Сучасні педагогічні технології

Горлівський НВК «ЗОШ І-ІІІ ступенів № 12 - багатопрофільний ліцей»

Учитель математики Танабаш Л.Ю.

«СУЧАСНІ ПЕДАГОГІЧНІ ТЕХНОЛОГІЇ»

Укладач:

Танабаш Л.Ю., заступник директора Горлівського НВК «ЗОШ І-ІІІ ступенів № 12 - багатопрофільний ліцей», учитель математики вищої категорії, «Учитель - методист», «Відмінник освіти України».

Рецензент:

Бутенко І.П., методист міського методичного центру Горлівської міської ради

У першому розділу роботи вміщено матеріали з теоретико - методичних засад сучасних педагогічних технологій, зокрема педагогічного проектування. Розкрито суть найважливіших термінів і елементів структури педагогічних технологій. Подані рекомендації щодо організації проектної діяльності вчителя і учнів при вивченні математики.

Другий розділ містить розробки педагогічних проектів при вивченні алгебри та початків аналізу у десятому класі.

Зміст

В умовах становлення інформаційного суспіль­ства навчальний процес розглядається як засіб роз­витку учнів, а головне завдання школи полягає в тому, щоб не лише дати знання, а й створити стійку мотивацію до навчання, спонукати учнів до само­освіти, пов'язаної з розвитком їхнього пізнавального потенціалу і творчої діяльності. Необхідною умовою розв'язання цих завдань є застосування сучасних новітніх педагогічних технологій. 4

1. Поняття педагогічних технологій 4

1.1 Що таке технологія 4

1.2 Педагогічна технологія 4

Структура роботи над проектом 13

Педагогічна ідея - це повітря, в якому розправляє крила педагогічна творчість.

В.Сухомлинський

В умовах становлення інформаційного суспіль­ства навчальний процес розглядається як засіб роз­витку учнів, а головне завдання школи полягає в тому, щоб не лише дати знання, а й створити стійку мотивацію до навчання, спонукати учнів до само­освіти, пов'язаної з розвитком їхнього пізнавального потенціалу і творчої діяльності. Необхідною умовою розв'язання цих завдань є застосування сучасних новітніх педагогічних технологій.

1. Поняття педагогічних технологій

1.1 Що таке технологія

Технологія - це комплекс наукових та інженерних знань, реалізованих у прийомах праці, наборах матеріальних, технічних, енергетичних, трудових факторів виробництва, засобах їх об'єднання для створення продукту або послуги, що відповідають певним вимогам. Тому технологія нерозривно пов'язана з машинізацією виробничого або невиробничого, насамперед управлінського процесу. Управлінські технології грунтуються на застосуванні комп'ютерів і телекомунікаційної техніки.

1.2 Педагогічна технологія

Педагогічна технологія - це системний метод створення, використання і визначення всього процесу викладання та засвоєння знань з урахуванням технічних та людських ресурсів та їх взаємодії, що ставить перед собою завдання оптимізації форм освіти.

До сучасних педагогічних технологій відносяться:

1.Особистісно - орієнтовані технології:

1. Технологія розвивального навчання.

2. Проектна технологія.

3. Технологія навчання як дослідження.

2.Модульне навчання.

3.Технології на основі активізації та інтенсифікації діяльності учнів:

1. Проблемне навчання.

2. Ігрові технології навчання.

3. Інтенсивне навчання на основі схемних і знакових моделей навчального матеріалу.

4. Технології на основі підвищення ефективності управління та організації навчального процесу:

1. Групові технології.

2. Комп'ютерні технології навчання

3. Технології індивідуального навчання.

Бурхливий розвиток інформатики та інфор­маційних технологій загострив перед освітою зав­дання розширення практики розвиваючого навчан­ня, використання новітніх технологій навчання, вдосконалення освітніх методик.

Сучасні педагогічні технології сприяють розв'язанню багатьох освітніх проблем:

• Самореалізація особистості дитини.

• Розвиток творчих здібностей учнів.

• Розвиток самоосвітньої діяльності учнів.

• Розвиток мотивації навчання.

• Розвиток емоційної сфери дитини.

1.3 Проектна технологія. Технологія навчання як дослідження.

