Исследовательская работа по математике

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №15

Научно - практическая конференция «Старт в науку»

Секция математики

Тема: «Делосская задача». От древних веков до наших дней.

Выполнила: Зинюхина Анастасия Владимировна, 10 «А» класс

Руководитель: Прошина Наталья Васильевна

Кузнецк

2015 год

Содержание:

• Введение стр.4

• «Делосская задача» об удвоении куба…………………………….. стр.5

• Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки…………………………………………………………… стр. 7

• Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств……………………………………………………………. стр.9

• Нахождение среднего пропорционального между 1 и 2………… стр.12

• Прибор Эратосфена "месолаб"………………………………….. стр.13

• Другие решения задачи………………………………………….. стр.15

• Заключение стр.17

• Список литературы стр.18

• Приложения стр.19

Гипотеза:

Удвоение куба невозможно произвести с помощью циркуля и линейки, так как проблемно построить отрезок длиной . Но его точно можно осуществить, используя некоторые дополнительные инструменты.

Цели и задачи:

Целью моей работы будет углубление в историю математики, изучение истории возникновения данной задачи древности и некоторых способов ее решения.

Перед собой я поставила следующие задачи:

1.Изучить литературу и источники по данной теме.

2. Рассмотреть задачу о построении квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного.

3. Познакомиться с легендами о «Делосской задаче».

4.Рассмотреть задачи о построение куба в два раза больше данного куба.

5.Сделать вывод и продолжить в дальнейшем изучение данной темы.

Введение

Бывает так, что задача решается, что называется «сходу». Бывает приходится попотеть, подумать над ней. Иногда на обдумывание решения уходят не минуты и часы, а даже дни. Но существуют такие задачи, на решение которых ушли не то, что дни, даже не годы-века.

Эти неразрешимые задачи возникли в глубокой древности.

Греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Эти задачи следующие:

1.Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат ,площадь которого равнялась бы данному кругу.

2. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача об удвоении куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.

Эти три задачи и носят название «знаменитых геометрических задач древности на построение».

Данную тему моей работы я считаю актуальной, потому что очень полезно изучать историю возникновения, методы решений данных задач древними учеными, так как большинство методов и способов решений различных задач сохранились и до наших дней и используются в современной математике.

Я хотела больше узнать об истории возникновения «Делосской задачи», способах решения этой задачи древними учеными.

«Делосская задача» об удвоении куба

« Делосская задача» - построить циркулем и линейкой ребро куба, объем которого вдвое больше объема куба с данным ребром а.

Задача об удвоении куба основывается на двух легендах.

Первая легенда принадлежит Эратосфену (276-194 годы до н.э.), знаменитому греческому математику, астроному и философу. Вот что он рассказывал о причинах, побудивших рассматривать задачу об удвоении куба:

Однажды на острове Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились к знаменитому дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах (Дельфы - общегреческий религиозный центр в Фохиде, у подножия горы Парнас), за помощью и советом.

Чтобы прекратить страдания людей, ответил им оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник богу Аполлону (богу Солнца), имеющий форму куба.

Жители Делоса поспешили скорей отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один сверх другого, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.

Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоумевающим вопросам:

-Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?

На это им оракул с огорчением ответил:

-Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы.

Не в состоянии решить эту задачу так, как требовал оракул, делосцы обратились за помощью к знаменитому математику и философу Платону. Но он уклончиво ответил им:

-Боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

Однако сам Платон не сумел решить указанной задачи циркулем и линейкой. С того времени эта задача и стала именоваться «делосской».

Вторая легенда гласит: Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить:

«Не меняя форму, быстро удвойте каждую сторону гробницы».

Это было явной ошибкой. Ибо если стороны удвоятся, площадь поверхности увеличится в четыре раза, а объем - в восемь раз.

Эта история является эпизодом греческой мифологии, а не историческим фактом. Однако, открытия в Кноссе на Крите в относительно недавнее время показали, что, по крайней мере, частично мифы основаны на реальных исторических событиях. В мифах говорится, что Главк, сын критского царя Миноса и его жены Пасифаи, умер в детстве из-за того, что упал в банку с медом. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки

Греки уже в течение длительного времени знали, как решать задачу об удвоении площади квадрата. Действительно, возьмем квадрат ABCD и проведем его диагональ DB. Построим квадрат BDEF на BD. Тогда, как легко видеть, площадь BDEF в два раза больше площади ABCD. Удвоение прямоугольника немного сложнее, но оно также было известно, представлено Евклидом во второй книге "Начал'' и, безусловно, является частью гораздо более ранней работы.

