Разработка открытого урока на тему Алгебра логики

Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Донецкий техникум промышленной автоматики»

Методическая разработка

открытого занятия

на тему: «Алгебра логики»

по дисциплине: "Дискретная математика"

09.02.01 Компьютерные системы и комплексы

подготовила преподаватель

Сугоняко Н.В.

Донецк - 2015

План занятия.

Группа: 1КСК-13

Специальность: 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы.

Тема программы: Алгебра логики.

Тема заняття: Основные понятия алгебры логики.

Цель занятия:

Образовательная:

1. Познакомить студентов с терминологией формальной логики.

2. Сформировать представление о простейших логических операциях.

3. Совершенствовать навыки самостоятельного применения знаний.

Развивающая:

1. Способствовать развитию логического мышления.

2. Способствовать развитию памяти и внимания.

3. Формировать навыки обобщения имеющейся информации.

Воспитательная:

1. Способствовать воспитанию информационной культуры.

2. Воспитывать интерес к новым знаниям.

Тип занятия: изучение и первичное закрепления новых знаний.

Вид занятия: лекция.

Вид лекции: тематическая.

Форма проведения занятия: интеграционное занятия.

Межпредметные связи :

Обеспечивающие дисциплины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Основы программирования и алгоритмические языки.

Обеспечиваемые дисциплины: Объектно-ориентированное программирование, Базы данных, Математическая логика, Алгоритмы и структуры данных, Учебная практика.

Метод обеспечения : рабочая программа , методическая разработка занятия , лекция по теме : " Основные понятия алгебры логики », компьютерная программа "Тест" с тестами , задачи , презентация.

Литература:

Основная:

1. М.Ф. Бондаренко. Компьютерная дискретная математика. 2004

2.А.Ю. Эвнин. Дискретная математика. Конспект лекций. 1998
3. Акимов О.Е. - Дискретная математика. Логика, группы, графы (2001)(2-e, доп.)
4. Алексеев В.Б. - Дискретная математика (2002)

5. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. - Дискретная математика (2004)(3-е, стер.)
6. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. - Сборник задач по дискретной математике (1977)

Дополнительная:

1.Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И. - Дискретная математика[c] Учеб. пособие (ФМЛ, 2005)
2. Новиков Ф.А. - Дискретная математика для программистов (2000)
3. Плотников А.Д. - Дискретная математика (2005)

Ход занятия

I. Организационный момент. (5 мин.)

Приветствие. Озвучивание темы и целей занятия.

Озвучивание критериев оценивания за работу на паре.

II. Актуализация опорных знаний студентов. (15 мин.)

1. Опрос с помощью компьютерной программы «Тест». (10 человек)

2. Фронтальный опрос.

• Какое множество называется упорядоченным?

• Чем отличается строгое включение от нестрогого?

• Какое множество называется универсальным?

• Какое множество называется пустым?

• Назовите операции алгебры множеств соответственно их приоритету.

• Дайте определение декартовому произведению множеств.

• Что называется отношением?

• Назовите способы представления отношений.

• Что называется композицией отношений?

• Назовите свойства отношений.

• Какое отношение называется функциональным?

• Какие переменные называются булевыми?

• Дайте определение булевой функции.

• Назовите способы задания булевых функций.

• Назовите основные законы булевой алгебры.

• Что такое таблица истинности?

• Дайте определение понятию элементарная конъюнкция.

• Дайте определение понятию минтерм.

• Дайте определение понятию СДНФ.

• Что изображает карта Карно?

III. Вступительное слово. (3 мин.)

На данном этапе происходит погружение в тему занятия, приводится историческая справка.

В обычной повседневной жизни наше мышление, наш разум подчинены определенным житейским правилам, все наши действия - это реакция на что-то или кого-то, причем сама реакция определяется логическим выводом из сложившейся ситуации. Логически мыслить присуще любому живому существу.

Самые первые желания человека: желание пищи, воды и крова обусловлены первобытной логикой: необходимостью жить и выживать в любых условиях. Ведь инстинкт - это тоже своеобразная логика. Логика послужила одним из толчков к развитию человечества. Но интересно то, что если рассматривать понятие логики с обывательской точки зрения, то в ее рамки можно вместить любой человеческий поступок, каким бы странным он нам не казался, потому что логика одного человека хоть в чем-то, но отличается от логики другого.

Поэтому нам часто не понятны поступки других людей, нам они кажутся алогичными. Человек, совершивший странный с нашей точки зрения поступок может попытаться убедить нас, он начнет приводить нам аргументы, которые ему подсказывает его логика, но мы, скорее всего, все равно его не поймем. Это похоже на то, как если бы мы начали объяснять вкус рыбы человеку, который никогда ее не пробовал.

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики как систематизированной науки о мышлении и его законах является Аристотель. Он впервые отделил логические формы мышления от его содержания. Аристотель опирался на Демокрита, Платона и других древнегреческих философов, но никто из них не создал науки о мыслительной деятельности рассуждающего человека.

IV. Изложение нового материала. (40 мин.)

В ходе изложения материала производится проверка усвоения полученных сведений.

1. Основные понятия формальной логики.