«Нововведения подобны новорожденным - на первых порах они необычайно нехороши собой»
Френсис Бэкон

Як свідчить шкільна практика, вчителі сьогодні ще багато уваги приділяють саме переда­ванню учням змісту навчального матеріалу, а не роз­витку їх мислення, самостійності. При такому підході вчитель частіше застосовує класичні методи навчання, в результаті учень може зберігати в пам'яті великі об'єми інфор­мації, але не вміти її застосувати ні у межах на­вчального процесу, ні, тим більше, у життєвих не­стандартних ситуаціях.

Щоб цього уникнути я в своїй роботі застосовую проектну технологію, яка дуже тісно переплітається з технологією навчання як дослідження.

Вони сприяють:

• формуванню активної життєвої позиції;

• розвитку свідомого ставлення до навчання;

• різкому зростання потреби у контролі та самокон­тролі;

• розвитку самоосвітньої компетентності учнів.

При цьому:

• мислення стає більш абстрактним, глибоким, різнобічним;

• виникає потреба в інтелектуальній діяльності;

• зростає значущість процесу навчання, його ці­лей, задач, форм і методів;

• змінюється мотивація навчання, трансформу­ється співвідношення оцінки і самооцінки.

Об'єктивними перевагами проектних технологій є: мотиваційна спрямованість і розвивальне значення. Знання, які отримані в результаті виконання проекту більш глибокі і свідомі, вони безпосередньо пов'язані з емоціональним задоволенням дитини, яке вона отримує при самостійному розв'язанні поставлених проблем. Це стає стимулом до нового пошуку.

Шкільні проекти з математики мають чотири основні цілі:

1. Втілення ідеї в конкретну форму (план проекту).

2. Отримання естетичної насолоди.

3. Розвиток інтелектуальної сфери.

4. Розвиток пізнавальної і самоосвітньої компетентності учнів.

Проектні технології вимагають систематичного і послідовного моделювання розв'язків проблемних ситуацій, направлених на дослідження і розробку оптимальних шляхів їх розв'язку. При цьому обов'язково потрібно проводити публічний захист і аналіз отриманих результатів. Це надає можливість розвивати пошуковий досвід учнів.

Проекти можуть бути :

• Індивідуальними.

• Колективними ( парними, груповими)

Обов'язковими умовами складання і втілення проекту повинні бути:

• Наявність освітньої проблем, складність і актуальність якої відповідає навчальним запитам і життєвим потребам учнів.

• Дослідницький характер пошуку шляхів розв'язання проблеми.

• Моделювання умов для розв'язання учнями поставлених навчальних проблем.

• Самостійний характер творчої активності учнів.

• Педагогічна цінність діяльності (учні самостійно отримують знання, розвивають особистісні якості, способи мислення)

Проектні технології необхідно застосовувати на всіх ступенях навчання. Але особливо актуальними вони стають у класах ІІІ ступеню, коли самосвідомість старшокласників переходить на більш високий рівень, що прояв­ляється у поглибленні самоконтролю, самооцінки, прагненні до самостійності та самовдосконалення. Потреба в саморегуляції, тобто в управлінні розвит­ком особистості, - важлива вікова особливість стар­шокласників, яку необхідно враховувати при орган­ізації навчального процесу.

2.Проектна технологія в десятому класі

В десятому класі математичного профілю учні розробили три проекти за темами:

1. Проект «Функція».

Мета:

• Узагальнити і систематизувати знання за темою «Функції»;

• Розвивати вміння визначити властивості функції у нестандартних ситуаціях, побудувати його графік;

• Навчити застосовувати комп'ютерну програму Gran 1для побудови графіків складних функцій.

• Розвиток креативного, логічного мислення учнів.

• Виховання творчої самостійної особистості.

• Розвиток самоосвітньої, комунікативної компетентності учнів.

План.

1. Привести приклади функцій, які відповідають геометричним перетворенням:

а

) y = f ( x a ); Функції, які запропонували учні

б

) y = f ( x ) a ; Функції, які запропонували учні

в

) y = f ( - x ) ; Функції, які запропонували учні

г

) y = - f ( x ): Функції, які запропонували учні

2. Привести приклади функцій, які відповідають геометричним перетворенням:

а) відображення відносно осі Ох; Функції, які запропонували учні

б

) паралельне перенесення вздовж осі Оу; Функції, які запропонували учні

в) паралельне перенесення вздовж осі Ох;

г

) відображення відносно осі Оу; Функції, які запропонували учні

д

) побудувати у = f (x), для х > 0, відобразити побудований графік симетрично відносно осі Оу: Функції, які запропонували учні

е

) відображення симетрично відносно осі Ох тієї частини графіку, де где у < 0. Функції, які запропонували учні

3. Привести прклади і побудувати графіки функцій , мають такі властивості:

№ 1.

