Методические матерКак подготовиться к олимпиаде по математике - 6 класс

Автор разработки: Шаруда Жанна Николаевна

Образовательное учреждение: МАОУ «Гимназия № 76» города Набережные Челны Республики Татарстан.

Название разработки: Традиционный задачник «За две недели до олимпиады».

Предмет: математика

Класс: 6 класс

Тема: Подготовка учащихся 6 -х классов к муниципальному туру олимпиады по математике.

Среда в которой выполнена разработка: текстовый редактор WORD.

Далее приводятся полнотекстовые версии всех задач.

1. Задачки для разминки.

Вариант № 1.

Задачи для устного решения, ответом является число. Ответ необходимо вписать в таблицу под соответствующим номером задачи.

№ 1. Какое число нужно увеличить в 17 раз и получить 17?

№ 2. Какое число составляет шестую часть от 72?

№ 3. Больному прописали 5 таблеток. Он должен принимать их по одной каждые 0,5 часа. На какой промежуток времени ему хватит этих таблеток?

№ 4. Если перевернуть число сверху вниз, то оно уменьшится на 33. Что это за число?

№ 5. На дереве было 115 яблок. Все за исключением пяти собрали. Сколько яблок осталось на дереве?

Таблица для ответов.

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

Вариант № 2.

Задачи для устного решения. Вам предоставляется набор ответов, среди которых есть правильные ответы. Соедините № задания с правильным ответом.

№ 1. Расстояние между двумя скамейками на набережной равно 40 м. Сколько потребуется установить скамеек на расстоянии 400 м. ?

№ 2 .Если сложить возраст трёх подруг вместе, то получится 28 лет. Сколько лет вместе будет подругам через 21 год?

№ 3. Изделие из железа весит 8 кг, да ещё третью часть своего веса. Сколько весит это изделие?

№ 4. Крышка стола имеет 6 углов, один из углов отпилили. Сколько стало углов у этого же стола?

№ 5. Поросёнок весит 4 кг плюс половина его веса. Сколько весит поросёнок?

№1 №2 №3 № 4 № 5

Вариант № 3.

Задачи для устного решения. Если предложенное утверждение, верно, то вы пишите 1, если нет - 0. В результате ответов на все вопросы, у вас получится пятизначное число.

№ 1. Значение 5! равно 120.

№ 2. Число 2 является наименьшим натуральным составным числом.

№ 3. Произведение 1111333 -х нечётных чисел - нечётное число.

№ 4. Произведение всех цифр больше чем сумма всех цифр.

№ 5. Произведение чисел 23, 24 и 22 делится на 11.

Ответ:_______________________________

Вариант № 4.

Задачи для устного решения. Закончите предложение. В таблице ответов в столбике «Ч» впишите № соответствующего предложения - если ваш ответ «чётное», в столбике «Н» - если ваш ответ «нечетное».

№ 1. Сумма чётного и нечётного чисел ___________________________ число.

№ 2. Сумма двух любых нечётных чисел __________________________число.

№ 3. Сумма двух любых чётных чисел ____________________________число.

№ 4. Сумма, состоящая из нечётных слагаемых, является чётным числом, если число этих слагаемых является __________________________________числом.

№ 5 Сумма, состоящая из нечётных слагаемых, является нечётным числом, если число этих слагаемых является __________________________________числом.

Ч - чётное

Н - нечётное

2. Ответы к задачкам для разминки.

Вариант № 1.

Таблица для ответов.

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

1

12

2 ч

99

5

Вариант № 2.

№ 1 91 год

№ 2 11 столбов

№ 3 12 кг

№ 4 7 углов

№ 5 8 кг

Вариант № 3.

Ответ: 10101.

Вариант № 4.

Ч - чётное

Н - нечётное

2

1

3

5

4

3. Задачи по темам.

Задачи на проценты.

Вспоминаем, что решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

Пример такой задачи.

На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решение:

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.

100% - 99% =1% - процентное содержание сухого вещества в ягодах

100: 100 = 1(кг) - масса сухого вещества

2) 100% - 98% =2% - процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем

100 : 2 = 50(кг)

Ответ: 50 кг.

Реши следующие задачи на %.

№ 1. Свежая клубника содержит 85% воды, а сухая - 20%. Найдите массу сухой клубники, если свежая была 36 кг.

