Исследовательская работа по теме «Методы измерения площадей фигур произвольной формы»

МКОУ Терновская ООШ

Россошанского муниципального района

Воронежской области

Исследовательская работа по теме

«Методы измерения площадей

фигур произвольной формы»

Автор: Щербаков Сергей, ученик 7 класса

Научный руководитель: Минакова Валентина Александровна,

учитель математики и физики

2014

Аннотация

Работа посвящена сравнению различных методов приближенного измерения площадей фигур сложной формы: метода взвешивания и измерения с помощью палетки. Точность методов исследовалась на фигурах, площадь которых можно вычислить по формулам. В результате подтверждена практическая пригодность обоих методов.

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………4

Глава 1. Теоретические основы измерения площадей…………………………..6

1.1Понятия об измерениях………………………………………………………...6

1.2 Измерение площадей…………………………………………………………..7

1.3 Выводы………………………………………………………….........................9

Глава 2.Сравнение методов измерения площадей……………………………….10

2.1 Измерение площадей с помощью палетки……………………........................10

2.2 Измерение площадей с помощью взвешивания………………........................13

2.3 Выводы…………………………………………………………………………..14

Заключение…………………………………………………………..........................15

Список используемых источников…………………………………………………16

Приложение………………………………………………………………………….17

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, на уроке физики учитель предложил определить давление ученика на пол, и перед нами стала проблема, как определить площадь опоры (площадь подошвы ботинок) или бывает необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников.

Цель исследования состоит в том, чтобы сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей, как для реальных физических объектов, так и для фигур, площади которых могут быть найдены по точным формулам.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1. метод взвешивания;

2. использование палетки;

3. применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Гипотеза исследования заключается в том, что площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи:

• знакомство с понятиями измерения и погрешности измерения;

• изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания и с помощью палетки;

• измерение с помощью методов взвешивания и палетки площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения;

• измерение площадей произвольных фигур с помощью изученных методов.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы: поиск, отбор и анализ содержания источников информации; сравнение и классификация; эксперимент.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

1. Понятие об измерениях

Измерение - это сравнение с некоторым образцом (эталоном). Цель измерения - установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.

Чем более мелкие производные основного эталона используются в измерениях, тем выше точность измерения. На практике точность любых измерений ограничена возможностями измерительной аппаратуры. Так, измеряя длину отрезка l обычной линейкой, мы можем, как правило, лишь утверждать, что длина заключена в следующих пределах: , где a - наименьший эталонный отрезок в 1 мм, отмеченный на шкале линейки.

Количественной характеристикой точности является погрешность измерения. Если известно точное значение некоторой величины и ее приближенное значение x, то предельной абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина , а предельной относительной погрешностью - величина . Однако на практике точные значения измеряемой величины неизвестны, а приближенное значение заключено в некоторых пределах: . В этом случае считают, что . (1) Если значения и соответствуют соседним делениям шкалы измерительного прибора (например, масштабной линейки), то говорят, что погрешность составляет половину цены деления шкалы.

1.2. Измерение площадей

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур - любая из них обладает площадью. Площади фигур - это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью косвенных измерений. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют площадь, пользуясь соответствующими математическими формулами.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку или с помощью палетки - листом из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера. В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле (2)

где n - количество целых квадратиков; k - количество нецелых квадратиков, С - площадь одного квадратика.

Для контроля расчётов площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

рис.1

Площадь S измеряемой фигуры (рис.1) заключена в пределах ,

где - площадь фигуры, состоящей из квадратиков, полностью находящихся внутри контура измеряемой фигуры, а - площадь фигуры, состоящей из указанных квадратиков, а также квадратиков, пересекаемых контуром. По формулам (1) получаем: . Количество квадратиков, пересекаемых контуром, определяет, во сколько раз погрешность больше, чем половина единицы измерения - площади эталонного квадрата. Поэтому способ измерения палеткой не слишком точен. Для измерения площади с меньшей погрешностью нужно измерять некоторую вспомогательную величину, по которой можно легко восстановить значение площади, и для которой существуют измерительные приборы со шкалой, позволяющие измерять вспомогательную величину с наименьшей возможной погрешностью - половиной цены деления шкалы.

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S0 точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m0. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции - S/S0 = m/m0, вычислить искомую площадь.

Тогда (3)

1.3. Выводы

Изучение основ измерения площадей позволяет поставить вопрос о сравнении методов измерения с помощью палетки и с помощью взвешивания.