1. D (y) = R;

2. E (y) = R ;

3. Функція зростає на всій області визначення .

4. Нулі функції: у = 0, при х = 1.

5. Проміжки постійного знаку функції: у > 0, при

y < 0, при

Наприклад: у= (х-1)³; у = х - 1; у = .

№ 2

1. D (y) =

2. E (y) =

3. Функція зростає на всій області визначення .

4. Функція не має нулів.

5. Проаналізувати проміжки постійного знаку приведених функцій.

Наприклад:

4. Побудувати графік функцій, скласти алгоритм побудови графіку. а) б) ; в) у = - ( х -1 )³; г) у =

д) у= 2 - е) у =

5. При яких значеннях параметру m рівняння

має три розв'язки?

6. При яких значеннях параметру m рівняння

має чотири розв'язки ( найбільшу кількість розв'язків, найменшу кількість розв'язків)?

7. За допомогою програми Gran 1, побудувати графік функції

намалювати графік, описати властивості функції

8. За допомогою програми Gran 1, побудувати графіки функцій

у = х. Скільки спільних точок вони мають. Записати відповідне рівняння, якого степеню воно буде.

2.2. Міні - проект

Алгебраїчні рівняння вищих порядків.

Мета проекту: І. 1. Узагальнити та систематизувати:

• теоретичні та практичні знання, вміння та навички виконання тотожних перетворень алгебраїчних виразів;

• вміння записувати приклади різними способами;

• наводити свої приклади;

• пояснювати виконувані дії.

2. Класифікувати алгебраїчні рівняння вищих порядків за методами їх розв'язування.

3. Розв'язувати рівняння вищих порядків.

ІІ. Розвивати творчу компетентність учнів, процеси мислення; синтез, аналіз, порівняння, узагальнення.

ІІІ. Виховувати навички самоосвітньої діяльності, зацікавленість у навчанні, впевненість у своїх здібностях.

Завдання проекту:

Група " теоретиків "

1. Теоретичні основи теми " Тотожні перетворення "

2. Назвати методи тотожних перетворень алгебраїчних виразів. До трьох з них навести приклади ( І - ІІ рівнів складності ) з доведенням:

• Винесення спільного множника за дужки.

• Позбавитися ірраціональності у знаменнику.

• Застосування формул скороченого множення.

3. Навести по 2 приклади зведених многочленів 3-го та 4-го степенів різних виглядів, які мають цілі корені.

Група " дослідників "

1. Спростити вирази і проаналізувати застосовані методи та формули.

А)

Б)

В) якщо 0< a <2b.

2. Записати умову різними способами і спростити вираз.

.

Група " практиків "

З наведених прикладів вибрати і розв'язати рівняння, якщо можливо - різними способами :

• Розкладання лівої частини рівняння на множники методом винесення спільного множника за дужки.

• Розкладання лівої частини рівняння за допомогою групування.

• Застосування формул скороченого множення.

• Розкладання рівняння на множники за допомогою теореми Безу.

• Симетричні рівняння.

• Введення нової змінної.

• Рівняння вигляду (f(x))⁴ + ( g(x) )⁴= a.

Рівняння:

1. 4 х ⁴ - 8 х ³ + 3 х ² + 8 х +4 = 0;

2. ( х + 3 ) ⁴ + ( х + 5 ) ⁴ = 16;

3. ( х ² + 2х )² - ( х + 1 )² = 55;

4. ( х - 1 ) ⁴ + ( х + 3 )⁴ = 82;

5. 4 х ⁴ - 16 х ³ + 3 х ² + 4 х - 1 = 0;

6. х ⁴ - 2 х ³ - х ² - 2 х + 1 = 0;

7. х ³ - 3 х ² + 3 х - 1 = 0 ;

8. х³- 8 х ² + 13 х -6 = 0;

9. ;

10. 8 х⁴ + х ³ + 64 х ² + 8 = 0;

11. 7 х ³ + 21 х ² - 4 х - 24 = 0;

12. 27 х ³ + 9 х ² - 48 х + 20 = 0;

13. ( х + 3 )³ - ( х + 1 )³ = 56;

14. ( х² + х + 1 ) ( х² + х + 2 ) = 12;

15. .

