Путешествие по геометрическим островам

Пейзаж 3. Геометрические иллюстрации тождеств и неравенств

Язык современной алгебры - творение европейских титанов мысли, таких, как Виет, Декарт и Паскаль. Древние греки не могли записать современной алгебраической нотацией даже простое тождество, как (a + b)² + (a - b)² - 2(a² + b²). Тем не менее с доказательством подобных тождеств они отлично справлялись. Примерно вот так:

А вот «моментальный снимок» доказательства еще одного классического алгебраического тождества:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)².

Здесь показан один квадрат со стороной 1, два квадрата со стороной 2, …, восемь квадратов со стороной 8. Все они аккуратно укладываются в квадрат со стороной 1 + 2 + … + 8. При этом перекрывающиеся части некоторых квадратов в точности равны непокрытым участкам. Мне кажется, что увидев один раз эту картинку, человек уже не способен забыть ни ее саму, ни то алгебраическое тождество, которое она иллюстрирует.

Еще один «островок» - картинка к геометрическому доказательству теоремы косинусов.

Здесь в круге построен прямоугольный треугольник, один из катетов которого делит диаметр круга на отрезки а + с и а + с. Сам этот катет делится диаметром на отрезки b и 2аcos - b. Известная геометрическая теорема гласит, что произведения длин отрезков хорд равны, т. е.

b(2acos - b) = (a + c)(a - c),

откуда 2abcos - a² + b² - c². Может быть, это доказательство и не проще стандартного школьного, однако оно, несомненно, дарит возможность увидеть математический океан с новой точки зрения.