Конспект урока математики на тему: Решение неравенств методом интервалов (9 класс)

Тема: «Решение целых рациональных неравенств методом интервалов»

Цели: 1.Изучить метод интервалов, организовать деятельность учащихся по осознанию и осмыслению нового метода решения неравенств, формировать умение его применять при решении целых рациональных неравенств.

2.Создать условия для развития интеллектуальных умений, умений формулировать проблему, выдвигать гипотезы, анализировать, сравнивать, делать выводы.

3. Воспитывать чувства удовлетворенности и успеха от интеллектуального труда.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: учебник, тетрадь, видеопроектор.

План урока:

№

Этап урока

Содержание (цель) урока

Время (мин)

1

Организационный момент

Нацелить учащихся на урок

2

2

Устная работа

Актуализировать умения раскладывать трёхчлен на множители

5

3

Изучение нового материала

Выработать алгоритм решения неравенств методом интервалов

8

4

Физкультминутка

Здоровьезбережение уч-ся

2

5

Первичное закрепление

Формирование навыка решения неравенств методом интервалов

5

6

Исследование

Формировать навык решения неравенств методом интервалов в нестандартных неравенствах

8

7

Тест по теме: «Метод интервалов»

Диагностика и коррекция формируемого навыка

6

8

Итог урока

Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке

2

9

Сообщение домашнего задания

Разъяснить содержание домашнего задания

2

Ход урока

I.Организационный момент

О, математика, ты вечна!
Гордись, прекрасная собой!
Твоё величье бесконечно,
Так предначертано судьбой.

Всегда овеяна ты славой,
О, светоч всех земных светил!
Тебя царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.

- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы принимаем гостей, это своего рода праздник. Настроение у каждого должно быть праздничным. Математика - это стройное, красивое здание, по этажам которого вы шагаете с первого класса. Сегодня вы сделаете очередной шаг навстречу большой цели - итоговая аттестация. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг. Однажды я прочла высказывание «Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».
- Что в вашем понимании значит думать? (Анализировать, сравнивать, размышлять, делать выводы).
- К чему приводит мощь человеческого разума? (Делать открытия).
- Пусть эти слова будут эпитетом к нашему уроку. В конце урока вам предстоит сделать самооценку. Для этого на полях вы будете вести лист самооценки.
II.Устная работа

1.Разложите на множители выражение:

А) 169 - а²; б)х² - 2; в)у³ + 1; г)в² + 10в + 9;

Д)-х²+ 8х - 7; е)а³ - 9а; ж)х² + 16х + 64.

2.Даны нули х₁ и х₂ квадратичной функции f(х) = ах² + вх + с, где а > 0. Сравните с нулём значения функции на указанном промежутке:

А) х₁ = 2, х₂ = 7, на промежутке (2;7) f(х)…0;

Б) х₁ = -3, х₂ = 4, на промежутке (4;+∞) f(х)…0;

В) х₁ = 1, х₂ = 5, на промежутке (-∞;1) f(х)…0.

3.Даны нули х₁ и х₂ квадратичной функции f(х) = ах² + вх + с, где а < 0. Сравните с нулём значения функции на указанном промежутке:

А) х₁ = - 2, х₂ = 0, на промежутке u[- 2;0] f(х)…0;

Б) х₁ = -3, х₂ = 7, на промежутке (-∞; -3) f(х)…0;

В) х₁ = 4, х₂ = 9, на промежутке (9;+∞) f(х)…0.

III.Изучение нового материала

Фронтальная работа с классом.

1.Решить неравенство (х² - 4) (х + 1)>0.

Учитель: Когда произведение двух выражений положительно?

Уч-ся: Если оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:

1. 2)

Один уч-ся у доски, остальные самостоятельно.

Решением первой системы будет промежуток (2; +∞), а решением второй - промежуток (-2; -1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть (2; +∞).

Учитель: Приемлем ли такой способ решения неравенств подобного вида?

Уч-ся: Да.

2.Решить неравенство (х² - 4) (х + 1)(х - 7)>0.

Учитель: А для этого неравенства такой способ решения удобен?

Уч-ся: Нет.

Учитель: Итак, для решения второго неравенства необходимо искать другой способ.

Решим первое неравенство методом интервалов.

Учитель: Найдите область определения этой функции.

Уч-ся: Областью определения этой функции является множество всех чисел.

Учитель: Назовите нули функции

Уч-ся: Нули функции: х₁= -2, х₂ = 2, х₃= -1. _ + _ +
Учитель: Отметим их на координатном луче.
Что они сделали с областью определения -2 -1 2 х

функции? Рис. 1

Уч-ся: Они разбили область определения на промежутки (-∞; -2); (-2;-1); (-1;2); (2; +∞).

Учитель: Изобразим интервалы. Выясним, каковы знаки функции в каждом из указанных промежутков. Выражение (х+2)(х - 2) (х + 1)>0 представляет собой произведение трёх множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

(-∞; -2)

(-2;-1)

(-1;2)

(2; +∞)

Х+2

-

+

+

+

Х-2

-

-

-

+

Х+1

-

-

+

+

Учитель: Отсюда ясно, что:

если х ∈ (-∞;-2),то f(х) < 0;

если х ∈ (-2;-1),то f(х) > 0;

если х ∈ (-1;2),то f(х) < 0;

если х ∈ (2;+∞),то f(х) > 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков (-∞; -2); (-2;-1); (-1;2); (2; +∞) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, -1, 2 её знак изменяется.

