Обобщающий урок по теме: «Квадратные уравнения»

Обобщающий урок по теме: «Квадратные уравнения»

8 класс

Цели урока:

• Систематизировать способы решения квадратных уравнений.

• Показать рациональные способы решения квадратных уравнений.

• Использовать данные способы для быстрого решения квадратных уравнений.

• Развивать логическое мышление учащихся.

• Привить интерес к изучению математики.

Ход урока.

1способ. Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

Х²+10Х-24=0.

Разложим левую часть на множители:

Х²+10Х-24=Х²+12Х-2Х-24=Х(Х+12)-2(Х+12)=(Х+12)(Х-2).

Следовательно,

(Х+12)(Х-2)=0.

Так как произведение равно, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому Х+12=0 или Х-2=0, то есть Х₁=-12 или Х₂=2.

Ответ: -12; 2.

2 способ. Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение

Х²+6Х-7=0.

Выделим в левой части полный квадрат, для этого выражение Х²+6Х запишем в следующем виде: Х²+6Х=Х²+2▪Х▪3.

Получим Х²+6Х-7= Х²+2▪Х▪3+3²-3²-7=(Х+3)²-9-7= (Х+3)²-16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(Х+3)²-16=0. (Х+3)²=16.

Следовательно, Х+3=4, т.е. Х₁=1; Х+3=-4, т.е. Х₂=-7.

Ответ: -7; 1.

3 способ. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax²+bx+c=0, a≠0.

D=b²-4ac; x_1,,2 =.

Примеры:

1). 4Х²+7Х+3=0.

a=4, b=7, c=3. D= b²-4ac=7²-4▪4▪3=49-48=1,

D0, два разных корня;

x_1,,2 =, Х₁==-; Х₂==-1.

Ответ: -1; - .

2). 4Х²-4Х+1=0.

a=4, b=-4, c=1. D= b²-4ac= (-4)²-4▪4▪1=16-16=0,

D=0, один корень;

x = . Х=-=.

Ответ:.

3). 2Х²+3Х+4=0.

a=2, b=3, c=4. D= b²-4ac=3²-4▪2▪4=9-32=-130.

D0, данное уравнение корней не имеет.

Ответ:нет корней.

4 способ. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, теорема Виета используется для приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0,его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a=1 имеет вид x_1▪x₂=q x₁+x₂=- p.

Примеры:

1). Х²-3Х+2=0; Х₁=1; Х₂=2, так как x_1▪x₂=2 x₁+x₂=3.

2). Х²+8Х+7=0; Х₁=-1; Х₂=-7 , так как x_1▪x₂=7 x₁+x₂=-8.

3). Х²+4Х-5=0; Х₁=1; Х₂=-5, так как x_1▪x₂=-5 x₁+x₂=-4.

4). Х²-8Х-9=0; Х₁=-1; Х₂=9, так как x_1▪x₂=-9 x₁+x₂=8.

5 способ. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

Обе части уравнения умножим на a, получим уравнение a²x²+abx+ac=0.

Обозначим ax=y,откуда x=y/a; тогда получаем уравнение y²+by+ac=0, равносильное данному. Получаем корни x₁=y₁/a, x₂=y₂/a с помощью теоремы Виета.

Способ хорош, когда дискриминант есть точный квадрат, можно легко применить теорему Виета.

Примеры:

1). Решим уравнение 2Х²-11Х+15=0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену. Получим уравнение

4Х²-22Х+30=0,обозначим (2Х)=У, получим уравнение У²-11У+30=0,

откуда У₁=5, У₂=6. Х₁=2,5; Х₂=3.

Ответ:2,5;3.

6 способ. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0, a≠0.

I. Если сумма коэффициентов равна нулю, т.е. a+b+c=0, то Х₁=1,Х₂=с/а.

Примеры:

1). Решим уравнение 345Х²-137Х-208=0.

Так как 345+(-137)+(-208)=0, то Х₁=1, Х₂=-208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2). Решим уравнение 132Х²-247Х+115=0.

Так как 132+(-247)+115=0, то Х₁=1, Х₂=115/132.

Ответ: 1; 115/132.

I I. Если второй коэффициент b=2k-чётное число, то применяем формулу

D=k²-ac; x_1,,2 =.

Примеры:

1). Решим уравнение 3Х²-14Х+16=0.

a=3, b=-14, c=16, K=-7. D=k²-ac= (-7)²-3▪16=49-48=1, Dдва различных корня;

x_1,,2 =.Х₁=(7+1)/3=; Х₂=(7-1)/3=2.

Ответ: ; 2.

2). Решим уравнение Х²-14Х-15=0.

a=1, b=-14, c=-15.Х₁=15; Х₂=-1, т. к. Х₁+Х₂=14; Х_1▪Х₂=-15.

Ответ: 15; -1.

Дома: класс разбит на 4 группы. Каждой из них разобрать по одному способу решения квадратных уравнений:

1 группа. Графическое решение квадратного уравнения.

2 группа. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

3 группа. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

4 группа. Геометрический способ решения квадратных уравнений.