Методика решения текстовых задач

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

Разработала

учитель математики

МБОУ «Школа № 30»

г. о. Балашиха

Московской области

Романюк Виктория Викторовна

Содержание.

Введение……………………………………………………………………………………………………………………….2

1. Роль задач в обучении математике………………………………………………………..………………2

2. Задачи и их решения…………………………………………………………………………………………….…4

3. Стандартные и нестандартные задачи ………………………………………………………………..…6

4. Задачи «на проценты»…………………………………………………………………………………………...7

5. Задачи «на работу»……………………………………………………………………………………………….13

6. Задачи «на движение»…………………………………………………………………………………………..17

7. Задачи «на смеси и сплавы»……………………………………………………………………………….…18

8. Задачи «на прямую и обратную пропорциональность»……………………………………….23

9. Прогрессии…………………………………………………………………………………………………………..…26

Заключение………………………………………………………………………………………………………………..32

Список литературы…………………………………………………………………………………………………….33

Введение.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена - выпускной за среднюю школу и вступительные в ВУЗы. В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Одной из таких тем является тема «Текстовые задачи».

Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы.

Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

От начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В то же время решение задач способствует развитию младших школьников.

Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос - центральный в методике обучения решению задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научить детей владеть умением решения задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Задачи и их решения.

Для начала узнаем, что такое задача:

1. Задача - это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.

2. Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.

3. Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ;

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

исследование

ЗАДАЧИ

анализ РЕШЕНИЯ

СХЕМАТИ-ЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ

ОТВЕТ

ПРОВЕРКА

осуществление ПЛАНА РЕШЕНИЯ

план РЕШЕНИЯ

поиск способа РЕШЕНИЯ

анализ

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА

Но чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные.

Стандартные и нестандартные задачи.

Как уже было сказано, по отношению к теории задачи делятся на стандартные и нестандартные.

Сначала рассмотрим стандартный вид. Это задачи, для которых имеются общие правила и положения, определяющие точную программу их решения. Сам процесс решения имеет следующие особенности:

1. Анализ сводится к установлению вида, к которому относится задача.

2. Поиск решения состоит в составлении последовательности шагов решения задач этого вида.

3. Само решение стандартной задачи состоит в применении этой общей программы к её условиям.

Но всё-таки, чтобы правильно решать такие задачи, в первую очередь надо определить её вид.

Теперь рассмотрим нестандартные задачи. Исходя из определения стандартных задач, для них не имеется общих правил и положений.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

1. Переформулировка нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной.

2. Разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

По типам задачи делятся: «на части и проценты», «на работу», «на движение», «на смеси и сплавы», «на пропорциональность» и т. д.

Рассмотрим несколько типов задач, встречающихся на ЕГЭ по математике.

Задачи «на проценты».

Среди всего многообразия текстовых задач чаще всего на Едином государственном экзамене встречаются задачи «на проценты».

Теоретические сведения.

Определение. Процентом числа называется его сотая часть.

Пример.

1% - это одна сотая числа.

1% от числа 500 - это число 5.

3% - это три сотых числа.

3% от числа 500 - это число 15.

Решение любых задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

-нахождению процентов от числа

Пример. Найти 15% от числа 60.

0,15×60 = 9.

Ответ: 9.

-нахождению числа по его процентам

Пример. Найти число, 12% которого равны 30.

12% неизвестного числа нам известны - это 30. Какое же это неизвестное число? Это число (х) обозначаем за 100% и находим его из пропорции:

12% - 30

100% - х.

Ответ: 250.

-нахождению процентного отношения чисел

Пример. Сколько процентов составляет 120 от 600?

Ответ: 20%.

Решение типовых заданий.

Задача 1. Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день - оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

Решение. Обозначим за х (кг) - вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х (кг), а за второй день - 0,8(0,4х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составляем уравнение:

0,4х+0,8(0,4х) + 28 = х,

0,28х = 28 ,

х = 100.

Ответ: 100.

Задача 2. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10% , а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение.

Первое снижение цены товара было на

0,1x1000 = 100 р.

После первого снижения цена товара составила

1000 - 100 = 900 р.

Второе снижение цены товара было на

0,2x900 = 180р.

После второго снижения цена товара составила

900 - 180 = 720 р.

Ответ: 720.