Сам термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика - это наука о законах и формах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Мышление делится на три формы:

Понятие - выделение существенных признаков предмета или класса предметов, позволяющих их отличить от других.

Высказывание - это формулировка своего понимания окружающего мира.

Умозаключение - позволяет из одного или нескольких высказываний получить новое суждение (знание или вывод).

Высказывание может быть истинно или ложно. Например, высказывание «Буква «а» - гласная» следует считать истинным высказыванием; высказывание: «2 * 2 = 5» - ложным. Но не каждое предложение является логическим высказыванием. Предложение «Перечислите устройства компьютера» не является высказыванием, так как невозможно судить об его истинности или ложности.

Упражнение (устно).

Какое из предложений являются высказыванием? Определить их истинность. (за каждый правильный ответ - 1балл)

1) Сколько человек в группе?

2) Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

3) Число 3 является четным.

4) Разделите яблоко пополам.

5) На улице бывает холодно.

6) Дети любят играть.

7) Монитор - устройство ввода информации.

8) Ночью темно.

9) Кто идет?

10) Студенты учатся.

Ответ: 2, 3, 6, 7, 9, 10.

2. Алгебра логики. Логические выражения.

Изучение раздела начинается с исторической справки.

Первым попытался перевести законы мышления (формальную логику) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, был немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (в 1666 г.).

Спустя более ста лет, в 1816 году, уже после смерти Лейбница, английский математик Джордж Буль подхватил идею Лейбница о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. Буль изобрел своеобразную алгебру - систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв, до предложений. Его именем она теперь и называется: алгебра Буля, или булева алгебра.

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики.

В алгебре логики присутствуют свои компоненты:

1) логическая переменная;

2) логическая функция;

3) операции.

Логическая переменная - это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение - латинская буква (например A,B,X,Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций.

Высказыва­ния, не являющиеся составными, называются элементарными. Например, из элементарных высказываний «Иванов - студент», «Иванов - отличник» при помощи связки И можно получить со­ставное высказывание «Иванов - студент и отличник».

Итак, объектами алгебры логики являются высказывания, которые рассматриваются не с точки зрения их содержания, а с точки зрения их истинности и ложности. Если высказывания соединяются логическими операциями, то их принято называть логическими выражениями.

3. Логические операции.

Продолжение изложения материала.

Логические выражения бывают простыми и сложными. В основе логики компьютера лежит преобразование сложных логических выражений. Начнем с простых логических выражений.

Какие же действия (операции) можно производить над высказываниями? Рассмотрим три базовые логические операции: конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию; и две дополнительные: импликацию и эквивалентность.

1) Операция конъюнкция (логическое умножение).

Определяет логическое соединение двух высказываний с помощью союза И. Эта операция также называется логическим умножением и обозначается символами & или . Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции над двумя высказываниями, обозначенными буквами А и В.

В результате операции конъюнкции (логического умножения) составное высказывание получает значение «истина» только тогда, когда оба исходных выражения истинны.

Из таблицы следует: если составное высказывание выразить в виде формулы (например, А & В), в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить.

Рассмотрим, например, составное высказывание «2 • 2 = 4 И 3 • 3 = 10». Здесь А = «2 • 2 = 4», В = «3 • 3 = 10». Первое простое высказывание истинно (А= 1), а второе высказывание ложно (В = 0). По таблице определяем, что логиче­ская функция принимает значение «ложь» (F = 0), т.е. данное со­ставное высказывание ложно.

2) Операция дизъюнкция (логическое сложение).

Определяет логическое соединение двух высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция также называется логическим сложением и обозначается символами или |. Рассмотрим таблицу истинности, определяющую результат этой логической операции.

В результате операции дизъюнкции (логического сложения) составное высказывание получает значение «истина» только тогда, когда хотя бы одно из исходных выражений истинно.

Например, пусть А = «10 / 2 = 4», В = «5 • 3 = 10». Составное высказывание «10 / 2 = 4 ИЛИ 5 • 3 = 10» ложно (F=0). Пусть А = «8 / 2 = 4», В = «6 / 3 = 5». Составное высказывание «8 / 2 = 4 ИЛИ 6 / 3 = 5» истинно (F=1).

3) Операция отрицание (инверсия).

Операция, выражаемая словом НЕ, назы­вается отрицанием, или инверсией, и обозначается символом ¬ или чертой над высказыванием.

Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» - истинное высказывание, тогда высказывание, образованное с помощью опе­рации логического отрицания - «Два умножить на два не равно четырем», - ложное высказывание.

Истинность такого высказывания задается таблицей истинно­сти функции логического отрицания.

4) Операция импликация (логическое следование).

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия. Эта операция обозначается значком следования → и выражается словами «если…, то…». Результат этой операции определяется в соответствии со следующей таблицей истинности.

В операции логического следования значение «ложь» получается только тогда, когда условие (А) - истинно, а следствие (В) - ложно.

Например, пусть А = «Данный четырехугольник - квадрат», В = «Около данного четырехугольника можно описать окружность». В результате импликации получается составное высказывание F = А → В, под которым понимается: «Если данный четырехугольник - квадрат; то около него можно опи­сать окружность». А = 1, В = 1, результат функции F = 1.

