Титульный лист

Содержание

Введение

Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук - геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Является автором многих геометрических понятий и теорем, в том числе теоремы о пропорциональных отрезках.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник - окружность; треугольник - секущая прямая; треугольник - три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),

- а второй - метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

Цель работы - изучить теоремы Фалеса, Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.

Глава 1. Теоремы о пропорциональных отрезках

1.1. Теорема Фалеса

1.1.1. Исторические сведения о Фалесе Милетском

Фалес Милетский (ок. 624 - ок. 546 до н.э.) - греческий философ и математик из Милета. Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской школы. Считался одним из семи мудрецов Греции. В Египте занимался изучением причин наводнений, нашел способ измерения высоты пирамид. Считал материю одушевленной. Пытаясь определить основу материального мира, пришел к выводу о том, что ею является вода¹.

Хотя принято считать, что западная философия начинается с греков однако первые философские системы возникли не в самой Греции а на западном побережье Малой Азии - в ионийских городах, которые были основаны греками и в которых раньше, чем в самой Греции получили развитие промышленность, торговля и духовная культура Этот район еще называют Ионией, поэтому философские системы разработанные философами - выходцами из этого района, носят название ионийской философии. Впервые философские воззрения возникли в Милете в VI-V веках до Р.Х. Милет в то время был крупнейшим из всех малоазиатских греческих городов. Фалес происходил из знатного рода. В своей жизни и творчестве соединял вопросы практики с теоретическими проблемами, касающимися вопросов мироздания. Он много путешествовал по разным странам используя эти путешествия для расширения и приобретения знания Был всесторонним ученым и мыслителем, изобрел несколько астрономических приборов. Стал известен в Греции тем, что удачно предсказал солнечное затмение в 585 г. до Р.Х. Все свои натурфилософские познания Фалес использовал для создания стройного философского учения. Так, он считал, что все существующее порождено водой, понимая под ней влажное первовещество. Вода - это источник, из которого все постоянно происходит. При этом вода и все, что из нее произошло, не являются мертвыми, они одушевлены. В качестве примера своей мысли Фалес приводил такие вещества как магнит и янтарь: так как магнит и янтарь порождают движение значит они обладают душой. Фалес представлял весь мир одушевленным, пронизанным жизнью. Он заложил теоретические основы учения, имеющее название гилозоизм. Хотя гилозоизм имеет свои корни в мифологии, у Фалеса он получает философское обоснование. По Фалесу, природа, как живая, так и неживая, обладает движущим началом, которое называется такими именами, как душа и Бог. В области науки Фалесу принадлежит заслуга в определении времени солнцестояний и равноденствий, в установлении продолжительности года в 365 дней, открытие факта движения Солнца по отношению к звездам. Он также имеет заслуги в области создания научной математики. Так, считают, что он первым сумел вписать треугольник в круг. Все это принесло Фалесу славу первого мудреца из знаменитых "семи мудрецов" древности.

1.1.2. Формулировка и доказательство теоремы Фалеса

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.²

Доказательство

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, … (рис.1). Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, … равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 1-а). Тогда А₁А₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов А₁В₁В₂А₂ и А₂В₂В₃А₃, так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃.

Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведем прямую l, параллельную прямой l₁ (рис.1, б). Она пересечет прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному В₁С = СD. Отсюда получаем В₁В₂ = В₂В₃. Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т.д.

1.2. Теорема Менелая

1.2.1. Исторические сведения о Менелае Александрийском

Менелай Александрийский, математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Р. Х.

Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения. Главным предметом "Сферики" М. служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелая, которая прежде называлась правилом шести количеств. Менелай, известен еще и как геометр, работавший в области изучения кривых высших порядков³.

1.2.2. Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Теорема Менелая

Эта теорема (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором - продолжения всех трех сторон треугольника.

Теорема 1. (Менелая) Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В₁ и А₁, а прямую АВ в точке С₁ тогда

Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А₁, В₁, С₁ принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если

,

то точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок - перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А₁, В₁, С₁ не лежат на одной прямой. Тогда прямая А₁В₁ пересечет сторону АВ в точке С₂, отличной от точки С₁. При этом, в силу теоремы 1, для точек А₁, В₁, С₂ будет выполняться то же отношение, что и для точек А₁, В₁, С₁. Из этого следует, что точки С₁ и С₂ поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут - получили противоречие⁴.

1.3. Теорема Чевы

1.3.1. Исторические сведения о Джованни Чеве

Чева Джованни, (7 декабря 1647 - 15 июня 1734) - итальянский математик и инженер. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал сочинения: "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678); "Opuscula mathematica de potentiis obliquis, de pendulis et vasis et de fluminibus" (там же, 1682); "Tria problemata geometrica proposita" (Мантуя, 1710); "Hydrostatica etc." (там же, 1728) и несколько других. Самым замечательным из них было первое. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка⁵.

1.3.2. Формулировка и доказательство теоремы Чевы

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A₁, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B₁, C₁ на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева.

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка

пересечения - внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, такие, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в некоторой общей точке, тогда

.

Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB₁ и секущей CC₁ (точку пересечения чевиан обозначим Z):

,

а второй раз для треугольника B₁BC и секущей AA₁:

.

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A₁, В₁ и C₁ выполняется условие Чевы:

• ,

то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая⁶.

Глава 2. Практическое применение теорем о пропорциональных отрезках

2.1. Применение теоремы Фалеса

Задача 1.

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение:

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,<1=<2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и МD), поэтому AN = NC.

Задача 2.

Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА₁, А₁А₂, …, А_n-1А_n (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую А_nВ (точка А_n - конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁ , А₂ , …, А_n-1 и параллельные прямой А_nВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В₁ , В₂ , …, В_n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.

Задача 3.

Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно 8 равных отрезков АА₁, А₁А₂, …, А₇А₈ (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А₈В (точка А₈ - конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁, А₂, …, А₇ и параллельные прямой А₈В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В₁, В₂, …, В₇, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.

Задача 4.

Дан треугольник АВС. На стороне ВС взята точка Р так, что ВР=РС, а на стороне АС взята точка Q такая, что АQ : QС = 5 : 3. Найдите отношение АО : ОР, если точка О - точка пересечения прямых АР и ВQ.

Решение:

Проведем прямые параллельные ВQ через точки А, Р и С. Точка D - это точка пересечения прямых АР и с.

По теореме Фалеса параллельные прямые ВQ, b и c, которые отсекают равные отрезки ВР и РС, отсекают равные отрезки ОР и РD на прямой АD.

По теореме Фалеса параллельные прямые a, BQ и с, которые отсекают на прямой АС отрезки в соотношении 5 : 3, отсекают и на прямой АD отрезки в соотношении 5 : 3.

То есть AQ : QC= 5:3 и AO : OD = 5:3, а отрезок OD=2OP. Следовательно, AO : OP = 10:3.

Ответ: 10 : 3.

Задача 5.

Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂.

Решение:

Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂. Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она по теореме Фалеса пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.

2.2. Применение теоремы Чевы и Менелая

I. Задачи на замечательные точки треугольника

Задача 1.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: , - биссектрисы .

Доказать, что биссектрисы и пересекаются в одной точке - точке .

Решение с использованием теоремы Чевы.

1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Так как по условию - биссектриса , то:

Так как по условию - биссектриса , то:

Так как по условию - биссектриса , то:

2. Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:

Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке - точке . Доказано.

Задача 2.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: , - медианы .

Доказать, что:

1. медианы и пересекаются в одной точке - точке ;

2. .

Решение с использованием теорем Чевы и Менелая).

1. Так как по условию - медианы , то , , , поэтому:

Итак,

Отсюда по теореме Чевы, медианы пересекаются в одной точке - точке .

2. Рассмотрим .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

3. Рассматривая теорему Менелая для и секущей , а также для и секущей , мы получим, что:

Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины. Доказано.

II. Задачи на пропорциональные отрезки.

Задача 3.

В на стороне взята точка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найти отношение .

Дано: , , , - луч, , , .

Найти отношение .

Решение c использованием теоремы Менелая

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Ответ: .

Задача 4.

На стороне взята точка , а на стороне взята точка , причём . Точка пересечения отрезков и делит в отношении , считая от точки . Найти отношение .

Дано: , , , , , .

Найти отношение .

Решение c использованием теоремы Менелая.

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

Ответ: .

III. Задачи на отношение площадей.

Задача 5.

Пусть медиана . На медиане взята точка так, что . Прямая разбивает на два треугольника: и , причём . Найти отношение .

Дано: , - медиана , , , - прямая, .

Найти отношение .

Решение c использованием теоремы Менелая.

Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .

1. Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

2. Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

3. Итак,

Ответ: .

Задача 6.

Биссектрисы и пересекаются в точке . Найти , если , , .

Дано: ; , - биссектрисы , , , , .

Найти .

Решение с использованием теоремы Менелая.

1. Пусть , тогда по условию (, ):

2. Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

3. Так как - биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):

То есть, если , то

4. Прямая пересекает две стороны (, ) и продолжение третьей ( - луч, ), значит, по теореме Менелая:

И, значит,

То есть, если , то .

5. Рассмотрим и .

и имеют общий угол - , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .

Итак,

Следовательно,

По условию задачи , поэтому,

6. Рассмотрим и .

Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,

Ответ: .

Заключение

Как показывает история исследования некоторых математических алгоритмов решения задач, которыми пользовались древние вавилоняне и египтяне, современные учёные не могут взять в толк, каким образом они могли быть найдены. Нашим современникам кажется, что для решения задач по нахождению площадей геометрических фигур, объёмов тел и прочих параметров требуются знания высших разделов математики - алгебры интегрально-дифферециального исчисления.

Решение геометрических задач различными способами является исследовательской частью данной работы и дает возможность сравнить разные способы решения и проанализировать их появление.

Решение задач с помощью теорем Фалеса, Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Теоремы Чевы и Менелая также помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.

Список используемой литературы.

1. Аксёнова М. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ В. Володин. - М.: Аванта+, 2004.

2. Геометрия, 7-9. / Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.В.Кадомцев и др., - М.: Просвещение, 2011.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. -12-е издание.- М.: Просвещение, 2002.

4. Мадер В.В. Полифония доказательств. - М.: Мнемозина, 2009.

5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. - M.: МЦНМО, 2001.

6. Звавич Л.И. Геометрия в таблицах. 7-11 классы. - М.: Дрофа, 2003.

7. Глейзер Г.И. История в математики в школе. - М.: Просвещение, 1983.

8. Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] - Режим доступа: dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

1Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] - Режим доступа: dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

2 Геометрия, 7-9. / Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.В.Кадомцев и др., - М.: Просвещение, 2011.

3Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] - Режим доступа: dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

4 Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. -12-е издание.- М.: Просвещение, 2002

5Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона [Электронный ресурс] - Режим доступа: dic.academic.ru/contents.nsf/brokgauz_efron/

6 Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. -12-е издание.- М.: Просвещение, 2002