Сборник задач. Решение систем линейных уравнений

Содержание

§1. Справочный материал

П. 1. Способы нахождения обратной матрицы

3

П. 2 Правило Крамера

4

П . 3. Основные понятия

6

П. 5. Метод Гаусса

7

П 5. Матричный метод

10

§ 2 Примеры с решениями

П 1. Решение систем уравнений с помощью формул Крамера

12

П 2. Решение систем уравнений с помощью метода Гаусса

28

П 3. Решение систем уравнений с помощью матричного метода

36

П 4. Для «чайников»

54

П 5. Задания для самоконтроля

56

Ответы

61

§ 1 Справочный материал

П.1 Способы Нахождения обратной

матрицы

I способ. Нахождение обратной матрицы

с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Для невырожденной квадратной матрицы существует обратная матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Приписать справа к матрице A единичную матрицу соответствующих размеров (A | E).

2. Элементарными преобразованиями строк матрицу (A | E) преобразовать к виду (E | B).

3. Получившаяся в правой половине матрица B и будет обратной матрицей для A:B = . (Приложение 2)

Замечание: если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.

2

3

II Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель заданной матрицы. Если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует. Переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу.

П.2 Правило Крамера

Теорема (Правило Крамера).

Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными ,то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами =, =, …, =,

Р

4ассмотрим систему уравнений (каждое из них представляет прямую на плоскости XOY).

Введем обозначении (определитель системы),, . - формулы Крамера.

Определитель получается из заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Аналогично получается

Возможны три случая.

Случай 1. Определитель системы не равен нулю: , , тогда система имеет единственное решение.

Случай 2.Определитель системы равен нулю: (т.е.коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей не равен нулю (т. е свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). х 0 или у 0, т.е. =. В этом случае система не имеет решений.

Случай 3. (т. е. и коэффициенты и свободные члены пропорциональны = = ), если одно из уравнений, есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Плюсы:

5а) экономит время,

б) позволяет избежать не «любимые» действия с дробями,

в) если в уравнениях отсутствуют переменные, то определитель лучше раскрывать по той строке (столбцу) где есть нуль, так как будет меньше вычислений.

Минусы: в результате вычислений получаются несократимые дроби. Сложный принцип нахождения определителя высокого порядка.

P.S. Если вам «не нравится» полученный результат, рекомендуем проверить, правильно ли было записано условие, не допущены ли вычислительные ошибки. Можно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу). Если ошибка не найдена, то сделайте проверку.

П.3.Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений

вида: , где числа aij, i = 1, k, j = 1, п называются коэффициентами системы, числа - свободными членами.

• с

  6истему уравнений называют совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

• совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

• две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

систему называют однородной, если свободные члены равны нулю:

= 0.

• однородная система всегда является совместной - она имеет решение = 0 (возможно, не единственное).

• линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

• решить систему уравнений - это значит найти множество её решений или доказать, что система решений не имеет.

П.4 Метод Гаусса

М

7етод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных уравнений, суть которого состоит в последовательном исключении неизвестных спомощью преобразований. Система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

При решении используются следующие преобразования:

1.Смена мест двух строк.

2.Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3.Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

5. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

5. Вычеркивание повторяющихся или пропорциональных строк.

Повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №1, №3, №5повторяются, то можно оставить одну из них, - например, строку №3. При этом строки №1 и №5 будут удалены. Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления. Можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест второго и четвёртого столбцов матрицы системы означает, что переменные х₂ и х₄ поменялись местами во всех уравнениях.

При решении системы линейных уравнений, используя матричную форму записи метода Гаусса, выполняются следующие шаги:

1.Записываем расширенную матрицу.

8

2.Решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду (треугольному или трапециевидному). Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента.

3. При решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с ненулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Этот метод подходит для решения систем линейных уравнений и обладает рядом плюсов по сравнению с другими методами:

не нужно предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

можно решать не только системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных переменных, и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений неравно числу неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Минус данного метода:

в

9ысокая вероятность сделать вычислительную ошибку из - за многочисленных вычислений (размер 4 х 4; 5х 5 и др.)

П 5. Матричный метод

Матричный метод или метод обратной матрицы называют так, потому решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу. Данный метод применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений равно количеству неизвестных. Матричный метод решения основывается на применении свойств умножения матриц. Из опыта работы с матрицами хочется отметить, что данный метод лучше применять для решения систем низкого порядка.

В процессе изучения теоретического материала мне удалось узнать, что матричный метод решения систем линейных уравнений с определителем не равным нулю заключён в следующем:

Если нам дана система линейных уравнений n неизвестными вида:

, то её можно записать в матричной форме: AX=B, где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Если мы умножим обе части матричного уравнения на A⁻¹ - обратную матрицу к матрице A получим новое равенство A⁻¹(AX)=A⁻¹B.

