Контрольная работа по теме Применение производной

11 класс Алгебра и начала анализа Юрова Наталья Сергеевна

Контрольная работа по теме «Применение производной»

1 ВАРИАНТ

Физический смысл производной.

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9с.

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

.

При t = 9 c имеем:

м/с.

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

27485

0,5

2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

3. На рисунке 1 изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

4. На рисунке 2 изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рис.1

Рис.2

5. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

Ответ: 2

Решение.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 4.

Ответ:4.

Ответ: 4

6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

77498

12

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

.

Ответ: −2.

Ответ: -2

9. Найдите точку максимума функции .

10. Найдите точку минимума функции Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

Ответ: 4.

Ответ: 4

Контрольная работа по теме «Применение производной»

2 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

1. Решение.

Найдем закон изменения скорости:

.

При t = 9 c имеем:

м/с.

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

2. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

Решение.

Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и . В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции - парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax² + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax² − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .

Ответ: 0,125

119972

0,125

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

Тогда находим:

м/с.

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

3. На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение.

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки Таких точек 7.

Ответ:7.

Ответ: 7

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна

6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: −3.

Ответ: -3

8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

9. Найдите точку минимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: 4.

Ответ: 4

26712

4

10. Найдите точку максимума функции Решение. Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: −4.

Ответ: -4

77419

-4

Контрольная работа по теме «Применение производной»

3 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Геометрический смысл производной, касательная

2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .

3. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

4. Решение.

5. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касател

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

Решение.

Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и . В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции - парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax² + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax² − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .

Ответ: 0,125

119972

0,125

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

.

Ответ: −2.

Ответ: -2

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

Тогда находим:

м/с.

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 51.

Ответ: 51

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

9. Найдите точку максимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 8.

Ответ: 8

26711

8

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: −15.

Ответ: -15

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

Ответ: −18.

Ответ: -18

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

Ответ: − 0,25.

Ответ: -0,25

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума

Ответ: 2.

Ответ: 2

77435

2

10. Найдите точку минимума функции Решение. Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

Ответ: −2.

Ответ: -2

Контрольная работа по теме «Применение производной»

4 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Ответ: 8.

Ответ: 8

119978

8

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

3. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид , и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка .

Ответ: -3.

Ответ: -3

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

5. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите точку максимума функции .

п. Саук - Дере МБОУ СОШ № 45 2015 - 2016 учебный год