Возьмем высказывание «Если число 9 делится на 3 без остатка, то число 10 делится на 3 без остатка». А = «Число 9 делится на 3 без остатка», В = «Число 10 делится на 3 без остатка». А = 1, В = 0, результат функции F = 0.

5) Операция эквивалентность (логическая равнозначность).

Определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В, обозначается символом ↔. Результат этой операции - новое логическое выражение, которое является истинным только тогда, когда оба исходных выражения истинны или ложны. Определяется следующей таблицей истинности.

Например, высказывание «5 • 3 = 15» равносильно высказыванию «24 / 3 = 8».Тогда А = 1, В = 1, результат функции F = 1. Или высказывание «5 • 5 = 25» не равносильно высказыванию «2 • 2 = 5», тогда А = 1, В = 0, результат F = 0.

V. Закрепление материала. (10 мин.)

Таблицы истинности, написанные на доске во время объяснения материала желательно сохранить для дальнейшей работы. Несколько учащихся работают у доски, используя таблицы истинности. Остальные записывают примеры в тетрадь.

Упражнения.

1) Есть два простых высказывания:

А - Волк - травоядное животное».

В - «Корова - хищное животное».

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Ответ: А = 0, В = 0.

А & В = 0; А В = 0; ¬ А = 1; ¬ В = 1; А → В = 1; А ↔ В = 1.

2) Даны два простых высказывания:

А - «Число 17 - четное».

В - «Число 17 - двухзначное».

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Ответ: А = 0, В = 1.

А & В = 0; А В = 1; ¬ А = 1; ¬ В = 0; А → В = 1; А ↔ В = 0.

3) Даны два высказывания.

А - «Два умножить на два равно четыре».

В - «Два умножить на два равно пять».

Ответ: А = 1, В = 0.

А & В = 0; А В = 1; ¬ А = 0; ¬ В = 1; А → В = 0; А ↔ В = 0.

4) Даны два высказывания.

А - «Париж - столица Франции».

В - «Москва - столица России».

Ответ: А = 1, В = 1.

А & В = 1; А В = 1; ¬ А = 0; ¬ В = 0; А → В = 1; А ↔ В = 1.

5) Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)?

а) ЕЛЕНА б) ВАДИМ в) АНТОН г) ФЕДОР

Ответ: АНТОН.

6) Составьте и запишите истинное сложное высказывание из простых с использованием логических операций:

Если Х делится на 2, то оно четное.

Ответ: (Х делится на 2) → (Х - четное).

7) Запишите логическое выражение, соответствующее следующему высказыванию. Определите его истинность.

Зоология изучает растения или ботаника изучает животных.

Ответ:

а) А - Зоология изучает растения (0)

В - Ботаника изучает животных (0)

А & В = 0; А В = 0; ¬ А = 1; ¬ В = 1; А → В = 0; А ↔ В = 1.

8) Составьте и запишите истинное сложное высказывание из простых с использованием логической операции импликации:

Если Х делится на 9, то Х делится на 3.

Ответ: (Х делится на 9) → (Х делится на 3).

VI. Подведение итогов урока. (5 мин.)

Оценивается работа учащихся. Выставление оценок по итогам работы на занятии.

VII. Домашнее задание. (2 мин.)

1. Изучить материал.

2. Выполнить творческое задание. Составить кроссворд по данной теме.

Задания для оценивания студентов

Вопросы к компьютерному тесту

1. Какая формула соответствует дистрибутивному закону?

2. Чему равно выражение ?

3. Чему равно выражение ?

4. Сколько двоичных наборов содержит таблица истинности функции f(a,b,c)?

5. На каком входном наборе конъюнкция двух переменных равна единице?

6. Дизъюнкция некоторого числа переменных равна единице, когда …

7. Каждая импликанта в СДНФ соответствует …

8. Разложение булевой функции по переменным предназначено для …

9. Наибольшим из приведенных двоичных чисел есть число:

10. Карты Карно используются для:

11. Можно ли для функции f(x1, x2, x3) заданной так, что на всех наборах значений переменных x1, x2, x3 она принимает значение 0, построить какую-либо совершенную нормальную форму?

12. Определите, какая из перечисленных формул является ДНФ

13. Совершенной конъюнктивной нормальной формой называется…

14. Дизъюнктивной нормальной формой называется…

15. Могут ли повторяться элементы множества?

Ключ к тесту

1. 

2. 

3. 

4. 8

5. 1,1

6. Хотя бы одна переменная равна единице

7. Значению функции, равному единице

8. Построения СДНФ

9. 1000010

10. Ручной минимализации функций алгебры логики при небольшом количестве переменных

11. Можно СКНФ

12. xyz x

13. Конъюнкция элементарных дизъюнкций, при этом каждая дизъюнкция

содержит все переменные или их отрицания

14. Дизъюнкция элементарных конъюнкций

15. Нет

Критерии оценивания

7 и более баллов - оценка 5

4-6 баллов - оценка 4

2-3 баллов - оценка 3

3