Исследовательская работа Тайны «прямоугольного треугольника»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Большетумановская основная общеобразовательная школа

Тайны

«прямоугольного треугольника»

Выполнила ученица 7 класса

Булдакова Ольга Александровна

Руководитель:

Синякова Марина Валерьевна

Почтовый адрес: 607253

Нижегородская область

Арзамасский район

С. Большое Туманово,

ул. Школьная, д. 1

E-mail: [email protected]

Сайт: btums.ucoz.ru

Контактные телефоны:

(83147) 55-5-55

89040697776

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Актуальность темы.

На уроке математики мы чаще всего решаем задачи, применяя готовые формулы и правила. Ученику не всегда это бывает интересно. Хочется решать задачи, в которых нужно не только рассуждать, но и исследовать, делать выводы.

Постановка и формулировка проблемы

В учебнике математики 5-го класса есть задача: "Существуют такие тройки чисел а,b и c, что а² + b² = с². Например, 6²+8²=10². Обладают ли таким свойством тройки чисел: 7,24,25?"

Но а² можно рассматривать и как площадь квадрата. Если формула верна для чисел, то будет ли она верна, если взять площади квадратов?

Гипотеза

Будет ли формула а² + b² = с² правильной для некоторых геометрических фигур?

Разработанность проблемы.

В литературе мы встретили утверждение, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Мы решили его проверить, если на сторонах прямоугольного треугольника построить различные геометрические фигуры.

Цель работы: Проверить выполнимость формулы а² + b² = с²при построении на сторонах прямоугольного треугольника различных фигур

Задачи исследования:

1. Найти информацию о прямоугольном треугольнике, пифагоровых тройках, «Пифагоровом соотношении» и выбрать необходимую.

2. Найти формулу площади треугольника, круга и научиться ими пользоваться.

3. Сравнить сумму площадей различных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника

Гипотеза

Будет ли формула а² + b² = с² правильной для некоторых геометрических фигур?

Объект исследования: формула а² + b² = с²

Предмет исследования: площади геометрических фигур.

Описание проделанной работы

Тема моего проекта "Загадки «Пифагорова соотношения» а² + b² = с²

Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне интересной. Из нее можно узнать много нового. Строя, измеряя, вычисляя и сравнивая площади фигур, можно подтверждать или отрицать свои предположения.

Ход работы:

На уроке математики мы решали задачу: "Существуют такие тройки чисел а,b и c, что а² + b² = с². Например, 6²+8²=10². Обладают ли таким свойством тройки чисел: 7,24,25?".

Эта формула верна для чисел, которые учитель назвал пифагоровыми тройками. Но а² можно рассматривать и как площадь квадрата. Мы решили поверить, будет ли она верна, если взять площади квадратов? Площади других фигур?

Мне стало интересно, и мы решила узнать об этом больше.

Стала искать информацию в интернете, энциклопедии про пифагоровы тройки, в учебнике по геометрии за 7-9 класс. Когда начала читать про пифагоровы тройки, увидела, что этих чисел много и все их можно подставлять в формулу а² + b² = с² и она будет верной. Оказалось, что эта формула еще называется теоремой Пифагора и связывает площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Мы решили это проверить.

S₁=b·b S₂=a·а S= c·c

a=6, b=8, c=10

S₁=64, S₂=36, S=1

S=S₁+S₂

100=64+36, 100=100 Формула оказалась верна. Стало интересно, что будет, если вместо квадратов построить другие фигуры?

1. На сторонах прямоугольного треугольника построила половины квадратов.

Измерила стороны и посчитала площади по формуле .

a=8, a₁=4, b=6, b₁=3, c=10, c₁=5

S₁=b·b₁=18, S₂= a·a₁=32, S=c·c₁=50

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

S=S₁+S₂

50=18+32, 50=50

Формула получилась верной.

2. На сторонах прямоугольного треугольника построила произвольные прямоугольники.

Измерила стороны и посчитала площади по формуле .

S₁=a·a₁, S₂=b·b₁, S=cc₁

S₁=4·2=8 S₂=3·1,5=4,5 S=5·5=25

S=S₁+S₂

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

8+4,5=12,5

25≠12,5

S≠S₁+S₂

Формула оказалась неверной.

3. На сторонах прямоугольного треугольника построила полукруги.

Измерила радиусы и посчитала площади полукругов по формуле .

r₁=a:2, r₂=b:2 r=c:2

a=6, r₁=3, b=8, r₂=4, c=10, r=5

S₁=(π·3²⁾:2=4,5π

S₂=(π·4²):2=8π

S=(π·5²):2=12,5π

Сравнили сумму площадей полукругов, построенных на катетах с площадью полукруга, построенного на гипотенузе.

S₁+S₂=12,5π

12,5π=12,5π

S=S₁+S₂

Формула оказалась верной.

4. На сторонах прямоугольного треугольника построила равносторонние треугольники.

Измерила стороны, высоты и посчитала площади по формуле .

h₁=7, h₂=10, h=13

a=9, b=12, c=15

S₁= (a·h₁):2=9·7:2=31,5

S₂= (b·h₂):2=12·10:2=60

S= (c·h):2=15·13:2=97,5

Сравнили сумму площадей треугольников, построенных на катетах с площадью треугольника, построенного на гипотенузе.

S1+S2=91,5

97,5≠91,5

S≠S1+S2

Формула оказалась неверной.

5. На сторонах прямоугольного треугольника построила круговые секторы.

Измерили радиусы и посчитала площади секторов по формуле S=(π·R²):4

r₁=a=3, r₂=b=4, r=c=5

S₁=(π·3²):4=2,25

S₂=(π·4²):4=4

S=(π·5²):4=6,25

Сравнили сумму площадей секторов, построенных на катетах с площадью сектора, построенного на гипотенузе.

S₁+S₂=2,25+4=6,25

6,25=6,25

S=S₁+S₂

Формула верна.

6. На сторонах прямоугольного треугольника построила прямоугольники, уменьшая одну из сторон квадрата в одинаковое число раз. Например, в 3 раза.

a=9, a₁=3, b=12, b₁=4, c=15, c₁=5

S₁=a·a₁=9·3=27

S₂=b·b₁=12·4=48

S=c·c₁=15·5=75

Сравнили сумму площадей прямоугольников, построенных на катетах с площадью прямоугольника, построенного на гипотенузе.

S₁+S₂=27+48=75

75=75

S=S₁+S₂

Вывод

Формула верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, полукруги, секторы.

Формула верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены полуквадраты и прямоугольники, в которых одну из сторон квадрата уменьшили в одинаковое число раз.

Формула не верна, если на сторонах прямоугольного треугольника построены произвольные прямоугольники и равносторонние треугольники.

Думаю, что мы решили проблему своего проекта. А так же научились искать и отбирать информацию, выдвигать предположения и проверять их.

Литература

1. Г.И. Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей.

2. М.С. Атанасян "Геометрия" 7-9 класс. М: Просвещение, 1991

3. Internet ресурсы