№ 2. Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. При первоначальной влажности на складе было 51т. зерна. Чему стала равна масса зерна после просушивания?

№ 3. Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие - 72% воды. Найдите массу свежих фруктов, чтобы получить 7 кг сухих.

№ 4. Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой была масса пирожка вначале?

№ 5. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?

Задачи на движение.

Вспоминаем, что при движении на воде:

• Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки;

• Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки;

• Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело (плот) движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю);

• Разность между скоростью тела по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения реки;

• Время, за которое лодка успела удалиться от упавшего из неё предмета (не тонет в воде, например, шляпы), равно времени, через которое лодка встретит шляпу.

Движение в противоположные стороны.

Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга» равна сумме скоростей данных тел.

Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями v₁ и v₂, через время t равно

S = S₀ + (v₁ + v₂)t,

где S₀ - первоначальное расстояние между ними. S₀ = 0, если движение тел начинается из одной точки.

Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S друг от друга, движутся в одном направлении со скоростями v₁ и v₂, где v₂>v₁, то возможны два случая.

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v₂-v₁)_, а время, через которое второе тело догонит первое, равно:

t =S:(v₂ - v₁).

2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v₂-v₁)_, а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:

S₁ = S + (v₂ - v₁)t

Средняя скорость движения.

В

задачах на движение иногда объект движется с разной скоростью на разных участках пути, и требуется найти среднюю скорость движения.

Пусть объект прошел расстояние S₁ за время t₁ и расстояние S₂ за время t₂ , тогда средняя скорость движения объекта на всем пути вычисляется по формуле:

V_cр=

Так как путь - это длина траектории движения, то некоторые задачи на движение могут быть связаны с длиной какого-то геометрического объекта. Например, движение по периметру геометрической фигуры или по окружности.

Реши следующие задачи на движение.

№ 1. Скорость первой бабочки 14,4 км/ч, что в 1,5 раза меньше, чем скорость второй бабочки. Обе бабочки одновременно взлетели с одного и того же цветка и разлетелись в противоположных направлениях.Через 13 секунд они сели на маки, растущие на противоположных сторонах поля. Каково расстояние между маками?

№ 2. Два друга плывут в лодке по течению реки. Один из них, нечаянно сталкивает за борт пластиковую бутылку, с остатками воды. Через 15 минут друзья замечают пропажу, разворачивают лодку и плывут навстречу бутылке. Через сколько минут они встретят потерю?

№ 3. Мотоцикл из Бухтино в Ухтино ехал со скоростью 60 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 40 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути?

№ 4. Лодочник плыл на лодке по реке против течения. Проплывая под мостом, он обронил шляпу в воду. Пропажа обнаружилась через 10 минут, лодочник повернул назад, проплыл по течению и подобрал шляпу в 1 км от моста вниз по течению реки. Определите скорость течения реки, считая скорость лодки постоянной.

№ 5. Два корабля плывут навстречу друг другу со скоростями 30 км/час и 27 км/час. В момент, когда расстояние между кораблями равно 114 км, с первого корабля взлетает голубь, который летит ко второму кораблю. Долетев до него, голубь разворачивается и летит обратно. Вернувшись к первому кораблю, голубь снова разворачивается и летит обратно. И так продолжается до тех пор, пока корабли не встретятся. Какое расстояние пролетит до этого момента голубь, если его скорость равна 90 км/час?

Задачи на взвешивание.

Вспоминаем, что при решении задач на взвешивание:

Необходимо составить алгоритм взвешиваний. Необходимо продумать: какие монеты следует положить на левую чашу весов, какие - на правую, а какие отложить. Если в результате взвешивания получено равновесие, то на чашах лежат монеты с равной суммарной массой. Если одна из чаш перевесила, то её содержимое тяжелее, чем на другой чаше. Все монеты неразличимы на вид, но различимы по весу, так обычно настоящие монеты, тяжелее фальшивых. Для взвешиваний мы различаем все монеты, например, можно считать, что каждая монета пронумерована. Дальнейшие действия зависят от конкретного условия задачи.

Пример такой задачи.

Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Решение: Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания.

Алгоритм взвешиваний:

Первое взвешивание: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия, фальшивая монета среди оставшихся 26 монет. Если одна чаша легче, то фальшивая среди 27-ми монет, лежащих на ней.

Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа "подозреваемых". В случае равновесия, фальшивая монета среди тех, которые не участвовали в взвешивании. Если одна чаша легче, то фальшивая среди 9-ми монет, лежащих на ней.

Третье взвешивание: положим на чаши по 3 монеты из числа «подозреваемых».

В случае равновесия, фальшивая монета среди тех, которые не участвовали в взвешивании. Если одна чаша легче, то фальшивая среди 3-х монет, лежащих на ней.

Четвёртое взвешивание: кладём на обе чаши по одной монете. В случае равновесия, фальшивая монета та, которая не участвовала в взвешивании. Если одна чаша легче, то фальшивая монета лежит на ней.

При решении задач на взвешивание часто используется деление всех монет пополам или на три по возможности равные части.

Реши следующие задачи на взвешивание.

№ 1. Имеется восемь с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей монеты. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше или меньше.

№ 2. На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 грамм.

№ 3. Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном - все фальшивые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая - 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах. Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты. Мешки можно раскрывать и вытаскивать монеты.

№ 4. Как развесить 20 фунтов чая в 10 коробок по 2 фунта в каждой за девять развесов имея только гири на 5 и на 9 фунтов? Используются обычные весы с двумя чашами.

№ 5. Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что в подобной ситуации смогли бы придумать вы?

Ответы к задачам по темам можно занести в таблицу, а затем проверить - сколько из предложенных задач были решены, верно.

№ задачи

Задачи на проценты

Задачи на движение

1

2

3

4

5

Ответы и решения к задачам по темам.

№ задачи

Задачи на проценты

Задачи на движение

1

6, 75 кг

130 м

2

48 т

15 мин

3

20 кг

48 км/ч

4

250 г, нет

3 км/ч

5

200 кг

180 км

Решение задач на проценты.

Решение задачи № 4.

1) 100% - 20% = 80%- пирожка осталось после первого откусывания;

2) Второе откусывание происходит от остатка.

80%  20 : 100 =16% - пирожка откусили во второй раз.

3) 80% - 16% = 64% -пирожка осталось после второго откусывания.

4) Т.к 64% - это 160 г, имеем 160 100 : 64 = 250 (г) - первоначальная масса пирожка.

Ответ: 250г.

Решение задач на движение.

Решение задачи № 1.

1) Переведем скорость первой бабочки в м/с: 14,4 км/ч = 14400 : 3600 м/с = 4 м/с.

2) 41,5 = 6 (м/с) - скорость второй бабочки.

3) 4 + 6 = 10 (м/с) - скорость «удаления бабочек друг от друга».

5) 1013 = 130 (м) - расстояние между маками.

Ответ: 130 м.

Решение задачи № 3.

Примем расстояние от Бухтино до Ухтино за S. Поскольку автомобиль шёл из Б в У и обратно, то S_общ = 2S, а t_общ = t_БУ + t_УБ.

t_БУ = S : 60 ч, а t_УБ = S : 40 ч, то есть, t_общ= 1/60 S + 1/40 S= 5/120 S= 1/24 S ч.

Тогда v_ср = 2S : 1/24 S = 48 (км/ч).

Ответ: 48 км/ч.

Решение задачи № 4.

Рассмотрим происходящее с точки зрения лодочника. Поскольку и лодка, и шляпа двигаются по реке, то можно рассматривать только их скорости относительно реки. Шляпа покоится относительно реки, а лодка плывет с постоянной скоростью. Тем самым, обратный путь до шляпы составил также 10 минут.

Теперь будем рассматривать происходящее с точки зрения наблюдателя на берегу. Получаем, что за 20 минут (время, затраченное лодочником на дорогу туда и обратно) шляпа проплыла по течению 1 км. Следовательно, скорость течения равна 3 км/час.

Ответ: 3 км/ч.

Решение задачи № 5.

Время, через которое корабли встретятся, равно 114: (30 +27) = 2 часа. Тем самым, голубь будет летать 2 часа со скоростью 90 км/час. Следовательно, он пролетит 180 км.

Ответ: 180 км.

Решение задач на взвешивание.

Решение задачи № 1.

Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 1 и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит, там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы 1 и 1 и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет - то та, которая легче.

Решение задачи № 2.

