Суммы конечных числовых последовательностей

    Описание.     В школьном курсе математики у учащихся 9-х классов возникают проблемы при изучении темы "Суммы конечных числовых последовательностей". Ниже приводится подборка практических задач и разные способы нахождения суммы  конечных числовых последовательностей, также предлагается задания для самостоятельного выполнения.     Сначала выводятся формулы для сумм n первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, с помощью этих формул  вычисляются суммы некоторых конечн...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Суммы конечных числовых последовательностей

Рассмотрим разные способы нахождения суммы конечных числовых последовательностей. Сначала найдем формулы для суммы Суммы конечных числовых последовательностей первых натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы их кубов. Далее, зная эти формулы будем вычислять суммы некоторых конечных числовых последовательностей.

  1. Найти формулу суммы Суммы конечных числовых последовательностей первых членов натуральных чисел:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Решение.

Эту сумму можно вычислить по формуле суммы Суммы конечных числовых последовательностей первых членов арифметической прогрессии. Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей (1)

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найти формулу для суммы

Суммы конечных числовых последовательностей;

Решение.

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Отсюда находим сумму квадратов Суммы конечных числовых последовательностей первых натуральных чисел:

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей (2)

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найти формулу для суммы

Суммы конечных числовых последовательностей;

Решение.

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Теперь сложим эти равенства почленно. Мы получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Отсюда находим сумму кубов Суммы конечных числовых последовательностей первых натуральных чисел:

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей

=Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей; Итак,

Суммы конечных числовых последовательностей (3)

Ответ:Суммы конечных числовых последовательностей.


  1. Найдите сумму: Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение: Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Обозначим Суммы конечных числовых последовательностей. По формуле (1) и (2) получим:

Суммы конечных числовых последовательностей.

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей

  1. Найдите сумму: Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение: Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленнно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей;

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найдите сумму всех попарных произведений чисел 1, 2, 3, …,n.

Решение: Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей;

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найдите сумму: Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение: Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей, где

Суммы конечных числовых последовательностей

эти суммы можно вычислить по формуле суммы Суммы конечных числовых последовательностей первых членов геометрической прогрессии.

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найдите сумму: Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

...

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найдите сумму: Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей

Суммы конечных числовых последовательностей

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  1. Найдите сумму первых Суммы конечных числовых последовательностей членов последовательности, заданной формулой Суммы конечных числовых последовательностей-го члена Суммы конечных числовых последовательностей.

Решение:Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Суммы конечных числовых последовательностей;

Сложим почленно эти равенства и получим:

Суммы конечных числовых последовательностей;

Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

Задания для самостоятельного выполнения

Найдите сумму:

  1. Суммы конечных числовых последовательностей; Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  2. Суммы конечных числовых последовательностей; Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

  3. Суммы конечных числовых последовательностей;

  4. Суммы конечных числовых последовательностей; Ответ: Суммы конечных числовых последовательностей.

5


© 2010-2022