Задача 3. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение. Обозначим первоначальную цену товара за х, тогда после первого повышения цена товара стала - 1,25х. Второе повышение цены было на 0,1x1,25х. После него цена товара стала 1,25х+0,1x1,25x: = 1,375x. Третье повышение цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило 0,12x1,375x = 0,165х. После последнего повышения цена товара составила 1,375x+0,165x=1,54x.

Осталось выяснить процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 1,54х-x=0,54x, что составляет 54% от первоначальной цены.

Ответ: 54.

Задача 4. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Решение. Эта задача на так называемые «сложные проценты». Так говорят, когда в задаче идет речь о поэтапном изменении некоторой величины. В данном случае рассмотрим два этапа - на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год, а на втором этапе производится начисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года.

1000 рублей - первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03x1000. По окончании первого года на счету окажется 1000+0,3x1000=1030. По окончании второго года проценты составят 0,03x1030 = 30,9. Таким образом, после двух лет сумма вклада составит 1030+30,9 = 1060,9. Первоначальный вклад был увеличен на 60,9 рублей.

Ответ: 60,9.

Задача 5. Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Решение. Пусть А - первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма вклада составила А + 0,03А = А(1+0,03) =1,03А. За второй год проценты составили 0,03(1,03А). Через два года сумма вклада станет равной 1,03А+0,03(1,03А)=1,03x1,03А. Получаем уравнение:

1,03x1,03А=А+304,5

0,0609А=304,5

А = 5000.

Ответ: 5000.

Задача 6.Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

Решение. Рассчитаем будущую стоимость 20000 рублей через 3 года под 17% годовых:
20000x(1 + 0,17)³ = 32032 рубля.

Ответ: получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

Задачи для самостоятельного решения.

Группа А

Для каждого из заданий этой группы даны четыре варианта ответа. Выберите номер правильного ответа.

1. Цену товара повысили на 100%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?

1) не изменится 2) возрастет в 2 раза

3) возрастет вполовину 4) снизится на 25%

2. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%.
Как изменится цена товара?

1) не изменится 2) снизится на четверть

3) возрастет на треть 4) снизится на треть

3. Некоторое число уменьшили на 20%. На сколько процен-
тов надо увеличить результат, чтобы получить первоначаль-
ное число?

1)на20% 2) на 25%

3)на50% 3) на 120%

Группа В

Ответом в заданиях этой группы может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

4. В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся
яблок. Во второй день - 180% от того количества яблок, ко-
торое было отпущено в первый день. В третий день - остав-
шиеся 88 кг яблок. Сколько килограммов яблок было на
складе первоначально?

5. Изделие, цена которого 500 рублей, сначала подорожало на 10%, а затем - еще на 20%. Какова окончательная цена изделия?

6. Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

7.Цену некоторого товара снизили на 15%, а потом - еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.

8.Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если 6% одного из них равны 5% другого.

9.Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме,
находившейся на счету. На сколько рублей увеличится пер-
воначальный вклад в 5000 р. через 3 года?

10.Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения трех лет она выросла на 765,1 р. при 2% годовых.

11.Сберегательный банк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 р. через 2 года?

12.Цена первого товара повысилась на 30%, а потом - еще на 5%. Цена второго товара повысилась на 25%. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов первоначальная цена второго товара больше первоначальной цены первого товара.

13.Зарплата была повышена дважды на один и тот же процент за один год. При таком повышении рабочий стал получать вместо 100 р. за один день 125,44 р. Определите, на сколько процентов повысилась зарплата.

Задачи «на работу».

Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:

А=Pt

где P - производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;

t - время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть Pt=1 - взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

Решим задачу на производительность труда.

Задача 1.

Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй - 4 часа, а третий - 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй - 2 часа и третий - 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х - скорость выполнения работы первого каменщика, y - второго, z - третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи

Надо найти , то есть

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим:

Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим:

y=0,5z

Подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z:

В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса.

Задачи «на работу» сложны тем, что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.

Задача 2.

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго - в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом - x, а вторым - y часов. Следовательно, - производительность первого насоса до ремонта, а - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, составим первое уравнение системы:

, т.е. .

- производительность первого насоса после ремонта, а - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, составим второе уравнение системы:

, т.е. .

Запишем систему уравнений:

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:

По формуле найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Ответ: 10 часов.

Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле А=Ptи в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений.

Задачи «на движение».

Задача 1. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t¹ + t + 2 (t - время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 5 м/с?