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к геометрическому построению корня кубического из двух. Действительно, если ребро данного куба положить равным a, а ребро искомого куба - x, то согласно условию задачи, будем иметь:

x³=2a³,

откуда x=a³√2.

Однако все старания построить a³√2 циркулем и линейкой не увенчались успехом.

Имеет место следующая теорема:

Если какой-либо корень приведенного кубического уравнения с рациональными коэффициентами может быть построен посредством циркуля и линейки, то это уравнение обладает, по крайней мере, одним рациональным корнем.

Как уже было показано, задача об удвоении куба сводится к решению кубического уравнения:

x³-2a³=0.

где a есть ребро данного куба, x - искомое ребро удвоенного куба.

Приняв для простоты длину ребра куба за 1, получим уравнение

x³-2=0.

Это уравнение с рациональными коэффициентами не может иметь рациональных корней. Следовательно, по «теореме неразрешимости», задача об удвоении куба не может быть решена при помощи циркуля и линейки.

Таким образом, задача об удвоении куба и является примером такой задачи, которую нельзя решить, прибегая только к циркулю и линейке.

Решение задачи об удвоении куба при помощи вспомогательных средств

Так и не сумев справиться с «делосской задачей» с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые. Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений

a : x =x : y = y : b (при b=2a получаем x=a ).

Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов - двух прямых углов . Приведем решение задачи об удвоении куба, приписываемое Платону. Это решение основано на следующей лемме:

Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями образуют геометрическую прогрессию: .

Пусть теперь требуется построить x так, чтобы x³=2a³, где a - ребро данного куба, а x - искомое ребро удвоенного куба. Для этого в полученной прогрессии достаточно положить OC=a, OB=x , OA=y, OD=2a.

Тогда будем иметь:

,

откуда x²=ay ; y²=2ax.

Следовательно, x⁴=a²y²=2a³x или x³=2a³ ,

x=OB и будет ребром удвоенного куба.

Основываясь на данной лемме, само построение отрезка OB можно выполнить при помощи двух прямоугольных плотничных наугольников. Это делается следующим образом. Берутся две перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке O. На прямой m вправо от точки O отложим отрезок OC=a, где a - сторона куба, подлежащего удвоению.

На прямой n вниз от точки O отложим отрезок OD=2a. Теперь берем два прямоугольных плотничных наугольника и располагаем их так, как показано на рисунке, то есть

1) чтобы катет первого наугольника проходил через точку C, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n;

2) чтобы катет второго наугольника проходил через точку D, которая считается также данной, а вершина находилась бы на прямой m;

3) остальные два катета того и другого наугольника должны соприкасаться.

При таком расположении двух наугольников по данным точкам C и D найдем на прямых m и n точки A и B. Тогда OB=x, а OA=y. По лемме

, откуда x³=2a³.

Следовательно, x=OB и есть построенное ребро удвоенного куба, что и нужно было сделать.

Задача об удвоении куба связана и с параболой. Я попыталась графически найти x для пропорции .

Прибор Эратосфена "месолаб"

Эратосфен играет важную роль в истории задачи, так как сама история ее стала известна благодаря ему, а также из-за его собственного вклада в ее решение. Он возвел в Александрии колонну, посвященную царю Птолемею с эпиграммой, связанной с его собственным механическим решением задачи об удвоении куба:

"Если ты, добрый друг, решишь получить из любого малого куба удвоенный куб и соответственно превращать любое твердое тело в другое, это в твоей власти; ты можешь этим методом найти меру загона для овец, ямы, широкого бассейна или узкого колодца, то есть, если ты таким образом проведешь между двумя линиями две средних со сходящимся концом. Не ищи трудностей с цилиндрами Архита, и не разрезай конус на триады Менехма, и не проводи таких изогнутых линий, как описывает богобоязненный Евдокс. Нет, ты мог бы на этом рисунке легко найти множество средних, начиная с малого основания. Блажен ты, Птолемей, в том, как отец, равный своему сыну в юности силой, ты дал ему все, что дорого музам и королям, и может быть, в будущем Зевс, бог неба, также вручит скипетр в руки твои. Так может быть, и пусть каждый, кто читает это предложение, скажет: "Это подарок Эратосфена из Кирены''''.

Так какую машину изобрел Эратосфен для решения этой задачи?

Прибор "месолаб".

Математики стали придумывать различные «вставки» и приборы, позволяющие хоть как-то справиться с задачей об удвоении куба. Наиболее простой и удобный прибор изобрел Эратосфен. Он назвал его «месолаб» («уловитель средних величин»).

