) .
Решение варианта №0
Пример. Найдите cosa если sin a=, .
Решение. Из формулы находим
.
Так как угол лежит в III четверти, cosa=.
Ответ: cosa = .
Пример. Докажите тождество
Решение. Выпишем и преобразуем в данном тождестве левую часть.
После преобразования получили
.
Ответ: ч. т. д.
Пример. Упростите выражение:
Решение. Проведем ряд преобразований, используя соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.
Ответ: sin a.
Пример. Найдите знак числа:
Решение. Знаки тригонометрических функций определяются в зависимости от того, в какой четверти лежит рассматриваемый угол. Нам нужно определить в какой четверти находится каждый из рассматриваемых аргументов и определить знаки тригонометрических функций в каждой из четвертей.
0 I четверть 0,
II четверть 0,
22,3 I четверть 0.
Подводя итоги, получаем, что наше число отрицательное 0.
Ответ: число отрицательное.
Пример. Вычислите:
Решение. Для вычисления нужно воспользоваться табличными значениями тригонометрических функций, и помнить, что синус функция нечетная.
Ответ: 12а + 3.
Пример. Вычислить:
Решение. Период функции равен 3600; поэтому можно опустить целое число периодов:
Ответ:
Пример. Вычислить значение следующих углов:
а)
б)
Решение. а)
б)
Ответ: а) ;
б) .
Пример. Найдите значение без помощи таблиц.
Решение. По формулам половинного аргумента находим
Так как получаем . Данный ответ можно преобразовать.
Ответ:
Пример. Упростить выражение:
Решение. Для упрощения этого выражения будем использовать формулы приведения и четность тригонометрических функций.
==
=
Ответ: 1.
Пример. Упростить выражение:
Решение. Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сложения:
Ответ:
Пример. Доказать тождество:
Доказательство. Для доказательства этого тождества воспользуемся тригонометрическими формулами удвоенного аргумента и основными тригонометрическими тождествами.
Ответ: тождество верно
Пример. Преобразовать в произведение:
Решение. Для преобразования воспользуемся формулами преобразования суммы одноименных тригонометрических функций в произведение:
Ответ:
Пример. Преобразовать в сумму:
Решение. Для преобразования воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму:
Ответ:
Пример. Построить график функции .
Решение. Последовательность построения графика:
-
Строим график функции ;
-
Графика функции сдвигаем на влево вдоль оси абсцисс, получаем график функции
Пример. Построить график функции .
Решение. Последовательность построения графика:
-
Строим график функции ;
-
Графика функции опускаем на 3 единицы вниз вдоль оси ординат, получаем график функции .
Пример. Построить график функции .
Решение. Последовательность построения графика:
Последовательность построения графика:
-
Строим график функции ;
-
График функции растягиваем вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем график ;
-
Графика функции растягиваем вдоль оси ординат в 2 раза, получаем график функции ;
-
График функции симметрично отображаем относительно оси абсцисс, получаем график функции .
Пример. Вычислить
Решение. так как
Ответ:
Пример. Вычислить
Решение. , так как
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную y = sin x, где . Тогда данное уравнение можно записать в виде . Мы получили квадратное уравнение. Его корнями являются Следовательно, В первом случае получим решения
Во втором случае имеем:
Ответ:
Пример. Решить уравнение 3 cos2x - 5 cos x - 2 = 0.
Решение. Это уравнение является квадратным относительно cos x.
Обозначив cos x = t, где получим
3t2 - 5t - 2 = 0
; .
Уравнение cos x =2 не имеет корней, так как 2[-1; 1].
Уравнение cos x = - 1/3 имеет корни
x = ± arccos (-1/3) + 2 Пn, nZ,
x = ±(П - arcos 1/3) + 2 Пn, n Z.
Ответ: x =±(П - arcos 1/3) + 2 Пn, n Z.
Пример. Решим уравнение :
Решение. Уравнение данного вида называется однородным тригонометрическим уравнением. Значения х, при которых cos x = 0, не является решением данного уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполняться равенство , а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению .
