Департамент образования

Администрации города Новый Уренгой

Решение систем двух линейных уравнений

с двумя переменными

с помощью определителей второго порядка

Подготовили:

ученики 7 класса

______________

Руководитель:

учитель математики Козаченко Т.В.

Г. Новый Уренгой

МОУ СШ №16

2014 год

Содержание

Стр.

1. Цели, задачи, актуальность проектной работы 1

2. Введение 2

3. Основное содержание 3-7

а) теоретическая часть работы 4

б) практическая часть работы 5-7

4. Выводы 8

5. Список, используемой литературы 9

Цели, задачи, актуальность работы

Цели: Провести исследование решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Показать, что решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей второго порядка является наиболее быстрым и рациональным методом, особенно при выполнении однотипных заданий.

Задачи: Расширить знания методов решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. На примерах показать преимущество метода определителей второго порядка при решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

Актуальность: Приём решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей второго порядка значительно облегчает работу. В каждом конкретном случае определители дают возможность установить совершенно определённый порядок решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. С изучением определителей и решения систем уравнений со многими неизвестными начинается очень важный раздел современной математики - так называемая линейная алгебра. Кроме того, от систем линейных уравнений можно подойти к идеям современной вычислительной математики, программирования и ещё многим интересным и важным для практической деятельности людей вопросам.

План выполнения проектной работы

1. Ознакомиться со способом записи решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей второго порядка. Решить этим способом системы уравнений. Выразить свое отношение к способу решения систем уравнений с помощью определителей.

2. Решить системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами: способом подстановки, графическим и алгебраического сложения.

3. Сделать выводы по выполненной работе.

Введение

Определители были изобретены дважды, что в математике встречается не часто. Сначала - без глубокой теории, но с хорошими правилами практического применения - ещё в начале нашей эры или даже ещё раньше в Древнем Китае. Учёные этой страны ещё тогда обладали глубокими и обширными знаниями из разных областей науки и техники, в том числе и из математики. Но на развитие мировой науки они не оказали большого влияния, так как старались скрывать свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто и изобретено китайцами, вновь открывалось или изобреталось в других странах.

Термин «определитель» в современном его значении ввёл О. Коши (1815), хотя ранее (1801) «детерминантом» К. Гаусс назвал дискриминант квадратичной формы. Идея определителей принадлежит Г. Лейбницу, который пришёл к определителям (1693) при решении систем линейных уравнений. В 1750 году метод определителей был вновь разработан Г. Крамером. А. Вандермонд (1772) опубликовал первое обширное исследование, посвящённое определителям. Первые полные изложения теории определителей даны в 1812 году Ж. Бине и О. Коши. Обозначение - вертикальные линии - ввёл А. Кэли (1841).

Г. Лейбниц стремился во всех исследованиях к обобщениям, к единым методам. В частности, он хотел создать единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело его к определителям.

Основное содержание

а) Теоретическая часть работы

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

(1)

Умножая первое уравнение на , а второе на - и сложив полученные уравнения, имеем (2)

Если то находим единственное значение х:

(3)

Аналогично, умножив первое уравнение на - , а второе на и сложив полученные уравнения, имеем (4)

Если, то находим

Анализируя выражения (2) и (4), замечаем, что при любых значениях коэффициентов, удовлетворяющих условию легко сразу записать выражения для нахождения значений х и у. Они записываются в виде дроби, знаменатель которой равен разности произведений коэффициента при х в первой строке на коэффициент при у во второй строке и коэффициента при х во второй строке на коэффициент при у в первой строке. Иначе говоря, из произведения коэффициентов по первой диагонали нужно вычесть произведение коэффициентов по второй диагонали. Это правило очень удобно изобразить так:

+

-

Числитель в выражении для х находится аналогично, только предварительно нужно заменить коэффициенты при х на свободные члены. Числитель в выражении для у находится по тому же правилу, но с заменой коэффициентов при у на свободные члены. Выражения для нахождения х и у с помощью указанного правила удобно записать в следующем виде:

Каждую из таблиц в этих выражениях называют определителем (иначе - детерминантом). Определитель, стоящий в знаменателе, обозначают буквой D. Это число, равное

Определители, стоящие в числителях, обозначают соответственно :

Иногда определитель обозначается буквой греческого алфавита («дельта»). Используя определители, выражения для х и у можно записать так:

Из равенств (1) и (3) имеем: если D=0, а и , то система не имеет решений. Если же все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений. Однако при этом следует иметь в виду, что если взять какое-либо значение х, то у уже нельзя брать произвольным, а необходимо найти его из одного из данных уравнений, т. е. решениями являются пары значений х и у, связанные между собой.