Зная, что A⁻¹A=E (единичная матрица), получаем, X=A⁻¹B. Тогда правая часть уравнения дает столбец, который и является решением начальной системы.

Решая системы матричным методом, необходимо уметь:

1раскрывать определители,

2 находить обратную матрицу

3 выполнять матричное умножение.

Минусы данного метода в том, что он используется только для невырожденных матрицах (квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля). А при больших значения коэффициентов появляется сложность при вычислениях, а - значит, высокая вероятность допустить вычислительную ошибку.

Мне было интересно узнать тот факт, что для однородной системы линейных уравнений, у которых вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть решение лишь, когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

11

10

§ 2 Примеры с решениями

П 1. Решение систем уравнений с помощью формул Крамера

1.1

Решение: ∆== - 6 + 5 = -1

∆₁== - 60+ 51 = -9

∆₂== 102 - 100= 2

x₁=-9/-1=9 и x₂=2/-1= -2

Ответ: x_{1 =} 9; х₂ = - 2

1.2

Решение: ∆== -2 +6 = 4

∆₁== - 8 + 12 = 4

∆₂== 12 -24 = -12

x₁= 4/4=1 и x₂= -12/4= -3

О

12твет: x₁=1; x₂= - 3

1.3

Решение:

∆==16 - 8=8

∆₁==0-8=-8

∆₂==8-0=8

x₁=-8/8=-1и x₂=8/8=1

Ответ: x₁= - 1; x₂ = 1

1.4

Решение:

∆== 6 - 2 = 4

∆₁== 90 - 54 = 36

∆₂== 54 - 30 = 24

x₁=36/4=9 и x₂=24/4=6

О

13твет: x₁= 9 и x₂ = 6

1.5

Решение: ∆== - 3 - 12 = -15

∆₁== - 18 - 57 = -75

∆₂== 57 - 72 = - 15

x=-75/-15=5 и y = -15/-15 =1

Ответ: х = 5; у = 1

1.6

∆== -9 + 4 = -5

∆₁== - 15 + 10 = -5

∆₂== 30 - 20 = 10

14

Ответ: (1; - 2)

1.7

Решение:

∆== - 9

∆₁== - 36

∆₂== - 27

∆₃== - 45

Ответ:(4;3;5)

15

1.8

Решение:

∆==1

∆₁==5

∆₂==-1

∆₃==0

О

16твет:(5;-1;0)

1.9

Решение:

∆== 5

∆₁==6

∆₂==-1

∆₃==-9

Ответ:(1,2;-0,2;-1,8)

17

1.10

Решение:

∆==4

∆₁==4

∆₂==8

∆₃==12

О

18твет:(1;2;3)

1.11

Решение:

∆₃==-1

∆₁==-4

∆₂==141

∆₃==-100

Ответ:(4;-141;100)

19

1.12 Найдите все значения параметра а, при которых система

имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение при условии . Так как = - 40-6а, то система имеет единственное решение при а

Ответ: при система имеет единственное решение.

1.13 Найдите все значения параметра в, при которых система

не имеет решений.

Решение: = -184 + 120 = - 640

данная система не будет иметь решений, если

=-8в +24=0 то есть при в = 3 .

Ответ: при в = 3 система не имеет решений.

1.14 Найдите все значения а, при которых система

не имеет решений.

Решение.

= -20а-10,

== -20а+14а= -6а,

=49-5(4-5а)=29+25а.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы и или.

,

=0 при а=0 или при а = -2.

При а=0

При а = -2

Значит, при а=0 , а = -2 система не имеет решений.

Ответ: при а = 0 система не имеет решений.

21

1.15 Найдите все значения параметра в, при которых система

имеет бесконечно много решений.

Решение:

то данная система имеет бесконечно много решений при условии

и

=

-8в= -12, в =1,5 и 6-4в=0, -4в= -6, в =1,5

Ответ: при в = 1,5 система имеет бесконечно много решений.

1.16 Найдите все значения а, при которых система

не имеет решений.

22

Решение.

при а = .

1. а =

2. a=

Ответ: при а = - система не имеет решений.

1.17 Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:

А =

Решение:

В

23сякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:

Δ А = = 3 - 0 + 2 λ -12-0 + 2 λ =

4 λ - 9.

Если 4 λ - 9 ≠ 0, т.е. λ ≠ ,то Δ А ≠ 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

1.18 Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

Решение:

= - 9 +3 = - 6;

= = 18 + 4 = 22

= = 12 + 18= 30; = = ; = = - 5

24

1.19 Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

Решение:

= 6 - 6 = 0

== -12 + 6 = -6 ≠ 0

= = 18 - 12= 6 ≠ 0

х 0 или у 0, т.е.