2. 3. Проект «Тригонометрія.»

Мета проекту:

І. 1. Розширити, узагальнити та систематизувати

теоретичні та практичні знання, вміння та навички:

• побудови графіків тригонометричних функцій;

• дослідження їх властивостей;

• виконання тотожних перетворень тригонометричних виразів;

• вміння наводити свої приклади;

• пояснювати виконувані дії;

2. Класифікувати тригонометричні рівняння за методами їх розв'язування.

3. Розв'язувати тригонометричні рівняння.

4. Доводити формули для обернених тригонометричних функцій.

ІІ. Розвивати:

• творчу компетентність учні;

• процеси мислення; синтез, аналіз, порівняння, узагальнення;

• уміння самостійно отримувати знання;

• навики дослідницької роботи;

• навики самостійного конструювання знань, самостійного висунення гіпотези;

• уміння приймати рішення щодо напряму та способів вирішення проблеми.

ІІІ. Виховувати:

• навички самоосвітньої діяльності;

• зацікавленість у навчанні;

• впевненість у своїх здібностях;

• прагнення успіху.

Структура роботи над проектом

Група теоретиків (завдання)

І. Проаналізувати , з яких розділів складається тригонометрія.

ІІ. Підготувати матеріал за темою: " Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень".

ІІІ. Підібрати по три завдання на застосування тригонометричних формул:

1. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

2. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел.

3.Формули зведення.

4. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

5. Тригонометричні функції половинного аргументу.

6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій

ІV. Скласти схему дослідження властивостей функцій

Група теоретиків (наробки учнів)

І. Проаналізувати , з яких розділів складається тригонометрія.

Тригонометрія складається з розділів:

1. Тригонометричні функції та їх властивості .

2. Обернені тригонометричні функції.

3. Тотожні перетворення тригонометричних функцій.

4. Тригонометричні рівняння та нерівності.

ІІ. Підготувати матеріал за темою: " Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень".

Щоб побудувати графік функції вигляду:

1. y = f(x) +a треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік паралельно перенести вздовж осі Оу на а одиниць вгору, якщо а>0, або перенести вниз, якщо а<0;

2. y = f(x + а) треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік паралельно перенести вздовж осі Ох на а одиниць вліво, якщо а>0; або перенести вправо, якщо a<0;

3. y = - f(x ) треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік симетрично відобразити відносно осі Ох;

4. у = f( - x) треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік симетрично відобразити відносно осі Оу.

5. y = а f(x) треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік при 0< а < 1 стиснути відносно осі Оу в а разів, при а >1 - розтягнути в а разів

6. y = f(аx) треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• побудований графік при 0< а < 1 розтягнути відносно осі Ох в а разів, при а >1 - стиснути в а разів.

7. у = | f ( x ) | треба:

• побудувати графік функції у = f ( x );

• відобразити симетрично відносно осі Ох частину графіка, де у < 0;

8. y = f ( | x | ) треба:

• побудувати частину графіка функції у = f ( x ), де х 0 ;

• відобразити її симетрично відносно осі Оу . Об'єднання двох частин і буде потрібним графіком..

Працюючи з додатковою літературою, ми знайшли такі цікаві функції:

1. у = arcsin( |x| -1), яку запропонували дослідницькій групі дослідити, скласти алгоритм побудови графіка і побудувати його.

2. у = цю функцію ми вирішили запропонувати групі інформаційних технологій.

Проконсультувавшись з вчителем , ми склали неповний план дослідження цієї функції:

1. Знайти область визначення і область значення функції.

2. Визначити парна вона чи непарна.

3. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

4. Визначити, як поводить себе функція, якщо

х наближається до плюс та мінус нескінченності ( ).

ІІІ. Підібрати по три завдання на застосування тригонометричних формул:

1. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу: sin²x + cos²x = 1; tg x =

1+tg²x=, 1+ctg²x=.

• Довести тотожність: tg x + ctg x + tg 3x + ctg 3x = ,

• Спростити вираз: соs ^-4x - sin ^-4x;

• Обчислити : sin ( arccos + ctg ( arcsin .