Пример 1. Решим систему уравнений с помощью определителей второго порядка:

Решение. Вычислим определители: D, :

Следовательно,

Ответ:

Формулы или

выражают правило Крамера для нахождения решения системы при условии, что

Отметим ещё раз, что если , то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

б) Практическая часть работы (исследования)

В школьном курсе алгебры изучают различные методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными: метод подстановки, метод алгебраического сложения, графический метод. Рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными всеми известными нам методами и методом определителей.

Пример 2: Решить систему уравнений:

1способ. Графический метод.

Решение. Построим графики уравнений системы. Сначала преобразуем оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем: y=3x-5 , а из второго: y=7-2x .

у

y=3x-5

7

2 А

0 2 х

-5 y=7-2x

Построим в одной системе координат графики линейных функций y=3x-5 и y=7-2x. Они пересекаются в точке А, координаты которой - единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки А, по рисунку точно определить затруднительно. Тем не менее, приближённые значения равны:

2 способ. Метод подстановки.

Решение. Из первого уравнения системы находим y=3x-5. Подставим это выражение вместо у во второе уравнение системы: 2x+(3x-5)-7=0.

Решим полученное уравнение: 2x+3x-5-7=0;

5x-12=0;

x=

Подставим найденное значение х в формулу y=3x-5:

Пара единственное решение заданной системы.

3 способ. Метод алгебраического сложения.

Решение. Исключим у, сложив оба уравнения системы:

(3x-y-5)+(2x+y-7)=0+0

5x-12=0;

x=

Подставив найденное значение х в любое уравнение системы, например в первое, и найдём у:

Итак, решение системы.

4 способ. Метод определителей второго порядка.

Запишем данную систему уравнений в виде:

Решение. Вычислим определители: D, :

Следовательно,

Ответ:

Решая пример 2 четырьмя способами, мы убедились: насколько лаконичным и точным может быть решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, применяя метод определителей второго порядка. Рассмотрим ещё несколько примеров:

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение.

Вычислим определители: D, :

Следовательно,

Ответ:

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение. Вычислим определители: D, :

Следовательно,

Ответ:

Решая примеры 3 и 4, мы ещё раз убедились, что даже самые громоздкие задания выполняются довольно быстро, если применять алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей второго порядка. Мы применяли изучаемые в школе методы при решении данных примеров и пришли к выводу, что при их использовании возникает много ошибкоопасных мест: при переносе слагаемых из одной части в другую, при выполнении вычислений, при раскрытии скобок и другие. А используя новый метод многих ошибок можно избежать.

Решив указанные примеры, мы считаем, что алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью формул Крамера можно сформулировать так:

• Привести систему уравнений к виду:

• Вычислить определители D, : , ,

по правилу: +

• Найти значения: .

• Записать ответ.

Пример 5. При каком значении параметра а пересекаются прямые x+ay=3 и

3x-6y=7.

Решение. Прямые пересекаются, если система

имеет единственное решение, следовательно:

Ответ: при любом значении параметра а прямые пересекаются, кроме

Пример 6. При каких значениях параметров а и в прямые ах+2у=-1 и 10х-6у=в+3 не имеют общих точек?

Решение. Чтобы прямые не имели общих точек необходимо, чтобы система

не имела решения, то есть

Найдём значение в, для этого подставим значение параметра а в систему, получим

Отсюда

Ответ: при и данные прямые не имеют общих точек.

Решение примеров 5 и 6 показали: насколько просто можно решить систему уравнений с параметрами, используя метод определителей.

Пример 7. Решить систему уравнений:

Решение. Вычислим определители: D, :

На нуль делить нельзя, следовательно, решений нет (прямые параллельны)

Ответ: решений нет.

Пример 8. Решить систему уравнений:

Решение. Вычислим определители: D, :

Так как , то система уравнений имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).

Ответ: множество решений.

При решении примеров 7 и 8 мы показали связь между определителями и количеством решений систем линейных уравнений.

Выводы

Таким образом, мы изучили теорию вопроса, научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей второго порядка. Решив ряд примеров, мы составили алгоритм решения систем с помощью определителей. Мы выяснили, что для решения конкретной системы уравнений надо выбирать тот метод, который представляется для данного случая наиболее уместным, или тот, который больше нравится. При выборе метода решения системы необходимо обратить внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными и выбрать наиболее подходящий способ.

Мы постарались показать, насколько просто пользоваться методом определителей при решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными, по сравнению с методами, изучаемыми в курсе алгебры 7 класса для конкретных случаев. Мы считаем, что метод определителей для решения систем может считаться универсальным, особенно при решении однотипных заданий. Надеемся, что для учащихся, увлечённых математикой, будет интересна и поучительна наша работа.

Список используемой литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2014;

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений - М.: Мнемозина, 2014;

3. БЭС Математика - М.: «БРЭ», 1998;

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7 - 9 классы средней школы - М.: Просвещение, 1990;

5. «Математика» приложение к газете «Первое сентября» - М.

6. Электронные ресурсы системы Интернет

12