Из первой шляпы берем 1 монету, из второй - 2, из третьей - 3 и т.д. Все это взвешиваем и отнимаем результат от идеального веса (в нашем случае 55*10=550 грамм). Получившееся число будет совпадать с номером шляпы с фальшивыми монетами.

Решение задачи № 3.

Пронумеруем мешки от 1 до 10. Вытащим из первого 1 монету, из второго 2, из третьего 3 и так далее. Затем возьмем всю эту кучу монет и положим на весы. Если бы они все были настоящие, то общий вес составил бы 275 грамм (т.к. мы вытащили в общей сложности 55 монет). Но в одном из мешков были фальшивые. Если это был первый мешок, то вес будет на 1 грамм меньше (т.к. мы взяли оттуда 1 монету). Если фальшивые были во втором, то на 2 грамма меньше. И так далее.

Решение задачи № 4.

1) Hа одну чашу весов положить гирю в 5 фунтов, на другую гирю в 9 фунтов. Затем уравновесить весы, насыпав 4 фунта чая в чашу с гирей на 5 фунтов.

2) Убрать гири с чаш весов, оставить 4 фунта в одной чаше и уравновесить весы, насыпав во вторую еще 4 фунта.

3) Еще раз отвесить 4 фунта.

4) И еще раз 4 фунта. Таким образом, после четырех взвешиваний в остатке будет тоже 4 фунта.

5-9) Разделить 4 фунта пополам, уравновешивая чаши весов.

Решение задачи № 5.

Мудрец сделал так: он поместил слона в лодку, затем отметил по борту уровень воды. Когда слона вывели из лодки, осталось только поместить туда золото.

Тренировочная олимпиада по математике для 6-го класса

(перед муниципальным туром)

Вариант № 1.

№1 Сумма 2012 натуральных чисел - нечётное число. Каким числом - чётным или нечётным является произведение этих чисел?

А) нечётное, Б) невозможно определить, В) чётное, Г) и чётное и нечётное; Д) 0

№2 Сколько существует различных прямоугольников с площадью 48 квадратных метров, стороны которых выражаются целым числом?

А) 6; Б) 3; В) 2; Г) 5; Д) 1

№3 Какой цифрой оканчивается разность 1х2х3х….х998х999 - 1х3х5х….х997х999?

А) 5; Б) 0; В) 1; Г) 9; Д) 3

№4 Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1302 цифры. Нумерация начиналась с 1. Сколько всего страниц в этой книге?

А) 471; Б) 472; В) 469; Г) 470

№5 Бассейн наполняется первой трубой за 5 ч, а через вторую трубу он может быть опорожнён за 6 ч. Через сколько часов будет наполнен бассейн, если одновременно открыть две трубы?

А) 24; Б) 30; В) 1; Г) 28

№6 Сколько процентов составляет НОК(16;72) от НОД(16;72) ?

А) 1800; Б) 180; В) 18; Г) 1,8; Д) 0,18

№7 2010

Найти последнюю цифру числа 9

А) 9, Б) 2; В) 7; Г) 6; Д) 1

№8 Белка взбирается на ствол дерева по спирали, поднимаясь за один виток на 2 м. Сколько метров она преодолеет, добравшись до вершины, если высота дерева 8 м, а окружность 1,5 м?

А) 8; Б) 9; В) 10; Г) 12; Д) 14

№9 Два поезда идут навстречу друг другу по параллельным путям: один со скоростью 40 км/ч, другой со скоростью 50 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него в течении 6 секунд. Какова длина первого поезда?

А) 90 м; Б) 25 м; В) 10 м; Г) 160 м; Д) 150 м

№10 В ряд выписаны все натуральные числа: 1234567891011121314151617181920...

Какая цифра стоит на 2010 месте?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 5; Д) 4

№11 У зайцев есть несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?

А) 2; Б) 8; В) 9; Г) 7; Д) 3

№12 Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй - четверть остатка, третий - треть нового остатка, четвертый - половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех?

А) Второй; Б) Третий; В) Поровну; Г) Пятый; Д) Первый

№13 Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?

А) 45 км/ч; Б) 60 км/ч; В) 70 км/ч; Г) 90 км/ч Д) 50 км/ч

№14 В детском саду в группе из 50 детей некоторые знают все буквы, кроме «р», которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме «к», которую тоже пропускают. Однажды воспитатель попросил 10 детей написать слово «кот», 18 других детей - слово «рот», а остальных - слово «крот». При этом слова «кот» и «рот» оказались написаны по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?