Решение. Найдем мгновенную скорость v(t) = S'(t) = 2t + 1. Ско-
рость станет равна 5 м/с, когда v(t) = 2t + 1 = 5 <=> t = 2. ■

Ответ: 2.

Задача 2. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) =-t² + 10t + 2 (t - время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

Решение. В момент остановки скорость становится равна 0. Поэто-
му найдем сначала скорость в любой момент времени: v(t) =
= S^f(t)=-2t + 10, отсюда следует, что тело остановится через 5
секунд после начала движения, т.к. v(t)=0 <=> -2t+10=0
<=> t = 5.

Ответ: 5.

Задача 3. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)= 0,5t² + at + 2 (t - время движения в секундах). Найдите а, если известно, что через 5 секунд после начала движения мгновенная скорость тела равна 10 м/с?

Решение. Найдем сначала скорость в любой момент времени:

v(t) = S^f(t) = t + a.

Через 5 секунд 10 = 5 + а <=> а = 5.

Ответ: 5.

Задачи «на смеси и сплавы».

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Задача 1. Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение:

D=b²-4ac=(-108)²-41620=1584, D>0, два корня.

x₁=90 - не удовлетворяет условию задачи

x₂=18

Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

Задача 2. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-1 кислоты?

Решение.

Пусть х г - масса 50%-й кислоты, y г - масса 70%-й кислоты, 0,5х г - масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г - масса смеси, 0,65(x+y)г - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:

Получаем соотношение 1:3.

Ответ: 1:3.

При решении таких задач следует учитывать, что никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

В задачах «на сплавы» как и в задачах «на смеси» идёт речь о соединении различных веществ, но отличие состоит в том, что эти вещества - металлы.

Задача 3. Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Решение.

Пусть х кг - количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:

Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:

х-60+75+65=250, откуда х=170 кг

Ответ: 170 кг.

Задача 4. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Составим таблицу:

Масса руды, кг

Масса железа, кг

Концентрация (доля железа в руде)

Руда

500

х

Руда после удаления примесей

500-200=300

х-0,125×200=ч-25

Пусть х кг - масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна

0,125200=25 (кг),

то его масса в руде после удаления примесей равна

х-25 (кг).

Из того, что масса оставшейся руды равна

500-200=300 (кг)

следует, что концентрация железа в ней равна

.

По условию,содержание железа в оставшейся руде повысилось на

20%=1/5.

Составим уравнение:

Итак, 212,5 кг - масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

212,5-25=187,5 (кг)

Ответ: 187,5 кг.

Мы решили задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.

Задачи «на прямую и обратную пропорциональность».

Задача 1. К 20кг 12%-раствора соли добавили 3кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась.

Решение.

1) 0,12 x 20 = 2,4 (кг) - масса соли в первоначальном растворе

2) 2,4 + 3 = 5,4 (кг) - масса соли в полученном растворе

Пусть x (л) воды требуется долить.

Запишем пропорцию:

=

2,4(20+x)=5.4 x 20

48+2,4х=108

2,4х=60

х=25(кг)

Ответ: 25 килограммов.

Задача 2. Сколько граммов надо добавить к 100г 30%-й соляной кислоты, чтобы получить 10%-ю кислоту?

Решение.

1) 100 x 0,3 = 30 (г) - соли в соляной кислоте

Пусть x(г) надо добавить воды

2)100 - 30 = 70 (г) - воды

100 + х = 300

x = 200 (г) - надо добавить.

Ответ: 200 граммов.

Задача 3. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Решение.

Пусть масса выпаренной воды равна х кг.

15х = 10(500 - х)

15х = 5000 - 10х

25х = 5000

x = 200 (кг).

Ответ: 200 килограммов.

Задача 4. Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Решение.

Пусть x % приходится на чистое вещество в сырье первого сорта

(38 - 30) x 75 = (x - 75) x 30

8 x 75 = 30х - 2250

30х = 2850

x = 2850:30

х = 95% - чистого вещества

100 - 95 = 5% - примесей

Ответ: 5%.

Задачи для самостоятельного решения.

Группа А

1. На склад привезли 126 тонн яблок, груш и слив. Яблок оказалось в 4 раза больше, чем груш. Слив на 18 тонн меньше, чем груш. Сколько тонн яблок привезли на склад?

1) 6 2) 24 3) 82 4) 96

2. Катер прошёл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

1) 16 2) 15 3) 14 4) 13

3. Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил работу за 6 ч, второй за 4 ч, так как изготовлял в час на 14 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил второй рабочий?