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел:

• Довести тотожність:

• Спростити вираз:

• Обчислити : соs( arcsin

3.Формули зведення:

• Довести тотожність:

• Спростити вираз:

• Обчислити :

4. Тригонометричні функції подвійного аргументу:

sin 2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos²x - sin²x, tg 2x = .

• Довести тотожність:

• Довести тотожність: cos²x - sin² 2x = cos²x cos2x - 2 sin²x cos²x;

• Спростити вираз:

• Записати в алгебраїчному вигляді: sin(2arctgx)

5. Тригонометричні функції половинного аргументу:

sin²x =

• Довести тотожність:2sin²(

• Спростити вираз: sin²( x + 2y ) +sin² ( x - 2y ) -1;

• Записати в алгебраїчному вигляді: .

6. Формули суми і різниці тригонометричних функцій:

• Довести тотожність: ;

• Спростити вираз: sin5x - sin6x - sin7x + sin8x;

• Обчислити :

Завдання було і цікавим і складним, але ж нам потрібно було з великої кількості прикладів вибрати ті, які задовольняють вимогам застосування певних формул.

При виконанні завдання наша група використовувала додаткову літературу:

"Збірник конкурсних задач з математики під редакцією М.І. Сканаві"

"Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту", Литвиненко Г.Н., ФедченкоЛ.Я., Швець В.А.,

" Збірник конкурсних задач з математики для вступу в ДДМА".

Працюючи з літературою ми вирішили вибрати різні види вправ, такі як:

довести тотожність, спростити вираз, обчислити, записати в алгебраїчному вигляді наприклад такий вираз .

Для виконання цього завдання необхідно застосувати формулу половинного кута соs x = тоді:

.

Підібрані вправи були запропоновані учням класу для розв'язання, але ті де були обернені функції, на той час, ми виконати не могли. Людмила Юріївна пояснила, що нам необхідно спочатку познайомитися з оберненими функціями, вивести деякі формули і тільки після цього можна буде виконати запропоновані завдання. Тоді дослідницька група отримала завдання розглянути формули для обернених функцій.

ІV. Скласти схему дослідження властивостей функцій.

• Дослідити властивості функції можна за схемою:

1. D (y) - множина значень, які набуває незалежна зміна х;

2. Е (у) - множина відповідних значень у;

3. Областю визначення парної і непарної функції є множина значень х, яка симетрична відносно нуля на координатній прямій,

• якщо у ( - х ) = у ( х ) - функція парна;

• якщо у ( - х ) = - у ( х ) - функція непарна.

4. Функція у = f ( x ) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу (х) відповідає більше значення функції (у).

( Для х₁є D(y) i x ₂ є D (y) , таких, що х₂> x₁, виконується нерівність f ( x₂ ) > f ( x₁ ) ).

5. Функція у = f ( x ) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу (х) відповідає менше значення функції (у).

( Для х₁є D(y) i x ₂ є D (y) , таких, що х₂> x₁, виконується нерівність f ( x₂ ) < f ( x₁ ) ).

6. Нулі функції: у (х) = 0.

7. Проміжки сталого знаку: у > 0, y < 0.

8. Найбільше й найменше значення функції це у _maxта y _min при відповідних значеннях x _max та x _min

Дослідницька група ( Завдання)

1. Дослідити функцію у = arcsin (,побудувати графік:

2. Записати тригонометричні вирази в алгебраїчному вигляді:

sin ( arcsin x ) = x; tg ( arctg x ) = x;

cos ( arccos x ) = x; ctg ( arcctg x ) = x;

sin ( arccos x ) =

cos ( arcsin x ) =

tg ( arcsin x ) =

tg ( arccos x ) =

sin ( arctg x ) =

cos ( arctg x ) =

sin ( arcctg x ) =

cos ( arcctg x ) =

3. Довести, що:

1. _{arcsin x + arcos x = , .}

2. _{arcsin x + arcsin y = arcsin , якщо}

Привести вирази до алгебраїчного вигляду:

1. sin ( 2 arctg x ) 2. sin ( arctg ) 3.

4. соs( arcsin.

Довести тотожність: arctg.