Прибор Эратосфена состоял из трех равных прямоугольников: АВСD, EFGH, KLNT, приставленных друг к другу. При этом средний прямоугольник был закреплен, а два крайних могли двигаться по параллельным желобкам m и p. Пусть АВ = 2a. На NT отметим середину - Q (NQ = QT = а) и будем вдоль желобков надвигать крайние прямоугольники на неподвижный средний (ABCD - cверху, KLNT - снизу). В тот момент, когда точки В - M - P - Q окажутся на одной прямой

(M = СD ^ FH и P = GH ^ LT), задача будет решена.

Действительно, нетрудно показать, что три трапеции: ABMD, DMPH, HPQT, подобны. (Например, подобие трапеций ABMD и DMPH следует из того, что треугольник ABD ~ DMH, а треугольник DBM ~ HMP).

Тогда 2a : x = x : y = y : a (где x = MD, y =PH) или а : x = x : y = y : 2a.

Итак, ; откуда y = a. Таким образом, получен отрезок PH=a

Следовательно, куб с ребром, равным PH,будет иметь объем V = 2.

Эратосфен указывает в цитате, приведенной выше, что его машина способна найти более двух средних пропорциональных. Если бы кому-то потребовалось "несметное число'' средних пропорциональных, то нужно было бы положить такое количество подвижных треугольников в машину, и с помощью той же процедуры найти "несметное число'' средних пропорциональных.

Другие решения задачи

Другие решения задачи привели Филон и Герон, которые использовали одни и те же методы. По сути, их решение получается как пересечение круга и равнобочной гиперболы.

Никомед, который сильно критиковал механическое решение Эратосфена, привел построение, в котором используется конхоида кривой, которую он также применял для решения задачи о трисекции угла. Подробная информация о построении приведена в книге T.L. Heath, A history of Greek mathematics I (Oxford, 1931). Для удвоения куба он использовал приём вставок. Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую - конхоиду (похожая на раковину), которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды . Конхоида определяется таким образом: на плоскости фиксируется прямая L и точка О, и задается произвольное число a. Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой L в обе стороны откладываются отрезки фиксированной длины а = MM '= MM". Вторые концы этих отрезков (M', M") образуют конхоиду.

В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени.

Диоклес также придумал специальную кривую, решающую задачу об удвоении куба, а именно циссоиду.

Хотя в попытках удвоить куб были придуманы эти столь различные методы и сделаны замечательные математические открытия, древние греки не нашли решения, которое они действительно искали, а именно того построения, которое можно произвести с помощью циркуля и линейки. Они не нашли такого построения, поскольку оно невозможно. Однако никаким способом древние греки не могли доказать такой результат, поскольку для этого требуются математические знания, далеко выходящие за рамки тех, что у них имелись. Было бы справедливо сказать, однако, что хотя они не могли доказать невозможность построения с помощью циркуля и линейки, но лучшие древнегреческие математики интуитивно знали, что это действительно невозможно.

Доказательство невозможности нужно было ждать до 19-го века. Окончательно его части были соединены воедино Пьером Ванцелем. В 1837 году Ванцель опубликовал доказательство в журнале Лиувилля: «…посредством оценки, может ли быть решена геометрическая задача с помощью циркуля и линейки».

Гаусс заявил, что задача об удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этого.

Заключение

Все старания решить «делосскую задачу» при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течение столетий решить задачу, свелась ни к чему. Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное количество открытий , имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. И даже несмотря на то, что в дошедшем до нас источнике о приборе Эратосфена(«месолаб») сообщается о сдвигаемых пластинах, не сложно представить себе и шарнирный механизм, работающий таким же образом. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики - среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.

Список литературы

1. С. Акимова. Занимательная математика. Тригон.Санкт-Петербург,1998

2. Энциклопедический словарь юного математика. Москва. Педагогика. 1989

3. Математика в высшем образовании,№5 «Графомеханические методы в античной математике», Г. А. Зверкина, 2007

4. Н.Я.Виленкин, Л.П Шибасов, З.Ф Шибасова «За страницами учебника математики. Геометрия. старинные и занимательные задачи». Пособие для учащихся 10-11 кл./ Просвещение, 2008. - 175 с.

5. wikipedia-info.ru/tag/udvoenie-kuba-vikipediya/

6. library.kiwix.org/wikipedia_ru_all/A/html/%D0%A3/%D0%B4/%D0%B2/%D0%BE/%D0%A3%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B0.html

Приложения

Плато́н (428 или 427 до н. э., Афины - 348 или 347 до н. э.,

там же) - древнегреческий философ

Эратосфе́н Кире́нский (276 год до н. э.-194 год до н. э.) - греческий математик, астроном, географ, филолог и поэт