Вводим новую переменную , получаем
откуда t=1 или t= 1/3.
Следовательно, tgx = 1 или tgx = 1/3.
Решая простейшие т тригонометрические уравнения получаем корни
Ответ:
Пример. Решить уравнение 3 sin x - 5 cos x = 0.
Решение. Уравнение данного вида относится к однородным уравнениям первой степени. Разделим обе части уравнение на cos x(cos x0, иначе и sin x был бы равен 0, что невозможно, так как cos2x + sin2x =1). Получив уравнение, равносильное данному:
3 tg x - 5 = 0, tg x = 5/3 .
Корни этого уравнения x = arctg 5/3 + Пn, nZ.
Ответ: x = arctg 5/3 + Пn, nZ.
Пример. Решить уравнение sin x cos 2x - 1 + sin x - 2cos 2x = 0
Решение. Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:
2 cos 2x (sin x - 1) + (sin x -1) = (sin x - 1)(2 cos 2x + 1).
Уравнение (sin x - 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений
Решив полученные уравнения, получаем:
a) sin x - 1 = 0, sin x = 1, x = П/2 + 2 Пn, nZ;
б) 2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = ± 2П/3 + 2Пn, nZ.
Ответ: x = П/2 + 2Пn, nZ.
Пример. Решить уравнение
Решение. Это однородное уравнение, но делить на нельзя, так как может быть равным 0. Запишем уравнение иначе: . Отсюда получаем два уравнения .
Второе уравнение из двух полученных будет являться однородным уравнением первой степени. Разделим его на .
Получим
Ответ:
Пример. Решить уравнение
Решение. Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами сложения:
Получаем
.
Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Частный случай.
,
Ответ:
Пример. Решим тригонометрическое неравенство .
Решение. Решение данного тригонометрического уравнения будем производить пошагово.
Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен.
Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.
Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности.
Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги.
Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство. Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус.
Все решения неравенства могут быть записаны в виде .
Ответ:
Пример. Решим тригонометрическое неравенство .
Решение. Решение неравенства будем производить пошагово.
Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.
Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом.
Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть.
Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения неравенства:.
Ответ:
Справочный материал
Таблица значений тригонометрических функций
- радианы
- градусы
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
1
-
-1
0
1
-
-1
0
-
1
0
-1
-
1
0
-1
-
Соотношение между тригонометрическими функциями
одного аргумента.
Правило применения формул приведения.
-
Знак правой части определяется знаком левой части, считая
-
Если приводимая функция имеет аргумент то название приводимой функции сохраняется.
-
Если приводимая функция имеет аргумент то название приводимой функции меняется синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно.
Формулы приведения
-радианы
- градусы
Формулы сложения
Формулы двойного угла
Формулы половинного аргумента
Формулы преобразования суммы в произведение
Формулы преобразования произведения в сумму
Четность, нечетность,
периодичность тригонометрических функций
Следовательно, - нечетные функции, - четная функция.
Наименьший положительный период функций - .
Наименьший положительный период функций -
Преобразование графиков.
Функция
Преобразование графика функции
Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0.
Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на |a| единиц влево, если a < 0.
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.
Симметричное отражение относительно оси OX.
Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.
Перечень литературы
Основная литература:
-
Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, «Просвещение», Москва 2014 г.
-
А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 9-10класс, «Просвещение», Москва 2014 г.
Дополнительная литература:
-
В.Т. Лисичкин «Математика», «Высшая школа», Москва 1991 г.
-
Н. В. Богомолов «Сборник дидактических заданий по математике», «Высшая школа», Москва 2013 г.
-
В.А. Подольский, А. М. Суходский. «Сборник задач по математике». Москва.: «Высшая школа»., 1978.-352 с.
-
И. Л. Зайцев. «Курс высшей математики для техникумов». Москва.: Гос. издат. физико-математич. литературы., 1961.-372 с.
-
А. Ю. Ключарев, Л. А. Андреева. Тригонометрия. Астрахань.: АГТУ., 2006.-76с.
-
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: М., Просвещение, 2014.
-
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, Изд-во «Высшая школа», 2008