Група дослідників (наробки учнів)

Завдання:

1. Дослідити функцію у = arcsin (, підготувати дані для побудови графіку:

• Записати алгоритм побудови графіка;

• Дослідити властивості функції за схемою:

Алгоритм побудови графіку:

2. Побудувати графік функції y = arcsin x;

2. у = arcsin ( x - 1 ) - паралельно перенести вздовж осі Ох на одну одиницю вправо;

3. у = arcsin ( |x| - 1 )- симетрично відобразити відносно осі Оу ту частину графіка , де .

Властивості функції:

1. ,

2.

3. Область визначення функції симетрична відносно початку координат,

у (-х ) = у ( х ), функція парна;

3. Функція спадає при , функція зростає при .

4. Нулі функції: у ( -1 ) = у ( 1 ) = 0;

5. y > 0 на інтервалах [-2;-1 ] і [ 1; 2 ] ;

y < 0 на інтервалі [ -1; 1 ].

7. у _max = y ( -2 ) = y ( 2 ) = ;

y _min = y (0 ) = .

2. Записати тригонометричні вирази в алгебраїчному вигляді:

1. sin ( arcsin x ) = x; -12. tg ( arctg x ) = x;

3. cos ( arccos x ) = x; -14. ctg ( arcctg x ) = x;

5. sin ( arccos x ) = 9. cos ( arctg x ) =

6. cos ( arcsin x ) = 10. sin ( arcctg x ) =

7. tg ( arcsin x ) = 11. cos ( arcctg x )=

8. tg ( arccos x ) = sin ( arctg x ) =

Виконання завдання:

5. Застосуємо формулу sin ²x = 1 - cos²x , дістанемо:

sin ( arccos x ) =

6. Застосуємо формулу сos ² x = 1 - sin ² x, дістанемо:

cos ( arcsin x ) = .

7. Застосуємо формули , , дістанемо:

tg ( arcsin x ) = = ctg ( arccos x ), -1< x < 1.

8. Застосуємо формулу , , дістанемо:

tg ( arccos x ) = = ctg ( arcsinx ), -1

9. Застосуємо формулу

, дістанемо:

cos ( arctg x ) = .

10. Застосуємо формулу дістанемо: sin ( arcctg x ) = .

11. Застосуємо формулу , дістанемо: sin ( arctg x ) = = cos ( arcctg x ).

Група практиків (завдання і звіт)

1. Довести, що:

1. _{arcsin x + arcos x = , .}

Нехай А = arcsin x + arcos x, тоді

cos A = cos (arcsin x + arcos x ) = cos ( arcsin x ) cos ( arccos x ) -

sin ( arcsin x ) sin ( arcos x ) = x .

cos A = 0, A = _{, тоді arcsin x + arcos x = , .}

_{в) arcsin x + arcsin y = arcsin , якщо}

Нехай А = arcsin x + arcsin у , тоді

sin A = sin (arcsin x + arcsin у ) = sin ( arcsin x ) cos ( arcsin y ) + cos ( arcsin x) sin (arcsin у) = _.

_{Отже sin A = , тоді А = arcsin , якщо}

2. Привести вирази до алгебраїчного вигляду:

1. sin ( 2 arctg x ) 2. sin ( arctg ) 3.

4. соs( arcsin.

Довести тотожність: arctg.

1. Довести тотожність: .

Доведення: Нехай А =, тоді cos A = cos (= cos

А = arccos .

Нехай В = , тоді сos B = cos ( B = arccos.

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена.

2. Обчислити без допомоги таблиць та калькуляторів:

а) .

Нехай А = , тоді sin A = sin () = sin (cos () - sin () cos (= = 2 sin (cos ( - = = ; отже sin A = 0, тоді А = 0, = 0.

б) .

Розглянемо другий приклад.

Дослідницька група довела, що

_{arcsin x + arcsin y = arcsin , якщо}

Тоді

; тому що _{arcsin x + arcos x = , .}

Відповідь: =

3. З'ясувати, скільки додатних скільки від'ємних коренів мають рівняння:

1. arcos | x | - , 2. .

Третє завдань ми вирішили виконувати графічно. Розглянемо рівняння № 1. Розкладемо його на дві функції у = arccos | x | i y = .

Запишемо алгоритм побудови графіків функцій:

у = arccos | x |

1. Побудуємо графік функції у = arccos x , при .