А) 8; Б) 12; В) 15; Г) 25; Д) никто

№15 Автобусные билеты имеют шестизначные номера: от 000000 до 999999.

Сколько номеров, все цифры которых нечётны?

А) 15625; Б) 4995; В) 99999; Г) 16255; Д) 5994

№16 Девочки пришли на праздник в платьях трёх цветов: белых, розовых и жёлтых. Чтобы сделать красивую фотографию, фотограф сначала расставил девочек в белых платьях, а затем в каждый промежуток между ними поставил девочек в розовых платьях. Наконец, в каждый промежуток между девочками встали девочки в жёлтых платьях. В итоге сфотографировалась 41 девочка. Сколько девочек пришли на праздник в белых платьях?

А) 13 Б) 8; В) 12; Г) 10; Д) 11

№17 В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых равны соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 кг. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла в два раза больше яблок (по массе), чем другая. Какой ящик остался в магазине?

А) 15, Б) 18; В) 20; Г) 31; Д) 16

№18 Есть квадратные лоскутки одинаковых размеров, каждый из которых раскрашен или в серобуромалиновый, или в камелопардовый цвет. Из этих лоскутков нужно сшить флаг 3×3. Сколько есть различных способов это сделать? Лоскутков каждого цвета не меньше девяти. Флаги, отличающиеся друг от друга только поворотом или зеркальным отражением, считаются разными!

А) 9 Б) 81 В) 1024 Г)512 Д) 712

№19 Сколько имеется семизначных чисел, у которых произведение цифр равно 21?

А) 22; Б) 42; В) 32; Г) 12; Д) 52

№20 В чемпионате участвуют 16 команд. Каждая команда играет с каждой 3 раза. Сколько всего матчей будет сыграно?

А) 360; Б) 720; В) 45; Г) 350; Д) 721

Таблица ответов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ответом является буква, под которой написан верный ответ к задаче!

Решение тренировочной олимпиады по математике для 6-го класса

(перед муниципальным туром)

Вариант № 1.

1. В) Если все слагаемые - нечётные числа, то их общая сумма будет чётной. Согласно условию она нечетная. Значит, среди этих чисел есть и чётное, тогда произведение - чётное число.

2. Г) ответ: 5 (1х48, 2х 24, 3х 16, 4х 12, 6х8)

3. А) 5, первое произведение оканчивается на 0, второе на 5, значит, разность оканчивается на 5.

4. Г) На страницы, обозначенные однозначными числами, использовано 9 цифр, двузначными - 90х2 = 180 цифр. 1309 - 9 - 180 = 1113 цифр - это трёхзначные. 1113 : 3 = 371 - цифра. Всего получается

9 + 90 + 371 = 470 страниц.

5. Б) Примем объём бассейна за 1. За 1 час бассейн наполняется 1 трубой на 1/5 часть. За 1 час бассейн опорожняется 2-ой трубой на 1/6 часть. Значит, за 1 час бассейн будет наполняться на 1/5 - 1/6 = 1/30 часть. 1: 1/30 = 30(ч)

6. А) НОК(16;72)=144, НОД(16,72)=8, тогда 8- это 100%, 8:100 = 0,08 - 1 %, 144:0,08 = 1800 %

7. Д) 9 в 1=9, 9 во 2 = 81, 9 в 3 = 729, .. 2010 - чётное число, значит, 9 в 2010 степени оканчивается на 1.

8. В) Поднимаясь по стволу на 2 м, белка совершает путь длиной 2,5 м. Значит, взобравшись на дерево высотой 8 м, она пройдет путь 10 м

9. Д) Скорость перемещения пассажира, находящегося во втором поезде, относительно первого поезда будет равна 40 + 50 = 90 (км/ч), 90 км/ч = 90 000 м/3600 с =900 м/36 с =25 м/с. Значит, длина первого поезда равна 25х6 = 150 м

10. А) Посмотрим, какому числу будет принадлежать эта цифра. Первые 9 цифр - относятся к однозначным числам, следующие 2·90 = 180 к двузначным. Остаётся ещё 2010 − 189 = 1821 цифра. Из них состоят 1821 : 3 = 607 трёхзначных чисел. Последнее из них будет равно 99 + 607 = 706. Значит, 2010-я цифра будет 6.