1) 170 2) 168 3) 166 4) 164

Группа В

4. На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней один. Затем к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что первому потребовалось бы на выполнение этой работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может построить эту стену первый каменщик, работая один?

5. За определённое время на заводе собирают 90 автомобилей. Первые 3 часа на заводе выполняли установленную норму, а затем стали собирать на 1 автомобиль в час больше. Поэтому за час до срока уже было собрано 95 автомобилей. Сколько автомобилей в час должны были собирать на заводе?

6. Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 54 км, и встречаются через 2 ч. Определите скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них на 3 км/ч больше, чем у другого.

7. Два пешехода отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км, и встречаются через 5 ч. Определите скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч больше, чем у другого.

8. Найдите двузначное число, если частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 4, а частное от деления произведения его цифр на сумму цифр равно 2.

9. Найдите двузначное число, если произведение его цифр в 6 раз меньше самого числа, а если к исходному числу прибавить 9, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

10. Найдите двузначное число, если количество единиц в нём на 4 больше количества десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 90.

11. Сумма кубов цифр двузначного числа равна 91, а произведение суммы цифр на произведение цифр равно 84. Найдите это число.

12. К 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равна 60%. Найдите первоначальный вес раствора.

13. Какое количество воды нужно добавить в 1 л 9%-го раствора уксуса, чтобы получить 3%-ый раствор?

ПРОГРЕССИИ.

Арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность а_1, а₂, а₃, ..., а_n,... называется арифметической прогрессией, если каждый из последующих членов, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, где d - разность прогрессии, а₁ - первый член, п - число членов, а_п - п-й член.

а_п = а₁ + d (n - 1) - формула n-го члена арифметической прогрессии;

=n - формула суммы n-первых членов.

Свойства членов арифметической прогрессии.

1. Каждый средний член арифметической прогрессии равен
   полусумме равноотстоящих от него членов, то есть равен сред-
   нему арифметическому равноотстоящих от него членов.

2. В конечной арифметической прогрессии суммы членов,
равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме
крайних членов.

Геометрическая прогрессия.

Числовая последовательность b1, b₂, Ь₃, ..., Ь_п ,..., у которой первый член b10, называется геометрической прогрессией, если каждый из последующих членов этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q, отличное от нуля, где q - знаменатель прогрессии, Ь₁ - первый член, п - число членов, Ь_п - п-й член.

Ь_п=Ъ₁q^n-1-формула n-го члена геометрической прогрессии;
S_n= - формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

Если \q\ < 1, геометрическая прогрессия называется убывающей.

S = формула суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.

Свойства членов геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого среднего члена геометрической прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов.

2. В конечной геометрической прогрессии произведения членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны

произведению крайних членов.

Решение типовых заданий

Задача 1.

Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Решение. Пусть - первый член арифметической прогрессии,
d - разность прогрессии. Тогда, по условию, + 2d + + 4d=
= 8 <=> + 3d = 4. Сумма первых семи членов

= x 7=7(+3d) = 28.

Ответ: 28.

Задача 2.

Найдите первый член геометрической прогрессии, если ее третий член равен (-10), а его квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член.

Решение. Пусть - первый член геометрической прогрессии, q -

знаменатель. Теперь формализуем условия задачи:

q² = -10,

b₁²q⁴ + b₁q⁶ = 3b₁q⁴;

q² = -,

b₁²q⁴ + b₁q⁶ = 3b₁q⁴;

q² = -,

100 - - 3 x 0;

q² = -,

b₁² -3b₁ - 10 = 0;

q² = -,

b₁ = ;

b₁ = -2.

Oтвет: -2.

Задача 3.

Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна (-3), сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.

Решение. Пусть а₁ - первый член арифметической прогрессии, d - разность, b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель. Теперь формализуем условия задачи:

a₁ + b₁ = -3,

a₁ + 2d + b₁q² = 1,

a₁ + 4d + b₁q⁴ = 5;

a₁ = -3 - b₁,

-3 - b₁ + 2d + b₁q² = 1,

-3 - b₁ + 4d + b₁q⁴ = 5;

a₁ = -3 - b₁,

2d = 4 + b₁(1 - q²),

b₁(q² - 1)² = 0;

a₁ = -3 - b₁,

2d = 4,

q² = 1.