2. у = arccos | x | - побудований графік відобразимо симетрично відносно осі Оу. Обі дві частини і будуть графіком заданої функції.

у у

1 х -1 1 х

1. 2.

Другий графік:

y = .

1. Побудуємо графік функції у = .

2. у = - побудований графік перенесемо паралельно вздовж осі Ох на дві одиниці вправо.

3. у = - одержаний графік відобразимо симетрично відносно нової осі Оу. У y

у

х х х

2 2

у

х

-1 1 2

Другу функцію можна записати у вигляді 30 sin . Ми знаємо, що

, тоже запишемо дві функції: у = 30 sin , y = 2 ^{| x |} .

Перша функція нам добре відома і ми можемо скласти алгоритм побудови її графіку;

1. Побудуємо графік функції у = sin x.

2. Стиснемо його у пі разів по осі х і отримаємо графік функції у = sin .

3. Одержаний графік розтягнемо у 30 разів по осі у і будемо мати графік необхідної функції, у = 30 sin .

Другу функцію ми ще не вивчали і тому звернулися до групи інформаційних технологій.

у

³⁰

-1 1 2 3 х

^-30

4. Класифікувати, та розв'язати рівняння.

Для розв'язання нам було запропоновано 33 рівняння

• Рівняння, які зводяться до простіших можна знайти зразу, це рівняння № № 2, 8,16,17.

• Рівняння, які зводяться до квадратних в основному ми визначили навіть не розв'язуючи, це № 11, 15, 23. Рівняння № 1 і 29 ми віднесли до квадратних тільки після розв'язування. Але до квадратних зводяться також однорідні рівняння.

• Метод розкладання на множники застосовується у рівняннях №№ 3, 10, 14, 18, 24, 28.

• Введення допоміжного аргументу можна застосовувати у рівняннях № № 4, 9, 13.

• Однорідні рівняння, це №№ 22, 25 їх ми класифікували зразу. Але працюючи з рівняннями № № 4, 9, 13 ми знайшли ще один метод, який нам сподобався більше. Він дозволяє звести ці рівняння до однорідних .

Розглянемо рівняння № 9 3 sin 5x -2 cos 5x = 3, застосуємо формули подвійного кута для sin 5 x i cos 5 x.

Отримаємо 6 sin 2 cos ²

-sin ² ; маємо однорідне рівняння

sin ² ; поділимо все на , отримаємо рівняння, яке зводиться до квадратного: , тоді

або . Отже х = х = .

• Формули зведення застосовуються при розв'язанні рівнянь №№ 7, 16,17,20,33.

• Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій у добуток, це рівняння №№ 5,26, 27,31.

• Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму №№ 12,16,19,30.

• Раціональні тригонометричні рівняння №№ 20, 32,33.

Рівняння.

1. 2. ( 5 cos 2x + 4 ) cos 9x = 0,

3. ( 1 + cos 4x ) sin 2x = cos ² 2x, 4. 3 sin 2x +2 cos 2x = 3,

5. sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0,

6. sin x sin 3x + sin 4x sin 8x = 0, 7.

8. 2 sin ( 2 x + 9. 3 sin 5x -2 cos 5x = 3,

10. sin 2x = cos ⁴ , 11. 3 sin ² 2x + 7 cos 2x - 3 = 0,

12. 2 ( cos 4x - sin x cos 3x ) = sin 4x + sin 2x,

13. 4 sin 3x + 14. ctg x - sin x = 2 sin ²

15. cos 2x - 5 sin x -3 = 0, 16. tg ( x - 7

17. 6 cos ( x - 18. 1 - sin 3x = ( sin

19. , 20.

21. cos (22. 6 sin ² x + sin x cos x - cos ² x = 2,

23. 2 cos ² x +5 sin x -4 = 0, 24. 2 tg ³ x - 2 tg ²x + 3 tg x - 3 = 0,

25. sin ²x -2 sin x cos x = 3 cos ² x, 26. cos x -

27. cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x = 0,

28. sin ³ x cos x - sin x cos ³ x = 29. cos 4x + 2 sin ² x = 0,

30. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x, 31. sin 3x + sin 5x = sin 4x,

32. , 33. .

Група інформаційних технологій (завдання)

Застосовуючи програму " GRAN 1 "

1. Побудувати графіки функцій: а) б) .

Дослідити за схемою:

1) Знайти область визначення і область значення функції.

