Практические работы по геометрии

Практическая работа.

Тема: решение задач на взаимное расположение прямой и плоскости, параллельность прямой и плоскости.

Цель работы: научиться решать задачи на взаимное расположение прямой и плоскости, параллельность прямой и плоскости.

Задания:

1 вариант.

1. Даны четыре точки C,D,E и F, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые CE и DF? Ответ поясните.

2.

Точки M, P, K и T-середины соответствующих отрезков BС, DC, AD и AB( см. рис.). Найдите периметр четырехугольника MPKT, если АС=10см, BD=16 см.

3. Прямая EF, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма ABCD. Выясните взаимное расположение прямых EF и CD.

4. В тетраэдре ABCD точки M, K и P - середины ребер AB, BC и BD. Докажите, что плоскость MKP параллельна плоскости ADC, и вычислите площадь треугольника MKP, если площадь треугольника ADC равна 48см².

5. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка F не лежит в плоскости ABC. Можно ли провести плоскость через прямую FC и точки А и С? Ответ обоснуйте.

2 вариант.

1. Даны четыре точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АC и ВD? Ответ поясните.

2.

Точки E, F, K и P-середины соответствующих отрезков AB,AC, DC и DB( см. рис.). Найдите периметр четырехугольника EFKP, если BС=8см, AD=12 см.

3. Прямая MT, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВC параллелограмма ABCD. Выясните взаимное расположение прямых MT и CD.

4. В тетраэдре DABC точки K,E и M - середины ребер AC, DC и BC. Докажите, что плоскость KEM параллельна плоскости ADB, и вычислите площадь треугольника ADB, если площадь треугольника KEM равна 27см².

5. Даны параллелограмм ABCD и точка Е, не лежащая в плоскости ABC. Как расположены прямая АС и плоскость BDE ? Ответ обоснуйте.

Практическая работа.

Тема: решение задач на нахождение двугранных углов, доказательство перпендикулярности двух плоскостей.

Цель работы: научиться решать задачи на перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, нахождение двугранных углов.

Задания:

1 вариант.

1. Скрещивающиеся прямые а и b параллельны соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC. Выясните, перпендикулярны ли прямые а и b, если:

а) AB=8см, BC=6cм, АС=10см. в) С=120°, В=30°.

2. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр АН и наклонная АМ, угол между которыми равен . Перпендикуляр равен d. Найдите углы треугольника АМН, наклонную и ее проекцию, если d=3 см, =60°.

3. Из данной точки к данной плоскости проведены две наклонные и перпендикуляр. Докажите, что если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

4. Через вершину К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ=15см, DF=12см, DK=FK=10см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

5. Дан прямоугольный параллелепипед A-D₁. Найдите двугранный угол B₁ADB, если известно, что четырехугольник ABCD - квадрат, АС=6см, АВ₁=4см.

6. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60º. Найдите сторону ромба, если BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM равно .

2 вариант.

1. Скрещивающиеся прямые а и b параллельны соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC.Выясните, перпендикулярны ли прямые а и b, если:

а) AB=12см, BC=5cм, АС=13см. в) С=60°, В=30°.

2. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр АН и наклонная АМ, угол между которыми равен . Перпендикуляр равен d. Найдите все углы треугольника АМН, наклонную и ее проекцию, если d=6 см, =45°.

3. Из данной точки к данной плоскости проведены две наклонные и перпендикуляр. Докажите, что наклонные равны, если углы между перпендикуляром и наклонными равны.

4. Через вершину прямого угла С равнобедренного треугольника СDЕ проведена прямая CF, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. Известно, что CF=35см, CD=12см.

5. Дан прямоугольный параллелепипед A-D₁. Найдите двугранный угол A₁DCA, если АС=13см, DC=5cм, АА₁=12см.

6. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60º. Найдите сторону ромба, если BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM равно .

Практическая работа.

Тема: построение сечений.

Цель работы: научиться строить сечения многогранников.

Задания:

1. В тетраэдре DABC точки N,M и P лежат на ребрах DC, AD, AB соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки N,M и P.

2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P,N и M лежат на ребрах AA₁, DD₁, CC₁ соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P,N и M.

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки L,K и N лежат на ребрах AA₁, BB₁, AD соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки L,K и N.

4. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки N,P и Q лежат на ребрах AA₁, B₁C₁, BC соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки N,P и Q.

5. Перечертите рисунки 55 стр. 35 и на каждом из них постройте сечение.

6. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M лежит на ребре BC. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости BDC₁.

7. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и две точки, расположенные на противоположных сторонах основания.

8. Решите задачу №7 при условии, что две точки лежат на смежных сторонах основания пирамиды.

Практическая работа.

Тема: вычисление площадей поверхностей многогранников.

Цель работы: научиться вычислять площади поверхностей многогранников.

Задания:

1 вариант.

1. Дан прямоугольный параллелепипед A-D₁. Найдите диагональ параллелепипеда, площадь боковой и полной поверхности, если его измерения равны 2см, 3см и 6 см.

2. Основание прямой призмы - параллелограмм со сторонами основания 6см и 4см, и углом между ними равен 45°. Боковое ребро равно 10см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10см, а сторона основания - 6см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

4. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними 30°. Высота призмы равна 11см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2 вариант.

1. Дан прямоугольный параллелепипед A-D₁. Найдите диагональ параллелепипеда, площадь боковой и полной поверхности, если его измерения равны 4см, 2см и 5 см.

2. Основание прямой призмы ромб со стороной 12см и углом 60°. Боковое ребро призмы равно 13см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 5см, а сторона основания - 4см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

4. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 3см и 8см и углом между ними 60°. Высота призмы равна 15см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.