Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс)

Конспект урока 1 курса СПО по дисциплине математика. Тема комбинированного урока изучения нового материала: " Дифференциальные уравнения". Дидактической задачей урока является познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений. Развивающей задачей данного урока является развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.План ...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема урока: Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

Цели урока:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения диф.уравнений первого

порядка;

- развить логическое мышление студентов;

- развивать творческие способности студентов:

- побудить интерес к изучаемому предмету.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

  1. дидактический материал;

  2. проектор;

  3. презентация.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Объяснение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала.

  5. Информация о домашнем задании.

  6. Подведение итогов.

Ход урока:

  1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.

Объявить тему урока и его цель.

2. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(4х)'= (х4)'=… (7х2)'=… (х+8)'=… (3х-4)'=… (4sinx)'=… (е)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=6х+4

У=6-9х

в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F'dx).

г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл - это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:

1 группа 2 группа 3 группа

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )dx

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )dx Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )dx Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

3.Объяснение нового материала:

Мотивация: Решить уравнение: у'=2х.

Что содержит данное уравнение?

у'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.

Теоретическая часть:

Определение 1:

Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Определение 2:

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

Примеры:

ху'+у=0- диф.уравнение первого прядка.

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )- диф. уравнение 2-го порядка.

у'''-2у=х- диф. уравнение третьего порядка.

Определение 3:

Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.

Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 4:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) ;
2) зависимую переменную Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) (функцию);
3) первую производную функции: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно - важно чтобы в ДУ была первая производная Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) , и не было производных высших порядков - Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) , Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) и т.д.

Определение 6

Частное решение дифференциального уравнения - это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

Пример: у'=2х. С чего начать решение?

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ),

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?

Разделим переменные

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ),

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) - общее решение

2) При х= 2, у=5, тогда

5=Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), 5= 4+с, получим

с= 1, следовательно,

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )- частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ - это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными

Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка - это уравнение вида:

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное

Для решения этого уравнения необходимо:

  1. Переписать производную

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

2.разделить переменные;

3.проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример2: Решить дифференциальное уравнение Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.

Определение 11

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Используем свойство логарифмов Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )- представлена в явном виде

Пример 3:

1)

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Общее решение.

2) Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) ,

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ),

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ),

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ),

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С2/(-3), тогда С2=9.

Частное решение имеет вид: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

3) Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

5.Закрепление:

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

  1. у'=4х3.Найти общее решение.( ответ: у=х4+С)

  2. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )(ответ: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) )

Найти частные решения ДУ:

  1. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), при х=Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), у=3(ответ: y=tgx+2)

  2. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), при х=0, у=1 ( ответ: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) )

  3. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) ,

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )общее решение.

  1. Найти частное решение ДУ Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )общее решение.

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )тогда у=2sinx-1- частное решение.

Дополнительно:

1. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) , при х=π, у=0 . Ответ: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

2.Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Ответ: у=х2+4

3. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) ,х=2,у=-4. ответ: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

Практическое приложение ДУ.

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) . Получим:

Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ), Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Решение:

По условию Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) , где к- коэффициент пропорциональности.

Отсюда:Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Решение:

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) . По условию задачи Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс ) .

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

При t=4, Q=Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )=5,7гр.

Ответ: 5,7гр.

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

Решить уравнения:1. Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

2.Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

3.Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс )

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.



© 2010-2022