2) Визначити парна вона чи непарна.

3) Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

4) Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( ).

2. Визначити графічно, скільки додатних та від'мних коренів мають рівняння: 1. arcos | x | - , 2. .

3. Дослідити властивості функції у = 2 ^{- | x |} .

Група інформаційних технологій (наробки)

y

1

x

-1

1. Область визначення функції .

2. Область значення функції. E(y) = [-1;1]

3. Визначити парна вона чи непарна.

Функція парна. Область визначення симетрична відносно точки О на числовій осі, графік симетричний відносно осі Оу, у (-х ) = у ( х). Функція парна.

4. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

Нулі функції розташовані на інтервалах [-2;0) i (0;2 ].

5. Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( ).

При при

2.

y 5

-8 -3 3 8 x

-5

1. Область визначення функції .

2. Область значення функції. E(y) = [-5;5 ]

3. Визначити парна вона чи непарна.

Функція парна. Область визначення симетрична відносно точки О на числовій осі, графік симетричний відносно осі Оу: у (-х ) = у ( х). Функція парна.

4. Знайти інтервали, де знаходяться нулі функції.

Нулі функції розташовані на інтервалах [-3;3 ].

5.Визначити, як поводить себе функція, якщо х наближається до плюс та мінус нескінченності ( ).

При при

3.

1. у = 30 sin , 2.. y = 2 ^{| x |} . Алгоритм побудови другого графіку:

1. у = 2 ^х для х

у 2. y = 2 ^{| x |}побудовану частину грфіку

відображуємо симетрично відносно

осі ОУ.

y = 2 ^{| x |}

х

Об'єднавши графіки будемо мати:

6 додатних коренів 4 - від'ємних

Висновки

Мислення старшокласників, а значить уміння користуватись розумовими діями, слід не тільки сти­мулювати, а і розвивати. Учням старших класів притаманний високий рівень узагальнення та аб­страгування, прагнення до встановлення причинно-наслідкових зв'язків та інших закономірностей між предметами та явищами, критичність мислен­ня, здатність аргументувати свої переконання тощо. Ці якості дозволяють учителю цілеспрямовано роз­вивати гармонійну особистість, формувати здатність творчо підходити до розв'язання кожної конкрет­ної задачі.

Педагогічне управління процесом розвитку мис­лення учнів може досягти своєї мети лише за умов забезпечення поєднання ретельно підібраного та дидактичне представленого змісту, адекватних, вда­ло відпрацьованих методик та дійових соціальне значущих мотивів навчально-пізнавальної діяль­ності учнів з урахуванням індивідуальних власти­востей мислення, здібностей, інтересів.

Для реалізації конкретних педагогічних задач учитель повинен уявляти кінцеві результати своєї діяльності на кожному етапі проекту. Необхідно так організувати навчальний процес, щоб він сприяв фор­муванню та розвитку розумової діяльності: стимулю­вав самостійне мислення, активізував процес оп­рацювання нової інформації, сприяв встановлен­ню зв'язків між знайомим та новим матеріалом, стимулював засвоєння раціональних прийомів на­вчальної діяльності.

Література

1. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.

2. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование. //Информатика и образование. - 1992. - №5-6. - с.3-12.

3. Жалдак М.І. Gran1 - математика для всех. //Компьютеры + программы. - 1995. - №5(20). - с.72-76.

4. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики: Посібник для вчителів. - К., Техніка, 1997. - 304 с.

5. Кнут Д. Информатика и ее связь с математикой.// Современные проблемы математики.: Сб. - М.: Знание, 1977. - с.4-32.

6. Лупан І.В. Комп'ютерні лабораторні роботи з алгебри та початків аналізу. 10-11 клас: Методичні рекомендації. - Кіровоград: РВЦ КДПУ ім. В.Винни­ченка, 2001. - 88 с.

7. Очков В. Рассказ о трех Э (Euraka, этика, экономика) //Информатика и образование. - 1990. - №2. - с.77-86.

8. Раков С.А., Олелейник Т.А., Скляр Е.В. Использование пакета DERIVE в курсе математики. - Харьков: РЦНИТ, 1996. - 158 с.

9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра та початки аналізу: Проб. підруч. для 10-11 кл. середн. шк. / М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. - К.: Зодіак-ЕКО, 1995. - 608 с.