5. Выберем промежуток, соответствующий знаку неравенства ( «+» - знак >, « - » - знак <) (2; +∞).

Учитель: итак, мы рассмотрели два метода решения неравенств. Какой метод более рациональный?

Уч-ся: Метод интервалов.

Учитель: Давайте попытаемся обобщить последний метод решения неравенств с одной переменной. Пусть функция задана формулой

f(х) = (х-х₁)(х-х₂)…(х-х_п),

где х - переменная, а х₁, х₂, …, х_п - не равные друг другу числа. Числа х₁, х₂, …, х_п являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак сохраняется, а при переходе через нуль её знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида

(х-х₁)(х-х₂)…(х-х_п) > 0,

(х-х₁)(х-х₂)…(х-х_п) < 0,

где х₁, х₂, …, х_п - не равные друг другу числа.

IV.Физкультминутка

V. Первичное закрепление материала.

1) Решим неравенство (х+3)(х-4)(х-7) > 0.

Решение:

1. f(х) = (х+3)(х-4)(х-7).

2. D(f)=R.

3. f(х)=0 при х=-3 или х=4 или х=7.

- + - +

4.

- 3 4 7 х

Ответ: (-3;4) (7; +∞).

2) Решим неравенство (х²-9)(х+5) ≤ 0.

Решение:

(х-3)(х+3)(х+5) ≤ 0

1. f(х) = (х-3)(х+3)(х+5).

2. D(f)=R.

3. f(х)=0 при х=3 или х=-3 или х=-5.

- + - +

4.

- 5 -3 3 х

Ответ: (-∞;-5] [-3;3].

VI.«Исследователь».

Учитель: Кого называют исследователями?

(определение из толкового словаря)

Учитель: Проведя исследование и решив неравенства вы должны найти ответ на вопрос: « Всегда ли меняется знак неравенства с «+» на «-« при переходе с одного интервала на другой?» Для этого вам необходимо решить два неравенства.

Учитель: Перечислите действия вашего исследования.

Учащиеся:

1. Найдем нули числителя, знаменателя.

2. Отметим числа на числовой прямой.

3. Определим знак неравенства на каждом промежутке.

Вывод. При переходе через точку знак на промежутках меняется, если данный множитель в неравенстве стоит в нечетной степени. Знак не меняется, если - в четной степени.

VII. Тест по теме «Метод интервалов»

I вариант

II вариант

А1. Определите нули левой части неравенства 2(х-5)(2х+1) >0.

1) 2,5 и 0,5;

2) 5 и 0,5;

3) 5 и -0,5;

4) -2,5 и -0,5.

А1. Определите нули левой части неравенства 4(х+6)(6х-3)<0.

1) 6 и 2;

2) 6 и 0,5;

3) -6 и 2;

4) -6 и 0,5.

А2.Разложите на множители левую часть неравенства (х² - 4)(х + 6) <0

1. (х - 4)(х + 4)(х + 6) <0;

2. (х - 2)²(х + 6) <0;

3. (х - 2)(х + 2)(х + 6) <0;

4. (х + 2)²(х + 6) <0.

А2.Разложите на множители левую часть неравенства (х² - 4х + 4)(х - 1) <0.

1. (х - 4)(х + 4)(х - 1) <0;

2. (х - 2)²(х - 1) <0;

3. (х - 2)(х + 2)(х - 1) <0;

4. (х + 2)²(х - 1) <0.

А3. Выберите неравенство, решением которого является данный промежуток

х

6

-1

-

1) (х + 1)(х - 6) < 0;

2) (х + 1)(х - 6)> 0;

3) (х - 1)(х + 6) < 0;

4) (х - 1)(х +6)> 0.

А3. Выберите неравенство, решением которого является данный промежуток

+х

9

3

+

1) (х + 3)(х + 9) < 0;

2) (х - 3)(х - 9)> 0;

3) (х - 3)(х - 9) < 0;

4) (х + 3)(х + 9)> 0.

А4.Решите неравенство

.

1) [-5;1] Ụ (9;+∞);

2) (-5;1) Ụ (9;+∞);

3) (-∞;-5] Ụ [1;9);

4) (-∞;-5) Ụ (1;9).

А4.Решите неравенство

.

1) (-5;- 4] Ụ [3;+∞);

2) (-5;- 4) Ụ (3;+∞);

3) (-∞;-5) Ụ [- 4;3];

4) (-∞;-5) Ụ (- 4;3).

А5. Найдите наибольшее целое отрицательное значение х, удовлетворяющее неравенству

х² + 2х - 3 > 0.

1. - 3;

2. - 4;

3. - 2;

4. -1.

А5.Найдите наибольшее целое положительное значение х, удовлетворяющее неравенству

х² - 5х + 4 < 0.

1. 4;

2. 1;

3. 3;

4. 2.

Самопроверка результатов теста.

VIII. Итоги урока.

Оценки за тест, оценки за урок.

Сегодня мы с Вами анализировали, сравнивали, размышляли, делали выводы, открытия. Что вам запомнилось больше всего, что понравилось? Вы придете домой и скажите: « Мама, папа, у нас сегодня было …»

IX. Домашнее задание:

П. 15, с. 88-91, примеры 2-4, № 325, 327, 334 а, в.