11. Г) Так как после каждого распила количество чурбачков увеличивается на 1, то значит, после 20 распилов их количество также увеличилось на 20. Тогда изначально у зайцев было 27 − 20 = 7 брёвен.

12. В) Первый съел 1/5. Осталось 1 − 1/5 = 4/5.

Второй съел 4/5 · 1/4 = 1/5. Осталось 4/5 − 1/5 = 3/5.

Третий съел 3/5 · 1/3 = 1/5. Осталось 3/5 − 1/5 = 2/5.

Четвертый съел 2/5 · 1/2 = 1/5. Осталось 2/5 − 1/5 = 1/5. Пятый съел 1/5.

Таким образом, все съели поровну.

13. Б) Т.к. Тигра тратит на каждые 30 километров 60 минут, то на каждый километр он тратит 2 минуты. Если он будет тратить на каждый километр на одну минуту меньше, то будет бегать со скоростью 1 км/мин, или 60 км/ч.

14. А) Никто из тех, кто должен был написать слово «крот», не мог этого сделать верно: никто из детей в группе не умеет одновременно писать и букву «р», и букву «к». Поэтому эти дети вместо слова «крот» в общей сложности написали 50 − 10 − 18 = 22 неверных слова «кот» и «рот».

Те, кто написал не «кот» и не «рот», могли написать только слово «от», которое явно неправильное. Таких было 50 − 15 − 15 = 20 человек.

Наконец, осталось 50 − 22 − 20 = 8 человек, которые написали слово «кот» или слово «рот» правильно.

15. А) Сначала поставим на первое место одну из 5 нечётных цифр, это можно сделать пятью способами. Для каждого из этих способов есть по пять возможностей поставить нечётную цифру на второе место, затем на третье, и т.д.. Всего получается 5·5·5·5·5·5 = 56 = 15625 способов составить шестизначный номер только из нечётных цифр.

16.Д) Посмотрим на 41 девочку. Всех девочек, кроме последней, можно разбить на пары так, чтобы в каждой паре одна девочка была в жёлтом платье, а другая - в платье какого-то другого цвета. (На пары девочек можно разбивать прямо в том порядке, как они стоят.) Парами стоят 40 девочек, а в жёлтых платьях - полвина из них, то есть 20.

Теперь уберем из колонны девочек в жёлтых платьях. Останется 21 девочка. Всех, кроме последней девочки, опять можно разбить на пары (в том порядке, как они стоят), при этом в каждой паре одна девочка будет в белом платье, а другая - в розовом. Значит, девочек в розовом платье, будет 10, и столько же будет девочек в белом платье. Девочка, оставшаяся без пары, одета в белое платье. Значит, всего девочек в белых платьях будет 11.

17. В) Поскольку одна фирма купила вдвое больше яблок, чем другая, общая масса купленных яблок должна делиться на 3 (тогда две трети купит первая компания и ещё треть - вторая). Общая масса всех яблок в магазине равна 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 кг. Осталось определить, какое из чисел 15, 16, 18, 19, 20 и 31 нужно отнять от 119, чтобы получилось число, кратное трём. Нетрудно убедиться, что это может быть только число 20.

18. Г) Для каждой из 9 клеток флага можно выбрать один из двух цветов независимо от цветов остальных флагов. 2х2х2х2х2х2х2х2х2 = 512.

19.Б) такие числа состоят из пяти единиц, одной семёрки, одной - тройки. Т.е 1- 5 раз, 7- 1 раз, 3 - 1 раз. (5 +1 + 1)! : (5!1!1!) = 7! : 5! = 1х2х3х4х5х6х7 : 1х2х3х4х5 = 6х7 = 42

20. А) одна команда должна сыграть по 3 матча с каждой из остальных 16-1 = 15 команд. Следовательно, за весь чемпионат одна команда сыграет 15х3 = 45 матчей. Общее число матчей за турнир 16х45 = 720, при этом каждый матч посчитан 2 раза. 720 : 2 = 360.

Таблица ответов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

В

Г

А

Г

Б

А

Д

В

Д

А

Г

В

Б

А

А

Д

В

Г

Б

А

Тренировочная олимпиада по математике для 6-го класса

(перед муниципальным туром)

Вариант № 2.

Ответы к задачам запишите в таблицу ответов.