Глава 2. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

В качестве измеряемых фигур были взяты фигуры в форме ладони и подошвы. В качестве эталонных фигур были взяты квадрат со стороной 10 см (эталон 1) и прямоугольник со сторонами 15 см и 6 см (эталон 2), изготовленные из картона. Площадь эталонных фигур можно найти по известным формулам:

2.1. Измерение площадей с помощью палетки

Для выполнения этой части работы были изготовлены палетки I и II с сеткой 1смсм и 0,5см0,5см.

На палетке I эталон 1: 1кв.ед.=1 см²

n=77

k=38

S₁=77 кв.ед.

S₂=115 кв.ед.

S= (77+115)/2=96 см²

= (115-77)/2=19

На палетке II эталон 1: 1кв.ед.=0,25 см²

n=364

k=68

S₁=364 кв.ед.

S₂=432 кв.ед.

S= ((364+432)/2)0,25=94,5 см²

=( (432-364)/2)0,25=8,5

На палетке I эталон 2: 1кв.ед.=1 см²

n=72

k=40

S₁=72 кв.ед.

S₂=112 кв.ед.

S= (72+112)/2=92 см²

= (112-72)/2=20

На палетке II эталон 2: 1кв.ед.=0,25 см²

n=330

k=68

S₁=330 кв.ед.

S₂=398 кв.ед.

S= ((330+398)/2)0,25=91 см²

=( (398-330)/2)0,25=8,5

На палетке I фигура1(ладонь): 1кв.ед.=1 см²

n=75

k=90

S₁=75 кв.ед.

S₂=165 кв.ед.

S= (75+165)/2=120 см²

= (165-75)/2=45

На палетке II фигура1(ладонь): 1кв.ед.=0,25 см²

n=453

k=126

S₁=330 кв.ед.

S₂=398 кв.ед.

S= ((453+579)/2)0,25=129 см²

=( (579-453)/2)0,25=15,75

На палетке I фигура2(подошва): 1кв.ед.=1 см²

n=142

k=50

S₁=142 кв.ед.

S₂=192 кв.ед.

S= (142+192)/2=167 см²

= (192-142)/2=25

На палетке II фигура 2(подошва): 1кв.ед.=0,25 см²

n=640

k=86

S₁=640 кв.ед.

S₂=726 кв.ед.

S= ((640+726)/2)0,25=170,75 см²

=( (726-640)/2)0,25=10,75

2.2. Измерение площадей с помощью взвешивания

Для взвешивания были изготовлены копии образцов из того же материала, что и эталонные фигуры.

S₀₌100 см²

m₀₌2,3г

S_пр=91,3 см²

S_л=100=126,1 см²

S_п=100₌169,6 см²

Таблица 1. Результаты всех измерений

Наименование

образца

Площадь

по формуле

Площадь (по палетке), см²

Взвешивание

сетка 1х1

сетка 0,5х0,5

Масса,

г

Площадь, см²

S

S

эталон 1

100

96

19

99,5

17

2,3

-

эталон 2

90

92

20

91

8,5

2,1

91,3

ф1 (ладонь)

-

120

45

129

15,75

2,9

126,1

ф2 (подошва)

-

167

25

170,75

10,75

3,9

169,6

2.3. Выводы

Результаты всех измерений приведены в таблице 1. В методе измерения с помощью взвешивания площадь рассчитывалась по формуле (3), в которой использованы значения площади и массы эталона 1. Из сравнения значений площади, полученных разными способами, следует, что оба метода дают достаточно близкие значения, хотя погрешности измерения в каждом случае обусловлены разными причинами.

Заключение

В ходе работы получены следующие основные результаты:

• получено представление об измерениях и погрешности измерений;

• изучены методы приближенного нахождения площади с помощью взвешивания и с помощью палетки;

• с помощью методов взвешивания и палетки измерены площади контрольных фигур: прямоугольника, квадрата - найдены погрешности измерения;

• с помощью этих же методов измерены площади произвольных фигур.

Выводы

Как показали проведенные исследования, и метод взвешивания, и измерение площади с помощью палетки являются пригодными для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы.

Гипотеза исследования подтверждена.

Точность измерений можно повысить, используя более точные весы или палетки, с разбиением на более мелкие квадратики или площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Р.И. Малафеев. Творческие задания по физике VI-VII.

2. fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1230

ПРИЛОЖЕНИЕ

На рис.2-3 показано, как выполнялись измерения.

Рис.2. Измерение площадей с помощью палетки

Рис.3. Измерение площадей с помощью взвешивания

Измерение площадей с помощью палетки