- Преподавателю
- Математика
- Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс)
Разработка урока по математике тема: Дифференциальные уравнения ( 1 курс)
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Вяземская А.В. |
Дата | 19.05.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Тема урока: Дифференциальные уравнения.
Тип урока: изучение нового материала.
Вид урока: комбинированный .
Цели урока:
- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;
- помочь овладеть методами решения ДУ;
- отработать навыки решения диф.уравнений первого
порядка;
- развить логическое мышление студентов;
- развивать творческие способности студентов:
- побудить интерес к изучаемому предмету.
Задачи урока
Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.
Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.
Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.
Средства обучения:
-
дидактический материал;
-
проектор;
-
презентация.
План урока:
-
Организационный момент.
-
Актуализация знаний.
-
Объяснение нового материала.
-
Закрепление изученного материала.
-
Информация о домашнем задании.
-
Подведение итогов.
Ход урока:
-
Организационный момент:
Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.
Объявить тему урока и его цель.
2. Актуализация знаний:
1. выполнить устно упражнения:
а) найти производную:
(4х)'= (х4)'=… (7х2)'=… (х+8)'=… (3х-4)'=… (4sinx)'=… (е3х)'=…
б) Указать угловой коэффициент прямой:
У=6х+4
У=6-9х
в) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F'dx).
г) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)
д) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл - это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)
2. Работа по карточкам ( группа)- у доски:
1 группа 2 группа 3 группа
dx
dx
dx
3.Объяснение нового материала:
Мотивация: Решить уравнение: у'=2х.
Что содержит данное уравнение?
у'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).
Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.
Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.
В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.
Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.
В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.
Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.
Теоретическая часть:
Определение 1:
Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
Определение 2:
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.
Примеры:
ху'+у=0- диф.уравнение первого прядка.
- диф. уравнение 2-го порядка.
у'''-2у=х- диф. уравнение третьего порядка.
Определение 3:
Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти множество функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.
Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Определение 4:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-мым переменным х, искомой функцией у и еѐ производной
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно - важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков - , и т.д.
Определение 6
Частное решение дифференциального уравнения - это решение, не содержащее произвольных постоянных.
Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.
(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).
Пример: у'=2х. С чего начать решение?
,
На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные?
Разделим переменные
,
- общее решение
2) При х= 2, у=5, тогда
5=, 5= 4+с, получим
с= 1, следовательно,
- частное решение.
Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ - это ДУ с разделяющимися переменными.
Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными
Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка - это уравнение вида:
Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное
Для решения этого уравнения необходимо:
-
Переписать производную
2.разделить переменные;
3.проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример2: Решить дифференциальное уравнение
Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.
Определение 11
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.
Используем свойство логарифмов
- представлена в явном виде
Пример 3:
1)
Общее решение.
2) ,
,
,
,
-общее решение
Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.
Получим: -4+1=С2/(-3), тогда С2=9.
Частное решение имеет вид: .
3)
5.Закрепление:
Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.
-
у'=4х3.Найти общее решение.( ответ: у=х4+С)
-
(ответ: )
Найти частные решения ДУ:
-
, при х=, у=3(ответ: y=tgx+2)
-
, при х=0, у=1 ( ответ: )
-
, ,
общее решение.
-
Найти частное решение ДУ .
общее решение.
тогда у=2sinx-1- частное решение.
Дополнительно:
1. , при х=π, у=0 . Ответ:
2.Ответ: у=х2+4
3. ,х=2,у=-4. ответ:
Практическое приложение ДУ.
Задача №1
Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.
Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:
, .
Задача №2
Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.
Решение:
По условию , где к- коэффициент пропорциональности.
Отсюда:
При t=10,s=100: ln100=10k+C
При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25
Уравнение (1) примет вид: .
При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.
Задача №3
При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.
Решение:
Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .
При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .
При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3
При t=4, Q==5,7гр.
Ответ: 5,7гр.
6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;
Решить уравнения:1.
2.
3.
4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.
7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.