№1 В июле некоторого года было четыре понедельника и четыре пятницы. Каким днём недели могло быть пятнадцатое июля этого года?

№2 Есть 20 роз, 9 тюльпанов и 8 астр. Сколько существует способов составить букет из 21 цветка?

№3 Существуют ли треугольники с такими длинами сторон: 1 м, 2 м, 3 м.

№4 В школе учатся 80 пятиклассников. Из них 44 умеют играть на фортепиано, 43 - на гитаре, а 24 не умеют играть ни на одном из этих инструментов. Сколько пятиклассников умеют играть и на гитаре, и на фортепиано?

№5 Кирпич весит 6 фунтов и ещё треть кирпича. Сколько весит кирпич?

№6 В комнате стоят 40 компьютеров, и все они соединены проводами. От трёх компьютеров отходит по 20 проводов, от семи - по 30, от оставшихся тридцати - по 25 проводов. Сколько проводов протянуто в комнате?

№7 В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить, не глядя, чтобы среди них точно нашлось 5 шариков одного цвета?

№8 Мыши нашли прямоугольный кусок сыра и начали его есть. За 35 секунд кусок уменьшился по длине, ширине и высоте в 2 раза. Сколько ещё времени мыши будут есть сыр?

№9 Пятнадцати солдатам было приказано рыть канаву от забора до обеда. Когда солдаты начали копать, повара начали готовить обед. Стараниями солдат канава за час становится длиннее на 2 метра; обед готовится со скоростью 3 порции в час. Какой длины получится канава, когда начнется обед?

№10 Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдателя в течение 10 секунд. При той же скорости он проходит через мост длиной в 100 метров в течение минуты. Найти длину и скорость поезда.

№11 У скольких трехзначных чисел средней цифрой является 0?

№12 Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 3 ни на 7?

№13 Найдите решение ребуса СЕЛ х СЕЛ = ПОДСЕЛ (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными - разные).

№14 Найдите значение выражения 2012 - 2011 + 2010 - 2009 + 2008 - …+ 2- 1.

№15 Решите уравнение: x - 2(x + 3(x - 4(x - 5(x - 6)))) + 1 = 0.

№16 На рисунке изображены несколько фигур. Каждую из них, кроме одной можно сложить так, чтобы получился кубик. Из какой фигуры кубик получить нельзя?

№17 Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие - 72% воды. Найдите массу свежих фруктов, чтобы получить 7 кг сухих.

№18 Сколько различных результатов можно получить, складывая по два числа из набора: 1, 2, 3, 4, 5?

Таблица ответов.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Решение тренировочной олимпиады по математике для 6-го класса

(перед муниципальным туром)

Вариант № 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

вторник

89

нет

31

9

510

17

5

10

20 м; 2 м/с.

90

57

376х376=141376

625х625=390625

1006

7

В

20

7

Решения.

1. Достаточно выяснить, каким днём недели будет 1 июля, тогда 15 июля будет тем же днём недели (потому что в неделе семь дней, а 15 = 1 + 7·2). Нетрудно проверить, что если 1 июля будет вторником, то условие задачи будет выполнено, а в остальных случаях - нет (появится либо «лишний» понедельник, либо «лишняя» пятница).

Ответ: вторником.

2. Будем составлять букет так: сначала определим количество тюльпанов, затем - количество астр, а остальные цветы будут розами. Тюльпаны можно взять в количестве от 0 до 9 (10 вариантов), а астры - в количестве от 0 до 8 (9 способов). Итого выбрать, сколько будет тюльпанов и сколько астр, можно 10·9 = 90 способами. Но один из этих способов (когда и тюльпанов, и астр 0) нас не устраивает: в этом случае надо набрать 21 цветок из одних роз, а их всего 20. Остальные способы нас устраивают. Поэтому букет из 21 цветка можно составить 90 − 1 = 89 способами.

Ответ: 89.

3. Ответ: нет.

4. 80 − 44 − 24 = 12 человек умеют играть только на гитаре. Значит, 43 − 12 = 31 человек может играть не только на гитаре, то есть ещё и на фортепиано.

Ответ: 31.

5. Две трети кирпича весят 6 фунтов, значит, одна треть кирпича весит 3 фунта, а сам кирпич весит 3 · 3 = 9 фунтов.

Ответ: 9.