Итак, разность арифметической прогрессии равна 2.

Oтвет: 2.

Задача 4. Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем меньше последнего, но не более чем на 17, а сумма ее членов со второго по последний не меньше 26. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение. Пусть b₁ - первый член геометрической прогрессии, q -

знаменатель прогрессии, q ≠ 1. Тогда, по условию,

b₁ < b_n = b₁q^n-1,

То условие, что «первый член меньше последнего, но не более чем на 17», означает, что b₁ < b_n и b_п - b₁ ≤ 17.

Итак, имеем систему:

b₁(q^n-1-1)> 0,

b₁(q^n-1-1)≤17,

b₁(q^n-1-1)> 0,

b₁(q^n-1-1)≤17,

Заметим, что

=> ;

;

1 < q ≤ ;

q = 2.

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Группа А

1. Бригада в январе изготовила 8 деталей, а в каждый следующий месяц изготовляла на 7 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей бригада изготовила за год?

1. 558 2) 554 3) 510 4) 548

2. Сумма второго, девятого и десятого членов арифметической прогрессии равна 60. Найдите седьмой член этой прогрессии.

1. 15 2) 20 3) 30 4) 45

3. В геометрической прогрессии (b_n) (b_n>0) известно, что S₄=204, q=-0,25. Найдите b₁.

1. -256 2) 256 3) 128 4) -128

Группа B

4. В арифметической прогрессии (a_n) a₉₁=48, a₉₃=-118. Найдите a₉₂.

5. В арифметической прогрессии (a_n) a₈₇=-36, a₈₉=142. Найдите a₈₈.

6. Арифметическая прогрессия состоит из 4 членов. Сумма первых трёх членов равна 30, сумма трёх последних равна 42. Найдите четвёртый член этой последовательности.

7. Арифметическая прогрессия состоит из 4 членов. Сумма первых трёх членов равна 24, сумма трёх последних равна 33. Найдите первый член этой последовательности.

8. В геометрической прогрессии (b_n) (b_n>0)известно, что b_n+m=27, b_m-n=12. Найдите b_m.

9. В геометрической прогрессии (b_n) (b_n>0)известно, что b_n+m=8, b_m-n=32. Найдите b_m.

10. В возрастающей геометрической прогрессии (b_n) известно, что b₁+b₄=27, b₂xb₃=72. Найдите b₄.

11. В убывающей геометрической прогрессии (b_n) известно, что b₁+b₆=-65, b₂xb₅=64. Найдите b₆.

12. Вычислите: 180x1,3(4).

13. Вычислите: 297x0,(5)x0,(12).

Заключение.

Следует отметить, что представленный выше материал предназначен для итогового повторения темы «Текстовые задачи» с целью подготовки к Единому государственному экзамену. Здесь содержатся основные теоретические вопросы для их быстрого повторения, примеры задач, аналогичных экзаменационным с комментариями к ним, а также задания для самостоятельного решения. Большей частью это подготавливающие и обучающие задания, нежели контролирующие.

Поэтому материал поможет старшеклассникам систематизировать свои знания по данной теме и подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Список литературы:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1981.

2. Денищева Л.О. и др. Сдаём Единый государственный экзамен. Математика. - М.: Дрофа, 2007.

3. Кожабаев К.Б. О воспитательной направленности обучения математике в школе: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1988.

4. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. - М.: Айрис-пресс, 2006.

5. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. - М.: Айрис-пресс, 2007.

6. Кочагин В.В. ЕГЭ - 2007. Математика. Репетитор / Кочагин В.В., Кочагина М.Н. - М.: Просвещение, Эксмо, 2007.

7. Кочагин В.В. ЕГЭ - 2008. Математика. Сборник заданий / Кочагин В.В., Кочагина М.Н. - М.: Эксмо, 2008.

8. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.М. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. - М.: Дрофа, 1995.

9. Соловейчик И.В. Математика. - М.: Первое сентября, 2004.

10. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Решение задач и выполнение заданий по математике с комментариями и ответами для подготовки к Единому государственному экзамену. - Волгоград: Учитель, 2005.

11. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1984.

12. Челомбитько В.П. Математика: весь курс: теория, задачи, решения: для выпускников и абитуриентов. - М.: Эксмо, 2007.

13. Шевкин А.В. Текстовые задачи: 7 - 11 классы: Учебное пособие по математике. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2003.

37