• Преподавателю
  • Математика
  • Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем уравнений в алгебре. Используется ли понятие определителя II порядка в геометрии? Постараемся ответить на этот вопрос.Выполним вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением тригонометрии и проведем творческую работу по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определител...
Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема занятия:

Площадь многоугольника через определитель второго порядка.

Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением формул тригонометрии.

2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.

3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин для использования на ЕГЭ.

I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.

Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.

А используется ли понятие определителя в геометрии?

Постараемся сегодня ответить на этот вопрос.

II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.

Создание проблемы.

Площадь треугольника

Определителем второго порядка называют значение разности произведений чисел

a∙d - b∙c, записываемых для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.

Докажем, что площадь треугольника равна: Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс. Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Пусть в прямоугольной системе координат А(х1,у1), В(х22), С (х33) - вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.

Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс. ВАС=φ, по известной формуле тригонометрии получим: S= ½ bс∙sinφ.

Угол φ можно представить в виде разности: φ = β-α, где α и β - углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.


Поэтому S =½ bс∙sin ( β-α) =½bс∙(sinβ∙ cosα - cosβ∙sinα).

Из рисунка имеем

c∙ cosα= АВ21В1= х2 - х1,

с∙ sinα=В2В = у21,

b∙ cosβ=АС21С131,

b∙ sinβ=С2С=у31.

Следовательно, S=½((х21)(у31)-(х31)(у21).

Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».

Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±½((х21)(у31)-(х31)(у21), где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.

Используя понятие определителя второго порядка Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс. = аd-bс, формулу можно записать в удобной для запоминания форме:

S треуг. = ±Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс..

Постановка проблемы: определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.

Рекомендации: Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной формуле. Правильный шестиугольник разбивается на равные четырехугольники

II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).

1.Площадь четырехугольника

Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.

у

2,у2) (х33)

S2

S1

11)(х44)

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.


Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.

Диагональ разделит трапецию на два треугольника, площади которых найдем через определитель.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

= Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Запишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

у

1у1) (х2у2)

4у4) (х3у3)

хУчебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Вывод: Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.

Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.

Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин

(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).

По формуле через определитель Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.


Сделаем проверку, вычислив площадь трапеции как сумму площадей, через высоты треугольников.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Получили равные ответы.

2. Площадь правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

у (х22) (х33)

11) (х44)


хУчебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.

3. Площадь квадрата.

.Если центр многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается с помощью координат одной или двух вершин:

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

у

11) (х22)

(0,0) х


Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.


Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.

Площадь правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника

4Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

у (х33)

22)

S1S244)

S3

11)

55)

х

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.


Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

умножая двучлены, получим

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются, и получим:

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Сгруппируем произведения относительно равных абсцисс или равных ординат, получим:

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.

Поменяем знаки, получается в итоге:

Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс..

Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат соседних вершин.

5Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс..Аналогично запишем формулу для n -угольника

ФУчебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.ормула площади n- угольника через координаты своих вершин

имеет вид:

±½ ( ( х1∙2n +

х2∙(у31) +

х3∙(у...- у2) +

..+

хn-1∙(уn-…) +

хn ∙(у1n-1)).

Подведение итогов: Выступления учащихся.

+

Литература:

1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.







© 2010-2022