- Преподавателю
- Математика
- Суммы конечных числовых последовательностей
Суммы конечных числовых последовательностей
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Шинасилова С.С. |
Дата | 21.12.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Суммы конечных числовых последовательностей
Рассмотрим разные способы нахождения суммы конечных числовых последовательностей. Сначала найдем формулы для суммы первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, зная эти формулы будем вычислять суммы некоторых конечных числовых последовательностей.
-
Найти формулу суммы первых членов натуральных чисел:
;
Решение.
Эту сумму можно вычислить по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии. ;
(1)
Ответ: .
-
Найти формулу для суммы
;
Решение.
;
;
;
…
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
;
;
Отсюда находим сумму квадратов первых натуральных чисел:
;
(2)
Ответ: .
-
Найти формулу для суммы
;
Решение.
;
;
;
…
;
Теперь сложим эти равенства почленно. Мы получим:
;
Отсюда находим сумму кубов первых натуральных чисел:
=
; Итак,
(3)
Ответ:.
-
Найдите сумму: .
Решение: ;
;
;
;
…
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
;
Обозначим . По формуле (1) и (2) получим:
.
Ответ:
-
Найдите сумму: .
Решение: ;
;
;
;
…
;
Сложим почленнно эти равенства и получим:
;
;
Ответ: .
-
Найдите сумму всех попарных произведений чисел 1, 2, 3, …,n.
Решение: ;
;
Ответ: .
-
Найдите сумму: .
Решение: ;
;
;
;
…
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
, где
эти суммы можно вычислить по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии.
;
Ответ: .
-
Найдите сумму: .
Решение:
;
;
...
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
;
Ответ: .
-
Найдите сумму: .
Решение:
;
;
…
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
Ответ: .
-
Найдите сумму первых членов последовательности, заданной формулой -го члена .
Решение:;
;
;
…
;
Сложим почленно эти равенства и получим:
;
Ответ: .
Задания для самостоятельного выполнения
Найдите сумму:
-
; Ответ: .
-
; Ответ: .
-
;
-
; Ответ: .
5