В этом случае система не имеет решений.

система не имеет решений.

1.20 Решите систему уравнений (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

25

Решение:

= 1 + 0 +1 - 0 - 0 - 0 = 2

= = 3 +0 -5 - 0- 0- 2 = - 4

= = -2

= 2 + 0 + 3 -0 + 5 - 0 = 10

= = 5 , аналогично находим Z. Но решение может быть иным, например, найдя х, мы можем подставить данное значение в первое уравнение и вычислить у, а подставив в третье вместо, найдём z b или через второе уравнение.

(-2; 5;-3)

1.21 Аналогично можно решить систему (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

26 прежде, чем решать систему уравнений, нужно её упорядочить

= 3+ 3 + 3 - 27-1-1 = -20

= = 6 + 18 + 12 - 108 -2 -6 = 30 -110= -80

= = 6 + 36 + 6 - 54 -12 -2 = 48 -68 = -20

Х = - 80 : -20 = 4; у = - 20 : ( -20) = 1;

3· 4 -1 + z=12; z = 1

Ответ: (4; 1;-1)

1.22 . Решить систему уравнений (И.В. Ященко и др. ГИА 9 класс тематическая рабочая тетрадь):

Решение:

Δ = = 40+8 = 48; = = 10 - 22 = -12

Х = - 12 : 48 = - 0, 25; = =88+ 8 = 96; у = 96: 48 =2

О

27твет: (- 0,25; 2).

П 2 Решение систем уравнений с помощью метода Гаусса

2.1

~ ~

=> у = 3

Ответ: (6;-3)

2.2

~ ~

=> у =2

Ответ: (4;2)

2.3 |:3

28

y=3 х =2

Ответ: (2;3)

2.4

~ ~

х=6 и у=7

Ответ: (6;7)

2.5

29

х = 4 у=5

Ответ: (4;5)

2.6

х= 7

у=5

О

30твет: (7;5)

2.7

31

х=0.5

у=1

z=1.5

Ответ: (0.5;1;1.5)

2.8

32

x= -1

y=2

z=1

Ответ: (-1;2;1)

2.9

33

Решений нет т к 0245/53

Ответ: pешений нет.

2.10

34

По методу Гаусса имеем право убрать одинаковые строки, оставив одну:

z-4/3t=1/3

к первой строке прибавим вторую

х+2y+5/3t=1/3

Ответ: множество решений

35

П 3. Решение систем уравнений матричным методом

3.1

36

37

37

3.2

38

3.3

39

40

3.4

41

3.5

43

42

3.6

44

45

3.7

46

47

3.8

48

49

3.9

50

51

3.10

52

53

П 4*Для чайников*3 способа

решения системы уравнений

Методом Крамера:

Δ==1*1-1*(-1)=2

Δx==0*1-2*(-1)=2

Δy==1*2-1*0=2

X===1

Y===1

Метод Гаусса:

x=1

y

54=1

Матричный метод:

X=A^-1*B

A₁₁=(-1)¹⁺¹*1=1

A₁₂=(-1)¹⁺²*1=-1

A₂₁=(-1)²⁺¹*-1=1

A₂₂=(-1)²⁺²*1=1

C =

C _T=

A^-1==

X=*=

Ответ: (1;1)

55

П.5 Задания для самоконтроля

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

56

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20
5.21

57

5.22

5.23

5.24

5.25
5.26

5.27

5.28

5.29

5

58.30

5.31

5.32

5.33

5.34

5.35

5.36

59

5.37

60

Ответы

5.1(6;-3);5.2(6;2);5.3(6;2);5.4(8;3);

5.5(5;1);5.6(4;4);5.7(5;6)5.8(1;3);

5.9(1;5);5.10 (8;6);5.11(4;2);5.12

(5;-1);5.13(5;4);5.14(3;5) 5.15

(9;2);5.16(2;5);5.17(2;3);5.18(3;-2);

5.19 (6;7); 5.20 (4;5); 5.21 (4;4);

5.22(5;-3); 5.23(2;7); 5.24 (4;1);

5.25(6;4);5.26(-1;1;1); 5.27(1;2;-1);

5.28(3;4;5); 5.29(8;5;0); 5.30(1;-5;4);

5.31(4;7;-3;5); 5.32(13;6;-1;8); 5.33

(7;-32;1;18); 5.34(6;-2;12;-4;5); 5.3

Нет решений; 5.36(7;5); 5.37(4;8;-1)

Ж

61елаем успехов!