6. Посчитаем количество концов проводов, выходящих из каждого компьютера. Их 3·20 + 7·30 + 30·25 = 1020. При этом каждый провод мы посчитали по два раза, поскольку у него два конца. Таким образом, самих проводов в два раза меньше, чем концов, то есть 1020 : 2 = 510 штук.

Ответ: 510.

7. Если вытащить 17 шариков, то среди них обязательно найдутся 5 одного цвета: если это не так, то шариков каждого цвета не больше 4 штук, а всего их тогда не больше 4·4 = 16, что противоречит условию. С другой стороны, 16 вытащенных шариков может и не хватить, так как может оказаться, что мы вытащили по 4 шарика каждого цвета.

Ответ: 17 шариков.

8. Объём куска сыра, оставшегося через 35 секунд, в 2·2·2 = 8 раз меньше начального. Значит, мыши съели в 7 раз больше сыра, чем осталось. Следовательно, оставшийся кусок они будут есть ещё 35 : 7 = 5 секунд.

Ответ: 5 секунд.

9. Для 15 солдат необходимо приготовить 15 порций обеда. За час готовятся три порции, следовательно, на 15 порций потребуется 15 : 3 = 5 часов. А за 5 часов солдаты выроют 5 · 2 = 10 м канавы.

Ответ: 10 метров.

10. Проезжая мимо наблюдателя, поезд преодолевает свою длину за 10 секунд. Когда он едет по мосту (длина которого 100 м), он проезжает сумму своей длины и длины моста за 60 секунд. Так как 60 : 10 = 6, то за это время он проезжает 6 своих длин. Таким образом, сумма 100 м и длины поезда равна 6 длинам моста. Отсюда 5 длин моста равны 100 м. Значит, длина поезда равна 100 : 5 = 20 м. А раз он проезжает эти 20 м за 10 с, его скорость равна 20 : 10 = 2 (м/с).

Ответ: 20 м; 2 м/с.

11. Первой цифрой может быть любая от 1 до 9 (всего 9), а последней - любая от 0 до 9 (всего 10). Значит, таких чисел 9·10=90.

Ответ: 90.

12. На 3 делятся 100 : 3 = 33 числа, на 7 делятся 100 : 7 = 14 чисел, среди чисел от 1 до 100 есть числа которые делятся и на3 и на 7, т.е на 3х7=21, таких чисел 100 : 21 = 4. Следовательно не делятся ни на 3 ни на 7: 100 - 33 - 14 + 4 = 57 чисел.

Ответ: 57.

13. 376 х 376 = 141376, 625х625 = 390625

14. Заметим, что все разности в этой сумме равны 1. Таких разностей 2012:2 = 1006, следовательно, значение выражения равно 1006.

Ответ: 1006.

15. x - 2(x + 3(x - 4(x - 5(x - 6)))) + 1 = 0.

х - 2(х + 3(х - 4(х -5х +30))) + 1 = 0

х- 2(х + 3(х - 4х +20х - 120)) +1 = 0

х - 2(х +3х - 12х + 60х - 360) +1 = 0

х -2х - 6х + 24х - 120х + 720 + 1 = 0

721 - 103х = 0

х = 7

Ответ: 7.

16. В

17. Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие - 72% воды. Найдите массу свежих фруктов, чтобы получить 7 кг сухих.

Масса сухого вещества в сухих фруктах 100% - 20% = 80%= 0,8.

7х 0,8 = 5,6 (кг) - сухого вещества в сухих фруктах

В свежих фруктах 100% - 72% = 28% - сухого вещества и это 5, 6 кг.

5, 6 : 0,28 = 560 : 28 = 20 (кг)

Ответ: 20 кг.

18. 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6; 2+3=5, 2+4=6, 2+5=7, 3+4=7, 3+5=8, 4+5=9.

Ответ: 7.

Список литературы.

1. Фарков А.В. Школьные математические олимпиады. 5-11 классы. - М.: ВАКО, 2014;

2. Балаян Э.Н. 700 лучших олимпиадных и занимательных задач по математике 5-6 классы. - Ростов н/Д: Феникс, 2013;

3. Евдокимов М.А. Задачки против задач. - М.: МЦНМО, 2004;

4. Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. Математика. 5-6 класс. Уроки математического мышления. - М.: «Издат-школа 2000»;

5. mmmf.msu.ru/ - Малый мехмат МГУ